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M´ecanique des fluides - Bachelor - 2015 - TD 8
´
Ecoulements
`
a surface libre
Exercice 1
Quel est le d´ebit s’´ecoulant dans une conduite circulaire en b´eton de diam`etre 1000 mm ayant une pente de
0.1 % ? La hauteur normale observ´ee est de 80 cm.
Exercice 2
On consid`ere un canal de section triangulaire.
A l’´etat neuf un d´ebit Q dans le canal correspondait `a la marque 2 m sur la paroi du canal (voir figure 1). Apr`es plusieurs ann´ees d’utilisation, on remarque que la rugosit´e du canal a augment´ee et que le coefficient de Manning-Strickler
a ´et´e divis´e par 2. Calculer la nouvelle valeur
de la longueur L observ´ee sur la paroi du canal.
Figure 1 – canal triangulaire
Exercice 3
Figure 2 – Rampe de 15 cm de haut dans un canal rectangulaire
Soit un canal rectangulaire de largeur constante o`
u s’´ecoule de l’eau `
a un
d´ebit par unit´e de largeur de 0.52 m2 /s
(voir figure 2). En prenant une hauteur
d’eau amont de 69 cm, calculer l’altitude
de la surface libre `a l’aval d’une rampe
de 15 cm en n´egligeant les effets visqueux et dessiner le diagramme d’´energie
sp´ecifique.
Exercice 4
Un canal principal `
a section rectangulaire de largeur B = 5 m et de longueur ` = 1000 m a une pente 1 :
1000. Le d´ebit est de 10 m3 /s ; la hauteur d’eau est de h0 = 3, 1 m dans la partie du bief o`
u la hauteur est
uniforme. Ce canal d´ebouche ensuite sur deux canaux secondaires de mˆeme section et de pente i = 1 % (voir
figure 3).
1. En supposant que la r´esistance du lit peut ˆetre d´ecrite `a l’aide d’une formule de Keulegan, d´eterminer la
rugosit´e ks du lit. Pour les applications num´eriques, on prendra κ = 0, 41. Est-ce que cette valeur vous
semble plausible ?
2. R´epondre `
a la mˆeme question en prenant une relation de Manning-Stricker : que vaut K ?
3. Quel est le d´ebit Q1 si la hauteur est mont´ee jusqu’`a un niveau de h1 = 4, 5 m ? On r´epondra en utilisant
les formules de Keulegan et Manning-Strickler.
4. Calculer le nombre de Froude F r et le nombre de Reynolds pour le canal principal lorsque le d´ebit vaut
Q1 . Caract´eriser le r´egime d’´ecoulement. On utilisera la formule de Manning-Strickler.
5. Quelle est la hauteur d’eau dans les canaux secondaires pour un r´egime permanent uniforme lorsque
la hauteur vaut h1 dans le canal principal ? On n´egligera le coefficient de perte de charge singuli`ere au
niveau de la s´eparation en T des canaux et on se servira de la formule de Manning-Strikler pour calculer
la r´esistance.
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6. Que vaut la hauteur critique hc dans un canal secondaire lorsque le d´ebit est Q1 ?
7. Quelle est la forme de la surface libre ? La tracer qualitativement en pla¸cant les ´el´ements remarquables.
8. On remplace les canaux secondaires par des canaux `a section trap´ezo¨ıdale. La largeur au fond est W =
3 m. La pente des berges est 1V : 3H. Calculer la hauteur d’eau pour un canal secondaire en r´egime
permanent uniforme lorsque le d´ebit vaut Q1 . Calculer le nombre de Froude.
Figure 3 – canaux en T.
Exercice 5
Vous devez am´enager un canal d’irrigation. La section est trap´ezo¨ıdale de base b = 10 m (voir figure 4a) ; le
fruit des berges est 2H :3V. La pente longitudinale est 1/1000. Un essai au laboratoire vous fournit la courbe
granulom´etrique de la figure 4b. Le d´ebit de projet est fix´e par le maˆıtre d’ouvrage `a 50 m3 /s.
1. Quel coefficient de Manning-Strickler vous choisiriez ?
2. En appliquent la formule de Manning-Strickler, d´eterminer la hauteur normale pour le d´ebit de projet.
3. Calculer la hauteur `
a l’aide de la formule g´en´eralis´ee de Keulegan.
ρgRH sin θ =
κ2
ρ¯
u2 ,
ln (11RH /ks )
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4. Est-ce que la diff´erence de hauteur entre les deux formules vous paraˆıt significative ?
5. On consid`ere qu’il y a ´erosion du lit lorsque le nombre de Shields
Sh =
τp
(ρp − ρ)gd90
d´epasse une valeur seuil de 0,05 (avec ρ la masse volumique du fluide et ρp celle des graviers ; on prendra
%p = 2500 kg/m3 ). Est-ce qu’il y a ´erosion ? O`
u se situe l’´erosion ? Que va-t-il se passer ? Comment y
rem´edier simplement et `
a moindre coˆ
ut pour le client ?
(a) section en travers.
(b) courbe granulom´etrique.
Figure 4 – Exercice 5
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Exercice 6
Un ´ecoulement d’eau en r´egime permanent uniforme se fait `a travers un canal trap´ezoidal de largeur `
a la
base 5 m et dont les parois sont inclin´es de 45˚(voir Fig. 5). La hauteur d’eau est de 4 m. La rugosit´e du lit est
d´ecrite `
a l’aide d’une relation de Manning-Strickler avec un coefficient K = 40 m1/3 /s.
1. Quelle est la largeur au miroir ? Quelle est la section d’´ecoulement ? (donner les valeurs num´eriques)
2. Quelle est la pente pour que le d´ebit fasse 100 m3 /s ?
3. Quelle est la hauteur critique ?
4. Quelle est la hauteur normale ?
5. Calculer le nombre de Froude. Dans quel r´egime d’´ecoulement est-on (super ou sub-critique) ?
Figure 5 – Canal
Exercice 7
Le long d’un canal, la hauteur d’eau entre une section amont et une section aval est divis´ee par 2 et le
nombre de Froude passe d’une valeur sub-critique de 0,5 `a une valeur super-critique de 3. D´eterminer la largeur
du canal `
a la section aval sachant que la largeur `a la section amont est de 4 m.
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