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F112 2014/2015 — ULB —Fiche Exercices 2
Exercice 1
D´eterminer si les familles suivantes de R 4 sont libres ou li´ees :
{(0, 1, 0, 1), (0, 1, 0, −1), (0, 1, 0, 1), (0, 1, 0, −1)}
{(0, 1, 0, 1), (0, 1, 0, −1), (0, 1, 0, −1), (0, −1, 0, 1)}
{(0, 1, 0, 1), (0, 1, 0, −1), (0, 1, 0, 1), (0, −1, 0, 1), (−1, 1, 1, 1}
{(0, 1, 0, 1), (0, 1, 0, −1), (−1, 1, 1, 1}
Mˆeme question avec les familles suivantes de R R :
{cos(x), sin(x), cos(2x) sin(2x)}
{cos2 (x), sin2 (x), cos(2x), sin(2x)}
{ex , e2x , e3x }
Exercice 2
On fixe un vecteur V~0 de l’espace (tri-dimensionnel). On d´efinit l’application
Φ1 de l’espace des vecteur de l’espace dans lui-mˆeme par Φ1 (V~ ) = V~ × V~0 .
D´eterminer le noyau et l’image de Φ1 . Mˆeme question avec l’application Φ2
des vecteurs de l’espace dans R d´efinie par Φ2 (V~ ) = V~ · V~0 dont on se sera
assur´e auparavant qu’elle est lin´eaire.
Exercice 3
Soient E1 et E2 deux espaces vectoriels sur le mˆeme corps K. On d´efinit,
comme dans la fiche d’exercices pr´ec´edente, les applications lin´eaires
π : E1 × E2 → E1
(x1 , x2 ) 7→ x1
et
ι : E1 → E1 × E2
x1 7→ (x1 , ~0E2 ).
D´eterminer leurs noyaux et leurs images.
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Exercice 4
On note P l’ensemble des polynˆomes de la variable r´eelle x.
1. Prouver que la famille {1, x, x2 , ..., xn , ...} est libre ;
2. Prouver que la famille {x, x(x − 1), x(x − 1), x(x − 1)(x − 3)} est une
famille libre ;
3. Soit an une suite strictement croissante de nombres r´eels. Prouver que
la famille
{(x−a0 ), (x−a0 )(x−a1 ), (x−a0 )(x−a1 )(x−a2 ), ..., (x−a0 )(x−a1 )...(x−an ), ...}
est libre.
Exercice 5
Prouver que les familles suivantes
A = {f ∈ R [a,b] | f (x) ≥ 0, ∀x ∈ [a, b]}
et
A0 = {f ∈ R [a,b] | 0 ≤ f (x) ≤ 1, ∀x ∈ [a, b]}
sont g´en´eratrices de l’espace vectoriel E = R [a,b]
Exercice 6
Prouver que la famille
{cos(kx) | k ∈ N}
est libre dans R [0,2π] . Indication : on pourra raisonner par l’absurde en suppoP
sant qu’il existe k ∈ N et (λ1 , ..., λn ) ∈ R n tels que cos(kx) = ni=1,i6=k λi cos(ix).
Ensuite, on multipliera les deux membres de l’´equation par cos(kx) puis on
int`egrera sur l’intervalle [0, 2π] pour obtenir une contradiction.
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