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5. Induktion
5.1 Die Beobachtungen
g Faradays
y
Prof. Dr. H. Podlech
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Michael Faraday
Ab 1831: Versuche zur
magnetischen Induktion
Idee:
Wenn Magnetismus
W
M
ti
mittels
itt l Ströme
St ö
entsteht,
t t ht
sollte auch das umgekehrte möglich sein:
Entstehung
g von Strömen und Spannungen
p
g
durch Magnetfelder
Æ Zeitlich variable Magnetfelder
Prof. Dr. H. Podlech
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Wir betrachten eine Drahtschlinge, die an ein Galvanometer angeschlossen ist.
Fließt Ladung, zeigt das Galvanometer einen Stromstoß an.
Dabei wird davon ausgegangen, dass die Zeitkonstante des Galvanometers groß
gegen die Zeit ist, in der sich die Ströme ändern.
• Schiebt
man
schnell
einen
Magneten durch die Schleife, zeigt
das Galvanometer einen Stromstoß
an, der nur von der Anfangs- und
Endlage des Magneten abhängt
• Vertauscht
V t
ht man die
di Magnetpole,
M
t l so
ändert sich das Vorzeichen des
Stromstoßes
• Schiebt man den Magneten wieder
zurück aus der Schleife, ist das
Vorzeichen umgekehrt
Prof. Dr. H. Podlech
V: Induktion
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• Schiebt
man
schnell
einen
Magneten
g
durch eine Doppelschleife,
pp
,
ist der Stromstoß doppelt so groß
• Benutzt
man
anstelle
des
Permanetmagneten
eine
Strom
d hfl
durchflossene
S l beobachtet
Spule
b b ht t man
die gleichen Phänomene.
• Verdopplung
pp g
der
bedeutet
doppelt
Stromstoß.
Stromstärke
so
großer
• Änderung der Stromrichtung der
Spule bedeutet Vorzeichenänderung
des Stromstoßes (äquivalent zu
Vertauschen von N- und S-Pol)
Prof. Dr. H. Podlech
V: Induktion 2x
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• Schiebt man die Spule in die
Schleife und schließt dann deren
Stromkreis, ergibt sich der gleiche
Ausschlag, als ob man die Spule mit
St
Stromfluss
fl
i die
in
di Schleife
S hl if hinein
hi i
schiebt.
p
gilt beim Öffnen
g
• Entsprechendes
des Stromkreises.
• Bewegt man die Schleife von einem
feldfreien Raum in ein Magnetfeld,
Magnetfeld so
ergibt sich am Galvanometer der
gleiche
Stromstoß
wie
bei
Einschalten der Spule
Prof. Dr. H. Podlech
V: Induktion
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• Legt man die Schleife zunächst
senkrecht
se
ec t zu
u de
den magnetischen
ag et sc e
Feldlinien und dreht sie dann, bis sie
parallel zum Feld ist, ergibt sich
ebenfalls ein Stromstoß.
• Beim Zurückdrehen ergibt sich ein
gleich
großer
Stromstoß
mit
umgekehrten Vorzeichen
• Ändert man die Fläche der Schleife
in einem homogenen Magnetfeld
ergibt sich ein Stromstoß.
• Verkleinert man die Fläche zu null,
ist der Stromstoß identisch mit dem
Entfernen der Schleife aus dem Feld
oder dem Abschalten des Feldes.
Prof. Dr. H. Podlech
V: Induktion 2x
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5.2 Magnetischer
g
Fluss
Prof. Dr. H. Podlech
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Wir erinnern uns an den elektrischen Fluss
Der Fluss durch jede beliebige Oberfläche ist gleich der
eingeschlossenen Ladung (bis auf eine Konstante)
Analog können wir auch einen magnetischen Fluss definieren
Prof. Dr. H. Podlech
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Magnetischer Fluss
B
Wir betrachten ein kleines Flächenelement dA, das
von einem Magnetfeld durchsetzt ist. Der
magnetische
ti h Fluss
Fl
i t dann
ist
d
d fi i t als:
definiert
l
dA
Für eine beliebige Oberfläche A gilt dann:
Prof. Dr. H. Podlech
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Magnetischer Fluss
B
Für den Spezialfall eines homogenen Magnetfeldes
ergibt sich einfach (ohne Integration)
A
Für den Betrag des magnetischen Flusses gilt dann:
Prof. Dr. H. Podlech
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Zusammenhang zwischen Faradays Beobachtungen und dem magnetischen Fluss
Ein homogenes Magnetfeld habe eine Stärke von B=0.5 T.
Eine kreisförmige Leiterschleife mit r=5 cm steht 30° geneigt
zum Magnetfeld
M
tf ld Æ Fluss?
Fl
?
Prof. Dr. H. Podlech
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Magnetischer Fluss durch eine geschlossene Oberfläche
Fluss tritt aus
Es lässt sich zeigen, dass der
magnetische
Fluss
durch
eine
geschlossene Oberfläche IMMER null ist
Das Magnetfeld ist quellfrei
Es gibt keine magnetischen Ladungen
Fluss tritt ein
Æ Keine magnetischen Monopole
Prof. Dr. H. Podlech
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5.3 Induktionsgesetz
g
Prof. Dr. H. Podlech
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Frage: Was passiert, wenn sich der magnetische Fluss ändert?
Nähert man den Magneten an die Schleife
an, ändert
ä d t sich
i hd
der magnetische
ti h Fl
Fluss
Dreht man die Schleife, ändert sich der
magnetische Fluss
Fluss.
In beiden Fällen wird ein Stromstoß beobachtet Æ
Man braucht eine Spannungsdifferenz
p
g
Prof. Dr. H. Podlech
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Vermutung: Durch Änderung des magnetischen Flusses wird
eine Spannung induziert
Wir betrachten einen Leiter der Länge L, der sich in einem
homogenen Magnetfeld mit der Geschwindigkeit v senkrecht zu B
bewegt.
B
Auf die Ladungsträger wirkt die Lorentzkraft,
die längs des Leiters gerichtet ist
v
A
F
L
Æ Stromfluss im geschlossenen Stromkreis
solange sich der Leiter bewegt
A
Prof. Dr. H. Podlech
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Für den Betrag der Lorentzkraft gilt:
B
Die Kraft verrichtet längs der Leiters
die Arbeit W:
v
A
F
L
A
Da Spannung Arbeit pro Ladung ist, ergibt sich
eine induzierte Spannung Uind:
T
Prof. Dr. H. Podlech
V:
Bewegter Leiter im B-Feld
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Während der Zeit dt bewegt sich der Leiter um dx=v·dt nach rechts
B
Dadurch ändert sich die vom Schaltkreis
gebildete Fläche A, durch die das
Magnetfeld
g
tritt. Es g
gilt:
v
A
F
L
A
T
Prof. Dr. H. Podlech
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Ind ktionsgeset
Induktionsgesetz
Ändert sich der magnetische
g
Fluss durch eine Leiterschleife,,
so wird in der Schleife eine Induktionsspannung aufgebaut
Dabei spielt es KEINE Rolle, ob sich die von der
Leiterschleife erzeugende Fläche A oder das Magnetfeld B
verändert.
Entscheidend ist die Änderung des Flusses Φ
Prof. Dr. H. Podlech
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Mittels des Induktionsgesetzes lässt die Fülle Faraday Beobachtungen erklären
Prof. Dr. H. Podlech
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ACHTUNG: Das induzierte elektrische Feld besitzt nicht mehr die
Eigenschaft der Wegunabhängigkeit
Die Leiterschleife stellt einen geschlossenen Weg dar
Æ Spannung (Potenzialdifferenz) ist ungleich null
Man spricht von so genannten Wirbelfeldern
Prof. Dr. H. Podlech
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Induktionsgesetz = Faradaysche Gesetz
Die Induktionsspannung hat negatives Vorzeichen
Prof. Dr. H. Podlech
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Lenzsche Regel (Heinrich Lenz, 1834)
B
Die Induktionsspannung induziert einen
Strom I in der Leiterschleife
Æ Erzeugt Magnetfeld B*
A
I
B*
Das induzierte Magnetfeld B* ist dem Magnetfeld
B und damit der Flussänderung entgegengerichtet
Prof. Dr. H. Podlech
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Lenzsche Regel als Folge der Energieerhaltung
Beim Verschieben des Leiters ergibt sich
eine Induktionsspannung
B
v
A
F
L
Es fließt ein Strom I und entsprechend wird
eine Leistung im Draht in Wärme umgewandelt
x
Man muss beim Verschieben Arbeit gegen
die Lorentzkraft aufbringen
Prof. Dr. H. Podlech
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Lorentzkraft
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Lenzsche Regel als Folge der Energieerhaltung
Beim Annähern einer Leiterschleife an
einen Magnet-Nordpol ändert sich der
Fluss durch Schleife
Der induzierte Strom erzeugt ein
Magnetfeld, dass dem äußeren Feld
entgegen gerichtet ist.
ist
Nordpol zeigt auf Nordpol Æ Abstoßung
Würde die Lenzsche Regel nicht gelten, gäbe es eine Anziehung
Æ Beschleunigung der Schleife in Richtung des Magneten und
Leistung durch induzierte Spannung bzw. Strom
Æ Woher soll diese Energie kommen?
Prof. Dr. H. Podlech
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Beispiel: gleichförmig bewegte Leiterschleife
B
Eine rechteckige Leiterschleife der Breite
b=10 cm bewegt sich mit v=1 m/s in ein
homogenen B-Feld mit 1T hinein
x
v
b
Prof. Dr. H. Podlech
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Beispiel: rotierende Leiterschleife im homogenen Feld
Eine quadratische Leiterschleife mit Seitenlänge a=10cm
rotiert mit 100 Umdrehungen/s in einem homogenen
Magnetfeld B=1T.
B=1T Was ist die Maximalspannung U0?
T
Prof. Dr. H. Podlech
27
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5.4 Induktivität
Prof. Dr. H. Podlech
28
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Induktivität
Es gibt einen magnetischen Fluss
durch den Stromkreis, wenn dieser
von einem Strom durchflossen wird.
wird
I
Für das Magnetfeld gilt:
B
B ist proportional zum Strom
L Induktivität
L:
I d kti ität
(Selbstinduktivität)
Prof. Dr. H. Podlech
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Induktivität
I
Ändert sich der Strom I im Schaltkreis, so
ä d t sich
ändert
i h auch
h der
d magnetische
ti h Fluss
Fl
Φ
Φ.
B
Jede Flussänderung bewirkt aber eine
p
g die dieser Veränderung
g
Induktionsspannung,
entgegen wirkt.
Ansonsten würde jede noch so kleine zufällige
Stromänderung (selbst ohne angelegte
Spannung) zu einem selbst verstärkenden
Anwachsen des Strom über alle Grenzen
führen Æ Energieerhaltung
Prof. Dr. H. Podlech
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Induktivität
Ändert sich der Strom mit der Zeit, gilt für die Induktionsspannung:
Einheit: [V/(As-1))=H
H (Henry)]
Die Induktivität gibt anschaulich an, wie stark sich ein Stromkreis
gegen eine Flussänderung „wehrt
wehrt“
Prof. Dr. H. Podlech
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Beispiel: Induktivität einer kreisförmigen Leiterschleife
In einer kreisförmigen Leiterschleife mit Radius R=10cm erzeugt ein
Strom I im Inneren ein Magnetfeld von:
T
Prof. Dr. H. Podlech
32
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Beispiel: Induktivität einer kreisförmigen Leiterschleife
T
Prof. Dr. H. Podlech
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Beispiel: Induktivität einer langen Spule
In einer langen Spule der Länge x und Querschnitt A=0.01m2 mit N=500 Windungen
erzeugt ein Strom I im Inneren ein Magnetfeld von (s. Amperesches Gesetz):
Da die Spule aus N Windungen (Leiterschleifen) besteht
besteht, tritt das
Magnetfeld auch N mal hindurch
T
Prof. Dr. H. Podlech
34
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Beispiel: Induktivität einer langen Spule
T
Prof. Dr. H. Podlech
35
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Gegeninduktivität
Was passiert, wenn zwei benachbarte Leiterschleifen in Wechselwirkung treten?
In Schleife 1 soll sich der Strom I1 ändern
Æ Das sich ändernde Magnetfeld B1 beeinflusst auch den Fluss durch Schleife 2
Fluss durch Schleife 2 hervorgerufen
durch den Strom in Schleife 1
B1
Prof. Dr. H. Podlech
V: Zwei Spulen
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Gegeninduktivität
Durch Flussänderung in Schleife 2
wird dort eine Spannung U2 induziert,
die proportional zur Stromänderung in
Schleife 1 ist.
ist
Die Größe M12 heißt Gegeninduktivität
B1
Prof. Dr. H. Podlech
37
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Gegeninduktivität
Eine Wichtige Anwendung der Gegeninduktivität sind Transformatoren
Prof. Dr. H. Podlech
38
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Einschaltvorgänge
Induktivitäten werden eine große Rolle bei so genannten
Einschaltvorgängen und beim Wechselstrom spielen
Æ Flussänderung Æ System widersetzt sich
Zusammen mit Kapazitäten bestimmen Induktivitäten im
Wesentlichen das zeitliche Verhalten von Stromkreisen
Prof. Dr. H. Podlech
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5.5 Energie
g von Induktivitäten
Prof. Dr. H. Podlech
40
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Energie eine Induktivität L
L
UB
I
Prof. Dr. H. Podlech
Wir nehmen an, die Induktivität (Spule) sei
ideal, besitzt also keinen Ohmschen
Widerstand.
Im Gleichstromfall hat die Spule keinen
Einfluss auf den Strom, weil dI/dt=0 ist.
Ändert sich der Strom, wirkt die Induktivität
dieser Änderung entgegen
Für die Spannung in dem Stromkreis gilt
nach der Maschenregel:
41
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Energie eine Induktivität L
L
Um eine Ladung gegen eine Spannung zu
verschieben, wird die Energie W benötigt:
UB
I
Prof. Dr. H. Podlech
Wir kennen den Zusammenhang zwischen
Strom und Ladung:
42
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Energie eine Induktivität L
Einsetzen ergibt
V: Spannungsspitze Spule
Prof. Dr. H. Podlech
V: „Kraftakt“
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Energie eine Induktivität L
Vergleich zwischen Kapazität und Induktivität
Prof. Dr. H. Podlech
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Energie eine langen Spule
Wir betrachten eine lange Spule der Länge x und Querschnitt A mit N Windungen.
Die Induktivität lautet:
Damit erhalten wir die Energie der Spule:
I aus B
T
Prof. Dr. H. Podlech
45
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Energie eine langen Spule
T
Prof. Dr. H. Podlech
46
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Energie eine langen Spule
Prof. Dr. H. Podlech
47
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Beispiel: Feldenergie in einer Spule
Das Feld sei 4T, die Länge L=13m, der Radius R=3m
T
Prof. Dr. H. Podlech
E t i ht etwa
Entspricht
t
dem
d
Brennwert
B
t von 25 kg
k Steinkohle
St i k hl
48
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CMS-Spule (Compact Muon Solenoid) am LHC/CERN in Genf
Prof. Dr. H. Podlech
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CMS-Spule (Compact Muon Solenoid) am LHC/CERN in Genf
Prof. Dr. H. Podlech
50