exo1 - Lucchicama
Ch01 : Les suites
I) Calculer les termes d’une suite
Rappel : Une suite peut être présentée :
- par un premier terme et une relation de récurrence, donnant 𝑢𝑛+1 en fonction de 𝑢𝑛
- par une formule explicite, donnant 𝑢𝑛 en fonction de 𝑛,
- par une formule mixte, donnant 𝑢𝑛+1 en fonction de 𝑢𝑛 et de 𝑛,
- de manière bizarre...
Les calculs de termes demandés peuvent être :
- calculer un terme connaissant son rang,
- calculer un terme connaissant le terme précédent.
Attention, on peut rencontrer aussi beaucoup de calcul littéral... On peut demander :
- exprimer 𝑢𝑛 en fonction de 𝑛,
- exprimer 𝑢𝑛+1 en fonction de 𝑛,
- exprimer 𝑣𝑛 en fonction de 𝑢𝑛 ...
Exercice 1 : On considère la suite (un) définie par le terme général un = 3n – 7
Déterminer les termes suivants :
u0
u1
u2
u3
u4
u5
u6
u7
Exercice 2 : On considère la suite (un) définie par le terme général un = 2n
Déterminer les termes suivants :
u0
u1
u2
u3
u4
u5
u6
u7
Exercice 3 : On considère la suite (un) définie par le terme général un = n²
Déterminer les termes suivants :
u0
u1
u2
u3
u4
u5
u6
u7
Exercice 4 : On considère la suite (un) définie par le terme général un =
Déterminer les termes suivants (en écriture fractionnaire) :
u0
u1
u2
u3
u4
u5
n
n+1
u6
u7
Exercice 5 : On considère la suite (un) définie par le terme général un = nn
Déterminer les termes suivants :
u0
u1
u2
u3
u4
u5
u6
u7
Exercice 6 : On considère la suite (un) définie par le terme général un = (-1)n
Déterminer les termes suivants :
u1
u2
u3
u4
u5
u53 u72 u147
Exercice 7 : On considère la suite (un) définie par récurrence {
𝑢0 = 1
𝑢𝑛+1 = 2𝑢𝑛 + 1
Déterminer les termes suivants :
u1
u2
u3
u4
u5
u6
u7
u8
Exercice 8 : On considère la suite (un) définie par récurrence {
𝑢0 = 7
𝑢𝑛+1 = −3𝑢𝑛 + 2
Déterminer les termes suivants :
u1
u2
u3
u4
u5
u6
u0 = 2
Exercice 9 : On considère la suite (un) définie par récurrence u = 2
n+1 un
Déterminer les termes suivants :
u1
u2
u3
u4
u5
u6
u7
u8
u0 = 2
Exercice 10 : On considère la suite (un) définie par récurrence u = (u )² – 4
n+1
n
Déterminer les termes suivants :
u1
u2
u3
u4
u5
u0 = 2
Exercice 11 : On considère la suite (un) définie par récurrence u = -u
n+1
n
Déterminer les termes suivants :
u1
u2
u3
u4
u5
u50
u101
u764
u0 = 2
Exercice 12 : On considère la suite (un) définie par récurrence u = u + 3
n+1
n
Déterminer les termes suivants :
u1
u2
u3
u4
u5
u50 u101 u764
u0 = 1
Exercice 13 : On considère la suite (un) définie par récurrence u = 2 u
n+1
n
Déterminer les termes suivants :
u1
u2
u3
u4
u5
u10
u15
II) Algorithmes
Exercice 14 : On considère l’algorithme suivant :
U prend la valeur 2
P prend la valeur 1
Saisir N
Boucle :
Tant que P est inférieur ou égal à N :
U prend la valeur 2*U + 1
P prend la valeur P+1
Fin de boucle
Afficher U
Quelle valeur sera affichée si on donne à N…
… la valeur 1 ?
… la valeur 2 ?
… la valeur 5 ?
Exercice 15 : On considère l’algorithme suivant :
U prend la valeur 190
P prend la valeur 1
Saisir N
Boucle :
Tant que P est inférieur ou égal à N :
U prend la valeur 0,5*U – 1
P prend la valeur P+1
Fin de boucle
Afficher U
Quelle valeur sera affichée si on donne à N…
… la valeur 1 ?
… la valeur 2 ?
… la valeur 6 ?
Exercice 16 : On considère l’algorithme suivant :
U prend la valeur 1
V prend la valeur 2
P prend la valeur 1
Saisir N
Boucle :
Tant que P est inférieur ou égal à N :
U prend la valeur U+V
V prend la valeur 2*V
P prend la valeur P+1
Fin de boucle
Afficher U
Quelle valeur sera affichée si on donne à N…
… la valeur 1 ?
… la valeur 2 ?
… la valeur 5 ?
u0 = 1
Exercice 17 : Soit suite (un) définie par : u = 4 + 3u
n+1
n
a. Calculer u3
b. Compléter l’algorithme :
U prend la valeur ............
P prend la valeur ............
Saisir N
Boucle :
Tant que P est inférieur ou égal à N :
U prend la valeur ........................
P prend la valeur ........................
Fin de boucle
Afficher U
u0 = 1
Exercice 18 : Soit suite (un) définie par : u = 1
n+1
1 +un
a. Calculer u2
b. Compléter l’algorithme :
U prend la valeur ............
P prend la valeur ............
Saisir N
Boucle :
Tant que P est inférieur ou égal à N :
U prend la valeur ........................
P prend la valeur ........................
Fin de boucle
Afficher U
u0 = 1
Exercice 19 : Soit suite (un) définie par : u = 10 - 2u
n+1
n
a. Compléter ce programme (TI-82) :
PROGRAM:SUITES
: ............ U
: ............ P
: Prompt N
: While PN
: .............................................. U
: .............................................. P
: End
: Disp U
b. A l’aide du programme, compléter le tableau :
u1
u5
u10
u0 = 10
Exercice 20 : Soit suite (un) définie par : u = 5 + 0,1u
n+1
u15
u20
u100
u20
u100
n
a. Compléter ce programme (TI-82) :
PROGRAM:SUITES
: ............ U
: ............ P
: Prompt N
: While PN
: .............................................. U
: .............................................. P
: End
: Disp U
b. Compléter le tableau :
u1
u5
u10
u15
Exercice 21 :
1. On considère l’algorithme suivant :
P prend la valeur 0
Saisir N
Tant que P est inférieur ou égal à N :
U prend la valeur 3*P + 2
P prend la valeur P+1
Fin de boucle
Afficher U
a. Je choisis 3 comme valeur de N. Compléter ce qu’affiche l’écran :
N=? 3
b. Quelle est la valeur contenue dans la variable P en fin d’exécution de l’algorithme ?
2. On modifie l’algorithme :
P prend la valeur 0
Saisir N
Tant que P est inférieur ou égal à N :
U prend la valeur 3*P + 2
Afficher U
P prend la valeur P+1
Fin de boucle
a. Entourer dans les deux algorithmes (1. et 2.) la/les instructions qui ont été modifiées.
b. Je choisis 3 comme valeur de N. Compléter ce qu’affiche l’écran :
N=? 3
3. Quelle est la suite utilisée dans cet algorithme ?
un =
4. Utiliser l’un des deux algorithmes (le bon) pour programmer la machine, et calculer :
u10 =
u25 =
u100 =
u200 =
5. Utiliser un tel programme est-il judicieux ?
Exercice 22 :
1. On considère l’algorithme suivant :
P prend la valeur 1
U prend la valeur 2
Saisir N
Tant que P est inférieur ou égal à N :
U prend la valeur 2*U - 1
P prend la valeur P+1
Fin de boucle
Afficher U
a. Je choisis 3 comme valeur de N. Compléter ce qu’affiche l’écran :
N=? 3
b. Quelle est la valeur contenue dans la variable P en fin d’exécution de l’algorithme ?
2. On modifie l’algorithme :
P prend la valeur 1
U prend la valeur 2
Saisir N
Tant que P est inférieur ou égal à N :
U prend la valeur 2*U - 1
Afficher U
P prend la valeur P+1
Fin de boucle
a. Entourer dans les deux algorithmes (1. et 2.) la/les instructions qui ont été modifiées.
b. Je choisis 3 comme valeur de N. Compléter ce qu’affiche l’écran :
N=? 3
3. Quelle est la suite utilisée dans cet algorithme ?
u0 = …………
un+1 = …………
4. Utiliser l’un des deux algorithmes (le bon) pour programmer la machine, et calculer :
u10 =
u25 =
u100 =
u200 =
Exercice 23 : Dans chaque cas, indiquer les valeurs successives des variables pendant l’exécution de l’algorithme,
et entourer les valeurs qui s’affichent à l’écran :
1.
P prend la valeur 0
N prend la valeur 3
Tant que P est inférieur ou
égal à N :
U prend la valeur 3*P + 2
P prend la valeur P+1
Fin de boucle
Afficher U
P
N
U
4.
U prend la valeur 0
P prend la valeur 1
N prend la valeur 3
Tant que P est inférieur ou
égal à N :
U prend la valeur 3*U + 2
P prend la valeur P+1
Fin de boucle
Afficher U
P
N
U
2.
U prend la valeur 0
P prend la valeur 1
N prend la valeur 3
Tant que P est inférieur ou
égal à N :
U prend la valeur 3*U + 2
P prend la valeur P+1
Afficher U
Fin de boucle
P
N
U
3.
P prend la valeur 1
N prend la valeur 3
Tant que P est inférieur ou
égal à N :
U prend la valeur 3*P + 2
P prend la valeur P+1
Fin de boucle
Afficher U
5.
P prend la valeur 0
N prend la valeur 3
Tant que P est inférieur ou
égal à N :
U prend la valeur 3*P + 2
P prend la valeur P+1
Afficher U
Fin de boucle
6.
U prend la valeur 1
P prend la valeur 0
N prend la valeur 3
Tant que P est inférieur ou
égal à N :
U prend la valeur 3*U + 2
P prend la valeur P+1
Fin de boucle
Afficher U
P
N
U
P
N
U
P
N
U
b. Parmi tous ces algorithmes, indiquer celui qui permet de calculer le plus rapidement possible u3, où un est la suite
u0 = 0
définie par récurrence par : u = 3.u + 2. .
n+1
n
Exercice 24 : On considère les programmes (TI-82) suivants
PROGRAM:SUITES1
: 1P
: 2U
: Prompt N
: While PN
: 2U+5U
: P+1P
: Disp U
: End
PROGRAM:SUITES2
: 1P
: 2U
: Prompt N
: While PN
: 2U+5U
: P+1P
: End
: Disp U
PROGRAM:SUITES3
: 1P
: 2U
: EffListe L1
: Prompt N
: While PN
: 2U+5U
: UL1(P)
: P+1P
: End
1. Ces trois programmes permettent de calculer les termes d’une suite définie par récurrence. Laquelle ?
2. Saisir et exécuter les trois programmes dans la machine. Quelle est la spécificité de chacun ?
3. Quel programme est le plus adapté à chaque situation ?
« Calculer tous les termes de u1 à u20 »
« Calculer u20 »
« Calculer u6 , u13 , u17 et u20 »
III) Limites de suites tendant vers +∞
Exercice 25 : On considère la suite dont le terme général est :
un = n² – n
1. Calculer :
u3 =
u10 =
u32 =
u100 =
u4 =
u11 =
u33 =
u101 =
2. Quel semble être le sens de variation de la suite? (on admettra ce résultat pour la suite de l’exercice).
3. On considère l’algorithme suivant :
N prend la valeur 0
U prend la valeur 0
Saisir P
Tant que U est inférieur ou égal à 10^P:
U prend la valeur N^2 - N
N prend la valeur N+1
Fin de boucle
Afficher N-1
a. A quoi sert cet algorithme ?
b. Pourquoi la dernière instruction est « Afficher N-1 » et non pas« Afficher N » ?
4. En utilisant les résultats précédents, pour quelle valeur de n aura-t-on un ...
... supérieur à 101 ?
... supérieur à 102 ?
... supérieur à 103 ?
5. Ecrire un programme sur la calculatrice pour répondre aux questions suivantes :
a. A partir de quel seuil peut-on dire que un supérieur à 104 ?
b. A partir de quel seuil peut-on dire que un supérieur à 105 ?
c. A partir de quel seuil peut-on dire que un supérieur à 106 ?
d. A partir de quel seuil peut-on dire que un supérieur à 107 (attention… une grosse minute de calcul est nécessaire à
la machine) ?
6. Conclusion :
Il semble que pour tout (grand) nombre donné sous la forme 10p, il existe un n tel que …
On dira que :
Exercice 26 : On considère la suite dont le terme général est :
2n
un =
n+1
1. Calculer :
u7 =
u8 =
u9 =
u10 =
u11 =
u12 =
u13 =
u14 =
On admettra que cette suite est strictement croissante.
2. En utilisant les résultats précédents, pour quelle valeur de n aura-t-on un ...
... supérieur à 101 ?
... supérieur à 102 ?
... supérieur à 103 ?
3. a. Compléter l’algorithme suivant, qui permettra de déterminer à partir de quel seuil peut-on dire que un supérieur à
10P , P étant un entier naturel saisi.
N prend la valeur 0
U prend la valeur 1
Saisir P
Tant que U est inférieur ou égal à 10^P:
Fin de boucle
b. Pourquoi la seconde instruction est « U prend la valeur 1 » et non pas « U prend la valeur 0 » ?
4. Ecrire un programme sur la calculatrice pour répondre aux questions suivantes :
a. A partir de quel seuil peut-on dire que un supérieur à 104 ?
b. A partir de quel seuil peut-on dire que un supérieur à 105 ?
c. A partir de quel seuil peut-on dire que un supérieur à 1010 ?
d. A partir de quel seuil peut-on dire que un supérieur à 1020.
6. Conclusion :
Quelle la limite de la suite quand n tend vers + ?
IV) Limites de suites tendant vers 𝓵
Exercice 27 : On considère la suite dont le terme général est :
3 + 4n
un =
1 + 2n
-4
1. a. Calculer (on arrondira éventuellement à 10 ) :
u0 =
u4 =
u5 =
u49 =
u50 =
u100 =
u200 =
u400 =
u600 =
b. Vers quelle valeur la suite semble-t-elle se stabiliser lorsque n tend vers + ?
c. Calculer pour chaque rang la distance entre un et 2 (on arrondira éventuellement à 10-4) :
|u3 – 2| =
|u4 – 2| =
|u5 – 2| =
|u49 – 2| =
|u50 – 2| =
|u100 – 2| =
|u200 – 2| =
|u600 – 2| =
2. On considère l’algorithme suivant :
N prend la valeur 0
U prend la valeur 3
Saisir P
Tant que |U-2| est supérieur ou égal à
10^-P:
U prend la valeur (3+4N)/(1+N)
N prend la valeur N+1
Fin de boucle
Afficher N-1
a. A quoi sert cet algorithme ?
b. Pourquoi la seconde instruction est-elle « U prend la valeur 3 » ?
3. En utilisant les résultats précédents, pour quelle valeur de n aura-t-on |un – 2|…
... inférieur à 10-1 ?
... inférieur à 10-2 ?
5. Ecrire un programme sur la calculatrice pour répondre aux questions suivantes :
a. A partir de quel seuil peut-on dire que |un – 2| inférieur à 10-3 ?
b. A partir de quel seuil peut-on dire que |un – 2| inférieur à 10-4 ?
6. Conclusion : Il semble que pour tout nombre donné sous la forme 10-p, il existe un n tel que …
On dira que :
Exercice 28 : On considère la suite dont le terme général est : un = 3 + (-0,5)n
1. a. Calculer (on arrondira éventuellement à 10-4) :
u0 =
u3 =
u4 =
u5 =
u6 =
u7 =
b. Vers quelle valeur la suite semble-t-elle se stabiliser lorsque n tend vers + ?
c. Calculer pour chaque rang la distance entre un et 3 (on arrondira éventuellement à 10-4) :
|u0 – 3| =
|u3 – 3| =
|u4 – 3| =
|u5 – 3| =
|u6 – 3| =
|u7 – 3| =
2. En utilisant les résultats précédents, pour quelle valeur de n aura-t-on |un – 3|…
... inférieur à 10-1 ?
... inférieur à 10-2 ?
3. Compléter l’algorithme qui permettra de déterminer à partir de quel seuil peut-on dire que la distance entre un et sa
limite (supposée) en + est inférieure à 10-P , P étant un entier naturel saisi.
N prend la valeur 0
U prend la valeur ……
Saisir P
Tant que
Fin de boucle
4. Ecrire un programme sur la calculatrice pour répondre aux questions suivantes :
a. A partir de quel seuil peut-on dire que |un – 3| inférieur à 10-3 ?
b. … inférieur à 10-5 ?
c. … inférieur à 10-10 ?
5. Quelle semble être la limite de la suite quand n tend vers + ?
V) Limites et applications
Exercice 29 : On considère la suite dont le terme général est :
un = n3
a. Calculer :
u0 =
u1 =
u2 =
u3 =
u4 =
u5 =
u10 =
u100 =
u1000 =
b. Quelle semble être la limite de la suite lorsque n tend vers + ?
c. Calculer à l’aide d’un algorithme le rang à partir duquel on a : un 1010
Exercice 30 : On considère la suite dont le terme général est :
un = n
-2
a. Calculer (on arrondira éventuellement à 10 ) :
u0 =
u1 =
u2 =
u3 =
u4 =
u5 =
u10 =
u100 =
u1000 =
u100 000 =
u10 000 000 =
b. Quelle semble être la limite de la suite lorsque n tend vers + ?
c. Calculer à l’aide d’un algorithme le rang à partir duquel on a : un 102
Exercice 31 : On considère la suite dont le terme général est :
-n + 2
un =
3n + 1
-2
a. Calculer (on arrondira éventuellement à 10 ) :
u0 =
u1 =
u2 =
u3 =
u4 =
u5 =
u10 =
u100 =
u1000 =
u10 000 =
u100 000 =
b. Quelle semble être la limite l de la suite lorsque n tend vers + ?
c. Calculer à l’aide d’un algorithme le rang à partir duquel on a : |un – l| 10-3
Exercice 32 : On considère la suite dont le terme général est :
1
un =
n+1
-4
a. Calculer (on arrondira éventuellement à 10 ) :
u0 =
u1 =
u2 =
u3 =
u4 =
u5 =
u10 =
u100 =
u1000 =
b. Quelle semble être la limite l de la suite lorsque n tend vers + ?
c. Calculer à l’aide d’un algorithme le rang à partir duquel on a : |un – l| 10-2 (attention, c’est long !)
Exercice 33 : On considère la suite définie par récurrence par :
u0 = 1
un+1 = 2 un
a. Calculer :
u0 =
u1 =
u2 =
u3 =
u4 =
u5 =
u100 =
u1000 =
b. Trouver une expression de un en fonction de n.
c. En déduire :
u10 =
d. Quelle semble être la limite de la suite lorsque n tend vers + ?
e. Calculer à l’aide d’un algorithme le rang à partir duquel on a : un 109
Exercice 34 : On considère la suite définie par récurrence par :
u0 = 1 000
un+1 = 0,99 un
a. Calculer :
u0 =
u1 =
u2 =
u3 =
u4 =
u5 =
u100 =
u1000 =
b. Trouver une expression de un en fonction de n.
c. En déduire :
u10 =
d. Quelle semble être la limite de la suite lorsque n tend vers + ?
e. Calculer à l’aide d’un algorithme le rang à partir duquel on a : |un – l| 10-1
V) Suites géométriques
Exercice 35 : On considère la suite (un) définie pour tout entier naturel n par un = 3 × 2n
a. Calculer u1 ; u2 et u3 .
b. Exprimer un+1 en fonction de n .
c. Démontrer que (un) est une suite géométrique dont on précisera le premier terme u0 et la raison.
1n
Exercice 36 : On considère la suite (un) définie pour tout entier naturel n par un = -32
a. Calculer u1 ; u2 et u3 .
b. Exprimer un+1 en fonction de n .
c. Démontrer que (un) est une suite géométrique dont on précisera le premier terme u0 et la raison.
Exercice 37 : On considère la suite (un) définie pour tout entier naturel n par un = -5 × (-1)n
a. Calculer u1 ; u2 et u3 .
b. Exprimer un+1 en fonction de n .
c. Démontrer que (un) est une suite géométrique dont on précisera le premier terme u0 et la raison.
Exercice 38 : On considère la suite (un) définie pour tout entier naturel n par un = n²
(un) est-elle une suite géométrique ?
Exercice 39 : On considère la suite (un) définie pour tout entier naturel n par un = 7n
(un) est-elle une suite géométrique ?
-5
Exercice 40 : On considère la suite (un) définie pour tout entier naturel n par un = 3 × 2
(un) est-elle une suite géométrique ?
Dans tous les exercices qui suivent, (un) est une suite géomtrique de raison q.
On rappelle la formule : un = u0.q n
Exercice 41 :
a. On donne u0 = -1 et q = 2 .
Calculer u7 .
1
b. On donne u0 = 7 et q = .
2
Calculer u5.
-1
c. On donne u0 = 243 et q = .
3
Calculer u5 .
Exercice 42 :
a. On donne u3 = 2 et q = 3 .
Calculer u6 .
b. On donne u5 = 2 et q = -5 .
Calculer u9 .
c. On donne u3 = 0,01 et q = -10 .
Calculer u7.
d. On donne u8 = 512 et q = 2 .
Calculer u3.
3
2
e. On donne u2 = et q = .
4
3
Calculer u5 .
Exercice 43 :
a. On donne u2 = 17 et u3 = 51
Calculer q puis u5 .
b. On donne u1 = 7 et u3 = 112
Calculer q puis u6 .
c. On donne u7 = 11 et u10 = 3 773
Calculer q puis u12 .
d. On donne u5 = 41 et u9 = 25 625
Calculer q puis u10 .
e. On donne u4 = 256 et u15 = 0,125
Calculer q puis u18 .
Exercice 44 :
a. Soit (un) est la suite géométrique :
- de premier terme u0 = -3
- de raison q = 2.
Calculer u0 + u1 + … + u10 .
n
b. Soit (un) est la suite géométrique :
- de premier terme u1 = 64
- de raison q = 0,5.
Calculer u1 + … + u12 .
c. Soit (un) est la suite géométrique :
- de premier terme u5 = 5
- de raison q = 0,9.
Calculer u5 + u6 + … + u20 .
Exercice 45 : Un nageur s’apprête à traverser la manche, soit une distance de 21 km.
Pendant de la première heure, il parcourt 2,1 km. Mais à cause de la fatigue, à chaque heure il ne nage que 90% de la
distance nagée pendant l’heure précédente.
1. a. Déterminer un suite géométrique un de premier terme u1 = 2,1 dont chaque terme correspond à la distance nagée
pendant la nème heure.
b. Déterminer u2, u5 et u10.
2. Quelle est la distance parcourue…
a. … en 10 heures ?
b. … en 20 heures ?
c. … en 100 heures ?
V) Suites géométriques et pourcentages
Rappel :
Prendre t %
Augmenter de t %
t
Multiplier par 1 + 100
t
Multiplier par
100
Exercice 46 : Retrouver le coefficient multiplicateur q :
a.
Prendre 5 %
q=
b.
Augmenter de 5 %
q=
c.
Diminuer de 5 %
q=
d.
Prendre 20 %
q=
e.
Augmenter de 20 %
q=
f.
Diminuer de 20 %
q=
g.
Augmenter de 45 %
q=
h.
Diminuer de 15 %
q=
i.
Augmenter de 37 %
q=
j.
Diminuer de 52 %
q=
Exercice 47 : Retrouver la phrase (Augmenter/Diminuer) et le pourcentage.
a.
q = 0,97
……………… de ……… %
b.
q = 1,08
……………… de ……… %
c.
q = 0,5
……………… de ……… %
d.
q = 1,4
……………… de ……… %
e.
q = 2,5
……………… de ……… %
f.
q = 0,12
……………… de ……… %
g.
q = 0,99
……………… de ……… %
Diminuer de t %
t
Multiplier par 1 – 100
h.
q = 1,125
……………… de ……… %
i.
q = 0,71
……………… de ……… %
j.
q = 0,873
……………… de ……… %
Exercice 48 : Calculer (résultats arrondis à l’unité) :
a. 267 augmenté de 25 % :
b. 267 diminué de 41 % :
c. 395 augmenté de 102 % :
d. 2 400 augmenté de 12,5 % :
e. 4 500 diminué de 7,5 % :
Exercice 49 : On donne u0 = 500 et q = 1,05.
a. Calculer u4 (arrondir à l’unité).
b. Compléter la phrase « Un capital de ……… € placé à ……… % par an s’élèvera à ……… € au bout de ……… ans.
Exercice 50 : On donne u6 = 1 559 et q = 1,0375.
a. Calculer u0 (arrondir à l’unité).
b. Compléter la phrase « Un capital de ……… € placé à ……… % par an s’élèvera à ……… € au bout de ……… ans.
Exercice 51 : On donne u0 = 5 000 et u3 = 5 854.
a. Calculer q (arrondir au millième).
b. Compléter la phrase « Un capital de ……… € placé à ……… % par an s’élèvera à ……… € au bout de ……… ans.
Exercice 52 : Un vendeur reçoit une prime exceptionnelle de 2 000 € qu’il décide immédiatement de placer à un
taux annuel de 4%.
a. Définir une suite géométrique de premier terme u0 = 2 000 qui permette de déterminer le capital à la fin de chaque
année.
b. A combien s’élèvera le capital au bout de 1 an ? 2 ans ? 5 ans ? 10 ans ? 20 ans ?
Exercice 53 : Un salarié vient de recevoir une prime de 1 500 € qu’il veut placer pendant 8 ans. Il hésite entre :
- le placement A : 0,7 % par mois ;
- le placement B : 8,5 % par an ;
- le placement C : 38% tous les 4 ans
A l’aide d’une suite géométrique que l’on précisera :
a. Calculer le capital au bout de 8 ans avec chacun des placements.
b. Calculer le taux annuel des placements A et C.
Exercice 54 : Un vendeur reçoit chaque année une prime de 2 000 € qu’il place systématiquement, toujours à un
taux annuel de 4%.
a. A combien s’élèvera le capital au bout de 1 an ? 2 ans ? 3 ans ?
b. A combien s’élèvera le capital au bout de 20 ans ?
VI) Suites géométriques et limites
Exercice 55 : Dans chaque cas, indiquer la limite de qn quand n tend vers + :
a.
q = 4 donc lim qn =
n +
b.
c.
d.
e.
2
q = donc lim qn =
3
n +
q = 1 donc lim qn =
n +
3
q = donc lim qn =
2
n +
q = 99% donc lim qn =
n +
Exercice 56 : Dans chaque cas, indiquer la limite de un quand n tend vers + :
u0 = 3
a.
donc lim un =
un+1 = 2un
n +
u0 = -1
b.
donc lim un =
un+1 = 5un
n +
u0 = 10
c.
donc lim un =
un+1 = 0,99un
n +
u0 = -2
d.
donc lim un =
un+1 = un
n +
u0 = 64
1 donc lim un =
e.
n +
un+1 = 2un
Exercice 57 : Dans chaque cas, indiquer la limite de un quand n tend vers + :
a.
un = 3n donc lim un =
n +
b.
un = -2 3 donc lim un =
c.
un = 1200 (1/2) donc lim un =
d.
un = 0,999n donc lim un =
e.
un = 0,5 1,1n donc lim un =
n
n +
n
n +
n +
n +
Exercice 58 : On considère l’algorithme suivant :
N prend la valeur 0
U prend la valeur 1
Tant que U<5000
N prend la valeur N+1
U prend la valeur 2^N
Fin de boucle
Afficher N
a. Quelle est la suite géométrique utilisée ?
b. Quelle est sa limite quand n tend vers + ?
c. Cet algorithme permet de déterminer le plus petit entier n remplissant une condition. Laquelle ?
Exercice 59 : Dans chaque cas, déterminer à l’aide d’un algorithme (inspiré de l’exercice précédent) le plus petit
entier n remplissant la condition.
a. Soit q = 2. On veut qn > 10 000
1
b. Soit q = . On veut qn < 10-3
3
c. Soit q = 1,05 . On veut qn > 2
d. Soit un = 500 0,99n . On veut un < 250
e. Soit un = 500 1,065n . On veut un < 1 000
Exercice 60 : Un pneu est gonflé à une pression initiale de 2,8 bars. Un problème d’étanchéité de sa valve lui fait
perdre 2% de sa pression chaque jour.
a. Préciser le premier terme et la raison de la suite géométrique qui modélise le problème.
b. Déterminer à l’aide de cet algorithme (à compléter), au bout de combien de jour la pression sera inférieure à 2 bars.
N prend la valeur 0
U prend la valeur ......
Tant
que
..........................
N
prend la valeur N+1
U
prend
la
valeur
.................
Fin de boucle
Afficher N
Exercice 60 :
a. Un capital A de 5000€ est placé à un taux annuel de 5%.
A l’aide d’une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison, et d’un algorithme, déterminer au
bout de combien d’années ce capital sera au moins doublé.
b. Un
capital
B
de
3000€
est
Indiquer au bout de combien d’années ce capital sera au moins doublé.
placé
au
même
c. Un capital C de 3000€ est placé à un taux annuel de 8%, la même année que le capital A.
Compléter l’algorithme, puis indiquer au bout de combien d’années le capital C dépassera le capital A.
N prend la valeur 0
A prend la valeur ……………………
C prend la valeur ……………………
Tant que …………………………………………………………
N prend la valeur N+1
A
prend
la
valeur
…………………………………………
C
prend
la
valeur
…………………………………………
Fin de boucle
Afficher N
taux.
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