DEVOIR SURVEILLÉ N°9
Produit scalaire, fonctions dérivées,
applications à la dérivation
Le mercredi 22 avril 2015
Le devoir est noté sur 30 points : l’ensemble des exercices est sur un total de 29 points et
1 point sera attribué pour la présentation et la qualité de la rédaction.
Exercice 1 (5 points)
Dans un repère orthonormé du plan, on considère les vecteurs non nuls u ( a ; b ) et v ( c ; d ) .
On s'intéresse à l'algorithme suivant :
Variables
a et b sont des nombres réels dont l'un, au moins, est non nul
c et d sont des nombres réels dont l'un au moins est non nul
x, y, z, t sont des nombres réels
Début
Entrée
Saisir ( a, b, c, d )
Traitement
x prend la valeur ac + bd
y prend la valeur
a2 + b2
c2 + d 2
x
t prend la valeur
yz
z prend la valeur
Sortie
Afficher t
Fin
1) Appliquer cet algorithme pour a = 3 , b = −5 , c = 4 , d = 1 .
2) Que représente les variables x, y et z pour les vecteurs u et v .
3) Que calcule cet algorithme ?
Exercice 2 (4 points)
1) On considère un même triangle ABC donné de quatre
façons différentes.
Déterminer dans chacun des cas le produit scalaire AB • BC .
=π .
a) AB = 8 cm , BC = 10 cm et ABC
3
b) AB = 8 cm , BC = 10 cm et AC = 2 21 cm .
(
)
2) Dans le plan muni d’un repère orthonormal O ; i , j , les points A, B, C et D ont pour
coordonnées respectives (1 ; − 1) , ( 3 ; 3 ) , ( −4 ; 4 ) et ( 2 ; 1) .
a) Calculer AB • CD .
b) Que peut-on en déduire pour les droites ( AB ) et (CD ) ?
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Première S
Lycée français Théodore Monod - Nouakchott
Exercice 3 (5 points)
ABC est un triangle tel que AB = 5, BC = 10 et AC = 8 .
1) Montrer que BA • BC = 30,5 .
, puis une valeur approchée à 0,1 degré près de l’angle ABC
.
2) Déterminer cos ABC
(
)
3) Soit H le projeté orthogonal de A sur ( BC ) . Calculer AH. Donner un arrondi du résultat à
10 −2 près.
4) Calculer l’aire du triangle ABC. Donner un arrondi du résultat à 10 −2 près.
Exercice 4 (3 points)
Soient ABC un triangle isocèle en A et I le milieu du segment [BC ] .
Démontrer que AB • AC = AI 2 − I B 2 .
Exercice 5 (4 points)
Calculer la fonction dérivée de chacune des fonctions suivantes :
1) f ( x ) = −3 x 4 + 4 x3 + 3 et Df = R ;
x2 + 1
et Dg = R − {−1} ;
x +1
3) h ( x ) = x ( 2 x2 − 3 x + 3 ) et Dh = ]0 ; + ∞ [ .
2) g ( x ) =
Exercice 6 (8 points)
1) Soit f la fonction définie sur [5 ; 20] par f ( x ) =
a) Calculer sa dérivée et vérifier que f ′ ( x ) =
x2
2
1000
+
.
x
( x − 10 ) ( x2 + 10 x + 100 )
x2
.
b) Construire le tableau des variations de f sur [5 ; 20] .
Quel est le minimum de f sur [5 ; 20] ?
2) Une casserole est constituée d'un fond de rayon x et d'un cylindre de hauteur h (il n'y a
pas de couvercle et le manche n'est représenté ici que pour le décor).
a) Exprimer la surface F du fond en fonction de x, puis la surface latérale L du cylindre et
le volume v de la casserole, en fonction de x et h.
b) On souhaite construire une casserole de volume imposé 1 000π cm3 .
Calculer h en fonction de x et exprimer la surface totale de tôle S ( x ) nécessaire.
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Première S
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3) a) Montrer que S ( x ) = 2π f ( x ) où f est la fonction étudiée dans la question 1).
En déduire les variations, sur l'intervalle [5 ; 20] , de la fonction S.
b) Quelles sont les dimensions d'une casserole de 1 000π cm3 qui utilise le moins de tôle
possible ?
Quelle est alors la surface utilisée ?
Rappels : L'aire d'un disque de rayon r est π r 2 ; le périmètre d'un cercle de rayon r est 2π r .
On obtient le volume d'un cylindre en multipliant l'aire de la base par la hauteur.
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