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Chapitre IX
Le logarithme népérien
Extrait du programme :
I.
Définition et premières propriétés
Rappel : La fonction exponentielle est continue et strictement croissante sur  à valeurs dans ]0 ;+[.
D’après le corollaire du TVI, l’équation e x = a admet une unique solution.
Définition : On appelle logarithme népérien du réel strictement positif a, l’unique solution de
l’équation e x = a, et on le note ln a.
eb=a
 b = lna
On a donc l’équivalence : b R
 a]0,+[


La fonction logarithme népérien, notée ln, est donc définie sur ]0 ;+[ et est telle que : x ln ( x )
Conséquences :
- ln 1 = 0 car e x = 1  x = 0
- ln e = 1 car e x = e  x = 1
1
- ln   = − 1 car e x = 1  x = − 1
e
e
-
pour tout x , ln( e x ) = x
pour tout x  ]0 ;+[ ; e lnx = x
II.
Propriétés algébriques
Théorème : Relation fonctionnelle
Pour tous réels a et b strictement positifs :
ln ( a  b ) = ln ( a ) + ln ( b )
Démonstration :
Pour tout réels a et b strictement positifs,
e ln ( a  b ) = a  b = e ln ( a )  e ln ( b ) = e ln ( a ) + ln ( b )
et donc par bijection de l’exponentielle : ln ( a  b ) = ln ( a ) + ln ( b )
CQFD
Propriétés : Pour tous réels a et b strictement positifs et tout entier relatif n,
1
 ln   = − ln b
b
a
 ln   = ln a − ln b
b
1
 ln ( a ) = ln a
2
 ln ( an ) = n ln a
Démonstration :




ln ( b ) + ln 
1
1
1
= ln  b ×  = ln 1 = 0 d’où ln   = − ln b
b
b

b
a
1
ln   = ln a + ln   = ln a − ln b
b
b
ln a = ln ( a × a ) = ln ( a ) + ln ( a ) = 2ln ( a )
Par récurrence en utilisant la relation fonctionnelle.
CQFD
Point-méthode 40 : Transformer une expression à l’aide des propriétés
5 × 23 
On donne A = ln 
, B = ln ( 7 + 2 ) + ln ( 7 − 2 ) et C = 2ln2 + 0,5ln3 − ln5
 9 
Exprimer A et B en fonction de ln2, ln3 et ln5.
(1) ln ( a  b ) = ln ( a ) + ln ( b )
Ecrire C à l’aide d’un seul logarithme.
a
(2) ln   = ln a − ln b
b
Solution : On utilise les propriétés algébriques de la fonction ln.
1
5 × 23 
(3) ln ( a ) = ln a
A = ln 
= ln ( 5 × 23 ) – ln 9
(2)

2
 9 
n
(4) ln ( a ) = n ln a
= ln ( 5 ) + ln ( 23 ) – ln ( 32 )
(1)
A = 0,5ln ( 5 ) + 3ln ( 2 ) − 2ln ( 3 )
(3) et (4)
7 + 2 ) ( 7 − 2 ) ) (1)
=ln ( 7 − 4 )
B= ln ( 3 )
B = ln ( 7 + 2 ) + ln ( 7 − 2 ) = ln ( (
C = 2ln2 + 0,5ln3 − ln5 = ln ( 22 ) + ln( 3 ) –ln5
= ln ( 4 3 ) − ln5

3
C = ln  4

5


(3) et (4)
(1)
(2)
III.
Etude de la fonction logarithme népérien
1. Continuité et dérivabilité
Propriété : La fonction ln est continue sur ]0 ;+[
Démonstration : Admise.
Cependant, les fonctions ln et exp étant réciproques, on admet que la fonction réciproque d’une
fonction continue est continue. (Graphiquement, on comprend intuitivement que le symétrique par
rapport à y = x d’une courbe « en un seul morceau » est aussi en « un seul morceau ». )
Travail préliminaire à la dérivabilité :
ln ( x ) − ln ( a )
Etudions lim
où a est un réel strictement positif
x  a
x−a
On pose X = ln ( x ) et A = ln ( a ) (donc x = e X et a = e A)
Comme ln est continue, xlim
ln ( x ) = ln ( a ), donc si x tend vers a, alors X tend vers A.
a
lim
a
x
ln ( x ) − ln ( a )
X−A
1
= Xlim
= Xlim
AeX−eA
AeX−eA
x−a
X−A
e −e
= e A (car exp’ ( x ) = e x)
X−A
ln ( x ) − ln ( a )
1
1 1
D’où, xlim
= Xlim
=
=
a
AeX−eA eA a
x−a
X−A
Or exp est dérivable sur  donc Xlim
A
X
A
Propriété : La fonction ln est dérivable sur ]0 ;+[ et on a : ln’ ( x ) =
Remarque : On a enfin trouvé une primitive de
1
x
1
!
x
2. Variations
Propriété : La fonction ln est strictement croissante su ]0 ;+[
Démonstration :
0
x
+
1
x
ln x
3. Signe de la fonction ln
0
x
1
On en conclut :
0
ln x
x
ln x
0
1
0
+
+
4. Résolution d’équations et d’inéquations avec ln
En remarquant que ln 1 = 0, les propriétés suivantes résultent directement de la stricte croissance de la
fonction ln.
Propriétés : Pour tout réels a et b strictement positifs :
 ln a = ln b  a = b
 ln a < ln b  a < b
 ln x < 0  x < 1
 ln x > 0  x > 1
Point-méthode 41 : Résoudre des équations et des inéquations avec ln
1. Résoudre chacune des équations suivantes :
a. 4 e x − 7 = 5
b. ln ( 1 − x ) = 3
c. ln ( 5 + 3x ) = ln ( 9 − x² )
2. Résoudre chacune des inéquations suivantes :
a. ln ( 5 − x ) ≤ − 2
b. ln ( x² − x − 6 )≤ ln ( 3x − 1 )
c. 3 e 2x − 21 > 0
Solution :
1. a. 4 e x − 7 = 5  e x = 3
ce qui revient à ln ( e x ) = ln3 On applique la fonction ln des 2 côtés de l’équation
 x = ln3 d’où s={ln3}
b. Avant toute transformation il faut préciser l’ensemble sur lequel on travaille : l’ensemble
de définition.
ln ( 1 − x ) = 3
on doit avoir 1 − x > 0, soit x < 1
Il faut ensuite revenir à une équation du type ln a = ln b ou bien ln a = b
ln ( 1 − x ) = 3
On applique la fonction exp de chaque côté
3
1−x=e
x=1−e3
On ne garde que les solutions appartenant à l’ensemble de définition
Or 1 − e 3 < 1, donc cette solution est valable. D’où s={1 − e 3}
c. ln ( 5 + 3x ) = ln ( 9 − x² )
−5
3
Et 9 − x² > 0  − 3 < x < 3
3
Ensemble de définition : On doit avoir 5 + 3x > 0 x >
-3
]
−5
3
]
[
Résolution :
ln ( 5 + 3x ) = ln ( 9 − x² )
 5 + 3x = 9 − x²
Ce qui revient à
On applique la fonction exp de chaque côté
-5
Avec x ] ; 3[
3
 x² + 3x − 4 = 0
x=−4
ou x = 1
-5
Avec x ] ; 3[
3
-5
-5
Vérification : − 4] ; 3[ et 1] ; 3[
3
3
donc s={1}
−5
<x<3
3
2. a. ln ( 5 − x ) ≤ − 2
Ensemble de définition : On doit avoir 5 − x > 0 x < 5
Résolution : ln ( 5 − x ) ≤ − 2 On applique la fonction exp qui est croissante de chaque côté
5 − x≤ e −2
− x≤ e −2 - 5
x ≥ 5 − e −2
Vérification : On doit avoir x]−  ;5[ ∩ [5 − e − 2 ;+[, on en déduit : s = [5 − e − 2 ;5[
b. ln ( x² − x − 6 )≤ ln ( 3x − 1 )
Ensemble de définition : On doit avoir x² − x − 6 > 0  x < − 2
ou
x>3
−2
1
Et 3x − 1 > 0  x >
[
]
3
1
Ce qui revient à dire que x > 3
3
Résolution : ln ( x² − x − 6 )≤ ln ( 3x − 1 )
x² − x – 6 ≤ 3x – 1 car la fonction exp est croissante.
x² − 4x – 5 ≤ 0
et donc − 1 ≤ 𝑥 ≤ 5
−1
3
]
Vérification : On doit avoir x]3 ;+[∩[-1 ;5]
[
Et ainsi, s = ]3 ;5]
3
]
5
]
c. 3 e 2x − 21 > 0
On se ramène à une équation du type : e a > b
e
2x
(on est sur )
>7
 2x > ln7
ln7
x>
2
Donc s = ]
car la fonction ln est croissante sur 
𝒍𝒏𝟕
; +∞[
𝟐
5. Limites de la fonction ln
Propriété : lim + ln x = − 
x

0
Démonstration :
 Dire que lim
x
 +
x
lim
ln x = + 
 +
ln x = +  signifie que l’on peut rendre ln ( x ) aussi grand que l’on
veut à condition de prendre x suffisamment grand.
Or, quelque soit A > 0, on a ln ( x ) > A dès que x > e A
Donc l’intervalle ]A ;+[ contient toutes les valeurs de ln( x ) dés que x est suffisamment grand (dans
]e A;+[ )
1
 On pose X =
x
1
lim + ln x = X lim
ln =
lim − ln X = − 
CQFD
x  0
 +
X  +
X
Propriété : croissances comparées
(1) lim ln x = 0 et (2) lim + x ln x = 0
𝑥→+∞ x
x0
Démonstration :
(1) On pose X = ln x donc x = e X
Alors lim
x
 +
(2) On pose X =
X =+
et on sait que
X
X
lim
= 0 donc lim ln x = 0
 + X
𝑥→+∞
e
x
1
x
− ( ln X )
1 1
−1
donc lim + x ln x = lim
ln
= lim
ln ( X ) = lim
=0
𝑋→+∞ X
𝑋→+∞
X
 X  𝑋→+∞ X
x0
CQFD
Propriété : En utilisant le nombre dérivé en 1
ln ( 1 + x )
ln x
(1) lim
=1
(2) lim
=1
x  0
x

1
x
x−1
ln ( 1 + x )
ln ( 1 + x ) − ln ( 1 )
1
= lim
= ln’ ( 1 ) = = 1
x

0
x
1+x−1
1
ln x
ln x – ln 1
1
(2) lim
= lim
=ln’ ( 1 ) = = 1
x  1 x−1
x  1
x−1
1
Démonstration : (1) lim
x

0
CQFD
6. Courbe représentative de la fonction ln
On peut ajouter les limites au tableau de variation précédemment établi :
0
x
1
+
+
0
ln x
-
Remarque : la tangente à la courbe au point d’abscisse 1 admet pour équation réduite : y = x − 1
5
4
3
2
1
0
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
-1
-2
-3
-4
-5
Remarque : les fonctions ln et exp étant réciproque l’une de l’autre, leurs
représentations graphiques sont symétriques par rapport à la droite d’équation y = x
-
-
-
-
-
0
1
2
3
4
5
Point-Méthode 41 : Etudier les variations d’une fonction contenant ln
Dresser le tableau de variation complet de la fonction f définie sur ]0 ;+[ par : f ( x ) = xlnx − 3x
Solution :
On commence par calculer les limites aux bornes de l’ensemble de définition :
lim xlnx = 0 et lim 3x = 0 donc lim f ( x ) = 0
x

x
lim
xlnx = +  et lim − 3x = − 
 +
x  +
0
x

0
x

0
on a une forme indéterminée
Or f ( x ) = xlnx − 3x = x ( lnx − 3 )
x
lim
ln − 3 = +  donc lim f ( x ) = + 
 +
x  +
On dérive en procédant comme tout autre fonction, en faisant attention à repérer les produits
1
f ’ ( x ) = lnx + x × − 3 = lnx – 2
x
On trouve le signe de la dérivée en résolvant une INEQUATION : lnx − 2 > 0  lnx > 2  x > e 2
x
0
f'
f(x) 0
f ( e ) = e ln ( e ) − 3 e
=2e2−3e2=−e2
2
2
2
2
+
e2
−
+
+
−e2
Fonction composée ln ( u )
IV.
Propriété - dérivée: Soit u une fonction dérivable et strictement positive sur un intervalle I. On note
u’ sa dérivée. Soit f la fonction définie sur I par : f ( x ) = ln [ u ( x ) ] alors
u’ ( x )
u’
 f est dérivable sur I et, pour tout x appartenant à I, f ’ ( x ) =
d’où ( ln u ) ’ =
u
u(x)
 f et u ont le même sens de variation
Démonstration :
 on applique le théorème de dérivation d’une fonction composée.
u’ ( x )
 f’(x)=
et u est strictement positive, donc f ’est du même signe que u.
u(x)
CQFD
Point-Méthode 42 : Etudier une fonction de la forme ln u
Etablir les tableaux de variations complets des fonctions suivantes :
a. f ( x ) = ln ( x² − 36 ) sur I=]− ; − 6[
x 
b. g ( x ) = ln 
sur J = ]0 ;2[
 4 − x² 
Solution :
a. On calcule les limites aux bornes de l’intervalle de définition (on remarque d’ailleurs que sur
cet intervalle, la fonction u ( x ) = x² − 36 est bien strictement positive)
lim x² − 36 = +  donc lim f ( x ) = + 
x
 −
lim − x² − 36 = 0+ donc
x  −6
x
 −
lim − f ( x ) = − 
x  −6
Pour les variations, si on connait le sens de variation de u, on en déduit celui de ln ( u ).
Ici f ( x ) = ln (u( x )) avec u ( x ) = x² − 36 dont on connait les variations sur I, donc f suit
les mêmes variations.
u admet un minimum en
–b
= 0 donc elle est strictement décroissante sur I.
2a
Ainsi,
x
-
-6
+
Ln x²
-
b. g ( x ) = ln 
x 
 4 − x² 
x
= 0+
4 − x²
lim − x = + 
x  2 4 − x²
x
lim
 0+
donc lim + g ( x ) = − 
x

0
donc lim − g ( x ) = + 
x

2
Si on ne connait pas les variations de u, on utilise la dérivée de ln ( u ) =
u’
u
x
donc u’( x ) = 4 − x² − x ( − 2x ) = x² + 4
4 − x²
(4 − x²)²
(4 − x²)²
u’( x )
Donc g’ ( x ) =
= x² + 4  4 − x² = x² + 4
x
u( x ) (4 − x²)²
x ( 4 − x² )
x² + 4 > 0 , x > 0 et 4 − x² > 0 sur ]0 ;2[ par conséquent, on a le tableau de variation suivant :
u(x)=
x
0
g'
g(x)
2
+
+
−
Propriété- primitive : Soit u une fonction dérivable sur un intervalle I et qui ne s’annule pas sur cet
intervalle.
u’ ( x )
La fonction g : x 
admet alors des primitives sur l’intervalle I.
u(x)
L’une des primitives de g sur I est la fonction G = ln|u|
Exemple : Déterminer une primitive de g ( x ) =
g est de la forme
3x²
sur \{-2}
x −8
3
u’
et est donc la dérivée de ln( u ) on peut donc penser que G ( x ) = ln ( x3 − 8 )
u
Problème : x3 – 8 n’est pas strictement positive sur \{-2}, elle l’est sur ]2 ;+[ donc G n’existe
que sur ]2 ;+[
C’est pourquoi, on prendra comme primitive la fonction : G1 (x) = ln ( |x3 − 8| )
En dérivant G1, on peut vérifier que cela fonctionne :
Sur ]2 ;+[ : G1 (x) = ln ( |x3 − 8| ) = ln ( x3 − 8 )
et G’1 (x) = g ( x )
Sur ]- ;2[ : G1 (x) = ln ( |x3 − 8| ) = ln ( − x3 + 8 ) et on a sa dérivée qui est donc :
G’1 (x) =
− 3x
3x
=
=g(x)
− x3 + 8 x3 − 8
Ainsi, G1 (x) = ln ( |x3 − 8| ) est bien une primitive de g sur \{-2}.
V.
Le logarithme décimal
Définition : la fonction logarithme décimal (ou logarithme en base 10,), noté log, est la fonction
ln x
définie sur ]0 ;+[ par : log x =
ln 10
En particulier, log 1 = 0 et log 10 = 1
Très utile en physique : calcul de pH, décibels …
Propriétés : ln et log possèdent les mêmes propriétés de calculs, de variations etc…
En particulier, log ( 10n ) = n log ( 10 ) = n
Exemples :
3
log 1000 = log 10 = 3;
–4
log (0,0001) = log 10 = – 4 ;
log 3 = ln 3  0,4771
ln 10
log 300 = log 3 + log 100 = log 3 + 2  2,4771
Point-méthode 43 : Utiliser des logarithmes décimaux
En chimie, la formule pH = − log [ H3O+] donne le potentiel hydrogène d’une solution en fonction de
la concentration en ion hydronium H3O+ exprimée en mol par litre.
1. Calculer le pH pour [ H3O+] = 10− 3 mol.L− 1
2. Si le pH d’une solution est de 9, quelle est la concentration en ion H3O+ de cette solution ?
Solution :
1. pH = − log [ H3O+] = − log ( 10− 3 ) = − ( − 3 ) = 3
ln x
2. La formule log x =
permet de se ramener aux propriétés de la fonction ln
ln 10
ln [ H3O+]
9 = − log [ H3O+] = −
ln 10
+
Donc ln ( [ H3O ] ) = − 9ln10
ln ( [ H3O+] ) = ln ( 10− 9 )
Et ainsi : [ H3O+] = 10− 9 mol.L− 1