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{
Co pítulo I
Impetu e impulsión
IMPETU_de.uncuerpo: masadel cuerpo x velocidaddel cuerpo: rrv.
cuya direccióny'sentidocoincidecon el de la velocidad.
F! ltrytu es una magnitud,vectorial
--- del
(N.
Z. El lrnpetutambiénse denominacantidadde movimiento.)
Lag unidades
de lmpetuson: utm"m/s en el sistematerrestre,
kg.m/s en el mks y g.cm/s
en el cgs.
IMPULSION : fuerza x tiempo duranteel cual actúa la fterza: Ft.
La impulsiónesuna magnitudvectorialcuya direccióny sentidocoincidecon el de la fuerza.
Lasunidades
de impulsiónson:kp.s en el sistema
terreslre,
N.s en el mksy dina.s en el cgs.
IMPULSION E IMPETU'.
el impetude un cuerpoal quesele comunica
.El incrementoqueexperimenta
una impulsiónes numéricamente
iguala lacitada impulsión.-Si
una fuerza¡actúá sobreun cuerpo
de masa¿r duranteun tiempo¡ le hacecambiarde velocidaddesdeun valor inicialy0a otro final v¿,
En estascondiciones
se puedeescribir:
Impulsión: incremento
delmpetu
F t:m (y ¿_vo)
Estaecuaciónindicaque la unidadde impulsión,en un sistemacualquiera,
es iguala la correspondient un
c i d a dd e l mp e tu .P o r ta n to , l k p .s:
l utm.m/s y l ñ.s:l ki .mA .
CONSERVACIONDEL IMPETU. En un choqueentredos o más cuerpos,el vectorresultante,o
sumade los vectores
lmpetu,después
del choqueesigualal correspondienie
a los lmpetusantesde é1.
I¿ sumaalgebraica
de lascomponentes
dellmpetuenuna direccióncualquiera,
no variapor efectodel
choque.
Por tanto, en el choquede dos cuerposde masasft\ ! tnz,
o sca,
Impetutotal antesdel choque: lmpetutotal después
del choque
tnl l\ *
tntuz :
tltt vt -F mz v¡
siendo ül!ü¡: velocidades
de los cuerpos1 y 2 antesdel choque.
rr, v¡: velocidades
de los cuerposI y 2 después
del choque.
COEFICIENTE DE RESTITUCION. En el choqueentredoscuerpos,
el coeficiente
de restitucióne es
un númeroque.expresa
la relaciónentrela velocidadrelativacon que seseparandespués
del choque
y la correspondiente
de aproximaciónantesde é1,
e:
vz-
vt
üt-üt
siendour,¡l¡ : velocidades
de los cuerposI y 2 antesdel choque.
vs vz: velocidades
de los cuerposI y 2 después
del choque.
(loscuerposcon. _ Si el choqueestotalmenteelástico,e : l. Si el choqueestotalmenteinelástico
tinúanjuntos el movimiento),e : 0. En todos los demástipos de choques,¿ es un númeiocompr endidoen tre 0 y l .
62
fÉ
T\{PETU
E IUFLTI.SIOT
PROBIEI}IAS RESUELTOS
ielocidad inicial de
t*/s'
¿o
l.U na ba lad eSg se dispar ahorla
iz ont
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k
g
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S
a
b
iendo.quela
dtl:;ü;;';'ál
"tüujut-lt
después
bala
y ie
velocidad del uroque
la bala'
Solución
Sea elsiste m a( bloquef bala) . Lav eloc idady ' p o r t a n t ó , e l í m p e t u d e l b l odel
q uchoque
eantesde!choqueescero.
del sistemadespués
del choque : ímpetu
Impetu del sistemaantes
bara)
**'ioi'i 3:
x verocidad
masa
üffii";jT'i"lrt:,[7oque
i
*
103cm/s : 450 m/s'
de donde,v : 45 x
mae,lryl1.::.ff.3;J"',"1"iÉ.Trliil?il;:ii:,ü':i"1fii.Tlri:.l[Í:;"
2.oo¡
de30Y.50
"'/'j_:ifi".:;;;i¡;r.
sabiendoque Pern
totoliLunuo
por las dosmasas'
del rmpetual sistemaformado
conservación
la
de
principio
el
,'ntx"":(;':t3:f
:Y;l:H¡.::ltriii?sistemadespuéig"T:1i:
r^s-.t#lXlXi¡tj!
bala'de
horizo¡talmente'una
3. sedispara
o'.'nÍri"3;:Íil:'"0:.'::?J;:üi"ü;ñ'üt""d:
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á,,nu¿"'"
I \
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porenur'r4
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: l0 cm
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artura
:l3"i11Hl?t':ii""i
""ü;;;;una
áliu poriiioninitiut'
I
Solución
'!-1^-^-+inmediatamente
qlog}:i^:ala)
La velocidad Iz clel sistema
que adquirirla cavenoo
i"
despuésd"l "ttoqut"t'^i'gt"i "de l0
'*r":ioad
cm'
aitura
tiürLn.,"nt. ¿es¿eu.a
v:Vfen:16(xmFto¡ '¡j:
t'+m¡s
choque,
(bloque^* b¿la). Antes del
Considérese .*."."
cero'
es
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lmpetu
su
leposo'
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pá''ij"e"o"'sobre
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ixrib"i't:,ff'H.l:"flH:Tl3á[
Solución
," :,E"il'ü? ,?fflit
ácsnués
del choque.
después
perota
de,^ra-Ár^ra
j"*i"r"iTÁ:"'o
10)lm/s
r x oprr:= 6"git-t"?-x tr5-(-
es
La velocidad inicial
kp
F: 63'8
g.
cañón
5.un
la velocidad v i:.,.i:J:,,r"T:,:Lr"il6"*ti"ii"!,:r"-T:ii.l,'i::Í11ffi'il#"'$'$
hallareltiempoquetardará.n¿.,"n.,11],iü"J¡i"""i"recorridahastadetenerse.
IMPETU E IMPULSION
Solución
'
o) sea el sistema(cañón * proyectil). El ímpetu del mismo antes del disparo es cero.
Impetu del sistemadespuésdel choque : lmpetu del sistemaantesdel choque
l / 9, 8ur m . x 500m / s+ 250/ 9, 8ut mx y : 0
v: _2mls
El signomenosindicaque el cañónse mueveen sentidocontrarioal proyectil.
ó) Impulsiónenel sentidodel movimientodel cañón : incrementodel ímpetuen el sentido
del movimiento
del cañón.
Ft: m ( v , - v o )
- 200k p x t : 2 5 0 l 9 , B u t m x ( 0 _ 2 ) m l s
r:0,2j5s.
Obsérveseque la fuerza ¡esistenteF actúa en sentido contrario al del movimiento del
cañón y qu€
por ello,figuracomo negativaen la ecuaciónanterior.
c) Como Ia fuerza resistentees constante,el movimiento del cañón es uniformemente
acelerado.
Distancia: velocidadmedia x tiempo : ,lre + 0) m/s x 0,25s :0,25 m
6'
Un tractor de 7 500 kg marcha hacia el este con una velocidad de 5 m/s y choca
con un automóvil
de I -500 que lleva una velocidad de 20 m/s y se dirige en la direccién sudeste
_kg
formando 30o con
el oeste.Los dos vehiculos.qued.an
empotradós despuésáel choqu-. Caicular ra verociaaállá ¿¡r..ción que llevarán despuésdel mismo.
(o)
Solución
ComponentesE-O del Impetu
ComponentesN-S del impetu
T r ac t or : + 7 5 0 0 x 5
-* 3 7 5 0 0
Automóvil:
- 1500x 20cos30o: -260@
+lt 5oo
Tractor:
O
Automóvil:- I 5oox 20sen30o: _ 15mó
"15m-
Pgrt-a¡19'-e!
ímpeturesultante
delsistema
tieneunacompgnente
de I | 500kg . m/s,dirigidahaciael este
y unade | 5 000kg . m/shaciael sur,comoindicala Fig.(ó).'
Imperuresultante
JR=, lfiT jOoF+ (_ l j00of : l8 900kg.m/s
velocidad
: :tEqlglt'tt"ma
delsistema
lQo1g:!t-:- ? r nr/c
masadelsisrema-- -!a
(i 5OO
'" "'ts
x t jOOltgDirección de R:
7.
rc 0 *-
##
: 1,30 de donde 0 : 52oS desdeE
calcular la.fuerza ejercida sobre una superficie fija por un chorro
de agua
normal a ella que salepor una tubería de 3 cm de diá¡netro con
una n.ló"¡o"a
horizontal de 20 m/s,
que el agua sale paralela f","p..n.¡.. p.ro
llbiendo
específicodel agua, I 000
"
kp/rn'.
Solucién
.., AI cabo^deur segundo,la masade aguacontenidaen un cilindro de 5 cm de
diámetrov 20 m de rongitudpierdetoda sñelociJad horizonrard; i0
;/,
con la suoerficie.
"í.to"",
IMPETU E IMPULSION
65
r/rr(5/100m)8 x 20 m : 0,039ms
Volumen: áreade la secciónrecta x longitu¿ :tlrrdzl:
Pesode estevolumen : 0,039mB x I 000 kp/m3 : 39 kp
SeaF: fuerza ejercidapor la superficiesobre estevolumen de agua. Adoptando como positivo el movimientohaciala derecha:
Impulsiónen direcciónhorizontal: incrementodel lmpetuen direcciónhorizontal
Fx
Ft : m ( v ¿ _ v o )
I s : 3919,8 u t m x ( 0 - 2 0 ) m / s
de donde F: - 80 kp, es decir, hacia la izquierda.Evidentemente,la fuerza del chorro sobre la superñcie
también vale 80 kp, pero está dirigida hacia la derecha(tercera ley de Newton).
8 . Una pelota de 500 g que se mueve a una velocidad de 4 m/s choca contra otra de I kg que se mueve
en la misma dirección con sentido contrario, a una velocidad de 8 m/s. Hallar la velocidad de cada
una de ellas despuésdel choque, a) si el coefrcientede restitución es igual a 213, b) si permanecen
.luntasdespuésdel choque, c) si la colisión es totalmente elóstica.
Solución
a ) Aqu í 4 :0,5 19 , 8 ut m , ¿¿r : 4 m / s y
r:.
s:vz-vr,
4:
ü t-uz
J . r r r4- ( - ü)
, n2: 119, 8 u t m ; ¿ ¿ : - 8
(l)r,r-vr:g
os ea
'F tfl2 u2! m ¡ 1 I m 2v 2, I ( 4) + 2( - 8) :
t/t1 u1
m/s.
I ( y r ) +2 ( v " )
(2)y, * 2v":-12
osea
Sumandó(l) v (2) seobtiene:3vr: -4,
rg : - 1,33m/s.
vz: - 1,33en (l) seobtiene:- t,33- u, : $, yr : - 9,33m/s.
Sustituyendo
á) Aq uf vt:
y2 : v ' por t ant o, l( 4) - + 2( - 8)
: | ( v ) +2 ( v ) ,
-12:3v
y
v : -4.
La velocidadcomúnfinal es - 4 m/s.
c) Como ah ora e: l, r es ult aI :
os € a
; "lut ai
(l)v¡-
a-(-o,
\:12.
( 2 ) v r *2 v o : - 1 2 .
De l (4) + 2( - 8) : I ( v r ) 12( v r ) s eobt ien e
Sumando(l)V(2), v¿: 0 m/s. Sustituyendo
v¿: 0en (l) o(2), r, * 9.
12m/s.
Sedeja caer una pelota sobreel suelodesdeuna altura de 1,5m y rebota hasta una altura de I m. Calcular el coeficientede restitución entre la pelota y el suelo.
Solución
Las velocidadesinicial y final del suelo(ar, vr) son nulas.
Como la velocidadde caídalibre de un cuerpovienedada por v - Vlsh,t^ pelotachocacon el suelo
con urravelocidadu, - | ie0,5l y la velocidadcon que iniciael rebore,r, : - VZg-t
I l, .n dondesehan consideradopositivaslas velocidades
hacia abajo.
¡r
vo- vr
ut- üz
- li2p- O
0-
li 2e (1,5)
'r -
IMPETU E IMPUISION
PROBLEMAS PROPUESTOS
10. Una locomotora de l0 Tm_se.dirigehaciaun vagón de ¿1O
Tm en reposopara acoplarsea é1,a una velocidad
de 0,5 m/s. Calcular la velocidadcomún despuésdel choque.
^goi. 0,i m/s.
ll. Un camión vacío de l5_Tm marchapor una carreterahorizontal a una velocidadconstantede 5 m/s cuando,
de rep€nte'cae verticalmentesobre él un peso de 5 Tm de carbón. Hallar la nueva velocidad del camión
con su carga. .9o/, 3,75 m/s.
12. Por una tolva cae arenaa raz-ónde 000 kg/min sobreuna cinta transportadoraque sedesplaza,horizontal.2
mente,a una velocidad_dl250,m/min. Hallar la fuer¿anecesariapara desplazarlá cinta suponiéndoque no
existenrozamientos. .Sor. 139N.
13. Dos cuerposinelásticos,de 8 y 4 kg de masa,semuevenen la misma direccióny senti{o contrario con velocidadesde ll y 7 m/s, resp€ctivamente.
Calcutar la velocidadcomún de ambojcuerpos despuésdel choquo,
suponiendoque quedanjuntos.
^SaL 5 m/s.
14. Un cañónd9 600kg, montadgsolre ruedas,disparaun proyectilde 4 kg con una velocidadinicial de @0 m/s y
un ángulo de elevaciónde 3@. Calcular la velocidadhoriiontal de relrocesodel cañón. Sol. 3,46 m/s.
15. F. dispara una bala dc 25 g.contra gn bloque de 5 kg de madera suspendidode una cuerda,quedando la
bala incrustadaen é1.SabiendoqJe el centro de gravedáddel bloque se'desplazal0 cm hacia
i"lcular
la velocidadinicial de la bala. Sol. 280 m/s.
"'.tiUa,
16. Un tractor de 6 Tm que viaja hacia el norte con una velocidadde 25 km/h choca con otro de 4 Tm quc se
dirige haciael oestecon una velocid¿ddg km/h. Sabiendoque los dos vehiculospermanecen
juntos deispués
]0
-'
{el_chgogerhallar la_velocidady dirección de ámbos vehlcujosinmediatamenteáespuésoet órrode.
Sol, 31,8km/h, en dirección28,60N desdeel O.
17. Un cuerpode 4 kp de pesosometidoa ta acciónde una fuerzaduranteun intervalode 4 segundos,incrementa
su velocidaden 6 m/s. Calcular el módulo de la fuerza. ,Sot 0,611kp.
lE.
Hallar la fuerza resistentemedia qu9 debe actuar sobre una masa de 3 kg para reducir su velocidad de 65
a 15 cm/s cn 0,2 segundos. ,SoL 7,5 N o 7,5 x 105dinas.
19. Una fuerza aumentauniforme-mentecon el tiempo a razónde Q2 kp/s. Sabiendoque su valor inicial es de
3,5 kp, calcularla fuerzamediay su impulsión-durante
los priínerói 5 segundos.'Sol. 4tp; iOip;s.
20. Un chorro^deagua que salepor una tubería de 2,5 cm de diámetro a una velocidadde 30 m/s choca contra
una superficienotmal a él que se desplazaen su nnismosentidocon una velocidadde 6 m/s.'Calcular: a) la
fuerzaejercidapor el aguasobrela superficiemóvil, á) la fuerza ejercidapoi el aguasi ta súperncii se mueve
(haciael chorro) con una velocidadde 6 m/s. Pesoespecfficoáel agua, I '000kp/mr.
en
-sentido_contrario
Sol.
a) 28,8 kp; ó) 64,8 kp.
21. poq bolas igualesde I kg se muevenen la misma direccióny sentidocontrario coh una vetocidadde 3 m/s,
Hallar la velocidad de.9a{a una de ellas de-spués
del choqüe,a) suponiendoque quedanjuntas, ó) que el
qhgeue.es totalmente elástico,c) que el coefióientede restituóiónei 173.
Sol, a) 0 m/s; ó) cada bola rebota con 3 m/s, c) cada bola rebota con I m/s.
t:2. Ung bola de 4.kg con unavelocidad de 3 m/s choca contra otra de 0,5 kg en reposo.Hallar la velocidad de
cada una de ellas {espuésdel chgqu.era) suponiendoque quedanjuntás, á-)que él choquees totalmenteelástico, c) que el coeficientede restituciónes 0.90.
la bota de 4 kg v 5,31 m/s ra bola de 0,5 kg; c) 2,36 m/s rr. bora de 4 kg y
d.2,66 mls; b) ?']!
*!,
^tt
5,07 m/s la bola de 0,5
kg.
23. Una-bola se deja caer sobreL¡nsuelo horizontal y alcanzauna altura de 144cm despuésdel primer rebote;
en el se-gundo
rebote llega a 8l cm de altura. Calcular: a) el coeñcientede restituciónintre la bola y ei sueloi
ó) la altura que alcanzarlaen un tercer rebote. .SoL tí,7S;lS,6 cm.
U
Seanlas ecuacionesdel choque:(l) mrul I m2us: mrvy* m"v7 y e) e: r¿ - rr .
ut- üs
a) Deducirlosvaloresrry.vr.
Indicación:Multipricar(2)porm¡(ur-uz\ysumarcon(l).
ó) _rlallarlas-expresiones
de r, y vr, si el choqui fuera'tóürmeniJil¿stic',ii" = rl.
c) fd.em,si el choquefuera totalménteelásticó! mt : ,n¿.
d) ldem, si el choquefuera totalmenteinelásticó(e-: 0).'
Sot. a) vt :
c) vr:
:'
k
E$',
mzus(l * Q-*-\-Lm, - emz)
,
ur, yr: ,lr
rr :
múr(l * e) * ur(m"- emr)
m r +m ,