DM n°7 : Fractions
6ème
Les élèves de soutien ne feront que la moitié du travail demandé, à leur choix, en veillant à soigner ce qu'ils choisissent de faire.
Ce travail ne sera pas noté, contrairement à l'habitude, mais il reste obligatoire. La durée estimée du travail est 3-4h à répartir au mieux sur les deux semaines du délai.
1) Fréquences d'apparition des lettres
La fréquence d'apparition d'un évènement est la fraction donnant le nombre de cas où apparaît cet évènement par
rapport au nombre de cas où il pourrait apparaître. Dans le mot mathématiques, la fréquence d'apparition de la
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lettre e, notée fe, est 13 car il y a 2 e sur 13 lettres (on ne tient pas compte des accents). Pour des raisons
pratiques, on exprime les fréquences d'apparition en pourcentages. Dans notre exemple, on a fe≈15,4%.
a) On veut déterminer les fréquences d'apparition des principales lettres de la langue française a, e, i, n, r, s et t.
Choisir un texte ni trop court ni trop long, en donner les références (Titre, Auteur, Éditeur, Page) et le recopier.
Comptabiliser les apparitions de chacune des sept principales lettres ainsi que le nombre total de lettres. Dresser
le tableau des fréquences d'apparition de ces lettres. Comparer avec les fréquences du tableau de la partie c.
b) Dans le jeu de Scrabble de langue française, la répartition des lettres avec le nombre de points correspondant
est la donné par le tableau ci-dessous. Déterminer la fréquence des lettres en % liée à cette répartition.
points
nombre
A
1
9
B
3
2
C
3
2
D E
2 1
3 15
F
4
2
G
2
2
H
4
2
I
1
8
J
8
1
K
10
1
L
1
5
M
2
3
N
1
6
O
1
6
P
3
2
Q
8
1
R
1
6
S
1
6
T
1
6
U
1
6
V
4
2
W X Y Z
10 10 10 10
1 1 1 1
Comparer
fréquence cette répartition avec la répartition plus précise donnée par le tableau de la partie c.
Étudier la relation entre la fréquence et le nombre de points d'une lettre.
c) Dans d'autres langues, les fréquences d'apparition des lettres sont différentes. Le tableau qui suit donne ces
fréquences en français et en anglais. Quelles sont les lettres les plus fréquentes en anglais ? Comparer les
fréquences des lettres principales des deux langues en dégageant les principales différences. Proposer, sur la base
de ce tableau, une répartition des points et des lettres à mettre dans un jeu de Scrabble en anglais.
En français
En anglais
A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
9,42 1,02 2,64 3,39 15,87 0,95 1,04 0,77 8,41 0,89 0,00 5,34 3,24 7,15 5,14 2,86 1,06 6,46 7,90 7,26 6,24 2,15 0,00 0,30 0,24 0,32
8,08 1,67 3,18 3,99 12,55 2,17 1,80 5,27 7,24 0,14 0,63 4,04 2,60 7,38 7,47 1,91 0,09 6,42 6,59 9,15 2,79 1,00 1,89 0,21 1,65 0,07
d) La répartition des fréquences obtenues peut être utilisée
pour décrypter un message codé dans le cas où chaque lettre
est remplacée par une autre, toujours la même. La lettre la plus
fréquente dans le message chiffré sera sans doute la lettre e
dans le message clair. On déduit les autres lettres sur le même
principe. Décrypter le message suivant dont on a enlevé
accents, apostrophes et signes de ponctuation et qu'on a découpé en tranches de 5 lettres (partie grisée : soutien) :
2) Nombre de fractions différentes
a) L'infinité des fractions comprises entre deux nombres, par exemple entre 0 et 1, se comprend très facilement. Trouver
douze fractions comprises entre 0 et 1, puis douze autres entre 0 et 0,01. Donner ensuite une méthode qui permet de
fabriquer des fractions comprises entre deux fractions quelconques.
b) L'infinité des fractions ayant un même numérateur (ou un même dénominateur) est également assez évidente. Donner
par exemple douze fractions irréductibles dont le numérateur est 2, puis douze dont le numérateur est 3. Dire ce que doit
vérifier les dénominateurs de ces fractions ?
c) Il est paradoxalement possible de numéroter toutes les fractions irréductibles en suivant ce principe : on donne d'abord
les fractions dont S=numérateur+dénominateur=1, puis celles dont S=2, et ainsi de suite, jusqu'à l'infini. On range les
fractions ayant une même valeur de S dans l'ordre des numérateurs et on ne numérote pas les fractions simplifiables.
2
1
Vérifier que, selon ce principe, la fraction 3 porte le n°7 et la fraction 6 porte le n°12. Quelle fraction porte le n°25 ?
Justifier votre réponse en donnant les 25 premières fractions dans l'ordre de leur numéro. Expliquer pourquoi, toujours
d'après ce principe, il y a autant de fractions que de nombres entiers.