1. No category

LES TESTS D'HYPOTHÈSES
Il s'agit à partir de l'étude d'un ou plusieurs échantillons, de prendre des décisions concernant
la population mère.
1
Test bilatéral sur la moyenne
1.1
Le problème
Reprenons l'exercice 1 du chapitre précédent :
Une société fournit des pièces devant peser 780 g. Sur 500 pièces fabriquées on en prélève 36.
Masse
Nombre de pièces
[745 ; 755[
[755 ; 765[
[765 ; 775[
[775 ; 785[
[785 ; 795[
[795 ; 805[
2
6
10
11
5
2
On désire savoir si les 500 pièces ont bien une masse moyenne de 780 g, pour accepter ou refuser
la livraison.
Dans l'échantillon la masse moyenne était de 774,7 g ; peut on en conclure que la masse moyenne
des 500 pièces n'est pas 780 g ?
1.2
Construction d'un test
]
Le fabricant des pièces arme que la moyenne est de 780 g et l'écart type de 12,5.
]
Soit
On suppose que la moyenne est de 780 g ; c'est l'hypothèse nulle, on la note H0 : m = 780.
L'hypothèse alternative, notée H1 est : m 6= 780.
X
la variable aléatoire qui à chaque échantillon de taille
D'après le théorème de la limite centrée,
m = 780, σ = 12, 5
Dans notre cas,
]
et
X
associe sa moyenne.
suit approximativement la loi normale
n = 36
Supposons que nous voulons un intervalle
On dit que l'on fait un test au
n
donc
I
X
suit approximativement
centré en
m
tel que
N
σ
m; √
n
.
N (780; 2, 08).
P (X ∈ I) = 0, 95.
seuil de conance 0,95 ou au seuil de signication (ou seuil
de risque ) 0,05.
On cherche donc
h
tel que
La calculatrice nous donne
P (X ∈ [780 − h; 780 + h]) = 0, 95
h ' 4, 076. D'où l'intervalle I = [775, 92; 784, 08].
m = 780, on sait avant de prélever l'échantillon
[775, 92 ; 784, 08] avec une probabilité de 0,95.
Donc si
valle
]
On en tire la
Soit
xe
que sa moyenne appartiendra à l'inter-
Règle de décision suivante :
la moyenne de l'échantillon.
Si
Si
xe ∈ [775, 92 ; 784, 08]
xe 6∈ [775, 92 ; 784, 08]
Dans notre cas
alors on valide
alors on rejette
xe = 774, 7 6∈ [775, 92 ; 784, 08]
H0 .
H0 .
donc on rejette
1
H0 ;
La livraison est refusée.
A.B Vauban
À savoir 1.
Test bilatéral sur la moyenne au seuil de signication α
On désire savoir si la moyenne de la population est égale à
À On xe les hypothèses :
ˆ
ˆ
m0 .
H0 : m = m 0 .
Hypothèse alternative, H1 : m 6= m0 .
X qui, à chaque échantillon de taille n associe sa moyenne
Á La variable
aléatoire
σ
suit N
m0 , √
n
 On cherche h à la calculatrice tel que P (X ∈ [m0 − h; m0 + h]) = 1 − α
On note Iα = [m0 − h; m0 + h]
à Règle de décision : Soit xe la moyenne de l'échantillon.
Si xe ∈ Iα alors on accepte H0 .
Si xe 6∈ Iα alors on rejette H0 .
Hypothèse nulle,
Le test est dit bilatéral car la région critique se trouve des deux côtés du domaine d'acceptation
de
H0 .
région d'acceptation de
H0
région critique
région critique
α
2
m0 − h
Remarque
α
2
1−α
m0 + h
: Il faut bien faire la diérence entre intervalle de conance de la moyenne et
intervalle d'acceptation d'un test de validité d'hypothèse.
Intervalle de conance de la moyenne : On calcule la moyenne sur l'échantillon et on en
déduit un intervalle contenant la moyenne de la population mère.
Intervalle d'acceptation de
H0
: On suppose la valeur de la moyenne sur la population
mère et on en déduit un intervalle devant contenir la moyenne de l'échantillon.
1.3
Remarques sur le seuil de risque
H0 alors que H0 est vraie, c'est l'erreur de première espèce.
Dans notre exemple, avec α = 0, 01, l'ntervalle d'acceptation de H0 serait [774, 62 ; 785, 38].
Ce qui veux dire, qu'au seuil de risque 0,01, H0 aurait été acceptée. Mais en diminuant α
on augmente un autre risque, celui d'accepter H0 alors que H0 est fausse ; c'est l'erreur de
seconde espèce, de probabilité notée β . Le problème est que, pour n xé, si on diminue α
on augmente β . La seule façon de baisser les deux est d'augmenter n. La probabilité 1 − β est
α
est la probabilité de rejeter
appelée la
puissance du test.
L'erreur de première espèce est le risque fournisseur (risque de se voir refuser une livraison de
bonnes pièces).
L'erreur de seconde espèce est le risque client (risque d'accepter un lot de mauvaises pièces).
2
A.B Vauban
Hypothèse vraie
H0
Hypothèse acceptée
H1
H0
H1
Pas derreur
Erreur de seconde espèce
Probabilité
1−α
Erreur de première espèce
Probabilité
α
Probabilité
β
Pas d'erreur
Probabilité
1−β
α.
signicatif : α = 0, 05.
très signicatif : α = 0, 01.
hautement signicatif : α = 0, 001.
Dans la pratique on se xe
test
test
test
2
Test unilatéral sur la moyenne
Reprenons notre problème précédent.
Si le client considère que la masse des pièces ne doit pas être inférieure à 780 g alors on
prendra comme hypothèse alternative :
H1 : m < 780. Dans d'autre cas nous pourrions prendre
m > 780.
Dans un test unilatéral la région critique se trouve d'un seul côté du domaine d'acceptation de
H0 .
Attention, l'hypothèse nulle H0 est toujours une égalité.
2.1
Test unilatéral à droite
Gardons le seuil de signication
]
Les hypothèses sont :
]
Comme précédemment
0, 05
Hypothèse nulle : H0 , m = 780
Hypothèse alternative : H1 , m < 780
X
suit approximativement
On détermine, à la calculatrice, le nombre
On trouve
]
tel que
P (X 6 a) = 0, 05.
a ' 776, 58
Règle de décision du test :
Soit
xe
la moyenne de l'échantillon.
Si
xe > 776, 58
alors on valide
Sinon, on valide
]
a
N (780; 2, 08).
H1 , H0
H0
est rejetée.
Conclusion : dans notre exemple,
xe = 774, 7
donc on rejette
H0 .
À savoir 2.
Test unilatéral à droite sur la moyenne au seuil de signication α
À On xe les hypothèses :
ˆ
ˆ
H0 : m = m 0 .
Hypothèse alternative, H1 : m < m0 .
Á La variable
aléatoire
X qui, à chaque échantillon de taille n
σ
suit N
m0 , √
n
 On cherche a à la calculatrice tel que P (X 6 a) = α
à Règle de décision : Soit xe la moyenne de l'échantillon.
Si xe > a alors on accepte H0 .
Sinon on rejette H0 .
Hypothèse nulle,
3
associe sa moyenne
A.B Vauban
région d'acceptation de
H0
région critique
α
1−α
a
2.2
Test unilatéral à gauche
À savoir 3.
Test unilatéral à gauche sur la moyenne au seuil de signication α
À On xe les hypothèses :
ˆ
ˆ
H0 : m = m 0 .
Hypothèse alternative, H1 : m > m0 .
Á La variable
aléatoire
X qui, à chaque échantillon de taille n
σ
suit N
m0 , √
n
 On cherche a à la calculatrice tel que P (X 6 a) = 1 − α
à Règle de décision : Soit xe la moyenne de l'échantillon.
Si xe 6 a alors on accepte H0 .
Sinon on rejette H0 .
Hypothèse nulle,
région d'acceptation de
associe sa moyenne
H0
région critique
α
1−α
a
Exercice 1
Un fabricant d'ampoules livre un lot de 1000 ampoules. il annonce une durée de
vie moyenne de 1120 heures. L'écart type est
σ = 120.
On teste 36 ampoules et on trouve une durée de vie moyenne
xe = 1102.
Construire un test unilatéral au seuil de risque 5 % et l'appliquer.
3
Test bilatéral de comparaison de deux moyennes
P1 et P2 . On désire déterminer
m2 des deux populations.
On considère deux échantillons prélevés sur deux populations
s'il y a une diérence signicative entre les moyennes
Exercice 2
m1
et
Deux groupes d'étudiants A et B passent un examen.
On prélève 25 élèves dans le groupe A et 30 dans le groupe B, on trouve
SA = 2, 5
et
xA = 10, 5 ; xB = 11 ;
SB = 2, 8.
On désire savoir, en se xant un seuil de risque de 5 % , s'il y a une diérence signicative entre
les moyennes des deux groupes.
4
A.B Vauban
1) a) Donner une estimation ponctuelle des écarts types
XA
b) On désigne par
et
σB
à
10−2
près.
la variable aléatoire qui, à chaque échantillon de 25 étudiants du
XA
groupe A, associe sa moyenne . On admet que
XB
On désigne par
σA
suit la loi normale
N (mA , σA ).
la variable aléatoire qui, à chaque échantillon de 30 étudiants du
XB suit la loi normale N (mB , σB ).
On note D la variable aléatoire dénie par D = XA − XB .
On admet que D suit une loi normale de moyenne mA − mB et d'écart type
r
σA2
σ2
+ B . Donner une valeur approchée de σ à 10−2 près.
σ=
25
30
groupe B, associe sa moyenne . On admet que
2)
Construction du test
On choisit comme hypothèse nulle :
H0 : mA = mB
et comme hypothèse alternative
H1 : mA 6= mB .
H0 , D suit la loi normale N (0, σ).
réel t tel que P (−t 6 D 6 t) = 0, 95.
(a) Sous l'hypothèse
Déterminer le
(b) Énoncer la règle de décision du test.
3) Conclure.
4
Tests sur les proportions à l'aide d'une loi binomiale
Un candidat A à une élection arme que 52 % des électeurs veulent voter pour lui.
Un sondage sur 100 électeurs pris au hasard donne une proportion de 0,43 de votes favorables
au candidat A.
Peut on en conclure que le candidat ment ?
]
Choix des hypothèses : Nous allons faire un test bilatéral en prenant comme hypothèse que
le candidat dit vrai.
Soit
p
la proportion d'électeurs désirant voter pour A.
Hypothèse nulle : H0 , p = 0, 52
Hypothèse alternative : H0 , p 6= 0, 52
]
On suppose que dans la population des électeurs,
Soit la variable aléatoire
X
p = 0, 52.
comptant le nombre de personnes dé-
clarant voter pour A sur 100 personnes interrogées.
X
suit la loi binomiale
B(100; 0, 52).
On se xe un seuil de signication de 0,05.
B(100; 0, 52)
a et b tels que :
P (X 6 a) > 0, 025 et P (X 6 b) > 0, 975.
On trouve a = 42 et b = 62.
On a donc : P (X ∈ [42; 62]) > 0, 95.
A l'aide du tableau ci-contre de la loi
on détermine
les plus petits entiers
Les échantillons comportant 100 personnes, en divisant par 100
on obtient
l'intervalle de uctuation à environ 95 %
proportion d'électeurs déclarant voter pour A :
]
de la
B(100; 0, 52)
k P (X 6 k)
40
0, 0106
41
0, 0177
42
0, 0286
43
0, 0444
···
···
61
0, 9719
62
0, 9827
63
0, 9897
64
0, 9941
[0, 42; 0, 62]
On en tire la règle de décision du test :
f la fréquence d'électeurs votant pour
Si f ∈ [0, 42 ; 0, 62] alors on valide H0 .
Sinon on rejette H0 .
En notant
5
A dans l'échantillon.
A.B Vauban
]
5
Conclusion :
Au seuil de signication 0,05 on valide
H0 .
Tests sur les proportions à l'aide d'une loi normale
Soit un événement
A
ayant une fréquence
Considérons un échantillon de taille
n.
p
Soit
sur la population mère.
nA
le nombre d'éléments de l'échantillon vériant
A.
La fréquence d'apparition de
A
sur l'échantillon est donc
nA
.
n
f=
r
p(1 − p)
p;
On admet, voir le chapitre opérations sur les variables aléatoires, que f suit la loi N
n
Les tests sont les mêmes que pour les moyennes, il sut donc de remplacer m par p, xe par f
r
σ
p(1 − p)
et √
par
.
n
n
Exercice 3
Dans une population on a observé que 40 % des gens sont allergiques à un
médicament A.
Pour tester un nouveau médicament on désire prendre un échantillon représentatif de 100
personnes. 31 révèlent une allergie à A.
On désire savoir si, au seuil de risque de 5 %, l'échantillon est représentatif de la population.
On note
p
la fréquence d'allergiques à
A
1. On choisit comme hypothèse nulle
dans la population.
H0 : p = 0, 4
et comme hypothèse alternative
H1 :
p 6= 0, 4.
Soit F la variable aléatoire qui, à chaque échantillon de 100 personnes, associe la fréquence
de 'allergiques à A.
r
On admet que
F
Sous l'hypothèse
suit la loi normale
H0
N
déterminer le réel
p;
h
p(1 − p)
100
tel que
!
.
P (0, 4 − h 6 F 6 0, 4 + h) = 0, 95.
2. Énoncer la règle de décision du test.
3. Conclure.
Exercice 4
On considère une allergie à un germe A.
Premier échantillon : 300 femmes, 45 sont allergiques à A.
Second échantillon : 500 hommes, 80 sont allergiques à A.
On désire savoir si, au seuil de risque 5 %, il y a une diérence signicative entre les pourcentages
d'allergies chez les femmes et chez les hommes ?
On note
pf
1. Soit
et
F
ph
les fréquences d'allergies à A chez les femmes et chez les hommes.
la variable aléatoire qui, à chaque échantillon de300 femmes,
associe la fréquence
d'allergies à A. On admet que
F
suit la loi normale
6
N
σf
pf ; √
300
.
A.B Vauban
!
.
Soit
H
la variable aléatoire qui, à chaque échantillon de 500 hommes,
associe la fréquence
d'allergies à A. On admet que
Calculer une estimation de
H
σf
suit la loi normale
σh
et
σh
ph ; √
500
N
.
à partir des échantillons. (Les échantillons sont
susamment importants pour que l'on puisse utiliser l'estimation :σ
'
p
f (1 − f )
,
f
étant la fréquence dans l'échantillon)
2. On note
D
la variable aléatoire dénie par
normale de moyenne
Calculer
ph − pf
et d'écart type
D =rH − F . On
σf2
σh2
σ=
+
.
500 300
admet que
D
suit la loi
σ.
3. On choisit comme hypothèse nulle :
H0 : pf = ph
et comme hypothèse alternative
H1 : pf 6= ph .
H0 , D suit la loi normale N (0, σ).
réel t tel que P (−t 6 D 6 t) = 0, 95.
Sous l'hypothèse
Déterminer le
4. Énoncer la règle de décision du test.
5. Conclure.
Exercice 5
Nouvelle Calédonie 2011
8 points
On considère un stock de pièces de rechange pour les machines-outils d'une grande entreprise.
Dans cet exercice, les résultats approchés sont à arrondir à 10−2 (sauf mention
particulière)
1. Le tableau suivant récapitule la consommation mensuelle d'un certain modèle de roulements à billes, pour les 11 mois travaillés de l'année dernière.
Mois
Janvier
Février
Mars
Avril
Mai
Juin
Quantité
20
30
25
15
25
10
Mois
Juillet
Septembre
Octobre
Novembre
Décembre
Quantité
35
42
25
35
15
Déterminer la moyenne
2. On désigne par
X
x
σ
et l'écart type
de cette série statistique.
la variable aléatoire qui, à un mois travaillé pris au hasard dans l'année
à venir, associe la consommation du type de roulements à billes considéré au 1. On suppose
que
X
suit la loi normale de moyenne
(a) Calculer
Le nombre entier
5%
et d'écart type
9, 5.
P (14, 5 6 X 6 35, 5).
(b) Déterminer le nombre réel
à
25
n,
k
P (X 6 k) = 0, 95.
arrondissant k par excès,
tel que
obtenu en
est appelé stock d'alerte
pour la pièce considérée.
3. Le délai de livraison d'un certain type de transformateur est de 20 jours. On admet que
la variable aléatoire
Y
qui, à une période de 20 jours prise au hasard dans l'année à venir,
associe le nombre de transformateurs de ce type, mis en service pendant cette période,
suit la loi de Poisson de paramètre
(a) Calculer
P (Y 6 5)
et
λ = 3.
P (Y 6 6).
(b) En déduire le stock d'alerte à 5 % pour ce type de transformateur, c'est -à-dire
le plus petit entier
a
tel que
P (y 6 a) > 0, 95.
7
A.B Vauban
4. Pour réapprovisionner le stock d'un certain type de joints circulaires, on eectue une
commande en grande quantité. Le fabriquant garantit des joints de 30 mm de diamètre,
σ=1
avec un écart type
mm.
Il est convenu de procéder, à la réception, à un contrôle de qualité à l'aide d'un test
d'hypothèse bilatéral de la moyenne, sur un échantillon aléatoire de 64 joints.
On désigne par
Z
la variable aléatoire qui, à chaque échantillon aléatoire de 64joints
prélevés dans le lot reçu, associe la moyenne des diamètres en millimètres des joints de cet
échantillon (le lot est susamment important pour qu'on puisse assimiler ces prélèvements
à des tirages avec remise).
L'hypothèse nulle est H0 : L'hypothèse alternative est
µ = 30 .
H1 : µ 6= 30 .
Le seuil de signication du test est xé à
0, 05.
(a) Sous l'hypothèse H0 , on considère que
σ
√ .
64
type
Z
suit la loi normale de moyenne
Déterminer, sous cette hypothèse, le nombre réel
h
30 et d'écart
positif tel que :
P 30 − h 6 Z 6 30 + h = 0, 95.
Arrondir
h
à
10−3 .
(b) En déduire la règle de décision permettant d'utiliser ce test.
(c) Sur l'échantillon de
29, 8
64
joints prélevés dans le lot reçu, on trouve une moyenne de
mm pour les diamètres.
Indiquer si le lot est accepté en utilisant la règle de décision de la question précédente.
Exercice 6
Métropole 2013
8 points
Les quatre parties de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante.
Dans cet exercice, les résultats approchés sont à arrondir à 10−2
A. Loi de Poisson
On désigne par
X
la variable aléatoire qui, a tout intervalle de temps d'une durée de 30 secondes,
associe le nombre de skieurs se présentant à une remontée mécanique, entre 14 heures et 15
heures. On admet que
X
suit la loi de Poisson de paramètre
1. Déterminer la probabilité
λ = 6.
P (X = 6).
2. Calculer la probabilité que, pendant un intervalle de temps d'une durée de
30
secondes
pris au hasard entre 14 heures et 15 heures, il se présente au plus 6 skieurs.
B. Loi normale
Une entreprise découpe une grande quantité de tubes pour le montage des remontées mécaniques. La longueur des tubes est exprimée en millimètres. Un tube est dit conforme pour la
longueur lorsque celle-ci appartient à l'intervalle [245 ; 255].
On désigne par
Y
la variable aléatoire qui, à chaque tube pris au hasard dans la production
d'une journée, associe sa longueur.
1. Après un réglage de la machine, on admet que la variable aléatoire
de moyenne
250
et d'écart type
Y
suit la loi normale
3.
Calculer la probabilité qu'un tube pris au hasard dans la production de cette journée soit
conforme pour la longueur.
8
A.B Vauban
2. Le résultat obtenu au 1. n'est pas jugé satisfaisant. On décide de modier l'écart type à
l'aide d'un nouveau réglage de la machine. Dans cette question, la variable aléatoire
Y
250 et d'écart type σ .
que P (245 6 Y 6 255) = 0, 97.
suit une loi normale de moyenne
σ
Déterminer l'écart type
pour
C. Loi binomiale
Dans un lot de tubes, 3 % des tubes ne sont pas conformes pour la longueur. On prélève au
hasard
50
tubes de ce lot. Le lot est susamment important pour que l'on puisse assimiler ce
prélèvement à un tirage avec remise de
Z
On considère la variable aléatoire
50
lots.
qui, à tout prélèvement ainsi déni, associe le nombre de
tubes qui ne sont pas conformes pour la longueur.
1. Justier que la variable aléatoire
2. Calculer la probabilité
Z
suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.
P (Z = 0).
3. Calculer la probabilité que dans un tel prélèvement au moins un tube ne soit pas conforme
pour la longueur.
D. Test d'hypothèse
On se propose de construire un test d'hypothèse pour contrôler la moyenne
µ
inconnue des
longueurs, exprimées en millimètres, d'un lot important de tubes destinés au montage des
remontées mécaniques.
On désigne par
L
la variable aléatoire qui, à chaque échantillon aléatoire de
50
tubes prélevés
au hasard dans ce lot, associe la moyenne des longueurs de ces tubes (le lot est susamment
important pour que l'on puisse assimiler ces prélèvements à des tirages avec remise).
H0 : µ = 250. Dans ce
alternative est H1 : µ 6= 250.
L'hypothèse nulle est
L'hypothèse
cas, on considère que le lot est conforme.
Le seuil de signication du test est xé à 5 %.
1. Sous l'hypothèse nulle
moyenne
250
H0 ,
on admet que la variable aléatoire
0, 33.
P (249, 35 < L < 250, 65) = 0, 95.
L
suit la loi normale de
et d'écart type
On admet également que
Ce résultat n'a pas à être
démontré.
Énoncer la règle de décision permettant d'utiliser ce test.
2. On prélève un échantillon aléatoire de
50
tubes dans le lot et on observe que, pour cet
échantillon, la moyenne des longueurs des tubes est
` = 250, 49.
Peut-on, au seuil de 5 %, conclure que ce lot est conforme ?
Exercice 7
Nouvelle Calédonie 2013
8 points
Les trois parties de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante.
Dans une entreprise, deux automates programmables industriels commandent deux machines
m1
et
m2
qui produisent des boulons.
A. Probabilités conditionnelles
La machine
machine
m2
m1
produit 40 % des boulons de l'entreprise dont 2 % de boulons défectueux. La
produit 60 % des boulons de l'entreprise dont 3 % de boulons défectueux.
On prélève au hasard un boulon dans la production d'une journée. Tous les boulons ont la
même probabilité d'être tirés.
On considère les évènements suivants :
:
M2 :
M1
le boulon prélevé est produit par la machine
m1
.
le boulon prélevé est produit par la machine
m2
.
9
A.B Vauban
D
:
le boulon prélevé est défectueux .
1. Déterminer les probabilités
(On rappelle que
M1
Pm1 (D)
P (M1 ), P (M2 ), PM1 (D)
est la probabilité de
PM2 (D).
l'évènement D sachant
et
que l'évènement
est réalisé.)
P (M1 ∩ D)
2. Calculer
3. En déduire que
et
P (M2 ∩ D).
P (D) = 0, 026.
PD (M1 ) que le boulon prélevé provienne de la machine M1
−2
qu'il est défectueux. Donner la valeur approchée arrondie à 10 .
−2
Dans la suite de l'exercice les résultats approchés seront arrondis à 10 .
4. Calculer la probabilité
sachant
B. Loi binomiale et loi de Poisson
On prélève au hasard
50
boulons dans un stock de I'entreprise. On considère que ce stock est
susamment important pour assimiler ce prélèvement à un tirage avec remise de
50
boulons.
On suppose que la probabilité qu'un boulon prélevé au hasard dans ce stock soit défectueux est
0, 03.
X
On note
la variable aléatoire qui, à tout prélèvement ainsi déni, associe le nombre de
boulons défectueux.
1. Justier que la variable aléatoire
2.
X
suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.
(a) Calculer la probabilité que, dans un tel prélèvement, aucun boulon ne soit défectueux.
(b) Calculer la probabilité que, dans un tel prélèvement, au plus deux boulons soient
défectueux.
3. On considère que la loi de probabilité suivie par la variable aléatoire
X
peut être approchée
par une loi de Poisson.
(a) Déterminer le paramètre
(b) On désigne par
oÙ
λ
Y
λ
de cette loi de Poisson.
une variable aléatoire suivant la loi de Poisson de paramètre
est la valeur obtenue au a). Calculer
λ,
P (Y 6 2).
C. Test d'hypothèse
p inconnue des
m1 durant une journée.
¯ la variable aléatoire qui, à chaque échantillon aléatoire de 50 boulons prélevés
On désigne par D
au hasard dans la production d'une journée de la machine m1 , associe la moyenne des diamètres
On se propose de construire un test d'hypothèse pour contrôler la moyenne
diamètres, exprimés en millimètres, des boulons produits par la machine
de ces boulons (la production est susamment importante pour que l'on puisse assimiler ces
prélèvements à des tirages avec remise).
H0 : µ = 10. Dans ce cas, on considère que la machine m1
alternative est H1 : µ 6= 10.
L'hypothèse nulle est
L'hypothèse
est bien réglée.
Le seuil de signication du test est xé à 5 %.
1. Sous l'hypothèse nulle
moyenne
10
H0 ,
et d'écart type
on admet que la variable aléatoire
D
suit la loi normale de
0, 16.
Déterminer, en utilisant cette loi normale, le nombre réel
h
positif tel que :
P (10 − h 6 D 6 10 + h) = 0, 95.
2. Énoncer la règle de décision permettant d'utiliser ce test.
3. On prélève un échantillon aléatoire de
50
boulons dans la production d'une journée de la
m1 et on observe que, pour cet échantillon, la moyenne des diamètres des boulons
d¯ = 10, 2.
Peut-on, au seuil de 5 % conclure que la machine m1 est bien réglée ?
machine
est
10
A.B Vauban