EXERCICES - PROBABILITÉS OLIVIER COLLIER Exercice 1 (2012) Définition et caractéristiques d’une loi de Poisson. Quel rapport avec une loi binômiale ? Exercice 2 (2012) Un étudiant fréquente deux cybercafés CA et CB . Dans CA , il paye 2e la première demiheure, puis 1e pour la demi-heure suivante si elle est entamée, puis 3e par heure supplémentaire entamée. Dans CB , il paye Re par heure entamée (R désignant une constante strictement positive). Par exemple, pour une session de 1h40, il paiera (2 + 1 + 3)e dans CA , contre 2Re dans CB . De même, pour une session de 32 minutes, il paiera (2 + 1)e dans CA , contre Re dans CB . Enfin, pour une session de 30 minutes, il paiera 2e dans CA contre Re dans CB . On suppose ici que la durée, exprimée en heures, passée par l’étudiant sur un ordinateur au cours d’une session unique, est une variable aléatoire T qui suit la loi exponentielle de paramètre α > 0. On rappelle que si X est une variable aléatoire définie sur un espace probabilisé (Ω, A, P), on note X(Ω) l’ensemble des valeurs prises par la variable X. (1) Soit B la variable aléatoire égale au coût de la session dans le cybercafé CB . (a) Justifier que B(Ω) = { kR, k ∈ N∗ }. (b) Donner la fonction de répartition de la variable T . (c) Montre que P(B = kR) = P(k − 1 < T ≤ k). En déduire que pour tout entier naturel non-nul k, P(B = kR) = e−α(k−1) (1 − e−α ). (d) On pose p = 1 − e−α . Montrer que la variable Z = R1 B suit une loi géométrique de paramètre p. En déduire l’espérance de B en fonction de α. (2) Soit A la variable aléatoire égale au coût de la session dans le cybercafé CA . (a) Justifier que A(Ω) = {2} ∪ { 3k, k ∈ N∗ }. α α (b) Montrer que P(A = 2) = 1 − e− 2 et P(A = 3) = e− 2 − e−α . (c) Montrer que pour tout entier k ≥ 2, P(A = 3k) = e−α(k−1) (1 − e−α ). (d) On rappelle la formule vraie pour tout q ∈] − 1, 1[ : +∞ X kq k−1 = k=1 1 . (1 − q)2 ¡ ¢ P −α(k−1) (1 − e−α ) et en déduire que Calculer +∞ k=2 3ke 3 . 1 − e−α (e) Dans cette question, on suppose que α = 2 ln(2). Montrer que E(A) − E(B) = 4 3 (2, 625 − R). Quel forfait horaire maximum doit proposer le cybercafé CB pour concurrencer CA ? (en euros et centimes d’euros) α E(A) = e− 2 − 1 + 1 2 OLIVIER COLLIER Exercice 3 (2011) Soit (X, Y ) un couple de variables aléatoires discrètes dont la loi de probabilité est indiquée dans le tableau ci-après : HH Y HH 1 2 3 4 X H H 1 0,08 0,04 0,16 0,12 2 0,04 0,02 0,08 0,06 3 0,08 0,04 0,16 0,12 (1) Déterminer les lois marginales de X et Y et indiquer si ces variables aléatoires sont indépendantes. (2) Déterminer Cov(X, Y ). (3) Déterminer la loi de la variable Z = X + Y . (4) On pose T = inf(X, Y ) et U = sup(X, Y ). Déterminer la loi du couple (T, U ). Exercice 4 (2011) Tous les jours, une entreprise doit envoyer un colis, pour cela elle utilise une des deux agences : l’agence A ou l’agence B. La probabilité pour que l’agence A livre le colis avec du retard est de 0, 1 et la probabilité pour que l’agence B livre avec du retard est de 0, 2. Les différentes livraisons sont indépendantes. Dans cet exercice, nous étudions diverses situations liées à ces données. Les hypothèses données pour une situation ne sont valables que pour cette situation. Situation 1. L’entreprise décide d’utiliser l’agence A pendant n jours consécutifs (n étant un entier non-nul). On note X la variable aléatoire représentant le nombre de jours où le colis arrive en retard parmi les n jours. (1) Déterminer la loi de X et rappeler la valeur de son espérance. (2) L’agence A fait payer à l’entreprise un prix de 8 euros par colis si le colis arrive dans le temps voulu et la livraison est gratuite si le colis arrive en retard. On note C le prix payé par l’entreprise après les n jours. (a) Exprimer C en fonction de X. (b) En déduire le prix moyen payé par l’entreprise pendant une durée de n jours. Situation 2. L’entreprise tente l’expérience suivante : à partir d’un jour donné que l’on notera le jour 1, elle décide d’utiliser l’agence A jusqu’à ce qu’un colis arrive en retard, le jour suivant elle utilisera alors l’agence B. On note Y la variable aléatoire représentant le numéro du jour où pour la première fois l’entreprise utilise l’agence B. (1) Justifier que Y (Ω) = N \{1}. (2) Montrer que ∀k ∈ N, k ≥ P 2, on a : P(Y = k) = (0, 9)k−2 × 0, 1. (3) Vérifier par le calcul que +∞ k=2 P(Y = k) = 1. Situation 3. L’entreprise fonctionne ici de la façon suivante : • Le premier jour, elle utilise l’agence A. • Si un jour donné le colis a du retard, alors l’entreprise change d’agence de transport. Sinon, elle conserve la même agence. Pour n ≥ 1, on note pn la probabilité pour que l’agence utilise l’agence A le nième jour. (1) Donner la valeur de p1 . EXERCICES - PROBABILITÉS 3 (2) Calculer p2 . (3) Montrer que : ∀n ≥ 1, pn+1 = 0, 7 × pn + 0, 2. (4) Déterminer pn en fonction de n puis la limite lorsque n tend vers +∞ de la suite (pn ). Interpréter ce résultat. Exercice 5 (2010) Tous les résultats approchés seront donnés à 10−3 près. La durée d’une communication téléphonique à grande distance est assimilée à une variable aléatoire X dont la fonction de répartition est définie par les formules : ( F (x) = 0 si x ≤ 0, 2 F (x) = 1 − e− 3 x si x > 0. (1) (2) (3) (4) Déterminer la densité de la loi X. Calculer la durée moyenne d’une communication. Calculer les probabilités P(3 ≤ X ≤ 9) et P(X ≤ 9|X ≥ 3). Une entreprise décide d’étudier, parmi 5 000 appels, le nombre de ses communications à grande distance dont la durée n’est pas comprise entre 3 et 9 unités. Soit Y la variable aléatoire égale au nombre de communications dont la durée n’est pas comprise entre 3 et 9 unités. (a) Quelle est la loi suivie par Y ? (b) Calculer E(Y ) et Var(Y ). (c) A l’aide d’une approximation convenable que l’on justifiera, calculer la probabilité pour que Y soit inférieure à 4300. Exercice 6 (2010) Partie A. f est la fonction définie sur ]0, 1] par f (x) = − ln(x) . ln(2) ¡ ¢ Si A est l’événement de probabilité P(A) non-nulle, on note i(A) = f P(A) l’incertitude de l’événement A. (1) (a) A est un événement tel que P(A) = 1. Calculer i(A) et commenter le résultat. (b) Calculer limx→0 f (x) et interpréter ce résultat en terme d’incertitude. (2) (a) A et B sont deux événement de probabilités non-nulles tel que A ⊂ B. Comparer i(A) et i(B). (b) On prélève une main de 4 cartes dans un jeu de 32 cartes bien mélangé. A est l’événement "la main contient les quatre as", et B l’événement "la main ne contient pas de figures". Calculer i(A) et i(B) puis comparer ces deux nombres. (3) A et B sont deux événements tels que P(A∩B) 6= 0. Montrer que A et B sont indépendants si et seulement si i(A ∪ B) = i(A) + i(B). Partie B. h est la fonction définie sur [0, 1] par h(0) = 0 et pour tout x de ]0, 1] par h(x) = x f (x). Si X est une variable aléatoire discrète d’univers-image {0, 1, . . . , n} et de loi de probabilité pi = P(X = i) pour 0 ≤ i ≤ n,Pl’incertitude moyenne de X, notée H(X), s’appelle entropie de X et est définie par H(X) = ni=0 h(pi ). (1) Montrer que pour tout x de [0, 1], h(x) ≥ 0. Que peut-on en déduire pour H(X) ? 4 OLIVIER COLLIER (2) Montrer que l’on a l’équivalence suivante : Xc est une variable aléatoire certaine ⇔ H(Xc ) = 0. (3) Calculer l’entropie d’une variable aléatoire Xu qui suit la loi uniforme sur {0, 1, . . . , n}. (4) (a) Montrer que pour tout x de ]0, +∞[, ln(x) ≤ x − 1 avec égalité lorsque x = 1. (b) En déduire que si (p0 , . . . , pn ) et (q0 , . . . , qn ) sont deux lois de probabilité sur {0, 1, . . . , n} et si pi , qi 6= 0 pour tout i, alors n ³q ´ X i pi ln ≤0 pi i=0 avec égalité lorsque pour tout i on a pi = qi . (Cette inégalité s’appelle l’inégalité de Gibbs.) (c) En utilisant l’inégalité de Gibbs, montrer que si la loi de X est (p0 , . . . , pn ), alors H(X) ≤ ln(n + 1) . ln(2) (5) Déduire des questions précédentes que pour toute variable aléatoire X discrète d’ensembleimage {0, 1, . . . , n}, on a H(X) ≤ H(Xu ) où Xu suit la loi uniforme sur {0, 1, . . . , n}. Commenter ce résultat. Exercice 7 (2009) Il existe deux médicaments A et B pour traiter une maladie M : le médicament A a des effets secondaires pour 2% des femmes et 7% des hommes. Le médicament B a des effets secondaires pour 5% des femmes et 3, 5% des hommes. Ces deux médicaments sont accessibles uniquement sur ordonnance. On choisit un malade de manière aléatoire. On définit les événements F : "le malade considéré est une femme", S : "le malade a des effets secondaires après la prise d’un médicament", M : " le malade est allé voir le médecin". (1) On suppose que dans la population, il y a autant d’hommes que de femmes. Quel médicament vaut-il mieux utiliser pour l’ensemble de la population ? (2) On réfléchit à la mise en place d’un nouveau médicament C qui coûte 5 euros de moins par patient que les médicaments A et B, mais qui nécessite un investissement initial de 1 000 euros. A partir de combien de patients ce médicament devient-il rentable ? (3) Une étude sociologique a montré que les hommes ne se rendent chez le médecin qu’une fois sur cinq lorsqu’ils sont atteints de la maladie M , alors que les femmes y vont systématiquement. Dans toute la suite des questions, on se placera dans ce cadre. Quelle est la probabilité qu’un malade soit allé voir le médecin ? (4) Quelle est la probabilité qu’un malade soit une femme sachant qu’il est allé voir le médecin ? (5) Quel médicament un médecin doit-il prescrire ? Exercice 8 (2009) On considère deux pièces A et B, dans lesquelles arrivent des appels téléphoniques. On désigne par X le nombre d’appels reçus dans la pièce A au cours d’une journée. On suppose que X suit une loi de Poisson de paramètre 1. De la même manière, Y désigne le nombre d’appels reçus dans la pièce B au cours d’une journée. On suppose que Y suit une loi de EXERCICES - PROBABILITÉS 5 Poisson de paramètre 2. On suppose que le nombre d’appels dans la pièce A est indépendant du nombre d’appels dans la pièce B. (1) Déterminer la loi du nombre total d’appels dans les deux pièces. (2) Calculer le nombre moyen d’appels dans la pièce A au cours d’une journée. (3) Quelle est la probabilité qu’il y ait eu dix appels au total dans la journée sachant qu’il y a eu cinq appels dans la pièce A ? (4) Quelle est la probabilité qu’il n’y ait pas eu d’appel dans la pièce A sachant qu’il y a eu six appels en tout dans les deux pièces ? (5) Soit n ∈ N. Calculer la loi du nombre d’appels dans la pièce A sachant qu’il y a eu n appels au total dans les deux pièces. Exercice 9 (2008) D’un naturel confiant, vous décidez d’acheter des objets d’art sur une brocante que vous venez de découvrir. Mais 80% des marchands installés sur cette brocante sont indélicats, pour seulement 20% de marchands sérieux... Un marchand indélicat procure à ses clients de la marchandise sans valeur la moitié du temps, alors qu’un marchand sérieux vend un article de qualité neuf fois sur dix. Après avoir acheté un objet à votre goût, vous consultez un ami connaisseur qui vous apprend que, par chance, vous avez acquis un objet de qualité. Quelle est la probabilité pour que vous ayez acheté cet objet chez un marchand sérieux ? Résolument optimiste, et malgré la mise en garde, vous vous rendez à nouveau, et à cinq reprises, sur cette brocante au cours de l’année, et y faîtes chaque fois l’acquisition d’un nouvel objet d’art sans précaution particulière. Quelle est la probabilité qu’au moins l’un de ces cinq objets soit de qualité ? Quelle est la probabilité que les cinq objets soient de qualité ? Quelle est l’espérance du nombre d’objets de qualité parmi vos cinq achats ? Exercice 10 (2008) Une société de marketing a observé que 30% des internautes a passé au moins une commande au cours de l’année 2006. On considère un échantillon de 100 internautes tirés au hasard avec remise et on note X le nombre d’internautes ayant passé au moins une commande dans l’année 2006. P (1) Montrer que X peut s’écrire X = 100 1 Zi où l’on définira les variables Z1 , Z2 , . . . , Z100 . En déduire la loi de X et préciser la valeur de E(X) et Var(X). (2) Par quelle loi peut-on approximer la loi de X ? ¡ ¢ (3) Calculer les valeurs approchées suivantes : P(X > 30), P |X − E(X)| ≤ 2 , P(X = 80). Exercice 11 (2008) (1) Montrer que l’espérance d’une variable aléatoire suivant la loi exponentielle de paramètre a > 0 est égale à a1 . (2) On suppose que la durée d’utilisation, en mois, d’un pneu de vélo neuf, avant qu’il ne crève, est une variable aléatoire, notée X, suivant la loi exponentielle de paramètre 0, 05. (a) Préciser l’espérance de X. (b) Quelle est la probabilité qu’un pneu ne crève pas pendant les deux premières années de son utilisation ? 6 OLIVIER COLLIER (c) Sachant qu’au bout d’un an d’utilisation, le pneu n’a pas crevé, quelle est la probabilité qu’il ne crève pas au cours des deux années suivantes ? (3) Déterminer le réel positif m vérifiant P(X > m) = 0, 5. (4) On considère un vélo muni de deux pneus neufs et on note X1 la variable aléatoire représentant la durée d’utilisation du pneu avant jusqu’à sa première crevaison, et de même, on note X2 la variable aléatoire représentant la durée d’utilisation du pneu arrière jusqu’à sa première crevaison. On suppose que les variables X1 et X2 suivent la même loi que X, et que, pour tout couple (x1 , x2 ) de réels, les événements [X1 ≤ x1 ] et [X2 ≤ x2 ] sont indépendants. On note T la variable aléatoire égale à la durée d’utilisation du vélo avant que l’un ou l’autre des deux pneus ne crève. (a) Pour tout réel positif t, exprimer l’événement [T > t] à l’aide des variables X1 et X2 et en déduire la fonction de répartition de la variable T . Reconnaître la loi de T et donner la valeur de son espérance. (b) On note V la variable aléatoire égale au plus grand des deux nombres (aléatoires) X1 et X2 . (i) Pour tout réel positif t, exprimer l’événement [V ≤ t] à l’aide des variables X1 et X2 et en déduire la fonction de répartition de la variable V puis une densité de celle-ci. (ii) Calculer l’espérance de V . Pourquoi, intuitivement, pouvait-on prévoir l’encadrement 20 ≤ E(V ) ≤ 40 ? (c) Déterminer les réels m1 et m2 vérifiant P(T > m1 ) = 0, 5 et P(V > m2 ) = 0, 5.