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Probabilités, loi de densité
Exercice 1 :
Albert est un marin participant à une course à la voile en solitaire. Son bateau est
très rapide, mais fragile en cas de tempête.
Les prévisions météo permettent d’estimer que, durant la course, la probabilité
qu’une tempête survienne est égale à 0,05.
En cas de tempête, on estime que la probabilité qu’Albert soit vainqueur de la
course est de 0,02. En revanche, si aucune tempête ne survient, la probabilité de
victoire d’Albert est de 0,8.
On considère les évènements :
 T : « une tempête survient pendant la course »
 V : « Albert est vainqueur de la course »
 T et V les évènements contraires respectifs des évènements T et V.
1. Traduire la situation par un arbre probabiliste
2. Quelle est la probabilité de l’évènement : « Une tempête survient et
Albert est vainqueur de la course » ?
3. Montrer que la probabilité qu’Albert remporte la course est égale à 0,761.
4. Calculer la probabilité qu’une tempête soit survenue sachant qu’Albert a
gagné la course. On donnera le résultat arrondi à 104 .
Exercice 2 :
Une entreprise fabricant des alarmes pour voiture possède trois usines de
fabrication située à Bordeaux, Grenoble et Lille. Un contrôle de qualité est fait
chaque mois sur les trois sites pour déterminer le nombre d’alarmes défectueuses
ou non. Le mois dernier, on a obtenu les résultats suivants :
Site de
Bordeaux
Défectueuses
Site de
Grenoble
160
En bon état
Total
Site de
Lille
Total
154
380
7900
3360
1266
1. Compléter le tableau précédent.
2. On choisit une alarme au hasard produite le mois dernier. On considère les
évènements B « l’alarme provient du site de Bordeaux », G « l’alarme provient du
site de Grenoble », L « l’alarme provient du site de Lille » et D « l’alarme est
défectueuse ».
On arrondira les résultats à 103 .
a) Calculer p( B) et p( D) .
b) Traduire par une phrase l’évènement B  D puis calculer sa probabilité.
c) Calculer pB ( D)
3. Lequel des trois sites semble être le plus efficace en terme de qualité de
production ? Justifier.
Exercice 3 :
ABCD est un carré de centre O et de côté 4 cm. On place de façon aléatoire un
point M sur le segment [OA] puis, on construit son symétrique M’ par rapport au
point O, qui appartient au segment [OC]. On appelle X la variable aléatoire égale à
l’aire du triangle BMM’, éventuellement aplati.
1. Faire une figure.
2. Quelle est la valeur prise par X lorsque M = O ? lorsque M = A ?
3. Quelle est la loi de probabilité suivie par la variable aléatoire X ? Justifier.
4. Calculer la probabilité de l’évènement X < 4. En déduire la position du point M
tel que X = 4 et vérifier en calculant l’aire du triangle dans ce cas.
5. Quelle est l’espérance de X.
Exercice 4 :
Le prix moyen d’un ustensile de cuisine est égal à 6,80€. On appelle X la variable
aléatoire égale à l’écart entre ce prix moyen et les prix constatés dans l’ensemble
des magasins en France.
La variable aléatoire X suit la loi normale centrée réduite N ( 0 ; 1)
1. Calculer P( X  1,2) et interpréter ce résultat.
2. Calculer P( X  0,7) et interpréter ce résultat.
3. A quelle fourchette de prix constatés correspond l’intervalle I tel que
P( X  I )  0,95 ?
Exercice 5 :
Une étude effectuée sur un groupe de jeunes enfants a montré que l’âge de
l’apparition des premiers mots suit la loi normale d’espérance 12,1 mois et d’écarttype 3,4 mois.
1. Déterminer la probabilité qu’un enfant pris au hasard dans ce groupe ait
prononcé ses premiers mots :
a) avant 10 mois.
b) après 18 mois.
c) entre 8 et 16 mois.
2. Sachant qu’un enfant n’a toujours pas prononcé ses premiers mots à l’âge de 10
mois, quelle est la probabilité qu’il les prononce avant l’âge de 15 mois ?
Exercice 6 :
La masse de pistaches mises en sac par une machine est normalement distribuée,
avec une espérance de 265g et un écart-type de 7g. Quelle masse devrait être
inscrite sur le paquet de telle sorte qu’environ 3 paquets sur 1000 pèsent moins que
cette valeur ?