Teoría de conjuntos, lógica y
temas afines II
Max Fernández de Castro
Departamento de Filosofía
Luis Miguel Villegas Silva
Departamento de Matemáticas
Universidad Autónoma Metropolitana Iztapalapa
Annus
Zur Ehre unseren Eltern
und zulässiger Ergötzung
des Geistes
A Vera y Martha
A Enriqueta, Emilio y Nicolás
iv
Prefacio
En este segundo volumen de Tecolote continuamos con el estudio de las lógicas no clásicas, la teoría
de conjuntos y la teoría de modelos. La disertación inicia con un análisis detallado de la metamatemática
de la teoria de conjuntos: después de establecer el lenguaje y los axiomas apropiados para la teoría de
Zermelo-Fraenkel-axioma de elección (ZFE), introducimos las nociones de relativización y absolutez.
Dado que buena parte de la disertación está basada en la hipótesis de que ZFE es consistente, hecho que
no podemos corroborar en ninguna teoría de la que podamos estar seguros de su consistencia, como
se comprobó en [FerVill13], es adecuado presentar una demostración de incompletud de ZFE en ZFE;
además, la prueba es más sencilla y da pie para introducir numerosos conceptos que serán de utilidad
posteriormente. Esto se efectúa en el segundo apartado, y si de consistenica se trata, pues que mejor que
seguir en este tenor y establecer el método de modelos internos para pruebas de consistencia relativa,
esto es, suponiendo la consistencia de ZF (o ZFE) mostrar que otras teorías más fuertes son también
consistentes, por ejemplo, ZF+HC o ZF+V=L. Aquí entran en juego la aritmetización del lenguaje y la
noción de deﬁnibilidad, centrales en buena parte de la obra.
El siguiente tópico son los grandes cardinales. Si ya conﬁrmamos la imposibilidad de probar, dentro de ZFE, la consistencia de ZF mismo, ¿qué ocurre si suponemos la existencia de grandes cardinales?
Dada la trascendencia de esta cuestión, trataremos de enfrentarla investigando a los grandes cardinales
desde el punto de vista de las propiedades combinatorias que de ellos se derivan, las relaciones que
guardan entre sí y cómo modiﬁcan el universo en que vivimos. Es importante resaltar que en buena medida la clasiﬁcación y el tratamiento de los grandes cardinales estan predispuestos por nuestro interés en
la teoría de modelos núcleo. Así que en esta obra sólo consideramos, y les llamamos pequeños, algunos
grandes cardinales que pueden vivir, en caso de existir, en el modelo núcleo más sencillo, el modelo
primigénio: el universo construible L de Gödel; estudiaremos primero cardinales inaccesibles débiles,
inaccesibles, Mahlo, e indescriptibles. Puesto que nuestra selección de grandes cardinales está determinada por L, justo es que introduzcamos este modelo interno y establezcamos varias de sus propiedades y
repercusiones en el universo de todos los conjuntos, motivando, en buena medida, este trabajo, otra vez,
por nuestro interés en modelos núcleo más complejos; por ello es que, si bien nuestro primer encuentro
con L será a través de la operación Def (que reporta los conjuntos deﬁnibles en una cierta estructura) rápidamente incursionamos en otro método de elaboración del universo construible. Con este ﬁn
aparecen las funciones rudimentarias y sus tías, las funciones de conjunto primitivo recursivas. Como
su nombre lo indica, las funciones rudimentarias tienden a comportarse, digamos, un tanto incivilizadas,
por lo que los estratos de L, que son cerrados respecto a ellas, no propician un arrebato desmedido, pues
son pocos los axiomas de ZFE que se convalidan en ellos. Pero ellas resultan maravillosas en cuanto
al estudio detallado de la forma en que aparecen nuevos conjuntos, por lo que son la base de todo el
desarrollo posterior de los modelos núcleo y es imposible sobrestimar su trascendencia, razón por la
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Prefacio
Teoría de conjuntos lógica y temas aﬁnes I
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cual dedicamos una porción de este trabajo a su estudio. Más loable es, en cambio, el comportamiento
de los estratos de L cerrados respecto a las funciones de conjunto primitivo recursivas que nos permiten
demostrar resultados de la magnitud del lema de condensación y el teorema de estabilidad, y de hecho,
dan la impresión de que es poco lo que les falta para equipararse con ZFE. Resulta ser que al tratar de
remediar esta carencia logramos una deﬁnición de enorme relevancia: la de los conjuntos admisibles,
que en particular son cerrados respecto a funciones de conjunto primitivo recursivas, pero no sólo eso:
en ellos podemos generalizar la teoría ordinaria de recursión y obtener numerosos resultados de la teoría
de modelos. Más aún, mediante la noción de ordinal admisible desplegamos un amplio estudio de los
estratos admisibles o p.r. cerrados del universo construible L, y estamos en posición de introducir un
principio combinatorio enormemente poderoso: una semimorass. Este complejo sistema propicia construcciones sumamente elaboradas, por ejemplo un árbol de Kurepa, algunas variaciones del diamante y
otros más.
A propósito de la teoría modelos, parecería que la hubiésemos olvidado, pero no es así; en todo
este desarrollo ha estado presente desde los modelos de ZFE hasta los modelos admisibles, pasando por
los modelos internos de subteorías de ZFE. No obstante el entusiasmo que podamos haber adquirido en
cuanto a las posibilidades de la teoría de modelos en [FerVill13], lamentablemente quedaron muchos objetivos inasequibles por diversas carencias mostradas en cuanto a expresividad se trata. Por ello es que,
en un intento por mejorar este escenario aparecen ciertas lógicas no clásicas: introducimos los lenguajes
(o lógicas) inﬁnitarias, incluso, emplearemos admisibilidad para incorporar una clase amplia de lenguajes
inﬁnitarios más expresivos que primer orden, pero que mantienen una ﬁgura excepcional: compacidad,
a saber, contamos con el teorema de compacidad de Barwise, al menos para conjuntos admisibles numerables. Súbitamente adquirimos una capacidad de expresión envidiable, pero de inmediato enfrentamos
problemas ciertamente graves: perdemos compacidad (con excepciones) y los teoremas de LöwenheimSkolem, aunque podemos rescatar diversos resultados de la teoría de modelos de primer orden. Más
aún, podemos apelar a teorías que ya habremos tratado para entonces: la de los grandes cardinales y
la de las estructuras admisibles; ambas pueden aportar, en ciertos casos, un ingrediente esencial: cierto
grado de compacidad, como ya mencionamos, y algunas variantes del teorema de Löwenheim-Skolem
creciente. Otro posible remedio para la ausencia de compacidad se discutirá ampliamente: las propiedades de consistencia y el teorema de existencia de modelos. Una ﬁgura principal en ese contexto es el
método de ida y vuelta para mostrar equivalencia elemental respecto a lenguajes inﬁnitarios.
De este devenir surgen nuevas clases de grandes cardinales: los compacto débiles, inefables y sus
primos los sutiles, casi inefables y otros más. Presentamos numerosas caracterizaciones para cardinales
compactos débiles; los cardinales inefables impulsan diversas representaciones estableciendo un límite
para la validez de ciertos principios combinatorios como la hipótesis de Kurepa, ♦∗κ y ♦#
κ . Aquí jugarán
un papel escencial las semimorasses. Entre muchas, describiremos a los cardinales compacto débiles en
L en términos de gráﬁcas, relaciones de partición, etc.
En seguida aparecen otras lógicas no clásicas: el siguiente capítulo está consagrado a los aspectos
modelo-teóricos de la lógica modal proposicional. A diferencia de los enfoques tradicionales que siguen
el orden histórico y presentan primeramente sistemas axiomáticos modales y sólo entonces introducen
la semántica, este capítulo inicia con la deﬁnición de modelos de Kripke y la deﬁnición de verdad para
lenguajes que contienen operadores modales. El énfasis recáe en cómo el lenguaje modal se vuelve así
una herramienta para describir estructuras muy sencillas, gráﬁcas dirigidas en que puede haber diveros
tipos de ﬂechas uniendo los nodos de la estructura y en que cada nodo contiene una cierta informa-
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Universidad Autónoma Metropolitana
Prefacio
ción. La ventaja de tomar un lenguaje sencillo como los lenguajes modales proposicionales es la gran
variedad de fenómenos que pueden ser modelados por este tipo de representaciones y, por lo tanto,
que pueden ser descritos por el lenguaje modal correspondiente: el conocimiento de un individuo o un
grupo, autómatas, las relaciones temporales y el ﬂujo de información, son algunos ejemplos. La pregunta
central del capítulo es qué tipo de estructuras pueden ser descritas por el lenguaje modal proposicional
o, dicho de otra forma, dadas dos gráﬁcas del tipo mencionado en qué casos el lenguaje puede distinguirlas. Esta pregunta se desdobla en otras dos, dependiendo de si estamos describiendo modelos o
sólamente marcos. En el primer caso, el lenguaje modal puede ser visto como un fragmento del lenguaje
de primer orden clásico, gracias a la traducción estándar que permite obtener para cada fórmula modal
una fórmula de primer orden equivalente (en cierto sentido). En una sección mostramos que los modelos puntuados que tienen entre sí la relación de bisimilaridad son modalmente indistinguibles y esto
comprende como casos particulares modelos que se obtienen unos de otros por aplicación de ciertas
construcciones modelo-teóricas clásicas. Enseguida demostramos una propiedad central de una gran
variedad de lenguajes modales: que si una fórmula es satisfacible, entonces es verdadera en un modelo
puntuado ﬁnito, lo que abre la puerta a los resultados de decidibilidad. En las siguientes secciones nos
concentramos en el teorema de caracterización de Van Benthem que delimita precisamente el fragmento
del lenguaje de primer orden que es equivalente a la traducción de una fórmula modal. En lo que sigue
pasamos al segundo tema anunciado: el tipo de marcos que pueden ser descritos por fórmulas modales.
En esta función, el lenguaje modal puede ser considerado como una sección del lenguaje de segundo
orden clásico incomparable en riqueza descriptiva con el lenguaje de primer orden. El teorema central
de esta sección es el de Goldblatt-Thomason que acota precisamente las clases de marcos deﬁnibles
en primer orden que también son modalmente deﬁnibles. El capítulo que sigue es un suplemento al
anterior. Presenta cuatro temas hasta cierto punto independientes pero con alguna relación entre sí. En
la primera parte del mismo hacemos una breve generalización de tipos de pruebas de completud de
sistemas axiomáticos formales (que ya hemos expuesto en otro volumen) y probamos la incompletud
de algunos sistemas. Coon ello complementamos no sólo los temas semánticos antes tratados sino que
destacamos su inteés al exhibir la insuﬁciencia de la sintaxis. Después de todo fue el descubrimiento
de la incompletud una de las grandes motivaciones para el desarrollo de la lógica modal en los años
setentas del siglo pasado. Las tres siguientes secciones tienen como objetivo ilustrar los métodos del
capítulo anterior y la utilidad que variaciones de la semántica de Kripke tienen para modelar situaciones
epistémicas y el condicional del lenguaje ordinario. La segunda parte del capítulo está dedicada a la
lógica del conocimiento común, es decir, a estudiar un operador cuya contraparte semánica es la cerradura reﬂexiva y transitiva de la unión de todas las relaciones de accesibilidad. Aunque está introducido
con motivaciones epistémicas, el tema es más general. La siguiente sección presenta los sistemas AGM
para modelar el cambio racional de creencias. Tres grupos de axiomas restringen lo que puede ser
considerado respectivamente una expansión, una contracción o una revisión del conjunto de creencias
de un agente racional cuando éste recibe nueva información, sea consistente o no con lo que hasta entonces creía. Presentamos algunos resultados de caractetización de estas operaciones en términos de
teoría de conjuntos y de un operador de consecuencia lógica. El resto del capítulo está consagrado al
uso de sistemas modales para tratar diversos tipos de condicionales. Una sección introduce las lógicas condicionales propuestas por Stalnaker y D. Lewis y algunas variantes de las mismas para modelar
ciertos usos del condicional del lenguaje ordinario para el cual no son válidas ciertas leyes que la lógica clásica autoriza. Estudiamos allí las ventajas y desventajas de estas propuestas. En el capítulo nos
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Teoría de conjuntos lógica y temas aﬁnes I
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interesa mostrar que los sistemas modales no sólo tienen aplicaciones en la modelación de cierto tipo
de fenómenos, sino que las herramientas a las que recurren (como la semántica relacional de Kripke)
pueden generalizarse para producir otras aplicaciones interesantes (el análisis de los condicionales, por
ejemplo). Con esto esperamos generar el interés del lector en esta clase de sistemas.
Como ya mencionamos en [FerVill13], los ejercicios conforman una parte indispensable en el libro, y lo mismo podemos decir en esta ocasión, aunque quizá esta vez, es necesario remarcar aún más
este punto, pues la mayor parte de los ejercicios están encaminados a incorporar métodos, resultados,
nociones, etc. que por falta de espacio no pudimos describir en el texto, pero que son indispensables
para un correcto desarrollo de las teorías arriba bosquejadas. Algunos ejercicios se relacionan entre sí,
aquellos se requieren para resolver estos, ciertos ejercios presentan un resultado particular, que en otro
aparece en forma más general. Hemos permitido esta situación pues puede resultar provechoso para los
lectores tratar primero la situación particular, antes de involucrarse con procedimientos más generales,
pero que pueden ocultar fácilmente ideas relevantes o inhibir razonamientos intuitivos, especialmente
para aquellas personas que recién se inician en estas áreas.
La bibliografía representa las obras que hemos consultado para elaborar este volumen y como
siempre, son el origen de los resultados presentados. Otra vez, debe quedar claro que es enorme, inmenso
cuánto debemos a estas obras, y que como se disertará en el texto, hemos procurado abundar y en lo
posible corregir algunas inexactitudes presentes en la literatura. Esta vez hemos sido más ambiciosos y
expandimos consierablemente el material, por lo que una porción de los resultados aparece por primera
vez publicado.
Una consideración de suma importancia radica en una parte esencial de la teoría de modelos núcleo:
la así llamada teoría de estructura ﬁna. El lector encontrará numerosas referencias a ella en el texto,
mismas que podrían causar la impresión de que se trata de una teoría superﬂua o que queremos evitar
a toda costa. Nada mas alejado de nuestra intención; se trata de una parte indispensable en cualquier
desarrollo futuro de la obra, pero que dada su enorme importancia, requiere de un espacio que en esta
ocasión no podemos concederle, por lo que hemos preferido posponer su introducción a un volumen
posterior. Hemos procurado evitar presentar resultados que la requieren, o incluso desarrollar pruebas
alternativas a las existentes de algunos resultados, que prescindan del uso de esa teoría, simplemente por
el hecho de que la complejidad de la estrcutura ﬁna exige un alto grado de madurez por parte del lector
y es nuestra intención sucitar esta condición mediante el desarrollo que presentamos en este tomo. Por
ello es que cualquier comentario en el texto al respecto debe entenderse como una muestra del enorme
respeto que tenemos por dicha teoría, para la que reservamos un lugar muy especial en nuestra escritura.
Versiones preliminares de este libro se han utilizado en varios cursos y seminarios. Los autores
agradecen los comentarios, sugerencias y correcciones de los estudiantes involucrados Homines, dum
docent discunt, especialmente Kinrha Aguirre, Cecilia Hernández, y Oscar Rendón. Ni tianguis sin
ratas, ni libro sin erratas. El segundo autor agradece al departamento de lógica matemática (mathematische Logik Abteilung) de la Universidad Albert-Ludwig, Freiburg, Alemania su hospitalidad durante
la primera etapa de la elaboración de este libro, en particular a Heike Mildenberger y Jörg Flum por su
apoyo.
Sería de enorme ayuda para los autores conocer las opiniones de colegas, lectores, estudiantes, etc.
acerca de este libro, por lo que mucho agradeceríamos nos enviaran sus comentarios a la dirección de
correo electrónico Floreat nostra schola:
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Universidad Autónoma Metropolitana
Prefacio
teolote.librosgmail.om
Este libro se elaboró en el marco del proyecto CONACyT "Los problemas del conocimiento y la
comprensión en matemáticas" (13611289), el Programa de Estancias Sabáticas (186412), y el proyecto
Colaboración Interinstitucional sobre Temas de Álgebra de PROMEP (convocatoria 2011) por lo que los
autores agradecemos el apoyo recibido de parte de CONACyT y SEP.
Notación
✣ ϕ(A) es el conjunto deﬁnido por la fórmula ϕ en la estructura A.
P
µ
κλ
✣ κ⌣ =
λ<µ
λ cardinal
✣ N+ = N − {0}.
Eshbah Hohshwarzwald- Mexio D.F., junio del 2015
Prefacio
Teoría de conjuntos lógica y temas aﬁnes I
vi
Índice
I La teoría de Zermelo, Fraenkel y el axioma de elección
I.1 El lenguaje de la teoría de conjuntos (LTC) . . . . . . . . . .
I.2 Los axiomas de ZFE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
I.3 Fórmulas Σ0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
I.4 Subteorías de ZFE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
I.5 Buen orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
I.6 Relaciones bien fundadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
I.7 La jerarquía de Von Neumann . . . . . . . . . . . . . . . . .
I.8 La relativización de una fórmula respecto a un LTC-término.
I.9 Absolutez de Fórmulas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
I.10 Relativización de términos respecto a términos . . . . . . . .
I.11 Absolutez de LTC-términos . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
I.12 Relativización y absolutez de cardinales. . . . . . . . . . . . .
I.13 Los principios de reﬂexión . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
I.14 La jerarquía de Lévy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
I.15
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II Aritmetización e incompletud de ZFE
II.1 Aritmetización del lenguaje . . . .
II.2 La verdad no se puede deﬁnir . .
II.3 Los teoremas de incompletud . . .
II.4 Deﬁnabilidad . . . . . . . . . . . .
II.5 Gödelización del lenguaje . . . . .
II.6 Pruebas de consistencia relativa .
II.7
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III Grandes cardinales: los pequeños
III.1 Los pequeños . . . . . . . .
III.2 Cardinales Mahlo . . . . . .
III.3 Combinatoria inﬁnita . . . .
III.4 El teorema de Erdös-Rado . .
III.5 Cardinales indescriptibles . .
III.6
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IV El universo construible
IV.1 La jerarquía construible . . . . . . . . . .
IV.2 El principio ♦ y algunas de sus variantes
IV.3 La hipótesis de Kurepa . . . . . . . . . .
IV.4 El diamante en otras cardinalidades . . .
IV.5 Generalizaciones del ♦ . . . . . . . . . .
IV.6 El diamante débil . . . . . . . . . . . . .
IV.7 El principio 2∗κ . . . . . . . . . . . . . . .
IV.8 El principio 2κ . . . . . . . . . . . . . . .
IV.9
Ejeriios . . . . . . . . . . .
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V Admisibilidad, recursión y constructibilidad rudimentaria
V.1 Conjuntos admisibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
V.2 Funciones y relaciones primitivo recursivas y rudimentarias
V.3 Funciones de conjunto primitivo recursivas . . . . . . . . . .
V.4 Aritmetización p.r. de lenguajes . . . . . . . . . . . . . . . .
V.5 Deﬁnibilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
V.6 Un teorema de recursión para las funciones p.r. . . . . . . .
V.7 El universo construible de Gödel y las funciones p.r . . . . .
V.8 Estabilidad y condensación . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
V.9 La jerarquía construible y admisibilidad . . . . . . . . . . . .
V.10 Semimorasses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
V.11 Otra vez L y admisibilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ejeriios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
V.12
VI Lenguajes infinitarios
VI.1 Lenguajes inﬁnitarios . . . . . . . . . . . . . .
VI.2 Clasiﬁcación de morﬁsmos mediante fórmulas
VI.3 El teorema de Löwenheim-Skolem decreciente
VI.4 Primeras aplicaciones: álgebra . . . . . . . . .
VI.5 Grupos abelianos y lógica inﬁnitaria . . . . . .
VI.6 Teoría de modelos . . . . . . . . . . . . . . . .
VI.7 El teorema de isomorﬁsmo de Scott . . . . . .
VI.8 Buen orden en Lω1 ω . . . . . . . . . . . . . . .
VI.9 El teorema de omision de tipos . . . . . . . . .
VI.10 Incompacidad de los lenguajes inﬁnitarios . .
VI.11 Ultraproductos . . . . . . . . . . . . . . . . . .
VI.12 Ida y vuelta en lógica inﬁnitaria . . . . . . . .
VI.13 Aproximaciones numerables . . . . . . . . . .
VI.14 El teorema de compacidad de Barwise . . . .
Ejeriios . . . . . . . . . . . . . .
VI.15
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566
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644
648
651
671
674
685
Teoría de conjuntos lógica y temas aﬁnes II
ix
VII Cardinales compacto débiles y similares
VII.1 Cardinales compacto débiles y Π1n (Σ1n )-indescriptibles . . . . . . . . . . . . .
VII.2 Aplicaciones al álgebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
VII.3 Cardinales inefables y sutiles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
VII.4 Particiones arbóreas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
VII.5 El principio ♦∗κ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
VII.6 Tiempo de echarnos unos volados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
VII.7 Más aplicaciones de las semimorasses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
VII.8Mas caracterizaciones de cardinales compacto débiles y resultados relacionados
VII.9Sucesores de cardinales singulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
VII.10
Ejeriios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
VIII Lógica modal proposicional desde una perspectiva semántica
VIII.1 Conceptos Básicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
VIII.2 Teoría de la Correspondencia I . . . . . . . . . . . . . . . . .
VIII.3 La propiedad del modelo ﬁnito . . . . . . . . . . . . . . . . .
VIII.4 Teoría de la correspondencia II . . . . . . . . . . . . . . . .
VIII.5
Ejeriios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
IX
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Completud, incompletud y aplicaciones de los sistemas modales
IX.1 Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
IX.2 Completud e Incompletud . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
IX.3 La lógica del conocimiento común . . . . . . . . . . . . . . . . .
IX.4 Revisión de creencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
IX.5 Una introducción al problema de los condicionales . . . . . . . .
IX.6
Ejeriios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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719
722
739
757
771
785
788
794
807
817
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897
899
914
935
942
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967
967
968
981
991
1009
1017
1021
Índices
1027
Índice
IX.6
Teoría de conjuntos lógica y temas aﬁnes II
IX
Completud, incompletud y aplicaciones de los sistemas modales
1019
Bibliografía
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Teoría de conjuntos y temas aﬁnes II
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κ
Índice de símbolos
(M, ~a) ∼0 (N, ~b), 625
(M, ~a) ∼α (N, ~b), 625
(a0 , . . . , an−1 ) ∼2 (b0 , . . . , bn−1 ), 652
(t(~x) : ϕ(~x)), 11
x
~
<L , 272
<α , 528
<λ , 272
<Lν , 272
Aν , 487
BO(A, R), 20
BOF (A, R), 20
B ≤wα A, 528
B + , 552
Bν , 487
CT (x), 411
Cκ [Reg], 873
Con(A), 12
Const, 436
Constu , 436
D(p, n, A), 617
D = f∗ (U), 371
Def , 454
E′, 8
E1, 5
E1A~ , 5
E2, 8
Eακ , 212
Exp(p, n, A), 617
F : A ↔ B, 11
1−1
F : A → B, 11
F : A → B, 11
F : A ։ B, 11
Fα (A, B), 703
F ml, 438
F ml(LT C), 5
F ml(Lκλ (L)), 567
F mlu , 438
F n(κ, λ, ξ), 243
F r(ϕ), 5, 439
F un(f ), 11
G(Q, A), 706
G(Qϕ, A), 706
G = A(I, J, W ), 714
GT , 715
H(κ, λ), 465
HK, 290
HKκ , 306, 307
HKκ,γ , 308
HPκ , 307
Hκ , 35
I :A∼
=2 B, 651
∼
I : A =κ B, 655
I[κ], 890
I ↾ S, 240
KHκγ , 312, 320
Kη , 516
L, 267
LT C(A1 , . . . , An ), 5
L[A], 308
Lα , 267
Lα [A], 308
Lκλ (L), 566
L∞∞ , 566
Mod(A), 443
NDκ , 302
NSκ , 303
OLE(A, R), 20
Or, 12
1028
1029
P C(T, λ), 640
P C(λ, µ), 640
P Cδ , 640
P F mlu , 437
P Hκκ, 706
P RC(α), 463
Pκ (ρ, τ ), 246
Pκ∗ (ρ, τ ), 246
Pκ,γ , 308
P f ml, 437
R[A], 10
R ◦ P , 10
R ↾ A, 10
R−1 [A], 10
S(A, ϕ), 702
SC∞ω (L), 583
Sk B (X), 255
T EC, 14
T H(F ), 247
T Hκ+ , 246
T P (κ, λ), 244
T t , 201
T eoκλ(A), 570
T f (p, n, A), 617
T m, 6
T mA~ , 6
T rans(A), 12
U(p, n, A), 617
Un(A), 444
V = L, 269
V ar, 436
V ar(ϕ), 439
V aru , 436
We , 516
ZF ′ , 17
ZF E − , 19
ZF − , 14
[x1 , . . . , xn ], 461
A ⋐ B, 583
A ⋐f B, 583
A∼
=ακ B, 659
A∼
=sκ B, 657
A ≡κλ B, 570
Teoría de conjuntos y temas aﬁnes II
A Γ B, 583
A Γκλ B, 583
A(I, J, W ), 714
2(λ, < κ), 244
2µ (κ, λ), 885
2κ , 297
2κ (E), 296
2∗κ , 340
2κ,λ , 344
G, 231
L∞λ , 568
L∞∞ , 568
M, 495
M(W ), 183
Mκ (W ), 185
ΦS , 325
Φκ , 325
S(K), 604
U <RK V, 371
Z(p∞ ), 610
Z(p) , 611
Zpk , 610
α, 463
an (α, β), 472
♣∗S , 330
♣−
S , 329, 330
ν κ ν, 795
∼
=2 , 651
∼
=κ , 655
∼
=ακ , 659
>
2, 252
♦, 281
♦(I), 241
♦S , 329
♦∗S , 329
♦κ , 335
♦′κ , 335
♦′′κ , 868
♦κ (A), 890
♦∗κ , 785
♦∗κ (E), 300
♦+
κ (E), 300
♦∗ , 293
Índices
Índices
♦+ , 294, 295
♦#
0 , 523
♦1 , 286
♦2 , 287
♦3 , 287
♦4 , 287
♦κ , 296, 297
♦′κ , 299
♦κ (E), 296, 318
♦∗κ , 320
♦+
κ , 299
♦+
κγ , 308
♦
♦+
κ+ , 487
♦′κ , 486
♦+
κ , 486
♦♯κ , 486
∃ =1 xϕ, 10
∃ x ∈ Aϕ, 12
∀ x ∈ Aϕ, 12
Γ, 428
Γ∨ , 582
Γ∧ , 582
α∗ , 511
α+ , 552
ϕ(x/t), 441
ϕa , 672
ϕφα , 573
ϕ<
α (v0 ), 572
v), 625
ϕ~M
a,α (~
ω, 12
σ1 cf (α, a), 530
σn cfα (ρ), 517
σn p(α), 517
ˆ κ (E), 303, 381
2
ιxϕ, 10
limσ h(σ, x), 531
|=Σ0 ϕ, 447
¬ΦS , 325
¬Φ
Q κ , 326
QD C, 372
D Ai , F 706
{e}A = B, 528
η λ , 843
⌣
Universidad Autónoma Metropolitana
j, 254
an , 460
cln (x), 472
congκs , 657
dom(R), 10
f ∗ g, 568
f ld(R), 10
l(γ), 432
ql(Γ), 696
r(γ), 432
r(f, g), 593
ran(R), 10
rk(x), 411
rudA , 418
v ↾ ρ, 566
wC(κ+ ), 247
wCC(κ+ ), 247
BF (A), 92
BO(R, A), 19
BOF (R, A), 20
CT (x), 27
∆Tn , 80
Fin, 407
HA, 91
HA, 91
HC, 91
HF , 91
HOD , 144, 146
HOD(M), 153
LTC, 5
OD , 144
OD(M), 153
OLE(R, A), 19
v˙ W , 40
Φ((x)0 , ~z), 83
ϕ((x)1 , ~z ), 83
ϕ((x)ni , ~z), 83
ϕ(x(y), ~z), 83
1030
1031
Πn , 79
πR , 38
ΠTn , 80
RBF (R, A), 25
(Reemp)loc , 75
rk(·), 34
Σn , 79
ΣTn , 80
Subf, 691
T rans(x), 27
tW , 51
Vα , 32
V (α, A), 92
V, 33, 144
Z, 91
ZF, 14
Teoría de conjuntos y temas aﬁnes II
Índices
Índice alfabético
– de regularidad, 13
– de remplazo, 13
– de remplazo fuerte, 507
– de unión, 8, 13
axiomas
– árboles, 578
– aritmética de Peano, 570
– conjuntos
Hκ , 577
– conjuntos bien ordenados, 571
– de conjuntos transitivos, 577
– grupos
simples, 576
– jerarquía von Neumann, 577
– para grupos de torsión, 575
axiomatización
– inﬁnitaria
de G1 (K), 599
– ﬁnita, 78
– inﬁnitaria
de Gm (K), 600
A
absolutez
– de cardinales, 67
– de fórmulas, 49
– de un término, 57, 61, 67
– del rango, 66
altura ordinal, 33
T -aproximación, 715
(κ, λ, ξ)-árbol, 244
λ, κ-árbol, 715
árbol
– de Aronszajn especial, 339
– de Kurepa, 290, 294, 495
– de Souslin, 278
– delgado, 244
– normal, 340
– puro, 702
– ramiﬁcado, 202
aritmética
– consistencia de la, 139
– números naturales, 570
Aussonderung, 13
axioma
– de fundación, 144
– de comprensión, 13
– de constructibilidad, 269
– de elección, 13
– de existencia, 8, 13
– de extensionalidad, 13
– de fundación, 13
– de inﬁnito, 13
– de par, 8, 13
– de potencia, 13
– de reemplazo local, 75
B
buen orden
– A-ﬁnito, 553
– en Lω1 ω , 631
– en conjuntos admisibles, 633
– fórmula de LTC, 20
– fuerte, 19
C
cardinal
– n-casi inefable, 782
– E-sutil, 857
– inaccesible, 93, 863
1032
1033
– inaccesible fuerte, 175
– inefable, 868
– n-inefable, 782
– límite, 93
– Π1m -indescriptible débil, 777
– regular, 93
– subcompacto, 353
– n-sutil, 782
– n-sutil, 858
α-cardinal, 517
cerradura
– admisible, 464
– rud, 416
– transitiva, 27, 93
cerradura p.r. de un ordinal, 463
cerrdura
– p.r, 416
clase
– reﬂejo, 74
– relación de orden, 19
clasiﬁcación de Szmiliew, 620
Σn (Lα )-código maestro, 520
Σn (Lα )-coﬁnalidad, 517
colapso de Mostowski, 39, 92
color, 203
conjetura de Chang, 868
conjunto
– admisible, 394
– Σn -admisible, 512, 522
– Σn -admisible fuerte, 512
– admisible fuerte, 507
– α-ﬁnito, 516
– α-r.e., 516
– α-r.e. en A, 528
– α-recursivo, 516
– α-recursivo débil, 528
– β-modelo, 554
– bien ordenado, 20
– deﬁnible por ordinales, 144
– δ-cerrado, 874
– ρ-dirigido, 696
– estable, 553
– ηα , 658
Teoría de conjuntos y temas aﬁnes II
– hiperregular, 530
– n-casi inefable, 861
– linealmente ordenado, 201
– p.r. cerrado, 416
– recursivamente inaccesible, 552
– reﬂejante, 212
– rud cerrado, 416
– semibueno, 703
– viable, 514
– Σn -viable, 514
conjuntos
– ηα , 688
consistencia
– relativa, 139
de ZF − Fund + ¬AE , 92
– – de la aritmética, 139
– – de ZF E, 144
– – del axioma de fundación, 144
– – principio de, 148
constructibilidad relativa, 308
criterio de Tarsky, 700
cuadro lábil, 254
D
diagrama, 697
diamante, 281
– débil, 325
E
enunciado de Scott, 669
(λ+ , ~µ)-escala, 345
λ+ -escala buena, 345
λ+ -escala mejor, 346
esquema
– de prueba, 707
– inductivo
∈, 26
estructura
– dócil, 505
– F -prima, 642
– F -tómica, 642
– uniformada, 499
– Σn -uniformada, 499
estructuras
Índices
Índices
Universidad Autónoma Metropolitana
– κ-parcialmente isomorfas, 655
– fuertemente κ-isomorfas, 657
– parcialmente κ-isomorfos hasta α, 659
∈-término, 40
existencia de modelos extendida, 625
F
fórmula
– ΣT0 EC , 51
– ∆0 , 93
– ∆n , 93
– relativizada, 40
familia
– de Kurepa, 290
– κ-Kurepa, 306
ﬁltro
– compacto débil, 866
– normal, 251
– (λ, κ)-regular, 705
– semibueno, 703
fórmula
– aproximación, 672
– de Horn, 706
– F -completa, 640
– F -completable, 642
– F -incompletable, 642
– inﬁnitaria, 567
– Σ0 , 14
función
– aproximación, 30
– colapso, 38
– rango, 34
propiedades, 34
función
– α-recursiva, 516
– α − A-recursiva parcial, 530
– de Ackermann, 460
– de Skolem, 499
– Σn -de Skolem, 499
– inicial, 408
– manejable, 451
– p.r., 407
– pareja de Gödel, 428
1034
– principal, 532
– regresiva, 859
– rud, 408
– rud en A, 418
– rudimentaria, 408
– simple, 412
– uniformadora, 499
– Σn -uniformadora, 499
función de Skolem, 687
– incorporada, 687
función o.p.r., 424
funciones inversas a la función paereja de Gödel,
432
G
Γ-morﬁsmo, 582
grupo
– p-longitud acotada, 616
– puro, 256, 613
– reducido, 611
– sistema p-independiente, 613
– Szmiliew, 612
– Szmiliew estricto, 617
grupos
– abelianos, 610
– exponente acotado, 615
H
hipótesis
– de Kurepa, 290
– de Prikry, 307
– transversal, 246
HK, 290
homomorﬁsmo, 37
I
ida y vuelta, 651
ideal, 239, 775
– compacto débil, 866
– κ-completo, 239, 775
– κ-normal, 252
– no trivial, 775
– normal, 239, 775
– numerablemete completo, 239
1035
Teoría de conjuntos y temas aﬁnes II
– principal, 239
– propio, 239, 775
– saturado, 240
– trivial, 239
independencia de Pot, 176
intersección
– diagonal, 239
invariante
– Szmiliew, 617
– Ulm-Kaplansky, 618
J
jerarquía
– acumulativa, 72
– de von Neumann, 46
jerarquía
– construible, 267
– de von Neumann, 32
juego
– S(A, ϕ), 702
– cerrado, 714
– de Ehrefeucht-Fraisse, 703
– e, 714
– sa, 714
∞, κ − a-juego, 714
a-juego
– estándar, 714
L
lema
– de relativización, 51
– de condensación, 469
– de estabilidad, 465
– del modelo, 41
– estabilidad, 522
– fundamental de modelos internos, 140
lenguaje
– P L, 706
– incompacto, 644
– teoría de conjuntos, 5
LTC, 5
M
matriz
– de Jensen, 254
– de Jensen débil, 254
matriz de Sylvester, 593
método
– de modelos internos, 140
– de ida y vuelta, 651
modelo
– lema del, 41
– transitivo numerable, 147
módulo
– delgado, 888
– κ-libre, 887
– κ-libre fuerte, 888
– localmente libre, 888
– separable, 888
Lκλ (L)-morﬁsmo, 583
O
ordinal
– admisible, 504
sucesor, 552
– aproximable, 890
– reﬂejante, 532
P
p.r. cerradura, 416
partición semibuena, 703
PC clase, 640
pre juego, 705
principio
– de Prikry, 369
– de reﬂexión de Levy, 75
producto
– reducido, 706
límite, 706
propiedad
– de consistencia, 620
– de extensión de Keisler, 724
proyección
– de un conjunto, 553
Σn (Lα )-proyección, 518
proyecto, 511, 516
∆n (Lα )-proyecto, 531
Σ1 (Lα , A)-proyecto, 530
Índices
Índices
Universidad Autónoma Metropolitana
Σn -proyecto, 517
prueba por ∈-inducción, 401
R
rama
– de Ackermann, 471
rama de Ackermann, 460
rango, 34
– absolutez del, 66
– de Scott, 627
recursión
– en ordinales, 31
– sobre CT , 405
reﬂexión, 399
– para LTC, 74
– principio de, 75
– principio de Lévy, 75
– principio restringido, 77
– principios de, 72
regla min acotada, 425
relación
– bien fundada, 25
– de equivalencia acotada, 243
– ﬂecha, 202
relación
– o.p.r, 424
– p.r., 408
– rud, 408
relativización, 40
– de la coﬁnalidad, 70
– de cardinales, 67
– de un término, 51
resultante, 593, 595
rud cerradura, 416
S
satisfacción fórmulas inﬁnitarias, 568
seudo buen orden, 553
Σ-fórmula, 448
sistema
– de escalas, 324
uniformizable, 325, 329
– Ω, 420
– Υ, 419
1036
subgrupo
– balanceado, 257
– casi ω-cerrado, 258
– σ-balanceado, 257
(n, A)-Sucesión, 782
sucesión
– creciente fuerte, 345
– cuadro, 242
– S-cuadro, 242
T
término
– Σ0 -cerrado, 141
– absoluto, 57, 61, 67
– casi universal, 141
teoría
– de Zermelo, 91
– consistente, 139
teorema
– de Ło´s, 649
– de compacidad singular, 247
– de condensación, 275
– de Erdös-Dushnik-Miller, 203
– de inducción en relaciones bien fundadas,
28
– de isomorﬁsmo
primer, 37
– – segundo, 37
– de isomorﬁsmo de Scott, 628
– de König (árboles), 201
– de Karp, 660, 662
– de Kueker, 654
– de Kurepa (en árboles), 201
– de omisión de tipos, 637
– de recursión, 404
en relaciones bien fundadas, 29
– de recursión en N, 21
– de recursión para Or, 31
– de Sabbagh, 700
– de Szmiliew, 609
– del colapso de Mostowski, 92
– Erdös-Rado, 217
– existencia de modelos, 622
1037
Teoría de conjuntos y temas aﬁnes II
– Löwenheim-Skolem decreciente, 586
– Löwenheim-Skolem decreciente para fragmentos, 591
teoría
– E1, 5
– E2, 8
– E ′, 8
– F -atómica, 643
– F -completa, 640
término, 6
– clase, 6
tipo
– principal, 640
Tm, 6
U
ultraﬁltro
– normal débil, 372
– regular, 313, 368
– uniforme, 368
ultraproducto, 649
unión diagonal, 239
universo constructivo, 147
V
V=L, 269
Índices
El centro y los cuatro rumbos del mundo
Códice Fejérváry-Mayer
Lob der Dialektik
Das Unrecht geht heute einher mit sicherem Schritt.
Die Unterdrücker richten sich ein auf zehntausend Jahre.
Die Gewalt versichert: So, wie es ist, bleibt es.
Keine Stimme ertönt auSSer der Stimme der Herrschenden
Und auf den Märkten sagt die Ausbeutung laut:
Jetzt beginne ich erst.
Aber von den Unterdrückten sagen viele jetzt:
Was wir wollen, geht niemals.
Wer noch lebt, sage nicht - niemals!
Das Sichere ist nicht sicher.
So, wie es ist, bleibt es nicht.
Wenn die Herrschenden gesprochen haben
Werden die Beherrschten sprechen.
Wer wagt zu sagen: niemals?
An wem liegt es, wenn die Unterdrückung bleibt? An uns.
An wem liegt es, wenn sie zerbrochen wird? Ebenfalls an uns.
Wer niedergeschlagen wird, der erhebe sich!
Wer verloren ist, kämpfe!
Wer seine Lage erkannt hat, wie soll der aufzuhalten sein?
Denn die Besiegten von heute sind die Sieger von morgen
Und aus Niemals wird: Heute noch!
Lob des Revolutionärs
Viele sind zuviel
Wenn sie fort sind, ist es besser.
Aber wenn er fort ist, fehlt er.
Er organisiert seinen Kampf
Um den Lohngroschen,
Um das Teewasser
Und um die Macht im Staat.
Er fragt das Eigentum:
Woher kommst du?
Er fragt die Ansichten:
Wem nützt ihr?
Wo immer geschwiegen wird
Dort wird er sprechen
Und wo Unterdrückung herrscht
und von Schicksal die Rede ist
Wird er die Namen nennen.
Wo er sich zu Tisch setzt
Setzt sich die Unzufriedenheit zu
Tisch
Das Essen wird schlecht
Und als eng wird erkannt die Kammer.
Wohin sie ihn jagen, dorthin
Geht der Aufruhr, und wo er verjagt
ist
Bleibt die Unruhe doch.
B. Brecht
¿Qué relación guardan los comunistas con los proletarios en
general? Los comunistas no forman un partido aparte de los demás
partidos obreros. No tienen intereses propios que se distingan de los
intereses generales del proletariado. No profesan principios especiales
con los que aspiren a modelar el movimiento proletario. Los comunistas
no se distinguen de los demás partidos proletarios más que en esto: en
que destacan y reivindican siempre, en todas y cada una de las acciones
nacionales proletarias, los intereses comunes y peculiares de todo el
proletariado, independientes de su nacionalidad, y en que, cualquiera que
sea la etapa histórica en que se mueva la lucha entre el proletariado y
la burguesía, mantienen siempre el interés del movimiento enfocado en
su conjunto.
Es ist nicht das Bewusstsein der Menschen, das ihr Sein, sondern
umgekehrt ihr gesellschaftliches Sein, dass ihr Bewusstsein bestimmt.
In einer höheren Phase der kommunistischen Gesellschaft, nachdem die knechtende Unterordnung der Individuen unter die Teilung der
Arbeit, damit auch der Gegensatz geistiger und körperlicher Arbeit verschwunden ist; nachdem die Arbeit nicht nur Mittel zum Leben, sondern
selbst das erste Lebensbedürfnis geworden nachdem mit der allseitigen
Entwicklung der Individuen auch ihre Produktivkräfte gewachsen und
alle Springquellen des genossenschaftlichen Reichtums voller fliessen, erst
dann kann der enge bürgerliche Rechtshorizont ganz überschritten
werden und die Gesellschaft auf ihre Fahnen schreiben: Jeder nach
seinen Fähigkeiten, jedem nach seinen Bedürfnissen.
K. Marx
Según la concepción materialista de la historia, el factor que en
última instancia determina la historia es la producción y la reproducción
de la vida real. Ni Marx ni yo hemos afirmado nunca más que esto.
Si alguien lo tergiversa diciendo que el factor económico es el único
determinante, convertirá aquella tesis en una frase vacua, abstracta,
absurda. La situación económica es la base, pero los diversos factores
de la superestructura que sobre ella se levanta, las formas políticas
de la lucha de clases y sus resultados, las constituciones que, después
de ganada una batalla, redacta la clase triunfante, etc., las formas
jurídicas, e incluso los reflejos de todas estas luchas reales en el
cerebro de los participantes, las teorías políticas, jurídicas, filosóficas,
las ideas religiosas y el desarrollo ulterior de éstas hasta convertirlas en
un sistema de dogmas, ejercen también su influencia sobre el curso de
las luchas históricas y determinan, predominantemente en muchos casos,
su forma. Es un juego mutuo de acciones y reacciones entre todos
estos factores, en el que, a través de toda la muchedumbre infinita de
casualidades (es decir, de cosas y acaecimientos cuya trabazón interna
es tan remota o tan difícil de probar, que podemos considerarla como
inexistente, no hacer caso de ella), acaba siempre imponiéndose como
necesidad el movimiento económico. De otro modo, aplicar la teoría a
una época histórica cualquiera sería más fácil que resolver una simple
ecuación de primer grado.
F. Engels
Que al Gobierno americano, como amigo, no se le debe cansar
con lo que es sólo de nuestro interés y, como a poderosos, se le
debe tratar con tal delicadeza, que nada debemos hacer que en lo más
mínimo indique algo de humillación de nuestra causa.
Después de la victoria sobre los agresores extranjeros el 15 de
julio de 1867: lo han alcanzado los buenos hijos de México combatiendo
solos, sin auxilio de nadie, sin recursos, sin los elementos necesarios
para la guerra. Han derramado su sangre con sublime patriotismo,
arrostrando todos los sacrificios antes que consentir en la pérdida de
la República y de la libertad.
Esta insistencia del Gobierno americano o mejor dicho, del Gobierno de los Estados Unidos del Norte, dará en qué pensar al lobo
grande de las Tullerías y lo obligará a retirar de México sus fuerzas,
diciendo como la Zorra de la fábula, que no (porque), están verdes,
porque como usted dice muy bien, no es Napoleón el que ha de
emprender una guerra con ese Gobierno. Los lobos no se muerden, se
respetan.
Afortunadamente para mí, yo no me llevo chasco, porque hace
mucho, muchísimo tiempo tengo la convicción que de ese Gobierno no
hemos de recibir ningún auxilio directo en fuerzas ni en dinero. Ni
aún de los particulares, si no es alguna cosa insignificante y a costa
de grandes sacrificios; pero como la generalidad no ha participado de
esa convicción sino que ha creído, halagada por las buenas palabras de
cuanto yankee habla de nuestros negocios, que no era más que pedir
y se nos facilitaría todo, me resolví, para que no se me inculpara de
no haber procurado la salvación del país, solicitando auxilios en esa
República, me resolví, repito, a acceder a las vivas instancias de Vega,
Carbajal, Sánchez Ochoa y Zambrano.
B.Juarez
EINHEITSFRONTLIED
Und weil
der Mens ein Mens ist,
drum braut er was zum Essen, bitte
sehr.
Es mat ihn ein Geswätz nit satt,
das saﬀt kein Essen her.
Drum links,
zwei, drei!
Drum links, zwei, drei!
Wo dein Platz, Genosse, ist!
Reih Di ein in die Arbeitereinheitsfront,
weil au Du ein Arbeiter bist.
Und weil
der Mens ein Mens ist,
drum braut er au no Kleider und
Suhe.
Es mat ihn ein Geswätz nit warm
und au kein Trommeln dazu.
Drum links,
zwei, drei!
Drum links, zwei, drei!
Wo dein Platz, Genosse, ist!
Reih Di ein in die Arbeitereinheitsfront,
weil au Du ein Arbeiter bist.
Und weil
der Mens ein Mens ist,
drum hat er Stiefel im Gesit nit gern,
er will unter si keine Sklaven sehn
und über si keinen Herrn.
Drum links,
zwei, drei!
Drum links, zwei, drei!
Wo dein Platz, Genosse, ist!
Reih Di ein in die Arbeitereinheitsfront,
weil au Du ein Arbeiter bist.
Und weil
der Prolet ein Prolet ist,
drum wird ihn kein anderer befrein,
es kann die Befreiung der Arbeiter nur
das Werk der Arbeiter sein!
Drum links,
zwei, drei!
Drum links, zwei, drei!
Wo dein Platz, Genosse, ist!
Reih Di ein in die Arbeitereinheitsfront,
weil au Du ein Arbeiter bist.