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Lógica matematica I:
lógica proposicional,
intuicionista y modal
Max Fernández de Castro
Departamento de Filosofía
Luis Miguel Villegas Silva
Departamento de Matemáticas
Universidad Autónoma Metropolitana Iztapalapa
Annus
Zur Ehre unseren Eltern und
Zulässiger Ergötzung des Geistes
A Doña Bertha Silva Lescale
1926-2004
Cuicatli Quicaqui
Canto Triste
Cuicatli quicaqui in noyol nichoca: ye nicnotla-
Oye un canto en mi corazón: me pongo a llorar, me lleno de
mati tiya xochitica tic cauhtehuazque tlalticpac ye
dolor: nos vamos entre flores, hemos de dejar esta Tierra: ¡estamos
nican titotlanehuia o tiyazque ichan.
prestados unos a otros: iremos a la casa del Sol!
Ma nicnocozcati nepapan xochitl ma nomac
¡Póngame yo un collar de variadas flores: en mis manos es-
on mani ma nocpacxochihui. Tic cauhtehuazque
tén, florezcan en mí guirnaldas. Hemos de dejar esta Tierra: ¡estamos
tlalticpac ye nican zan titotlanehuia o tiyazque
prestados unos a otros: iremos a la casa del Sol!
ichan.
Nezahualcóyotl
Der Tod ist kein Unglück für den, der stirbt, sondern für den, der überlebt
K. Marx
Prefacio
En las últimas décadas la lógica matemática ha sufrido una expansión vertiginosa,
como puede constatarse por el creciente número de artículos y libros de texto recientemente consagrados a ella. Además del volumen, la variedad de temas se ha multiplicado y el lego puede tener una impresión de desconcierto ante los muchos adjetivos
que califican el término: lógica clásica, de primer orden o de orden superior, modal,
intuicionista, temporal, multivalente, infinitaria, etc. En efecto, si bien originada (en
su versión moderna) alrededor de temas específicos de filosofía de la matemática y
del lenguaje, la lógica contemporánea se ha desarrollado en estrecha relación con muy
diversos campos del saber, y sus aplicaciones sobrepasan con mucho lo que al respecto
hubiera podido esperarse hace apenas 80 años. Aunque no hay un acuerdo unánime
sobre su definición, bajo el rubro "lógica" se hallan siempre modelos formales que
intentan capturar los rasgos fundamentales de aquello que consideramos como razonamiento correcto. Por ello, no es de extrañarse que esta disciplina sea de gran utilidad
en filosofía, lingüística, psicología y computación. Sin embargo, muy frecuentemente
el especialista en estas materias permanece ajeno al instrumento extraordinario que
la lógica matemática le ofrece, lo cual se debe a diversos a factores, y en el caso de
nuestra lengua, uno de ellos es la escasez de textos que brinden una adecuada introducción a los conceptos, técnicas y resultados básicos de esta disciplina. La obra que
aquí presentamos es la primera de una serie que pretende subsanar esta deficiencia;
ofrece una introducción al tema que promete combinar explicaciones sencillas, para
el lector que sólo requiere una primera aproximación, con el rigor, la profundidad
y la extensión destinadas al estudiante más exigente, a lo que obedecen en el texto
diferentes secciones claramente demarcadas que permiten realizar lecturas a distintos
niveles. Tal propósito nos decidió a concentrarnos en la lógica proposicional, entre
otras cosas para que el texto tuviese dimensiones razonables que faciliten su lectura
y consulta. La obra comienza con la exposición del propósito que motivará los dexi
xii
Prefacio
sarrollos ulteriores. Presenta varias definiciones de “argumento correcto”, en grados
crecientes de precisión, tratando de familiarizar al lector con los conceptos básicos
de nuestra disciplina, a saber, “consecuencia lógica”, “consistencia”, “validez”, para
más adelante desarrollar varios métodos sintácticos para determinar o probar que un
argumento es correcto. Por último demuestra que esos algoritmos o semialgoritmos
cumplen con el propósito para el que fueron diseñados: producen todas y sólo las fórmulas válidas. Dos capítulos más presentan sendos desarrollos ulteriores, uno de los
cuals está dedicado a la lógica modal, que es una extensión de la lógica clásica hacia
las vertientes intensionales de nuestro lenguaje. El segundo, consagrado a la lógica
intuicionista, presenta una desviación de la lógica clásica que pretende codificar las
formas del razonamiento. Creemos que, con ellos, el lector tendrá no sólo una idea
de las direcciones en las que avanza la lógica contemporánea, sino también una buena
introducción a muchos de sus desarrollos recientes.
El libro fue pensado originalmente para los cursos de lógica que se imparten en
la Universidad Autónoma Metropolitana, pero nuestra experiencia nos indica que su
utilidad no se reducirá a este ámbito, sino que será utilizado en otras instituciones de
educación superior, así como por estudiantes de diversas disciplinas y por el lector
independiente que desee adentrarse en algún tópico de la lógica proposicional.
Como lo indica el título, éste es el primero de una serie de volúmenes destinados a
los varios aspectos de la lógica matemática. El siguiente comprenderá la lógica de predicados en su versión clásica, así como sendos capítulos dedicados a sus contrapartes
modal e intuicionista.
El libro está diseñado de forma tal que pueda leerse de muy diversas maneras. Por
un lado, hay tres niveles de profundidad para lectores con diferentes intereses; o para
un mismo lector que desee realizar una primera lectura esquemática para sucesivamente profundizar en los tópicos tratados. Otra posibilidad es que el lector no desee
leer todo el libro, sino que se interese por cubrir únicamente un determinado tema. En
efecto, el libro está elaborado de tal suerte que algunos capítulos puedan leerse con
cierta independencia del resto.
El capítulo introductorio presenta de manera un tanto informal algunas de las nociones centrales de la lógica clásica. Se trata de dar al lector, en una primera aproximación, una idea de cuál es el problema central que la lógica intenta resolver, y de
cuáles son algunos de los métodos empleados para tal propósito. El segundo capítulo presenta ya una definición rigurosa de consecuencia lógica para enunciados de un
cierto lenguaje formal cuya sintaxis y semántica son precisamente delimitadas. Más
Prefacio
xiii
adelante se ofrecen definiciones de conceptos relacionados y se muestra cómo todo
enunciado puede ser escrito de una manera canónica que pone fácilmente al descubierto sus condiciones de verdad. Una sección ulterior expone el teorema de compacidad y prepara al lector para la introducción de métodos de prueba. El tercer capítulo
expone una serie de métodos algorítmicos y semi-algorítmicos para determinar que un
enunciado del lenguaje formal presentado en forma previa es o no lógicamente verdadero, o bien, para enumerar todas las fórmulas verdaderas desde un punto de vista
lógico. Estos algoritmos incluyen principalmente el procedimiento de los árboles, dos
sistemas axiomáticos y el método de resolución. El resto del capítulo prueba la corrección y completud de cada uno de estos métodos, es decir, demuestra que producen
todas y sólo las fórmulas lógicamente verdaderas. El cuarto capítulo presenta, en su
primera parte, aplicaciones de la lógica a los circuitos lógicos y eléctricos, que conforman una parte esencial en el diseño de computadoras, sistemas digitales y electrónicos.
La última sección estudia en detalle los llamados diagramas binarios de decisión, que
permiten efectuar operaciones aritméticas, booleanas, comprobar equivalencia de fórmulas, etc. en una computadora mediante algoritmos eficientes. El quinto capítulo es
una introducción a la lógica modal e ilustra cómo la lógica clásica puede ser extendida
para aplicarse a zonas intensionales de nuestro lenguaje. En él se presentan los sistemas clásicos de lógica modal proposicional, tanto sintáctica como semánticamente.
Se utiliza el método de los árboles adaptado a cada uno de estos sistemas. Enseguida se
ofrece una prueba de corrección y completud de una amplia clase de sistemas axiomáticos que incluye los anteriormente expuestos. El último capítulo introduce al lector
en una lógica que representa una desviación de la lógica clásica, a saber, la lógica
intuicionista. Inicia el capítulo exponiendo las ideas centrales que motivan esta lógica,
así como la semántica que de ellas resulta. Más tarde se establece el método de los
árboles para la determinación de la validez o invalidez de fórmulas desde el punto de
vista intuicionista. La siguiente sección diserta sobre un método de deducción natural para esta lógica, así como algunos resultados que la vinculan con su contraparte
clásica. Por último, se prueba la completud y corrección del método de los árboles
antes expuesto.
Todos los capítulos contienen ejercicios de diferentes grados de complejidad. En
ciertos casos, se ofrecen algunas sugerencias para su resolución.
Una aclaración importante debemos hacer desde ahora. Hemos buscado facilitar al
máximo la lectura del texto y ello nos ha llevado a suprimir en muchos casos, cuando
no hay riesgo de confusión, las diferencias entre uso y mención de expresiones. Como
Prefacio
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podrá advertirse, con mucha frecuencia empleamos un símbolo de manera autónima,
es decir, como su propio nombre; y una expresión como nombre de la concatenación
de los símbolos que la conforman.
Como ya se mencionó, el libro está diseñado para leerse en tres niveles de dificultad crecientes. Algunos temas son más adecuados para lectores intermedios; las
N
secciones de esta categoría se inician con el símbolo
; además, hay temas que
requieren una madurez aun mayor por parte del lector o apelan a resultados más
sofisticados; éstos se agrupan en apartados que inician con
M m
n. El fin de estas sec-
ciones se marca con los símbolos
y
, respectivamente. Algunos ejercicios se
para significar que son complicados, pero no imposibles, simplemente
señalan con
requieren mayor persistencia por parte del lector.
Hemos procurado que el estudioso no requiera leer cada uno de los sistemas de
prueba mencionados en la obra. Así, por ejemplo, bien puede revisar sólo tablas semánticas; o tan sólo el método de Hilbert. Puede prescindir en una primera lectura
de los dos últimos capítulos, pero esperamos haber generado en él el interés por los
desarrollos ulteriores de la lógica clásica. También puede ocurrir que el lector pase
directamente del primer capítulo al quinto y sexto, si su interés es la lógica no clásica;
aunque debemos señalar que se requiere conocimiento de las nociones y métodos de
los primeros capítulos en los dos capítulos finales de la obra. Toca al instructor decidir
cuál es el mejor camino a seguir.
Sería de enorme ayuda para los autores conocer las opiniones de colegas, lectores,
estudiantes, etc. acerca de este libro, por lo que mucho agradeceríamos nos enviaran
sus comentarios a la dirección de correo electrónico:
A
teolote.librosgmail.om
Versiones preliminares de este libro han sido utilizadas en varios cursos y seminarios. Los autores agradecen los comentarios, sugerencias y correcciones de los estudiantes involucrados. En particular, queremos expresar nuestro agradecimiento a:
Cecilia Hernández, Fanny Brito, Juan Carlos Aguilar, Óscar Rendón, Kinhra Aguirre,
Gabriel Salazar, Marco Talavera y Luis René San Martín, por las correcciones y mejoras que nos hicieron llegar en diversas etapas del trabajo. Un especial reconocimiento
a los árbitros que hicieron numerosas sugerencias y correcciones.
En lo que respecta a las ilustraciones que aparecen en diversas partes del libro y no
están vinculadas con las matemáticas, están relacionadas, como seguramente el lector
Prefacio
xv
advertirá, a la vida del J. S. Bach. Es un ejercicio más averiguar de qué se trata en cada
caso.
Este libro fue elaborado en el marco del proyecto Conacyt "Los problemas del
conocimiento y la comprensión en matemáticas" (13611289), por lo que los autores
agradecemos el apoyo recibido de parte del Conacyt.
Los autores.
Prefacio a la primera reimpresión
Para esta primera reimpresión queremos expresar nuestra gratitud a los lectores
que nos han enviado correcciones. En especial a Cecilia Hernández, Kinrha Aguirre
y Oscar Rendón. Además destacamos el invaluable apoyo de la División de Ciencias
sociales y Humanidades, el área de Álgebra y a la Rectoría de la unidad Iztapalapa de
la Universidad Autónoma Metropolitana para llevar a buen término esta reimpresión,
que tan sólo incorpora correcciones menores.
Contenido
I
Prefacio
xi
Introducción a la lógica proposicional
I.1 Fundamentos . . . . . . . . . . .
I.2 Corrección de argumentos . . . .
I.3 Conceptos básicos . . . . . . . . .
I.4 Otros conectivos . . . . . . . . .
I.5 Ejercicios . . . . . . . . . . . . .
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II El lenguaje de la lógica proposicional
II.1 Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . .
II.2 Lenguajes formales . . . . . . . . . . . . .
II.3 El lenguaje . . . . . . . . . . . . . . . . .
II.3.1 Sintaxis del lenguaje proposicional
II.3.2 Semántica del cálculo proposicional
II.3.3 Convenciones . . . . . . . . . . . .
II.4 Argumentos válidos . . . . . . . . . . . . .
II.5 Validez, satisfacibilidad y contradicción . .
II.6 Consecuencia y equivalencia . . . . . . . .
II.7 Formas normales . . . . . . . . . . . . . .
II.8 Árboles . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
II.9 Teorías proposicionales . . . . . . . . . . .
II.10 Ultraproductos . . . . . . . . . . . . . . .
II.11 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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CONTENIDO
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III Pruebas formales y sistemas deductivos
III.1 Pruebas formales . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
III.2 Tablas semánticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
III.3 Sistemas axiomáticos . . . . . . . . . . . . . . . . .
III.3.1 El sistema de Gentzen . . . . . . . . . . . .
III.3.2 Sistemas de Hilbert . . . . . . . . . . . . . .
III.3.3 Otra prueba de la completud y correctud de H
III.4 Fórmulas de Horn . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
III.5 Resolución . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
III.5.1 Cláusulas . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
III.5.2 Completud de resolución . . . . . . . . . . .
III.6 Árboles semánticos . . . . . . . . . . . . . . . . . .
III.7 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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201
208
IV Aplicaciones
IV.1 Circuitos eléctricos . . . . . .
IV.2 Circuitos lógicos . . . . . . .
IV.3 Diagramas binarios de decisión
IV.3.1 La función Build . . .
IV.3.2 El algoritmo Apply . .
IV.3.3 El algoritmo Restrit
IV.3.4 El algoritmo SatCount
IV.3.5 El algoritmo Anysat .
IV.3.6 El algoritmo Allsat .
IV.3.7 El algoritmo Simplify
IV.4 Ejercicios . . . . . . . . . . .
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V Lógica modal proposicional
V.1 Introducción . . . . . .
V.2 Sintaxis . . . . . . . .
V.3 Semántica . . . . . . .
V.4 Sistemas axiomáticos .
V.5 Modelos canónicos . .
V.6 Árboles semánticos . .
V.7 Completud . . . . . . .
V.8 Ejercicios . . . . . . .
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CONTENIDO
xix
VI Lógica Intuicionista
VI.1 Introducción . . . . . . . . . . . .
VI.2 Semántica . . . . . . . . . . . . .
VI.3 Árboles semánticos . . . . . . . .
VI.4 Sistema de deducción natural . . .
VI.5 Completud de árboles semánticos
VI.6 Ejercicios . . . . . . . . . . . . .
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348
349
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Índice de símbolos
(i, j, m, n), 322
Allsat, 269
AnySat, 269
Apply, 264
B, 313
Build, 261
Cn(Σ), 66
D, 308
D4, 321
D5, 321
DB, 321
E→n , 358
E∨n,m,p , 359
E∧n , 358
Fml, 291
I→n , 358
I∨n , 358
Itn , 357
K, 301
K5, 321
KB, 321
K4 , 310
MK, 261
MP, 301
MT , 332
MS , 316
Ma(Σ), 66
NDi , 356
RS , 316
Rd1 , 362
Rd2 , 362
Rd3 , 363
Rd4 , 363
Res∗ (ϕ ), 188
Restrict, 267
S ⊢R C, 186
S ⊢R ✷, 186
S5 , 319
SatCount, 268
Simpli f y, 270
T , 306
Tau, 66
Teo(A ), 97
Teo(K), 98
Teo(Γ), 95
V (γ , w), 349
VS , 316
WS , 316
A |= Σ, 64
A |= ϕ , 59
Φ ⊢H ϕ , 159
Σ ⊢ η , 300
381
382
Z2 , 113
α n , 370
⊥, 31, 63
✷, 186, 289, 298
↓, 30, 110
⋄, 289
Σ |= ψ , 64
Σ ⊢ α , 138
γ (α /π ), 292
ϕ [P1 , . . . , Pn ], 90
ϕ [P1 /ψ1 , . . . , Pn /ψn ], 90
ϕ ⇔ ψ , 63
ϕ ≡ ψ , 63
ϕ |= ψ , 61
→, 13
↔, 14
|, 30
|= α , 299
|=c , 350
|=i , 350
|=i α , 350
¬, 15
⊕, 104
⊥, 359
⊤, 31, 63
↑, 103
, 61
⊢, 138
⊢ α , 300
⊢S α , 300
⊢c , 350
⊢i , 350
∨, 12
⊢H , 159
⊢R , 186
Índice de símbolos
⊢S , 151
⊢S ϕ , 151
∧, 10
f [0/x], 248
f [1/x], 248
g(γ ), 293
gm(γ ), 293
hi(n), 246
lo(n), 246
subF (α ), 291
w |= α , 298
✷n α , 307
(RAA), 359
A , 58
C(L ), 44
Fml, 44
Fmln , 46
gad, 239
ϕ ⇒ ψ , 54
l(ϕ ), 49
M ϕ , 59
MP, 159
NAND, 103
NOR, 110
rg(ϕ ), 47
TSC, 141, 148
Índice de conceptos
correcto, 5, 6, 8, 24
correcto o válido, 4, 9
deductivos, 4
incorrección, 289
válido, 56, 68
Aritmética binaria, 229
Asignación, 58, 59
Axiomas, 95, 300
Gentzen, 152
Hilbert, 159
Alambre, 221
Algoritmo
Allsat, 269
Anysat, 269
apply, 247, 249, 264
FNC, 75
FND, 75
Horn, 180
reduce, 246, 247
restrict, 267
SatCount, 268
Simplify, 270
Árbol, 81
binario, 83
completo, 373
de formación, 47
extendido, 334
semántico, 201, 373
para la lógica intuicionista, 352
para la lógica modal, 324
reglas para construir, 333
verdadero, 334
verdadero en un modelo, 371
Argumento
condicional asociado al, 25
corrección del, 5, 288, 289
B-árboles, 328
Beth-demostrable
con premisas, 138
Beth-refutable, 136
Bicondicional, 14, 20, 50
Cadena binaria, 83
Ciclo, 239
Circuito
eléctrico, 221
lógico, 225
simple, 223
Cláusula, 182
asociada, 204
Completud, 130
Compuerta, 225
383
384
Índice de conceptos
AND, 226
NAND, 226
NOR, 226
NOT, 225
OR, 226
Conclusión, 4
Condicional, 14
antecedente, 12, 20
consecuente, 12, 20
Conectivo
binario, 19
Conectivos
lógicos, 43
unarios ✷ y ⋄
no veritativo-funcionales, 289
Conjunción, 9, 10, 20, 23, 50
Conjunto
adecuado de conectivos, 107
axiomatizable de asignaciones, 99
bien ordenado, 81
booleano, 125
completo, 88
fórmulas, 69
inconsistente de fórmulas, 24, 69
independiente, 117
K-consistente de fórmulas, 314
máximo consistente de fórmulas,
315
parcialmente ordenado, 81
regular, 125
satisfacible, 69
verificable, 69
Consecuencia
directa, 300
lógica, 5, 25, 61, 130, 353
tautológica, 301
Contradicción, 23, 54
Contraejemplo
de un argumento, 8
Contrapositiva, 14, 52
Conversa, 14, 52
Conyuntos, 11
Correctud, 130
dbd, 236, 240
dbdor, 242
Diagrama
binario de decisión, 234, 236
ordenado, 242
Disyunción, 12, 20, 50
exclusiva, 27
ternaria exclusiva, 29
Disyuntos, 12
Dual, 341
Enunciado
el grado de un, 293
el grado modal de un, 293
o proposiciones
de LMP, 291
válido, 298, 332
válido en un modelo, 298
veritativo-funcionales, 27
Expresión
prueba, 255
Extensión de un sistema axiomático, 307
FNC, 72
FND, 71
FNI, 255
Forma
Índice de conceptos
NI, 255
normal
conjuntiva, 72
disyuntiva, 71
Fórmula
atómica, 43
Beth-demostrable, 136
contradictoria, 24, 25, 60
de LMP, 290
falsa en un mundo, 350
Horn, 179
básica, 179
negativa, 369
primitiva, 43
proposicional, 43
refutable, 135
por tablas, 135
satisfacible, 59
válida, 59
válida en un marco, 350
valuada, 133
verdadera en un modelo, 350
verdadera en un mundo, 349
Fórmulas
equivalentes, 63
lógicamente equivalentes, 31
o esquemas, 20
reglas de formación de, 290
Función
booleana, 241
Build, 261
MK, 261
Gad, 239
Gráfica, 120
acíclica dirigida, 239
385
dirigida, 239
k-coloreable, 120
Grupo
abeliano, 121
libre de torsión, 121
ordenable, 121
tipo finito, 121
Implicación, 50
tautológica, 54
Inferencia
o argumento, 4
válida, 5
instancia de sustitución, 292
Interpolante, 93
Interruptor, 221
Inversa, 14, 52
Kripke, 296
Leibniz, 295
Lema de Shanon, 249
Lenguaje
cálculo proposicional, 43
del cálculo de enunciados, 289
formal, 42
partículas del, 19
sintaxis del cálculo proposicional,
290
Letras proposicionales, 20
Ley
De Morgan, 63
distributiva, 63
tercero excluido, 65
Literal, 71, 152
negativa, 71
Índice de conceptos
386
positiva, 71
Marco que corresponde a un modelo,
299
Modalidad, 311
igualdad de, 311
positiva, 311
Modelo, 59, 62
canónico, 316
D, 308
de la lógica modal proposicional,
297
i, j, m, n−convergente, 322
intuicionista o modelo i, 349
K4 , 310
modelo-i generado por r, 373
producido por r, 334
R-convergente, 323
S4 , 310
T, 306
variante de un, 334
Modus
Ponens, 159, 170
Tollens, 219
Modus ponens (MP), 301
MP, 159
MT, 332
Mundo, 352
posibles, 296
terminal, 308
Necesidad, 301
Negación, 15, 20, 50
Nodo, 82
falla, 203
inferencia, 205
reducido, 134
Ocurre o aparece, 292
Operador
modal, 289
veritativo-funcional, 13
Orden compatible, 243
Palabras
accidentales, 8
esenciales, 8
Partícula
o expresión del lenguaje, 11
veritativo-funcional, 11
Predecesor, 82
Premisas, 4
Primer silogismo, 65
Principio de los pichones, 82
Problema
de las reinas, 280
de satisfacibilidad, 60
de validez, 60
Prueba, 151
formal, 129
Hilbert, 159
por tablas, 135
con premisas, 138
resolución, 186
Prueba en un sistema axiomático, 300
Rama, 82
abierta, 201
cerrada, 201
completamente desarrollada, 373
verdadera en un modelo, 334, 371
Red equivalente, 223
Índice de conceptos
Reductio ad absurdum, 164
Refutación, 135
Refutación por resolución, 186
Regla
asociativa, 168
B, 328
conmutativa, 168
contrapositiva, 161
correcta, 159
4, 328
D, 329, 330
de corte, 184
de deducción, 160
de doble negación, 163
de inferencia, 151, 300
de inferencia de Gentzen, 152
de inferencia de Hilbert, 159
de intercambio, 162
de reducción al absurdo (RAA), 359
de resolución, 185
de transitividad, 161
para operadores modales, 324
T, 326
Resolución, 182
Resolvente, 185
Resolver, 185
Segundo silogismo, 65
Semántica, 50
Semisumador, 230
Símbolo
de constante, 42
de función, 42
de relación, 42
Simplificación de fórmulas, 54
Sintaxis, 43
387
Sistema
axiomático de deducción, 300
axiomático de lógica modal, 300
B, 313
completo, 356
D, 308
de Gentzen, 152
de Hilbert, 158, 166
de Hilbert-Ackermann, 215
de lógica modal, 294
de Lukasiewicz, 217
de prueba, 130
de Rosser, 216
deductivamente equivalentes, 307
deductivo, 151
K, 301
K4 , 310
NDi , 356
normal, 294
PA, 289
S4 , 310
S5 , 319
T, 306
tipo Gentzen, 356
Subfórmula, 20, 32, 51, 291
Sucesor, 82
Sumador completo, 231, 281
Sustitución, 66
Tabla
atómica, 133
contradictoria, 135
de verdad, 10, 21, 50
finita, 133
semántica, 131, 133
semántica completa, 140, 148
388
Índice de conceptos
semántica con premisas, 137
semántica terminada, 148
semántica y el sistema de Gentzen,
154
terminada, 135
Tautología, 25, 31, 54, 366
Tautológicamente equivalente, 54
Teorema
compacidad, 84, 90, 102, 150
completud, 146, 170
Gentzen, 158
Hilbert, 170, 178
resolución, 188, 206
tablas semánticas, 146, 150
Cook, 236
correctud, 145, 169
Gentzen, 158
Hilbert, 169, 174
resolución, 187
tablas semánticas, 145, 147
interpolación, 92
König, 82
Ramsey, 126
Teoría
asignación, 97
∆-axiomatizable, 125
de las inferencias válidas, 10
eliminación, 125
proposicional, 95
Transposición, 65
Trayectoria, 83, 140
contradictoria, 135
TSC, 141, 148
Ultraproducto, 102
Valor de verdad
verdadero o falso, 297
Variable
booleana, 234
proposicional, 43
El centro y los cuatro rumbos del mundo
Códice Fejérváry-Mayer
Este es el primer libro escrito en la antigüedad, aunque su vista está oculta al que ve y piensa. Admirable es
su aparición y el relato del tiempo en el cual acabó de formarse todo en el cielo y sobre la tierra, la cuadratura y la
cuadrangulación de sus signos, la medida de sus ángulos, su alineamiento y el establecimiento de las paralelas en
el cielo y sobre la tierra, en los cuatro extremos, en los cuatro puntos cardinales... Este es el relato de cómo todo
estaba en suspenso, todo estaba en calma y en silencio; todo estaba inmóvil, todo tranquilo, y vacía la inmensidad
de los cielos. Esta es, pues, la primera palabra y el primer relato. No había aún un solo hombre, un solo animal; no
había pájaros, peces, cangrejos, bosques, piedras, barrancas, hondonadas, hierbas ni sotos; sólo el cielo existía. La
faz de la tierra no se manifestaba todavía; sólo el mar apacible y todo el espacio de los cielos. No había nada que
formara cuerpo; nada que se asiese a otra cosa; nada que se moviera, que produjese el más leve roce, que hiciese (el
menor) ruido en el cielo.
Popol Vuh
Z
uerĆ Collegium Logicum. Da wird der GeiĆ EuĚ wohl dreĄiert, In spanisĚe Stiefeln
eingesĚn§rt, Da er bedŁĚtiger so fortan HinsĚleiĚe die Gedankenbahn, Und niĚt etwa, die
Kreuz und Quer, IrrliĚteliere hin und her. Dann lehret man EuĚ manĚen Tag, Da,
was Ihr sonĆ auf einen SĚlag Getrieben, wie EĄen und Trinken frei, Eins! Zwei! Drei!
dazu nŽtig sei.
E
I
J. W. Goethe
s gibt nur eine LandĆrae der WiĄensĚaft, und nur diejenigen haben AuĄiĚt ihren hellen Gipfel
zu erreiĚen, die die Erm§dung beim Erklettern ihrer Ćeilen Pfade niĚt sĚeuen.
K. Marx
n niĚts zeigt siĚ der Mangel an mathematisĚer Bildung mehr als in einer §bertrieben genauen
ReĚnung.
Carl FriedriĚ Gau
¿Qué puede esperar el lector en el libro II?
Tratará en detalle los siguientes temas:
❁ Lógica modal de predicados.
❁ Lógica Intuicionista.
❁ Lógica clásica de primer orden: pruebas formales, sistemas axiomáticos, resolución.
❁ Los teoremas de completud, correctud, Löwenheim-Skolem y compacidad de
la lógica de primer orden.