Série 2
Exercice 1 : Soit un segment de longueur L le long duquel les électrons se déplacent librement (V=0). A
l’extérieur de ce segment leur énergie potentielle V est infinie.
1. Donner la forme générale des solutions de l’équation de Schrödinger. Préciser ces solutions
dans le cas de conditions aux limites fixes. Représenter l’allure des 3 premières fonctions
d’onde.
2. En déduire la quantification des niveaux d’énergie autorisés. Donner l’expression littérale des 3
premiers niveaux d’énergie distincts soit E1, E2 , E3.
3. Application au cas de l’atome ou L=3Ǻ:
-
Donner les valeurs numériques prises par E1, E2 , E3.
-
L’atome a 2 électrons libres, quelle énergie minimale doit-on communiquer a l’un de ces
électrons pour le faire passer de l’état fondamental au premier niveau excité.
4. . Application au cas d’une molécule ou L=15Ǻ:
-
Donner les valeurs numériques prises par E1, E2, E3.
-
Quelle énergie minimale doit-on communiquer a l’un de ces électrons pour le faire passer de
l’état fondamental au premier niveau excité.
5. Application au cas d’un métal ou L=3mm:
-
Donner les valeurs numériques prises par E1, E2, E3.
-
La rangée est constituée d’atomes identiques a 2 électrons libres/atome et équidistants de
a=3Ǻ. Combien de niveaux d’énergie sont occupées dans l’état fondamental. Quelle est
l’énergie EF du dernier niveau occupé ?
-
Représenter la courbe de dispersion des électrons libres dans le cas des conditions aux limites
fixes.
-
Evaluer numériquement kF et EF ainsi que l’énergie minimale permettant de faire passer un
électron du dernier état fondamental au premier niveau excité.
Exercice 2 : On considère une particule de masse m soumise à une énergie potentielle nulle à
l'intérieur d'une boite cubique de coté L. L'origine O des coordonnées est prise sur un des sommets et
le potentiel est infini à l'extérieur.
1) Déterminer les fonctions d'onde de la particule dans le cas de conditions aux limites fixes.
2) Quelles sont les énergies des états stationnaires
3) Donner les énergies et les dégénérescences des premiers niveaux?
3
4) Déterminer l'expression de la densité d'états.
Exercice 3 : On considère un solide indéfini dans lequel des particules sont susceptibles de se propager
librement en respectant des conditions aux limites périodiques. Il pourrait par exemple s'agir, en
négligeant leur spin, d'électrons dans un métal.
1) Déterminer les fonctions d'onde de la particule dans le cas de conditions aux limites
périodiques. On supposera que la périodicité est identique selon chacune des directions.
2) Quelles sont les énergies des états stationnaires
3) Déterminer la densité d'états
Exercice 4 : Les électrons de valence du lithium, un par atome, se comportent comme s'ils étaient
libres. Le nombre d'électrons par unité de volume est de n = 4,7 1022e/cm3.
1) Déterminer l'énergie de Fermi du lithium.
2) Calculer sa température de Fermi ainsi que la vitesse des électrons sur la surface de Fermi.
3) La résistivité étant de l'ordre 10-5cm à température ambiante, quel est le temps de
relaxation et le libre parcours moyen p des électrons de conduction.
On donne : m = 9,10810-31 kg ;
k = 8,617 10-5 eV/K (= 1,3810-23 J/K) (constante de Boltzmann)
q = 1,610-19 C (charge de l’électron)
h = 6,62310-34 Js
2
kT (T=300 K) = 0,026 eV
et
2m
(constante de Planck)
o
 3.8 eV A2
Exercice 5 : Nous considérons des électrons pouvant se propager en deux dimensions et dont le
mouvement est restreint à un rectangle (0 < x < L, 0 < y <2L).
(a)
(b)
En utilisant les conditions de Born-von Karman, trouvez les solutions de l’équation de
Schrödinger et les énergies associées à celles-ci.
Faites un graphe pour représenter les valeurs (kx, ky) permises. Soient (n, m) les entiers qui
dénotent les positions dans ce réseau. Remplissez les états quantiques de plus faibles énergies
tels que 4n2 + m 2 ≤ 20, et représentez le contour qui fixe la limite entre les états occupés et non
occupés. Pour un très grand nombre d’électrons, quelle forme prendra ce contour ?
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