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Universidad de Puerto Rico
Recinto Universitario de Mayag¨
uez
Universidad de Puerto Rico
´
OLIMPIADAS MATEMATICAS
DE PUERTO RICO 2015-2016
PRIMERA FASE
HOJA DE RESPUESTAS: TERCER NIVEL (9no , 10mo y 11mo grado)
Informaci´
on del Estudiante:
Apellidos:
Nombre:
9no ,
Marque el Grado:
Tel. residencial: (
)
10mo ,
-
11mo
Sexo:
F
M
Fecha de nacimiento (dd/mm/aaaa):
E-mail del estudiante:
E-mail del Maestro:
Nombre de la Escuela:
Pueblo de la Escuela:
a
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Escuela:
Privada
Instrucciones: Marque con una x sus respuestas
b
c
d
e
a
b
c
d
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
P´
ublica
e
Env´ıe sus respuestas electr´
onicamente a trav´es de la p´agina www.ompr.pr en o antes del 30 de abril del
2015. Otra alternativa es enviarlo por correo postal a la direcci´on:
Dr. Luis F. C´
aceres-Duque
Departamento de Ciencias Matem´
aticas
Call Box 9000
Mayag¨
uez, PR 00681-9000
1
Recinto Universitario de Mayag¨
uez
Departamento de Ciencias
Matem´
aticas
Olimpiadas Matem´aticas
de Puerto Rico
PRIMERA FASE
2015-2016
TERCER NIVEL
(9no , 10mo y 11mo grado)
Universidad de Puerto Rico
1. La figura muestra la plantilla de un prisma triangular. ¿Qu´e arista coincide con UV cuando se dobla
la plantilla para formar el prisma?
a) WV
b) XW
c) XY
d ) QR
e) RS
2. Cuando la ardilla baja de su ´
arbol al c´esped del jard´ın nunca se aleja m´as de 5 m del tronco de su
´arbol, y se mantiene siempre al menos a 5 m de distancia de la casa del perro. ¿Cu´al de las siguientes
figuras representa lo m´
as aproximadamente posible la forma de la regi´on por la que la ardilla puede
estar?
a)
c)
b)
d)
e)
3. En una clase no hay dos alumnos que nacieran el mismo d´ıa de la semana ni dos alumnas que
nacieran el mismo mes. Si un nuevo estudiante (chico o chica) se agrega a la clase, una de esas dos
condiciones ya no se cumple. ¿Cu´
antos estudiantes hab´ıa al principio en la clase?
a) 18
b) 19
c) 20
d ) 24
e) 25
4. Los lados de los cuadrados de la figura adjunta tienen longitud 1. ¿Cu´al es el ´area de la regi´
on
sombreada?
a) 43
b) 78
c) 1
d ) 54
e) 32
2
5. Cada asterisco en la igualdad 2 ∗ 0 ∗ 1 ∗ 5 ∗ 2 ∗ 0 ∗ 1 ∗ 5 ∗ 2 ∗ 0 ∗ 1 ∗ 5 = 0 ha de reemplazarse por
un signo + o un signo − de tal manera que la igualdad resultante sea correcta. ¿Cu´al es el menor
n´
umero de asteriscos que han de reemplazarse por +?
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) 5
6. Un arbusto tiene 10 ramas. En cada rama puede haber 5 hojas u
´nicamente, o bien 2 hojas y una
flor. ¿Cu´al de los valores siguientes puede ser el n´
umero total de hojas del arbusto?
a) 45
b) 39
c) 37
d ) 31
e) Ninguno
7. Se dobla la esquina de un cuadrado hasta superponerla con el centro, form´andose el pent´
agono
irregular de la figura. Las ´
areas del pent´agono y del cuadrado original son enteros consecutivos.
¿Cu´anto vale el ´
area del cuadrado?
a) 2
b) 4
c) 8
d ) 16
e) 32
8. Raquel suma las longitudes de tres lados de un rect´angulo y obtiene 44 cm. Isabel suma las longitudes
de tres lados del mismo rect´
angulo y obtiene 40 cm. ¿Cu´anto vale el per´ımetro del rect´angulo?
a) 42 cm
b) 56 cm
c) 64 cm
d ) 84 cm
e) 112 cm
9. La figura muestra los colores de algunos segmentos de un cierto modelo. Luis quiere colorear los
restantes segmentos unidad utilizando tres colores: rojo, azul o verde. Cada tri´angulo debe tener un
lado de cada color. ¿Qu´e color puede usar para colorear el segmento marcado con x?
a) solo verde
b) solo rojo
c) solo azul
d ) rojo o´ azul
3
e) es imposible
10. Irene pregunta a cinco de sus alumnos cu´antos de ellos han estudiado el d´ıa anterior. Pablo dice
“ninguno”, Berta dice “uno”, Ana dice “dos”, Eugenio dice “tres” y Gerardo dice “cuatro”. Irene
sabe que los estudiantes que no han estudiado mienten pero los que han estudiado dicen la verdad.
¿Cu´antos de esos cinco estudiantes estudiaron el d´ıa antes?
a) 0
b) 1
c) 2
d) 3
e) 4
11. Juan quiere escribir un n´
umero en cada una de las siete regiones de la figura. Dos regiones son
contiguas si comparten alguna parte de su frontera. El n´
umero en cada regi´on debe ser la suma de
los que hay en sus regiones contiguas. Juan ya ha escrito dos n´
umeros, como se muestra. ¿Qu´e n´
umero
debe escribir en la regi´
on central?
a) 1
b) -2
c) 6
d ) -4
e) 0
12. Cinco enteros positivos (no necesariamente distintos) se escriben en cinco cartones. Pedro calcula
la suma de los n´
umeros en cada pareja de cartones, y obtiene solamente tres totales diferentes : 57,
70 y 83. ¿Cu´
al es el mayor entero escrito en los cartones?
a) 35
b) 42
c) 48
d ) 53
e) 82
13. Un cuadrado de ´
area 30 cm2 se divide en dos por medio de una diagonal y luego cada parte en
tri´angulos, como se muestra en la figura, en la que se ven las ´areas de varios de esos tri´
angulos.
¿Cu´al de los segmentos en que se ha dividido la diagonal es el mayor?
a) a
c) c
b) b
d) d
e) e
14. En un grupo de canguros, los dos menos pesados pesan el 25 % del peso total del grupo. Los tres
m´as pesados pesan el 60 % del peso total. ¿Cu´antos canguros hay en el grupo?
a) 6
b) 7
c) 8
d ) 15
e) 20
4
15. Cirilo tiene siete trozos de alambre, (que se pueden doblar pero no romper) de longitudes 1 cm, 2
cm, 3 cm, 4 cm, 5 cm, 6 cm y 7 cm. Usa algunos de ellos para formar un cubo de alambre de arista
1 cm, sin superponer ninguno. ¿Cu´
al es el menor n´
umero de esos trozos que puede usar?
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) 5
16. En el trapecio P QRS, los lados P Q y SR son paralelos. El ´angulo RSP es de 120◦ , y RS = SP =
1
anto mide el ´
angulo P QR?
3 P Q. ¿Cu´
a) 15◦
b) 22.5◦
c) 25◦
d ) 30◦
e) 45◦
17. Se tienen cinco puntos en una recta. Alex calcula la distancia entre todas las parejas posibles entre
ellos, y obtiene, en orden creciente, 2, 5, 6, 8, 9, k, 15, 17, 20 y 22. ¿Cu´al es el valor de k?
a) 10
b) 11
c) 12
d ) 13
e) 14
18. Ayer escrib´ı el n´
umero de tel´efono de mi amigo Enrique. El n´
umero que escrib´ı tiene seis d´ıgitos,
pero recuerdo que ´el me dijo que eran 7, y no tengo idea qu´e cifra se me olvid´o ni en qu´e posici´
on
estaba. ¿Cu´
antos n´
umeros de tel´efono tengo que escribir para estar seguro que uno de ellos es el de
mi amigo? (Un n´
umero de tel´efono puede empezar con cualquier d´ıgito, incluyendo el 0)
a) 55
b) 60
c) 64
d ) 70
e) 80
19. Mar´ıa divide 2015 por 1, 2, 3, etc, hasta 1000 inclusive y escribe el residuo de cada divisi´on. ¿Cu´
al
es el mayor de esos residuos?
a) 15
b) 215
c) 671
d ) 1007
e) otro valor
20. Los enteros positivos se colorean de acuerdo con las tres reglas siguientes:
i. Cada n´
umero es rojo o verde
ii. La suma de dos n´
umeros rojos distintos es rojo
iii. La suma de dos n´
umeros verdes distintos es verde.
¿De cu´antas maneras es posible hacer esto?
a) 0
b) 2
c) 4
d) 6
e) m´as que 6
5