1. No category

`
´
´
SYSTEMES
DE POINTS DANS LES DG-CATEGORIES
SATUREES
¨ AND MICHEL VAQUIE
´
BERTRAND TOEN
` Vadim Schechtman, avec admiration et amiti´e.
A
´sume
´. Dans ce travail nous consid´erons le probl`eme de r´ealiser g´eom´etriquement les cat´egories
Re
triangul´ees (plutˆ
ot les dg-cat´egories triangul´ees) comme des cat´egories d´eriv´ees de vari´et´es alg´ebriques.
Pour cela, on introduit la notion de syst`eme de points dans une dg-cat´egorie satur´ee T . Nous montrons
que la donn´ee d’un tel syst`eme permet de construire un espace alg´ebrique MP , de type fini, lisse et
s´epar´e, ainsi qu’un dg-foncteur de T vers une version tordue de la dg-cat´egorie d´eriv´ee de MP . On
montre de plus que ce dg-foncteur est une ´equivalence si et seulement si MP est propre. Tout au long
de ce travail nous ´etudions les t-structures sur les familles alg´ebriques d’objets dans T , ce qui poss`ede
possiblement un int´erˆet en soi ind´ependant du th`eme de ce travail.
`res
Table des matie
Introduction
1. Dg-cat´egories satur´ees
2. Espaces de modules d’objets simples dans une dg-cat´egorie satur´ee
3. Extension des scalaires et t-structures
4. Espaces Quot
5. Objets ponctuels et co-engendrement
6. L’espace de modules des objets ponctuels
7. Th´eor`eme de reconstruction
8. Deux exemples
R´ef´erences
1
4
5
7
13
17
19
22
25
27
Introduction
Toute vari´et´e propre et lisse X sur un corps k (ici alg´ebriquement clos) donne lieu `a une dgcat´egorie Lparf (X) des complexes parfaits sur X. La dg-cat´egorie, souvent consid´er´ee comme l’espace
non-commutatif associ´e `
a X, se rappelle de tr`es nombreux invariants cohomologiques et g´eom´etriques
de la vari´et´e X (voir par exemple [Ro, To2]). Cependant, la pr´esence de vari´et´es qui partagent un
mˆeme cat´egorie d´eriv´ee implique qu’il est en g´en´eral impossible de reconstruire X `a partir de Lparf (X),
et quand bien mˆeme une telle reconstruction est possible il existe de tr`es nombreux choix pour X.
Dans [To-Va1] nous avons introduit une construction dans le sens inverse T 7→ MT , qui `a une dgcat´egorie T associe le (∞-)champ classifiant des objets dans T . Cette construction n’est pas inverse
Date: Mars 2015.
1
2
¨ AND MICHEL VAQUIE
´
BERTRAND TOEN
de X 7→ Lparf (X), mais est adjointe en un sens pr´ecis (voir [To4, §3.1]). Lorsque T s’´ecrit de la forme
Lparf (X), la vari´et´e X se retrouve comme un ouvert X ⊂ MT (modulo une Gm -gerbe triviale), qui
correspond `a la partie de MT qui classe les faisceaux gratte-ciel associ´es aux points de X vus comme
complexes parfaits sur X. Un autre choix de vari´et´e X 0 telle que T ' Lparf (X 0 ) donne lieu `a un
autre ouvert X 0 ⊂ MT . Ceci montre que la reconstruction d’une vari´et´e X telle que T ' Lparf (X)
n’est envisageable que si l’on sp´ecifie un sous-ensemble P des classes d’´equivalence d’objets de T
correspondant aux gratte-ciel de X vus comme objets de T .
Le r´esultat principal de ce travail est le th´eor`eme 7.2, dans le quel nous donnons des conditions
n´ecessaires et suffisantes sur un ensemble P de classes d’´equivalence d’objets dans une dg-cat´egorie T
propre et lisse, pour qu’il existe un espace alg´ebrique X, lisse, s´epar´e et de type fini sur k, une classe
2 (X, G ) et un dg-foncteur
α ∈ Het
m
φP : T op −→ Lαparf (X),
qui identifie l’ensemble P aux gratte-ciel de X (o`
u Lαparf (X) est la dg-cat´egorie des complexes parfaits
sur X tordus par α). On montre de plus que φP est une ´equivalence si et seulement si X est propre.
Cet ´enonc´e est une r´eponse possible au probl`eme de savoir si une dg-cat´egorie propre et lisse T est
d’origine g´eom´etrique. Cependant, plus qu’un simple th´eor`eme de reconstruction nous pensons que
notre r´esultat peut ˆetre un outil utile pour construire des ´equivalences entre cat´egories d´eriv´ees, bien
que cet apsect ne sera pas discut´e en d´etail dans ce travail (voir cependant §8).
Les conditions sur la dg-cat´egorie T et l’ensemble P qui constituent les hypoth`eses de notre th´eor`eme
ne peuvent pas se r´esumer dans cette introduction, et une grande partie de ce travail consiste en
l’introduction des notions qui entrent en jeux. Elles peuvent cependant se d´ecliner en quatre grandes
familles de conditions que nous allons bri`evement commenter.
(1) La dg-cat´egorie T est satur´ee.
(2) Les objets de P sont des objets ponctuels deux `a deux orthogonaux et co-engendrent T .
(3) Les objets de P co-engendrent une t-structure parfaite et ouverte sur T .
(4) La famille des objets de P est born´ee.
La premi`ere condition affirme que T est propre, lisse et triangul´ee (voir [To-Va1]), ce qui est une
hypoth`ese naturelle et incontournable si l’on souhaite reconstruire une vari´et´e propre et lisse X. Par
ailleurs, ces hypoth`eses impliquent l’existence d’un foncteur de Serre pour T (voir notre §1), ce qui
intervient de mani`ere cruciale tout au long de l’article.
La condition (2) contraint le comportement cohomologique des objets de P. On demande par
exemple que l’on ait T (x, x) ' Symk (Ext1 (x, x)[1]) avec Ext1 (x, x) de dimension uniforme d. Par
ailleurs, si x 6= y on demande que T (x, y) ' 0. On doit aussi avoir ST (x) ' x[d] pour tout x ∈ P, o`
u
ST est le foncteur de Serre de T . Enfin, on demande que l’ensemble des objets de P soit une spanning
class au sens de Bridgeland: si T (y, x) ' 0 pour tout x ∈ P alors y ' 0.
La condition (3) est la plus d´elicate et la plus indirecte. Tout d’abord, on d´eclare qu’un objet y ∈ T
est positif si pour tout x ∈ P, le complexe T (y, x) est cohomologiquement concentr´e en degr´e n´egatif.
Une premi`ere condition est que cette notion de positivit´e d´efinisse une t-structure sur la cat´egorie
triangul´ee [T ] associ´ee `
a T . Cette t-structure est dite co-engendr´ee par l’ensemble P. On demande de
plus qu’elle soit ouverte, c’est `
a dire qu’ˆetre un objet du cœur de cette structure soit une condition
ouverte (qui est une mani`ere d’imposer une semi-continuit´e pour les objets de cohomologie associ´es `
a
la t-structure). Cette notion demande une ´etude des t-structures induites sur les familles alg´ebriques
d’objets de T (voir notre §3) et nous ne sommes pas arriv´es `a la d´ecrire de mani`ere simple en termes
`
´
´
SYSTEMES
DE POINTS DANS LES DG-CATEGORIES
SATUREES
3
de T seule, on encore `
a donner des conditions suffisantes pour qu’elle soit automatique. On demande
aussi que la t-structure soit parfaite, ce qui signifie essentiellement que son cœur est noeth´erien et
que les foncteurs de troncations pr´eservent les objets compacts. Encore une fois nous ne sommes pas
arriv´es `a d´ecrire cette condition simplement en termes de T .
Enfin, la derni`ere condition (4) affirme que la famille d’objets P vit dans une partie quasi-compacte
du champ des objets MT ce qui peut se traduire par l’existence d’une borne uniforme sur la cohomologie des objets de P par rapport `
a un g´en´erateur compact (voir [To-Va1, §3.3]).
Sous ces conditions (1) `
a (4), nous montrons l’existence d’un espace de modules grossier MP qui
classe les objets de P. On montre que cet espace est un espace alg´ebrique de type fini, s´epar´e et
lisse sur k. Le champ des objets de P est lui une Gm -gerbe MP −→ MP d´ecrit par une dg-alg`ebre
2 (M , G ) la classe de cette gerbe, on
d’Azumaya (au sens de [To4]) naturelle. Si on note α ∈ Het
m
P
montre l’existence d’un dg-foncteur de d´ecomposition
φP : T op −→ Lαparf (MP ),
qui est a rapprocher de la d´ecomposition spectrale d’une repr´esentation comme faisceau sur l’espace
des repr´esentations irr´eductibles d’un groupe. Ce dg-foncteur est une quasi-´equivalence sur les sous-dgcat´egories pleine form´ees des points, et on montre que c’est une quasi-´equivalence si et seulement si MP
est de plus propre (sans ˆetre arriv´e `
a mettre au jour un crit`ere simple qui implique la propret´e de MP ).
Pour conclure, nous souhaitons signaler que nous ne consid´erons pas notre th´eor`eme principal comme
r´eellement optimal, mais plutˆ
ot comme un premier pas, et qu’il serait souhaitable de l’am´eliorer.
Tout d’abord, comme nous l’avons d´ej`
a signal´e, certaines conditions, particuli`erement autour de la
t-structure, sont d´elicates `
a d´ecrire en termes de T seule. Leurs v´erifications sont parfois difficiles dans
la pratique, et il est fort probable que l’on puisse donner des am´eliorations (par exemple en donnant
des conditions suffisantes sur une t-structure pour ˆetre ouverte ou encore parfaite). Par ailleurs, nous
d´emontrons que le foncteur φP : T op −→ Lαparf (MP ) est une ´equivalence seulement si X est propre,
sans donner pour autant de condition qui permette de s’en assurer. Encore une fois, dans la pratique
cela veut dire qu’il faut v´erifier la propret´e de X au cas par cas. On devrait pouvoir am´eliorer cela
en rajoutant, par exemple, des conditions de stabilit´es en plus de la donn´ee de P. A notre d´echarge,
notre point de d´epart est une dg-cat´egorie propre et lisse g´en´erale, qui peut ne rien avoir `a voir,
`a priori, avec la dg-cat´egorie d´eriv´ee d’une vari´et´e alg´ebrique, on pourrait prendre par exemple des
dg-cat´egories d’origines topologiques ou symplectiques (comme les cat´egories de type Fukaya). La
conclucion du th´eor`eme 7.2 est ainsi relativement forte, et il n’est pas suprenant que les hypoth`eses le
soient proportionnellement.
Enfin, pour finir, nous avons inclus deux exemples de paire (T, P) dans notre dernier paragraphe,
mais nous n’avons pas fait l’exercice de v´erifier toutes les conditions qui forment les hypoth`eses de
notre th´eor`eme, notre but ´etant ici plus d’illustrer comment la signification du th´eor`eme plutˆot que de
donner de r´eelles applications. Il serait donc int´eressant d’avoir un exemple d’application du th´eor`eme
7.2 o`
u l’on obtienne une ´equivalence de cat´egories d´eriv´ees qui n’´etait pas encore connue. Nous pensons par exemple `
a la sym´etrie mirroir: une vari´et´e symplectique N munie d’une fibration en tores
langrangiens N → S, semble pouvoir donner une paire (T, P), o`
u T est un dg-mod`ele pour la A∞ cat´egorie de Fukaya de N , et P est la famille d’objets correspondant `a la famille de tores langrangiens
donn´ee par les fibres de N → S. Ici, l’espace alg´ebrique MP serait bien entendu un candidat au miroir
de M (voir l’introduction de [Ab]), modulo d’innombrables complications techniques (e.g. le corps de
4
¨ AND MICHEL VAQUIE
´
BERTRAND TOEN
base k doit ˆetre remplac´e par quelque chose comme k((t)), etc). Malheureusement, notre manque de
compr´ehension des cat´egories de Fukaya ne nous permet pas d’en dire plus dans ce travail.
Conventions: Tout au long de ce travail nous travaillerons au-dessus d’un corps alg´ebriquement
clˆos k de caract´eristique nulle.
´gories sature
´es
1. Dg-cate
Nous nous pla¸cons dans le cadre de la th´eorie Morita des dg-cat´egories (k-lin´eaires) de [To2], auquel
nous renvoyons le lecteur pour les d´etails. Nous travaillerons dans Ho(dg − cat), la cat´egorie homotopique des dg-cat´egories k-lin´eaires. Concr`etement, cela signifie que nous travaillons `a quasi´equivalence de dg-cat´egories pr`es, sans que cela soit dit de mani`ere explicite. Il nous arrivera par
exemple d’utiliser l’expression dg-foncteur pour signifier en r´ealit´e un morphisme dans Ho(dg − cat),
ou encore limites pour signifier limites homotopiques. De mˆeme certaines constructions seront d´ecrites
de mani`ere na¨ıve et demanderaient d’expliciter certains mod`eles explicites (ce que nous laissons au
lecteur le soin de faire, ou pas). Nous rencontrerons parfois des dg-cat´egories non petites, et nous laissons le soins au lecteur de fixer des univers pour donner un sens `a certains ´enonc´es (voir par exemple
[To2, To4]).
Soit T une petite dg-cat´egorie sur k. Nous noterons Tb := RHom(T op , b
k), la dg-cat´egorie obtenue
`a partir de T en y rajoutant des colimites homotopiques (voir [To2]). L’objet Tb est bien d´efini dans
Ho(dg −cat), la cat´egorie homotopique des dg-cat´egories. Un mod`ele explicite de Tb est la dg-cat´egorie
des T op -dg-modules cofibrants et fibrants (voir [To-Va1, §2.2]).
On dispose d’un plongement de Yoneda h : T −→ Tb qui identifie T `a une sous-dg-cat´egorie pleine
de Tb. Le morphisme h se factorise par Tbc ⊂ Tb la sous-dg-cat´egorie pleine form´ee des objets compacts.
Nous rappelons la terminologie suivante.
• La dg-cat´egorie T est triangul´ee si le morphisme h induit une quasi-´equivalence T ' Tbc .
• La dg-cat´egorie T est lisse sur k s’il existe une dg-alg`ebre B sur k, avec Tb quasi-equivalente `
a
op
b
B, et telle que B soit un B ⊗k B -dg-module compact.
• La dg-cat´egorie T est propre sur k s’il existe une dg-alg`ebre B sur k, avec Tb quasi-equivalente
b et telle B soit compact comme k-dg-module (i.e. soit un complexe parfait de k-espaces
`a B,
vectoriels).
• La dg-cat´egorie T est satur´ee si elle est propre, lisse et triangul´ee.
Les dg-cat´egories satur´ees poss`edent de fabuleuses propri´et´es de dualit´e. Elles sont par exemple
les objets pleinement dualisables de la cat´egorie mono¨ıdale sym´etrique des petites dg-cat´egories `
a
´equivalence de Morita pr`es (voir [To4, Prop. 2.5]), et aussi les objets pleinement dualisables de la 2cat´egorie mono¨ıdale sym´etrique des dg-cat´egories compactement engendr´ees et dg-foncteurs continus
(voir [Lu2]). En ce qui nous concerne, nous rentiendrons les faits suivants.
(1) Pour deux dg-cat´egories satur´ees T1 et T2 , la dg-cat´egorie RHom(T1 , T2 ) est satur´ee. Elle
est de plus naturellement ´equivalente `a (T1\
⊗ T op ) , la dg-cat´egorie des (T1 , T2 )-dg-bimodules
2
c
compacts. Le dg-bimodule correspondant `a un morphisme f sera g´en´eralement not´e Γ(f ). Ce
dg-bimodule envoie (a, b) ∈ T1 ⊗ T2op sur le complexe T2 (b, f (a)).
`
´
´
SYSTEMES
DE POINTS DANS LES DG-CATEGORIES
SATUREES
5
(2) Toute dg-cat´egorie satur´ee T poss`ede un foncteur de Serre ST . Il s’agit d’un endomorphisme
ST : T −→ T de T , tel que le dg-bimodule correspondant soit donn´e par la formule
Γ(ST ) : (a, b) 7→ T (a, b)∨ := Hom(T (a, b), k).
On dispose donc de quasi-isomorphisme naturel
T (a, b)∨ ' T (b, ST (a)).
L’endomorphisme ST de T est toujours une auto-´equivalence.
(3) Soit f : T1 −→ T2 un dg-foncteur entre dg-cat´egories satur´ees. Alors f poss`ede un adjoint `
a
droite et un adjoint `
a gauche (au sens de [To4, §3.1]), not´es respectivement
f∗ : T2 −→ T1
f! : T2 −→ T1 .
Si f correspond au dg-bimodule Γ(f ) ∈ T1\
⊗ T2op , alors f∗ correspond au (T2 , T1 )-dg-bimodule
Γ(f! ) : (a, b) 7→ T2 (f (b), a).
L’adjoint `a gauche f! est quand `
a lui donn´e par la formule
f! = ST−1
(f∗ )ST2 ,
1
o`
u STi est le foncteur de Serre de la dg-cat´egorie Ti . En d’autres termes le dg-bimodule
correspondant `
a f! est (a, b) 7→ T2 (a, f ST1 (b))∨ .
´gorie sature
´e
2. Espaces de modules d’objets simples dans une dg-cate
Soit T une dg-cat´egorie satur´ee sur k. On d´efinit un pr´efaisceau simplicial sur la cat´egorie Af fk
des sch´emas affines sur k
MT : Af fkop −→ sSet,
par la formule
bc ).
MT (Spec A) := M apdg−cat (T op , A
Le pr´efaisceau MT est un champ pour la topologie fpqc (voir [To-Va1]). De plus, pour tout champ
F ∈ Stk on dispose d’une ´equivalence naturelle
M apStk (F, MT ) ' M apdg−cat (T op , Lparf (F )),
o`
u Lparf (F ) est la dg-cat´egorie des complexes parfaits sur F d´efinie par
Lparf (F ) :=
lim
Spec A−→F
bparf .
A
Il s’agit ici d’une limite homotopique dans la th´eorie homotopique des dg-cat´egories (voir [To-Ve2]
pour plus de d´etails sur la descente).
Le principal th´eor`eme de [To-Va1] affirme que MT est un champ localement algebrique et localement
de pr´esentation finie sur k. Dans ce travail nous nous restreindrons au sous-champ Msimp
⊂ MT ,
T
form´e des objets simples. Par d´efinition, un point de MT (Spec A) correspond `a un T op ⊗k A-dg-module
compact. Un tel T op ⊗k A-dg-module E poss`ede un complexe d’endomorphismes RHom(E, E) qui est
un complexe de A-dg-modules. Ce complexe est de plus parfait sur A car T est satur´ee. Par d´efinition,
l’objet E ∈ MT (Spec A) est dit simple si le complexe parfait RHom(E, E) v´erifie les deux conditions
suivantes.
• L’amplitude de RHom(E, E) est contenue dans [0, ∞].
6
¨ AND MICHEL VAQUIE
´
BERTRAND TOEN
• Le morphisme naturel A −→ RHom(E, E) induit par l’identit´e de E, induit pour tout morphisme d’anneaux A −→ A0 un isomorphisme
A0 ' H 0 (RHom(E, E ⊗A A0 )).
Par semi-continuit´e on voit que l’inclusion naturelle Msimp
⊂ MT est une immersion ouverte de
T
champs. On en d´eduit donc que Msimp
est
lui-mˆ
e
me
un
champ
localement alg´ebrique et localement
T
de pr´esentation finie. Par ailleurs, l’annulation des Ext n´egatifs des objets simples implique que
Msimp
est un 1-champ d’Artin localement de pr´esentation finie (voir [To-Va1, §3.4]). Enfin, le fait que
T
les objets simples ne poss`edent que les scalaires comme endomorphismes de degr´e z´ero implique que
Msimp
est une Gm -gerbe au-dessus d’un espace alg´ebrique MTsimp localement de pr´esentation finie sur
T
k. De mani`ere plus explicite, la projection
π : Msimp
−→ MTsimp
T
est le morphisme quotient pour l’action naturelle du champ en groupes K(Gm , 1) sur Msimp
qui
T
consiste `a tensoriser par des fibr´es en droites de la base. Pour Spec A ∈ Af fk , le groupe simplicial
K(A∗ , 1) op`ere naturellement sur l’ensemble simplicial MT (A) par son action naturelle sur la dgbc des complexes parfaits de A-dg-modules. Lorsque Spec A d´ecrit Af fk cela d´efinit une
cat´egorie A
dont le quotient est MTsimp . On peut donc ´ecrire
action du champ en groupes K(Gm , 1) sur Msimp
T
/K(Gm , 1)]
MTsimp ' [Msimp
T
−→ MTsimp soit le morphisme quotient.
de sorte `a ce que la projection π : Msimp
T
Notons que la gerbe Msimp
au-dessus de MTsimp est en g´en´eral non-triviale. Elle est cependant
T
donn´ee par une dg-alg`ebre d’Azumaya sur MTsimp au sens de [To4], qui peut-ˆetre construite de la
mani`ere suivante. Sur le champ Msimp
, on dispose d’une T op -dg-module universel E, qui apr`es oubli
T
op
. La dg-cat´egorie des
de la structure de T -dg-module fournit un complexe parfait E0 sur Msimp
T
simp
poss`ede des sous-dg-cat´egories pleines
complexes parfaits sur MT
),
) ⊂ Lparf (Msimp
Lχparf (Msimp
T
T
) consiste en les complexes parfaits
o`
u χ parcours l’ensemble des caract`eres Z de Gm , et o`
u Lχparf (Msimp
T
) si et seulement si pour toute
de poids χ: un complex parfait E ∈ Lparf (Msimp
) vit dans Lχparf (Msimp
T
T
la restriction de E `a BGm est un complexe de repr´esentations de Gm
gerbe r´esiduelle BGm ⊂ Msimp
T
pures de poids 1. Notons que si Msimp,ν
d´esigne un ouvert quasi-compact de Msimp
(voir [To-Va1,
T
T
§3.3]), alors les inclusions naturelles d´efinissent une quasi-´equivalence de dg-cat´egories
M χ
Lparf (Msimp,ν
) ' Lparf (Msimp,ν
).
T
T
χ∈Z
Cette d´ecomposition n’est plus valable sur Msimp
tout entier dˆ
ue `a la non-quasi-compacit´e.
T
Nous disposons donc d’un complexe parfait universel E0 sur Msimp
, pur de poids 1. Cet objet est
T
χ=1
simp
de plus un g´en´erateur compact local de Lparf (MT ), au sens o`
u son image r´eciproque sur tout affine
Spec A −→ Msimp
est un g´en´erateur compact de D(A) la cat´egorie d´eriv´ee de A. Il s’en suit, d’apr`es
T
le formalisme g´en´eral de [To4], que le faisceau en dg-alg`ebres parfaites A := REnd(E0 ) est pur de poids
`
´
´
SYSTEMES
DE POINTS DANS LES DG-CATEGORIES
SATUREES
7
simp
0, donc vit dans Lχ=0
) ' Lparf (MT ), et est de plus une dg-alg`ebre d’Azumaya sur l’espace
parf (MT
2 (M simp , G ) qui n’est
alg´ebrique MTsimp . D’apr`es [To4, Cor. 4.8], elle d´etermine une classe γ(A) ∈ Het
m
T
simp
autre que la classe de la gerbe Msimp
−→
M
.
Par
construction,
on
a
une
quasi-´
e
quivalence
de
T
T
dg-cat´egories
simp
Lparf (A) ' Lχ=1
),
parf (MT
o`
u le membre de gauche est la dg-cat´egorie des A-dg-modules parfaits sur MTsimp . Nous renvoyons `
a
[To4] pour plus de d´etails.
3. Extension des scalaires et t-structures
Comme pr´ec´edemment, soit T une dg-cat´egorie triangul´ee sur k et Tb la dg-cat´egorie des dg-modules
sur T op . On note h : T −→ Tb le dg-foncteur de Yoneda, qui est un dg-foncteur pleinement fid`ele. On
note [T ] := H 0 (T ) la cat´egorie homotopique de T . Comme T est triangul´ee, [T ] est une munie d’une
structure triangul´ee naturelle pour laquelle les triangles distingu´es sont les images des suites exactes
de fibrations (voir [Ho, §7] ou [To3, §4.4]). D’apr`es nos conventions [T ] est aussi Karoubienne. De la
mˆeme mani`ere, [Tb] est une cat´egorie triangul´ee qui poss`ede des sommes infinies. Le plongement de
Yoneda induit un foncteur triangul´e pleinement fid`ele
[T ] ,→ [Tb].
Le caract`ere triangul´e de T implique que l’image essentielle de ce plongement est la sous-cat´egorie
pleine des objets compacts dans [Tb]. On dipose donc d’une ´equivalence triangul´ee naturelle
[T ] ' [Tb]c .
D´
efinition 3.1. Une t-structure sur T est la donn´ee d’une t-structure sur la cat´egorie triangul´ee
b
[T ] au sens de [BBD]. Le cœur d’une t-structure sur T est par d´efinition le cœur de la t-structure
b
correspondante sur [Tb]. Il sera not´e H.
Par d´efinition, une t-structure sur T est compl`etement caract´eris´ee par la donn´ee d’une souscat´egorie pleine [Tb]≤0 ⊂ [Tb], form´ee des objets x tels que τ≥0 x ' 0. Inversement, une telle souscat´egorie pleine de [Tb] d´etermine une t-structure si et seulement si elle est stable par sommes (possiblement infinies), cˆ
ones et facteurs directs, et si de plus elle est engendr´ee par cˆones, sommes et
facteurs directs par un ensemble petits d’objets (voir [Ke-Vo]). Par la suite, nous supposerons implicitement que les t-structures consid´er´ees satisferont toutes cette hypoth`eses ensemblistes: [Tb]≤0 est
engendr´ee, par cˆones, sommes et facteurs directs par un ensemble petits d’objets.
Comme l’ensemble des classes d’´equivalence de sous-cat´egories pleines de [Tb] sont en correspondance
bi-univoque avec celui des sous-dg-cat´egories pleine de Tb, on voit qu’une t-structure sur T consiste
en la donn´ee d’une sous-dg-cat´egorie pleine Tb≤0 ⊂ Tb qui est stable, `a ´equivalence pr`es, par colimites
(au sens des dg-cat´egorie) et qui est engendr´ee par colimites par un ensemble petit d’objets. Il est
important de noter cependant que bien que l’inclusion naturelle [Tb]≤0 ⊂ [Tb] soit induite par un
dg-foncteur pleinement fid`ele Tb≤0 ⊂ Tb, le foncteur de troncation
τ≤0 : [Tb] −→ [Tb]≤0
8
¨ AND MICHEL VAQUIE
´
BERTRAND TOEN
ne l’est pas (car il n’est pas un foncteur triangul´e). Ce foncteur de troncation peut cependant ˆetre
repr´esent´e par un ∞-foncteur sur les ∞-cat´egories correspondantes
|Tb| −→ |Tb≤0 |
(o`
u | − | d´esigne le foncteur qui `
a une dg-cat´egorie associe l’∞-cat´egorie correspondante, en appliquant
par exemple la construction de Dold-Kan aux complexes de morphismes, voir par exemple [Ta3]).
Fixons maintenant une dg-cat´egorie T triangul´ee sur k munie d’une t-structure. Nous noterons
≤0
b
T , Tb≥0 ⊂ Tb les sous-dg-cat´egories pleines form´ees des objets n´egatifs, respectivement positifs, par
rapport `a la t-structure. Pour n ∈ Z, on pose Tb≤n ⊂ Tb la sous-dg-cat´egorie pleine form´ee des objets
x tels que τ>00 (x[n]) ' 0. De mˆeme, Tb≥n est d´efinie comme la sous-dg-cat´egorie pleine form´ee des x
tels que τ<0 (x[n]) ' 0. On pose, pour toute paire d’entiers a ≤ b
Tb[a,b] := Tb≤b ∩ Tb≥a ⊂ Tb.
Notons que Tb[0,0] est une sous-dg-cat´egorie pleine de Tb dont la cat´egorie homotopique s’identifie
naturellement au cœur de la t-structure. De plus, pour deux objets x, y ∈ Tb[0,0] les complexes de
morphismes T (x, y) sont cohomologiquement concentr´es en degr´es positifs. On voit ainsi que [Tb[0,0] ],
qui est une cat´egorie ab´elienne k-lin´eaire, est munie d’une dg-foncteur naturel
[Tb[0,0] ] −→ Tb[0,0]
induisant une ´equivalence sur les cat´egorie homotopiques. En composant avec l’inclusion naturelle on
trouve un dg-foncteur
[Tb[0,0] ] −→ Tb.
Ce dg-foncteur n’est pas pleinement fid`ele, mais induit un foncteur pleinement fid`ele
[Tb[0,0] ] ,→ [Tb]
b sera consid´er´e comme
qui identifie [Tb[0,0] ] au cœur. De cette mani`ere, le cœur de la t-structure H
b
sous-cat´egorie pleine de [T ], mais aussi comme sous-dg-cat´egorie (non-pleine) de Tb.
Nous introduisons les notions de finitudes suivantes pour une t-structure sur T .
D´
efinition 3.2. Soit T une dg-cat´egorie triangul´ee sur k munie d’une t-structure.
(1) Nous dirons que la t-structure est born´ee si tous les objets compacts de [Tb] sont born´es: pour
tout E ∈ [T ] ' [Tb]c il existe a ≤ b tels que E ∈ Tb[a,b] .
(2) Nous dirons que la t-structure est pr´ecompacte si pour tout E ∈ [T ], les objets τ≤0 (E) et
τ≥0 (E) sont compacts dans [Tb].
(3) Nous dirons que la t-structure est compacte si elle est born´ee, pr´ecompacte et si de plus la
sous-dg-cat´egorie pleine Tb≥0 ⊂ Tb est stable par colimites filtrantes.
Les t-structures compactes d´efinies ci-dessus poss`edent des propri´et´es de stabilit´e remarquables que
nous avons rassembl´ees dans la proposition suivante.
Proposition 3.3. Soit T une dg-cat´egorie triangul´ee munie d’une t-structure compacte. Les propri´et´es
suivantes sont satisfaites.
`
´
´
SYSTEMES
DE POINTS DANS LES DG-CATEGORIES
SATUREES
9
(1) Pour toute paire d’entiers a ≤ b, la sous-dg-cat´egorie Tb[a,b] ⊂ Tb est stable par colimite filtrantes.
b commutent aux colimites filtrantes.
Les ∞-foncteurs de cohomologie Hti : |Tb| −→ H
(2) Pour tout −∞ ≤ a ≤ b ≤ ∞, la sous-dg-cat´egorie pleine Tb[a,b] ⊂ Tb est engendr´ee par colimites
par les objets de T ∩ Tb[a,b] .
(3) La t-structure sur [Tb] se restreint en une t-structure sur la sous-cat´egorie des objets compacts
b ∩ [T ] ⊂ [Tb], l’intersection du cœur de la
[T ]. Le cœur H de cette t-structure induite est H
t-structure sur [Tb] avec la sous-cat´egorie des objets compacts.
b est H = H
b ∩ [T ].
(4) La sous-cat´egorie des objets ω-petits de la cat´egorie ab´elienne H
(5) Un objet E ∈ Tb est compact si et seulement s’il existe deux entiers a ≤ b avec E ∈ Tb[a,b] et de
b est un objet de H.
plus Hti (E) ∈ H
Preuve: (1) Pour commencer, notons |Tb| l’∞-cat´egorie associ´ee `a la dg-cat´egorie Tb. Par d´efinition
de t-structure compacte la sous-∞-cat´egorie pleine |Tb≥0 | ,→ |Tb| est stable by colimites filtrantes.
Comme l’∞-foncteur de troncation τ≥0 est un adjoint `a gauche, il commute aux colimites filtrantes.
En utilisant le triangle distingu´e d’∞-foncteurs
τ≤−1
/ id
/ τ≥0
on voit que τ≤−1 commute aussi aux colimites filtrantes. Cela implique que pour tout a ≤ b les ∞foncteurs τ[a,b] commutent aux colimites fitrantes, et donc que les sous ∞-cat´egories pleines |Tb[a,b] | ,→
|Tb| sont stables par colimites filtrantes.
(2) Soit x ∈ Tb[a,b] . On ´ecrit x ' colimα xα , une colimite filtrante d’objets xα ∈ T . Par (1) on a
x ' τ[a,b] (x) ' colimα τ[a,b] (xα ). Or, par hypoth`ese de compacit´e de la t-structure, tous les τ[a,b] (xα )
sont dans T , et donc dans T ∩ Tb[a,b] .
(3) C’est une cons´equence directe de la condition de compacit´e sur la t-structure.
b (car
(4) Tout d’abord, comme les objets de H sont compacts dans Tb, ils sont aussi ω-petits dans H
b sont aussi des colimites filtrantes dans Tb). Inversement,
(1) implique que les colimites filtrantes dans H
b
b
soit x un objet ω-petit de H. On voit x dans T et on ´ecrit x comme une colimite filtrante x ' colimα xα
b = H (ce qui est possible `
avec xα ∈ T ∩ H
a l’aide de (2)). Tous les objets x et xα ´etant ω-petits dans
b
b est stable par facteurs directs dans Tb, et
H on voit que x est un r´etracte d’un xα . Mais T ∩ H = H
donc x ∈ H.
(5) Se d´eduit par d´evissage des points pr´ec´edents.
2
ˆ k A la dg-cat´egorie triangul´ee
Soit maintenant A une k-alg`ebre commutative et consid´erons TA := T ⊗
A-lin´eaire induite par changement de base. La construction A 7→ TA se promeut en un ∞-foncteur de
la cat´egorie des k-alg`ebres commutatives vers celle des dg-cat´egories triangul´ees (voir [To4, §3.1]). De
mani`ere explicite, TA peut-ˆetre d´efinie, `
a ´equivalence naturelle pr`es, comme la sous-dg-cat´egorie pleine
des (T ⊗k A)op -dg-modules, form´ee des dg-modules cofibrants et quasi-repr´esentables (voir [To-Va1]).
On peut aussi voir TA par la formule suivante
TA ' RHom(A, T ),
o`
u A est consid´er´ee comme une dg-cat´egorie sur k avec un unique objet. La dg-cat´egorie Tc
A s’identifie
naturellement `a TbA = RHom(A, Tb) ainsi qu’`a la dg-cat´egorie des (T ⊗k A)op -dg-modules cofibrants.
10
¨ AND MICHEL VAQUIE
´
BERTRAND TOEN
Nous renvoyons `a [To4] pour plus de d´etails sur les changements d’anneaux de bases pour les dgcat´egories.
On d´efinit une t-structure sur TbA induite par celle de T de la mani`ere suivante. On dispose d’un
unique dg-foncteur k −→ A induit par l’identit´e dans A. Cela d´efinit un dg-foncteur de restriction
RHom(A, Tb) −→ RHom(k, Tb) ' Tb, et donc un dg-foncteur, que nous appellerons oubli
TbA −→ Tb.
On d´efinit TbA≥0 par la carr´e cart´esien suivant
TbA≥0
/ TbA
/ Tb.
Tb≥0
Le dg-foncteur d’oubli admet un adjoint `
a gauche (au sens des dg-cat´egories, voir [To4])
− ⊗k A : Tb −→ TbA ,
qui en termes de dg-modules envoie un T op -dg-module E sur E ⊗k A muni de sa structure naturelle
de T op ⊗k A-dg-module. On en d´eduit un adjoint `a gauche au foncteur d’oubli sur les cat´egories
triangul´ees associ´ees, que nous appellerons changement de bases
− ⊗k A : [Tb] −→ [TbA ].
On d´efinit alors TbA≤0 comme ´etant la plus petite sous-dg-cat´egorie pleine de TbA qui est stable par
sommes, cˆones et r´etractes, et qui contient l’image de Tb≤0 par le dg-foncteur − ⊗k A.
La paire de sous-cat´egories de [TbA ]
[TbA ]≤0 := [Tb≤0 ]
[TbA ]≥0 := [Tb≥0 ]
A
A
d´efinit une t-structure sur TbA . Pour cette t-structure, l’adjonction de foncteurs triangul´es
− ⊗k A : [Tb] ←→ [TbA ]
est compatible avec les t-structures au sens o`
u − ⊗k A est t-exact `a droite, et son adjoint `a droite
t-exact `a gauche.
D´
efinition 3.4. Avec les notations ci-dessus, la t-structure sur TbA est appel´ee la t-structures induite
par extension des scalaires.
Le lemme suivant se d´eduit ais´ement des d´efinition et du fait que le foncteur d’oubli [TbA ] −→ [Tb]
commute avec les sommes arbitraires.
Lemme 3.5. Avec les notations ci-dessus, pour toute dg-cat´egorie triangul´ee T munie d’une tstructure, et toute k-alg`ebre commutative A, le foncteur d’oubli
p : [TbA ] −→ [Tb]
est t-exact pour la t-structure sur TbA induite par extension des scalaires. De plus, ce foncteur reflˆete
la t-structure sur [TbA ]: pour tout objet x ∈ [TbA ] on a
(p(x) ∈ [Tb]≤0 ) ⇐⇒ (x ∈ [TbA ]≤0 )
(p(x) ∈ [Tb]≥0 ) ⇐⇒ (x ∈ [TbA ]≥0 ).
`
´
´
SYSTEMES
DE POINTS DANS LES DG-CATEGORIES
SATUREES
11
Preuve: Il suffit de d´emontrer les deux ´equivalences. La seconde ´equivalence est vraie par d´efinition
de [TbA ]≥0 comme image r´eciproque de [Tb]≥0 par p. Soit x ∈ TbA≤0 . C’est une colimite dans TbA d’objets
de la forme xα ⊗ A, avec xα ∈ Tb≤0 . Comme le dg-foncteur p commute aux colimites arbitraires, p(x)
est une colimite d’objet de la forme xα ⊗k A, qui eux mˆeme sont des sommes de xα . On voit donc que
p(x) ∈ Tb≤0 . Inversement, supposons que p(x) ∈ Tb≤0 . A l’aide de l’ajunction (⊗k A, p), on construit
un objet simplicial R∗ (x) dans TbA muni d’une augmentation R∗ (x) −→ x avec Rn (x) ' q n (x) '
p(x) ⊗k A⊗n+1 pour tout n ≥ 0, avec q l’endomorphisme de TbA donn´e par p(−) ⊗k A. Cet objet est
une r´esolution de x au sens o`
u l’augmentation induit une ´equivalence dans TbA
colim Rn (x) ' x
n∈∆op
Par hypoth`ese et par d´efinition chaque Rn (x) est dans TbA≤0 , et ainsi x ∈ TbA≤0 .
2
Ce lemme, associ´e au fait que TbA est la dg-cat´egorie des A-modules dans Tb, montre que le cœur
de la t-structure induite sur TbA n’est autre que la cat´egorie des A-module dans la cat´egorie ab´elienne
b En d’autre termes, le cœur de TbA s’identifie `a la cat´egorie ab´elienne A-lin´eaire obtenue
k-lin´eaire H.
b par extension des scalaires de k `a A.
`a partir de H
Nous arrivons aux notions principales de cette section, la notion de t-structure ouverte et de tstructure parfaite sur une dg-cat´egorie satur´ee T . Ces notions font intervenir les t-structures induites
sur TbA et ne semblent pas facilement exprimables en terme de T seule.
Commen¸cons par la notion de t-structure ouverte. Pour toute paire d’entiers a ≤ b nous d´efinissons
[a,b]
MT ⊂ MT un sous-pr´echamp de MT comme suit. Soit A une k-alg`ebre commutative, rappelons
que l’ensemble simplicial MT (A) est le nerf de la cat´egorie des T op ⊗k A-dg-modules cofibrants et
[a,b]
compact et des quasi-isomorphismes entre iceux (voir [To-Va1]). Par d´efinition, MT (A) ⊂ MT (A)
est le sous-ensemble simplicial plein (i.e. r´eunion de composantes connexes) form´e des dg-modules E
satisfaisant la condition suivante: pour tout A-alg`ebre commutative A0 , on a
E ⊗A A0 ∈ [TbA0 ][a,b] .
[a,b]
Par d´efinition, un objet E ∈ MT (A) sera dit d’amplitude contenu dans l’intervalle [a, b], ou encore
d’amplitude [a, b].
Le lemme suivant montre que la condition d’ˆetre d’amplitude dans l’intervalle [a, b] est une condition
locale pour la topologie ´etale.
[a,b]
Lemme 3.6. Le pr´echamp MT
est un champ pour la topologie ´etale.
Preuve: On commence par remarquer le fait suivant. Soit A −→ B un morphisme plat de k-alg`ebres
commutatives de type fini. Alors le dg-foncteur de changement de bases
TbA −→ TbB
est t-exact. En effet, sans hypoth`eses de platitude et simplement par d´efinition, ce dg-foncteur est
t-exact `a droite. Par ailleurs, pour x ∈ TbA , si on note p : TbB −→ TbA le dg-foncteur d’oubli, on trouve
p(x ⊗A B) ' x ⊗A B. Comme B est un A-module plat, il est colimite filtrante de A-modules projectifs,
et ainsi p(x ⊗A B) est une colimite filtrante d’objets de la formes x ⊗A M avec M un A-module
12
¨ AND MICHEL VAQUIE
´
BERTRAND TOEN
projectif. Mais un tel x ⊗A M est un r´etracte d’une somme de x. Ainsi, on voit que p(x ⊗A B) est
dans la sous-dg-cat´egorie pleine de TbA engendr´ee par colimites filtrantes par x. Ainsi, si x ∈ TbA≥0 il en
est de mˆeme de TbB .
Soit maintenant A −→ B un morphisme fid`element plat entre k-alg`ebres commutatives de type fini.
On note B ∗ la k-alg`ebre commutative co-simpliciale co-nerf du morphisme A −→ B, de sorte `a ce
que B n = B ⊗A n+1 . On dipose d’une co-augmentation A −→ B ∗ . Il faut montrer que le morphisme
naturel
[a,b]
[a,b]
MT (A) −→ lim MT (B n )
n∈∆
[a,b]
MT
est une ´equivalence. Comme
est un sous-pr´echamp plein du champ MT , ce morphisme est
´equivalent `a une r´eunion de composantes connexes. Il reste `a montrer que si un objet t-plat x ∈ TA
[a,b]
[a,b]
est tel que x ⊗A B ∈ TB alors x ∈ TA . Mais comme A 7→ TA est un champ en dg-cat´egories (voir
[To4]), on a une ´equivalence dans TA
x ' lim x ⊗A B n .
n∈∆
Chaque B n est un A-module plat, et donc colimite filtrante de A-module projectifs. Ainsi, chaque
[a,b]
x ⊗A B n est un facteur d’une somme de x et est donc dans TbA . Comme TbA≥a est stable par limites
dans TbA il s’en suit que x ∈ TA≥a .
Par ailleurs, pour montrer que x ∈ TA≤b , il faut montrer que pour tout y ∈ TbA>b le complexe de Amodules TbA (x, y) est cohomologiquement concentr´e en degr´es strictement positifs. Comme A −→ B
est fid`element plat, il suffit de montrer que TbA (x, y) ⊗A B est cohomologiquement concentr´e en degr´es
strictement positifs. Or x est compact, et on a donc un quasi-isomorphisme naturel
TbA (x, y) ⊗A B ' TbB (x ⊗A B, y ⊗A B).
Comme nous avons vu que ⊗A B est t-exact, on a y ⊗A B ∈ TbB>b , et donc H i (TbB (x ⊗A B, y ⊗A B)) = 0
pour i ≤ 0. Ceci implique que x ∈ TbA≤b et termine la preuve du lemme.
2
D´
efinition 3.7. Soit T une dg-cat´egorie satur´ee. Nous dirons qu’une t-structure sur T est ouverte
si elle v´erifie la condition suivante: pour toute paire d’entiers a ≤ b, le sous-champ
[a,b]
MT
⊂ MT
est repr´esentable par une immersion ouverte.
On peut interpr´eter la d´efinition ci-dessus comme une tentative pour s’assurer d’une forme de semicontinuit´e des foncteurs Hti , analogue `
a la semi-continuit´e de la dimension des groupes de cohomologie
des complexes parfaits de Grothendieck.
Si une dg-cat´egorie satur´ee T est munie d’une t-structure ouverte, alors pour tout a ≤ b, les champs
[a,b]
MT sont localement alg´ebriques et localement de pr´esentation finie. Par ailleurs, si n = b − a + 1, on
[a,b]
voit facilement que MT est un n-champ d’Artin localement de pr´esentation finie sur k. Ainsi, pour
[0,0]
a = b = 0 on trouve un 1-champ d’Artin MT qui classifie les objets compacts du cœur de T . Ce
b Il peut ´etre
champ sera not´e MH
egorie ab´elienne H.
T , et est un champ de modules d’objets dans la cat´
`
´
´
SYSTEMES
DE POINTS DANS LES DG-CATEGORIES
SATUREES
13
bA la cat´egorie ab´elienne
d´ecrit de la mani`ere suivante. Pour A une k-alg`ebre commutative notons H
b L’association A 7→ H
bA d´efinit un champ en cat´egories
des A-modules dans la cat´egorie k-lin´eaire H.
sur le site des k-sch´emas affines muni de la topologie ´etale. Le champ MH
T en est le sous-champ en
b
groupo¨ıdes form´e des objets E ∈ HA qui v´erifient les deux conditions suivantes.
(1) L’objet E est t-plat: pour tout morphisme de k-alg`ebres de type fini A −→ A0 , l’objet E⊗A A0 ∈
TbA0 est dans le cœur de la t-structure induite sur TbA0 .
(2) L’objet E est compact dans [TbA ].
Notons que le champ MH
epend `
a priori de strictement plus que de la cat´egorie ab´elienne, car la
T d´
bA ,→ [TbA ] qui d´epend `a priori du
condition de compacit´e pr´ec´edente fait intervenir le plongement H
choix de T .
Venons-en `a notre seconde notion, celle de t-structure parfaite.
D´
efinition 3.8. Soit T une dg-cat´egorie triangul´ee munie d’une t-structure. Nous dirons que la tstructure est parfaite si pour toute k-alg`ebre A r´eguli`ere les deux conditions suivantes sont satisfaites.
b k A par extension des scalaires
(1) La t-structure induite sur la dg-cat´egorie triangul´ee TA = T ⊗
est une t-structure compacte.
bA de la t-structure induite est une cat´egorie ab´elienne noeth´erienne: tout sous-objet
(2) Le cœur H
d’un objet ω-petit est ω-petit.
4. Espaces Quot
Nous avons vu la notion de t-structure ouverte sur une dg-cat´egorie satur´ee T . Nous allons voir
dans ce paragraphe comment cette notion permet de d´efinir des g´en´eralisation des sch´emas Quot de
Grothendieck pour des objets de H. Ces espaces Quot seront utilis´es de mani`ere essentielle dans la
suite de ce travail pour aboutir `
a notre th´eor`eme principal, mais cette notion poss`ede aussi un int´erˆet
en soi.
Soit donc T une dg-cat´egorie satur´ee sur k munie d’une t-structure parfaite et ouverte (voir les
d´efinitions 3.7 et 3.8). Soit A une k-alg`ebre commutative de type finie. On note HA l’intersection du
cœur de la t-structure induite sur [TbA ] avec [TA ] la sous-cat´egories des objets compacts. Rappelons
bA est dans HA si et seulement si pour tout objet compact K ∈ T , le complexe
qu’un objet E de H
T (K, E) est un complexe parfait de A-modules (prop. 3.3 et le fait que T soit satur´ee). On suppose
que E est t-plat: pour tout morphisme de k-alg`ebres commutatives de type fini A −→ A0 l’objet
E ⊗A A0 ∈ [TbA0 ] est dans le cœur de la t-structure induite sur [TbA0 ].
(1)
Comme dans [To-Va1], on notera MT le champ des morphismes dans T , classifiant les morphismes
de T op -dg-modules parfaits. Il vient avec deux projections
MT o
s
(1)
MT
t
/ MT ,
de source et but. La condition de platitude impos´ee sur E d´efinit un morphisme de champs
E : Spec A −→ MH
T ⊂ MT .
¨ AND MICHEL VAQUIE
´
BERTRAND TOEN
14
/E
On consid`ere le champ MT , d´efini par le produit fibr´e ci-dessous
/ M(1)
T
/E
MT
Spec A
E
t
/ MT .
/E
Le champ MT classifie les T op -dg-modules compacts munis d’un morphisme vers E. Sa pr´esentation
par le produit fibr´e ci-dessus montre qu’il s’agit d’un champ localement alg´ebrique et localement de
type fini sur k. Le morphisme source d´efinit un morphisme induit
/E
s : MT −→ MT .
H/E
Nous noterons MT
le champ d´efini par le produit fibr´e
MT
/ MH
T
/ MT .
H/E
/E
MT
s
H/E
Le champ MT
est un 1-champ au-dessus de Spec A, dont les sections au-dessus d’une A-alg`ebre
commutative de type finie A0 est le groupo¨ıde des couples (E 0 , u), avec E 0 ∈ HA0 un objet t-plat, et
(1)
u un morphisme u : E 0 −→ E ⊗A A0 dans HA0 . En utilisant l’alg´ebricit´e de MT et l’ouverture de la
H/E
t-structure, il est facile de voir que MT
est un 1-champ d’Artin, qui se r´ealise comme un sous-champ
/E
ouvert du champ localement al´ebrique MT .
/E
Enfin, soit Quot(E) le sous-champ de MT form´e des objets (E 0 , u) comme ci-dessus v´erifiant la
bA0 , et son
condition suivante: le morphisme u est un monomorphisme dans la cat´egorie ab´elienne H
b
conoyau est un objet Coker(u) ∈ HA0 qui est t-plat. En d’autre termes, Quot(E) est le produit fibr´e
suivant
Quot(E)
/ M/E
T
MH
T
c
/ MT ,
o`
u c est le morphisme qui envoie une paire (E 0 , u) comme ci-dessus sur le cˆone de u.
Finalement, on fixe un g´en´erateur compact K de Tb, et une fonction ν : Z −→ N `a support fini.
On note MνT ⊂ MT le sous-champ ouvert de type fini des T op -dg-module compacts F tels que (voir
[To-Va1, §3.3])
dimk H i (T (K, E)) ≤ ν(i) ∀ i ∈ Z.
`
´
´
SYSTEMES
DE POINTS DANS LES DG-CATEGORIES
SATUREES
15
Nous noterons de mˆeme Quotν (E) le sous-champ ouvert de Quot(E) form´e des paires (E 0 , u) dont le
cˆone de u est dans MνT . En d’autre termes, Quotν (E) est le produit fibr´e
Quotν (E)
/ M/E
T
c
/ MT .
ν
MH
T ∩ MT
Proposition 4.1. Avec les hypoth`eses et notations et d´efinitions ci-dessus, les deux assertions suivantes sont satisfaites.
(1) Le champ Quotν (E) est repr´esentable par un espace alg´ebrique de type fini et s´epar´e sur Spec A.
(2) La projection Quot(E) −→ S = Spec A v´erifie le crit`ere valuatif de propret´e: pour toute kalg`ebre commutative R int`egre lisse et de dimension 1, de corps des fractions K, le morphisme
Quot(E)(R) −→ Quot(E)(K) ×S(K) S(R)
est une ´equivalence.
Preuve: (1) Les r´esultats de [To-Va1, §3.3] impliquent ais´ement que Quotν (E) est un espace
alg´ebrique de type fini au-dessus de Spec A. Comme Quotν (E) est un sous-champ ouvert de Quot(E),
sa s´eparation est une cons´equence du crit`ere valuatif de propret´e que nous allons d´emontrer dans (2).
(2) On fibre le morphisme Quot(E)(R) −→ Quot(E)(K) ×S(K) S(R) au-dessus de S(R), et on
montre que qu’il est bijectif fibre `
a fibre. Cela implique que l’on peut remplacer A par R.
On dispose donc de (E 0 , u) un objet de Quot(E)(R), repr´esent´e comme une suite exacte d’objet
t-plats dans HR
0
/E
/K
u
/ E0
/ 0.
On utilise l’adjonction de cat´egories ab´eliennes
bR H
bK
⊗R K : H
induite par changement de bases et son adjoint `a droite le foncteur d’oubli. L’unit´e de l’ajonction
bR
induit un morphisme de suite exactes dans H
0
/K
/E
u
/ E0
/0
0
/ K ⊗R K
/ E ⊗R K
uK
/ E 0 ⊗R K
/ 0.
On commence par remarquer que les morphismes verticaux sont des monomorphismes. En effet, pour
bR , l’unit´e v : E −→ E ⊗R K est un monomorphisme. Pour voir cela, on
tout objet t-plat E ∈ H
consid`ere le cˆone de v dans TbR , qui s’exprime comme E ⊗R K/R ' colimf ∈R−0 E/f . Ici la colimite
est prise sur l’ensemble filtrant des ´el´ements non-nuls de R (ordonn´e par la relation de divisibilit´e), et
E/f d´esigne le cˆone de la multiplication ×f : E → E. Ce cˆone s’exprime aussi comme E ⊗R R/(f ),
et comme E est t-plat ce cˆ
one est dans HR . On en d´eduit que colimf ∈R−0 E/f , et donc E ⊗R K/R
bR , et ainsi que le morphisme v est un monomorphisme.
est dans H
¨ AND MICHEL VAQUIE
´
BERTRAND TOEN
16
Le fait que les morphismes verticaux du diagramme pr´ec´edent soient des monomorphismes implique
que le carr´e
K
/E
/ E ⊗R K
K ⊗R K
bR (attention, il ne l’est pas dans TbR ). Cela implique
est cart´esien dans la cat´egorie ab´elienne H
0
clairement que (E, u ) est l’unique rel`evement de (E 0 ⊗R K, u ⊗R K) de K `a R. Ainsi, le morphisme
Quot(E)(R) −→ Quot(E)(K) ×S(K) S(R) est injectif.
0 , u ) un objet de Quot(E)(K), repr´
Soit maintenant (EK
esent´e par une suite exacte dans HK
K
0
/ EK
/ KK
uK
/ E0
K
/ 0.
bR par le carr´e cart´esien (dans H
bR ) suivant
On d´efinit un sous-objet K ⊂ E dans H
K
/E
/ E ⊗R K.
KK
Comme la t-structure est noeth´erienne K est un objet ω-petit et donc est dans HR . Par ailleurs, le
bR . Ceci implique que E/K
quotient E/K dans HR est par construction un sous-objet de E 0 ⊗K R ∈ H
est un objet sans torsion: pour tout f ∈ R − 0, le cˆone de la multiplication ×f : E −→ E est dans
HR . Ceci implique ais´ement que pour tout R-module M , l’objet E ⊗R M `a priori dans TbR , reste dans
bR . L’objet E/K est donc t-plat, et l’objet (E/K, u), o`
H
u u : E −→ E/K est la projection naturelle
0 ,u ) `
est un rel`evement de (EK
2
K a un point de Quot(E)(R).
L’espace alg´ebrique Quot(E) contient deux copies du sch´ema Spec A, qui correspondent au couple
(E 0 , u) avec soit u un isomorphisme soit E ' 0. Cela d´efinit deux morphismes
a, b : Spec A ⇒ Quot(E),
de sorte `a ce que la projection Quot(E) −→ Spec A en soit un r´etracte. En particulier, comme Quot(E)
est s´epar´e d’apr`es la proposition 4.1, les morphismes a et b sont des immersions ferm´ees. Ces deux
morphismes sont aussi clairement des immersions ouvertes, car ˆetre nul est une condition ouverte pour
les complexes parfaits (le morphisme Spec k −→ MT correspondant `a l’objet nul est une immersion
ouverte). On trouve ainsi une d´ecomposition canonique d’espaces alg´ebriques au-dessus de Spec A
a
a
Quot(E) ' Spec A
Quot] (E)
Spec A,
avec Quot] (E) l’ouvert des paires (E 0 , u) qui sont telles que u n’est pas un isomorphisme et E 0 n’est
pas nul.
La d´ecomposition pr´ec´edente et la proposition 4.1 implique le corollaire suivant.
`
´
´
SYSTEMES
DE POINTS DANS LES DG-CATEGORIES
SATUREES
17
Corollaire 4.2. Avec les notations pr´ec´edentes, Quot] (E) est un espace alg´ebrique s´epar´e localement
de pr´esentation finie sur Spec A, et la projection
Quot] (E) −→ Spec A
v´erifie de plus le crit`ere valuatif de propret´e.
5. Objets ponctuels et co-engendrement
On fixe T une dg-cat´egorie satur´ee sur k. Rappelons (voir section §1) que sur T on dispose de
l’auto-´equivalence de Serre
ST : T ' T,
telle qu’il existe des quasi-isomorphismes fonctoriels
T (x, y)∨ ' T (y, S(x)),
pout toute paire d’objets (x, y) dans T .
D´
efinition 5.1. Un objet ponctuel de dimension d ∈ N dans T est un objet x ∈ T v´erifiant les
conditions suivantes.
(1) Pour tout i < 0 on a H i (T (x, x)) ' 0.
(2) La dg-alg`ebre T (x, x) est quasi-isomorphe `
a Symk (H 1 (T (x, x))[−1]).
(3) H 1 (T (x, x)) est un k-espace vectoriel de dimension d.
(4) On a ST (x) ' x[d].
Exemples. Deux exemples standards d’objets ponctuels. Si X est un espace alg´ebrique propre
et lisse de dimension d, le gratte-ciel en un point k(x), vu comme objet de Lparf (X) est un objet
ponctuel de dimension d. Si A est une vari´et´e ab´elienne de dimension d, alors tout fibr´e en droite de
degr´e 0 sur A est un objet ponctuel de dimension d.
D´
efinition 5.2. Un syst`eme de points de dimension d ∈ N dans T est la donn´ee d’un ensemble de
classes d’´equivalence d’objets P de T satisfaisant les conditions suivantes.
(1) Pour tout x ∈ P, x est un objet ponctuel de dimension d dans T .
(2) Pour tout x, y ∈ P, avec x 6= y, on a T (x, y) ' 0.
(3) Un objet E ∈ T est nul si et seulement si pour tout x ∈ P on a T (E, x) ' 0.
Un commentaire sur le point (3) de la d´efinition pr´ec´edente. Par dualit´e, T (E, x) ' 0 est ´equivalent
a` T (E, x)∨ ' T (ST−1 (x), E) ' 0. Or T (ST−1 (x), E) ' T (x, E)[−d] car x est ponctuel de dimension d.
Ainsi, la condition (3) peut aussi s’exprimer par: E est nul si et seulement si T (x, E) ' 0. Cependant,
les objets x ∈ P ne forment pas une famille de g´en´erateurs compacts de Tb, car il n’est pas vrai en
g´en´eral que T (x, E) ' 0 pour tout x ∈ P implique E ' 0 pour un objet quelconque de Tb.
Exemples. Pour revenir aux deux exemples pr´ec´edents la d´efinition l’ensemble des gratte-ciel sur
X forme un syst`eme de points de dimension d, et de mˆeme l’ensembl des fibr´es en droites de degr´e
z´ero sur A.
Bien que les objets consituant un syst`eme de points dans une dg-cat´egorie satur´ee T ne forment
pas des g´en´erateurs compacts, ils permettent de d´etecter les ´equivalences. Nous retiendrons le r´esultat
bien connu suivant (voir par exemple [Or, Lem. 2.15]).
18
¨ AND MICHEL VAQUIE
´
BERTRAND TOEN
Lemme 5.3. Soit f : T −→ T 0 un dg-foncteur entre deux dg-cat´egories satur´ees. Soient P et P 0 deux
syst`emes de points de mˆeme dimension d dans T et T 0 . On suppose que les deux conditions suivantes
sont satisfaites.
(1) Le dg-foncteur f envoie P dans P 0 et de mani`ere surjective.
(2) Le dg-foncteur f restreint aux objets de P est pleinement fid`ele: pour tout x, y ∈ P, le morphisme
T (x, y) −→ T (f (x), f (y))
est un quasi-isomorphisme.
Alors f est une quasi-´equivalence.
Preuve: On note f∗ et f! les adjoints `
a droite et `a gauche de f : T −→ T 0 (voir [To4]). Il faut
0
0
montrer que pour tout z ∈ T et z ∈ T les counit´es d’adjonction
f! f (z) −→ z
f f∗ (z 0 ) −→ z 0
sont des ´equivalences dans T et T 0 . Comme P et P 0 sont des syst`emes de points dans T et T 0 , il suffit
de voir que pour tout x ∈ P et tout x0 ∈ P les morphismes induits
T 0 (f! f (z), x) −→ T (z, x)
T (x0 , f f∗ (z 0 )) −→ T 0 (x0 , z 0 )
sont des quasi-isomorphismes. Par adjonction, il faut v´erifier que les unit´es d’adjonctions
x −→ f∗ f (x)
x0 −→ f f! (x0 )
sont des ´equivalences. Mais cela est induit par le fait que le dg-foncteur f induit une quasi-´equivalence
de la la sous-dg-cat´egorie pleine des objets de P dans T vers celle des objets de P 0 dans T 0 .
2
Les notions de syst`eme de points et de t-structure entre en interaction `a travers la notion de coengendrement, r´esum´ee dans la d´efinition suivante. Rappelons que si une t-structure sur T est parfaite
elle induit une t-structure sur [T ], qui dispose d’un cœur H. Ce cœur est une sous-cat´egorie pleine de
b stable par sommes finies, r´etractes, noyaux, conoyaux et extensions.
H
D´
efinition 5.4. Soit T une dg-cat´egorie satur´ee munie d’une t-structure parfaite et d’un syst`eme de
points P de dimension d.
(1) Nous dirons que le syst`eme P co-engendre la t-structure si l’on a:
(E ∈ T ≤0 ) ⇐⇒ (H i (T (E, x)) ' 0 ∀ x ∈ P, ∀i < 0).
(2) Nous dirons que le syst`eme P co-engendre fortement la t-structure s’il co-engendre la tstructure et si de plus pour tout objet du cœur E ∈ H de la t-structure induite sur T , on
a:
(E ' 0) ⇐⇒ ([E, x] ' 0 ∀ x ∈ P).
Lorsqu’un syst`eme de points P co-engendre une t-structure parfaite, cette derni`ere est totalement
caract´eris´ee par la donn´ee de P. En effet, par d´efinition P d´etermine la partie n´egative [T ]≤0 = [T ≤0 ]
de la t-structure induite sur [T ]. On reconstruit alors Tb≤0 ⊂ Tb comme ´etant la plus petite sous-dgcat´egorie pleine contenant les objets de T ≤0 et qui est stable par sommes arbitraires et par cˆones (voir
prop. 3.3 (2)).
`
´
´
SYSTEMES
DE POINTS DANS LES DG-CATEGORIES
SATUREES
19
Lemme 5.5. Soit T une dg-cat´egorie satur´ee munie d’une t-srtucture parfaite co-engendr´ee par un
syst`eme de points P de dimension d.
(1) Tout objet x ∈ P appartient au cœur H de la t-structure induite sur [T ].
(2) Si le cœur H est une cat´egorie ab´elienne noeth´erienne, alors le syst`eme P engendre fortement
la t-structure si et seulement si P coincide avec l’ensemble des classes d’isomorphismes d’objets
simples de H.
Preuve: (1) Soit x ∈ P. Pour tout yıP on a, par d´efinition d’un syst`eme de points, H i (T (x, y)) ' 0
pour i < 0. Ceci montre que x ∈ [T ]≤0 . Soit maintenant E ∈ [T ]≤−1 , c’est `a dire E[−1] ∈ [T ]≤0 .
Comme P co-engendre la t-structure on a H i (T (E[−1], x)) ' 0 pour i < 0, ou en d’autres termes
H i (T (E, x)) ' 0 pour i ≤ 0. Comme ceci est vrai pour tout E ∈ [T ]≤−1 on a x ∈ T ≥0 .
(2) Commen¸cons par supposer que P co-engendre fortement la t-structure. Soit x ∈ P, et soit
x E un ´epimorphisme dans H. Si E 6= 0, alors il existe y ∈ P et un morphisme non nul E → y. On
a forc´ement x = y, car le morphisme compos´ee x → y est encore non-nul. Dans ce cas le morphisme
compos´e x → x est un scalaire non-nul de k, et donc est un isomorphisme. Cela montre que x E
poss`ede une section et donc que E est un facteur direct de x. Mais comme End(x) ' k cela implique
que E ' 0. Ainsi tous les ´el´ements de x sont des objets simples de H. De plus, si E est un objet
simple de H, il est non-nul et donc poss`ede un morphisme non-nul u : E → x pour un x ∈ P. On a
d´ej`a vu que x ´etait simple, et ainsi le morphisme u ets un isomorphisme. Cela montre que la classe
d’isomorphisme de E appartient `
a P.
Supposons r´eciproquement que P soit exactement l’ensemble des classes d’isomorphismes d’objets
simples de H. Soit E ∈ H un objet non-nul. Comme H est noeth´erienne, il existe un objet simple x
de H, et donc un ´el´ement de P, avec un morphisme non-nul E → x. Cela montre que P co-engendre
fortement la t-structure.
2
Le point (3) du lemme pr´ec´edent implique que lorsqu’une t-structure parfaite et `a cœur noeth´erien,
est co-engendr´ee fortement par un syst`eme de points, le syst`eme P est lui-mˆeme det´ermin´e par la
t-structure comme ´etant l’ensemble des classes d’isomorphismes d’objets simples de H. Il revient ainsi
au mˆeme, sous ces conditions, de se donner la t-structure ou de se donner le syst`eme de points P.
Pour terminer, on introduit la notion de syst`emes de points born´es.
D´
efinition 5.6. Un syst`eme de points P dans une dg-cat´egorie satur´ee T est born´e s’il existe un
sous-champ ouvert de type fini sur k U ⊂ MT tel que P soit contenu dans le sous-ensemble
π0 (U (k)) ⊂ π0 (MT (k)).
Rappelons d’apr`es [To-Va1, §3.3] la caract´erisation suivante des syst`emes de poits born´es. Un
syst`eme de point P est born´e si et seulement si pour tout g´en´erateur compact E de Tb il existe une
fonction ν : Z −→ N `
a support fini, telle que
dimk H i (T (E, x)) ≤ ν(i) ∀ i ∈ Z, ∀x ∈ P.
6. L’espace de modules des objets ponctuels
Pour cette section on fixe une dg-cat´egorie satur´ee T . On se fixe un syst`eme de points P de
dimension d et une t-structure sur T . On suppose que les assertions suivantes sont satisfaites.
20
¨ AND MICHEL VAQUIE
´
BERTRAND TOEN
• La t-structure est parfaite et ouverte.
• Le famille de points P co-engendre fortement la t-structure.
• La famille de points P est born´ee.
Ces donn´ees permettent de d´efinir MP , un sous-pr´echamp de MT de la mani`ere suivante. D’apr`es
la d´efinition d’ˆetre une t-structure ouverte, on dispose d’un sous-champ ouvert MH
e
T ⊂ MT form´
des objets d’amplitude 0 dans T . Pour une k-alg`ebre commutative de type finie A, on d´efinit un
sous-ensemble simplicial plein MP (A) ⊂ MH
e des objet E ∈ TA satisfaisant `a la condition
T (A), form´
suivante: pour tout morphisme d’anneaux A −→ k, l’objet E ⊗A k ∈ T soit dans P. Par d´efinition
de MH
es le lemme 5.5, la
T , on sait que pour tout A −→ k l’objet E ⊗A k vit dans le cœur H. D’apr`
condition pr´ec´edente demande de plus que cet objet soit un objet simple de H.
Nous avons d´efini MP (A) pour une k-alg`ebre de type finie. Nous ´etendons simplement cette
d´efinition `a toutes les k-alg`ebres commutatives A en posant
MP (A) := colim MP (Aα ),
Aα ⊂A
o`
u la colimite est prise sur l’ensemble filtrant des sous-k-alg`ebres de type fini de A.
Le principal r´esultat de repr´esentabilit´e est le suivant.
Th´
eor`
eme 6.1. Le sous-pr´echamp MP est repr´esentable par un 1-champ alg´ebrique localement de
type fini sur k. De plus, MP est une Gm -gerbe au-dessus de son espace de modules grossier MP , et
MP est un espace alg´ebrique lisse, s´epar´e et de type fini sur k.
Preuve: Commen¸cons par la repr´esentabilit´e de MP . Le sous-pr´echamp MP ⊂ MH
T est clairement
un sous-champ par d´efinition. Nous allons montrer que l’inclusion MP ⊂ MH
est
repr´
esentable par
T
une immersion ouverte. Pour cela, soit A une k-alg`ebre commutative et E ∈ MH
(A).
Soit U le
T
sous-ensemble des points ferm´es s de S = Spec A tels que Es := E ⊗A k(s) soit un objet simple de
H. Comme P est l’ensemble des classes d’isomorphismes d’objets simples de H il faut montrer que
l’ensemble U est (l’ensemble des points ferm´es d’) un ouvert Zariski du sch´ema S.
Notons Z := S − U l’ensemble compl´ementaire, c’est `a dire l’ensemble des points ferm´es s de S
tels que Es ne soit pas simple dans H. Ainsi, l’ensemble Z est l’image (au niveau des points ferm´es)
du morphisme Quot] (E) −→ S. Par la corollaire 4.2 cette image est stable par sp´ecialisation. Par
ailleurs, comme la syst`eme de points est born´e, Z est aussi l’image de la projection Quot],ν (E) −→ S
pour une fonction ν : Z −→ N `
a support fini et Quot],ν (E) = Quot] (E) ∩ Quotν (E) est un ouvert
quasi-compact de Quot] (E). D’apr`es la proposition 4.1 cette image est donc constructible. Ainsi, Z
est constructible et stable par sp´ecialisation, et est donc un ferm´e de S.
Ceci montre, comme annonc´e, que l’inclusion MP ⊂ MH
esentable par une immersion
T est repr´
H
ouverte. Comme MT est une Gm -gerbe sur un espace alg´ebrique de type fini il en est de mˆeme de
MP . Il nous reste `
a montrer que MP est un champ lisse, et que son espace de modules grossier est
s´epar´e.
Soit x ∈ MP (k) un point global correspondant `a un objet simplex x ∈ P. Nous allons ici consid´erer
la version d´eriv´ee RMT du champ MT (qui est not´e MT dans [To-Va1]). Le sous-champ ouvert
MP ⊂ MT correspond `
a un sous-champ d´eriv´e ouvert
RMP ⊂ RMT .
`
´
´
SYSTEMES
DE POINTS DANS LES DG-CATEGORIES
SATUREES
21
Le champ d´eriv´e RMP est un 1-champ d’Artin d´eriv´e dont le tronqu´e est le champ MP
MP ' t0 (RMP ).
Le point x d´efinit un point global de RMP , au-quel on peut prendre le complexe tangent Tx (voir
[?]). Comme montr´e dans [To-Va1] on trouve un quasi-isomorphisme
Tx [−1] ' T (x, x).
Par ailleurs, on sait que Tx [−1] se promeut en une dg-alg`ebre de Lie sur k (voir [To1, §4.3] et [Lu3]),
et l’identification devient alors un identification de dg-alg`ebres de Lie o`
u la structure de Lie sur le
membre de droite est induite par le commutateur dans la dg-alg`ebre T (x, x). Par d´efinition des objets
ponctuels, la dg-alg`ebre de Lie T (x, x) est quasi-isomorphe `a Symk (V [−1]), avec crochet et diffenrielle
nulle, et V = H 1 (T (x, x)). D’apr`es la correspondence entre champs d´eriv´es formels et dg-alg`ebres de
Lie de [Lu3], le compl´et´e formel de RMP en x s’´ecrit comme un produit de champs d´eriv´es formels
ˆm × A
b d × F.
BG
Le facteur F correspond `
a la dg-lie ab´elienne Sym≥2 (V [−1]), concentr´ee en degr´es sup´erieurs `a 2.
Ainsi, on a t0 (F ) ' Spec k. Ceci montre que le compl´et´e formel du tronqu´e MP en x est ´equivalent
ˆm × A
b d . On voit ainsi que MP est lisse en x, et ce pour tout x.
`a B G
Pour terminer la preuve du th´eor`eme, il nous reste `a voir que l’espace de modules grossier de MP est
un espace alg´ebrique s´epar´e. Notons MP cet espace de grossier. C’est un espace alg´ebrique lisse et de
pr´esentation finie sur k. Pour montrer que MP est s´epar´e il suffit de montrer que pour toute k-alg`ebre
A de valuation discr`ete, que l’on peut supposer de plus compl`ete, le morphisme MP (A) −→ MP (K)
est injectif (o`
u K est le corps des fractions de A). Soient x et y deux ´el´ements de MP (A) d’images
´egales dans MP (K). Comme A est strictement hens´elien les points x et y se rel`event en deux ´el´ements
x0 et y 0 dans MP (A). Dans ce cas, x0 et y 0 correspondent `a deux objets E, F ∈ HA qui sont t-plats
dont les chang´es de bases E ⊗A K et F ⊗A K sont isomorphes dans HK . Il faut montrer que E et F
sont isomorphes dans HA .
Soit φK : E ⊗A K ' F ⊗A K un isomorphisme dans HK . Par adjonction ceci correspond `a un
bA
morphisme dans H
φ : E −→ F ⊗A K ' colim( F
π
/F
π
/ ..., )
bA le morphisme ci-dessus
o`
u π ∈ A est une uniformisante. Comme E est de pr´esentation finie dans H
se factorise par un des facteurs de la colimite. En d’autre termes, il existe un morphisme φA : E −→ F
dans HA tel que le morphisme induit par changement de bases `a K soit π n .φK pour un certain n.
Quitte `a remplacer φK par π n .φK on supposera donc que l’isomorphisme φK provient par changement
de bases d’un morphisme dans HA
φA : E −→ F.
Comme TA (E, F ) est un complexe parfait de A-modules et que A ' limn A/π n est complet, on a
TA (E, F ) ' lim TA (E, F )/π n ' lim TA (E, F/π n ),
n
n
22
¨ AND MICHEL VAQUIE
´
BERTRAND TOEN
o`
u K/π n est le cˆ
one du morphisme ×π n : K −→ K d’un complex de A-module K. Comme les
complexes TA (E, F/π n ) sont tous cohomologiquement concentr´es en degr´es positifs on trouve un isomorphisme naturel sur leurs H 0
HomHA (E, F ) ' lim HomHA (E, F/π n ).
n
φA
/F
/ F/π n
Notre morphisme φA est non nul, il existe donc un entier n tel que le morphisme induit E
soit aussi non-nul. Soit n le plus petit entier tel que le morphisme ci-dessus soit non nul, de sorte
que l’on ait φA = π n−1 .ψA , avec ψA : E −→ F un morphisme tel que le morphisme induit sur le
corps r´esiduel ψk := ψA ⊗A k : E ⊗A k −→ F ⊗A k un morphisme non nul de H. Comme les objets E ⊗A k et F ⊗A k sont suppos´es simples, le morphisme ψk est un isomorphisme. Enfin, comme
E et F sont des T op ⊗k A dg-modules compacts, ils sont parfaits comme A-dg-modules. Ainsi, le
morphisme ψA : E −→ F est un isomorphisme par Nakayama pour les complexes parfaits. Ceci termine de d´emontrer que E et F sont isomorphes dans HA et donc termine la preuve du th´eor`eme 6.1. 2
´ore
`me de reconstruction
7. The
Pour une dg-cat´egorie satur´ee T , on dispose du champ MT des objets de T , ainsi que d’un dgfoncteur canonique
φ : T op −→ Lparf (MT ),
de la dg-cat´egorie oppos´ee `
a celle de T vers celle des complexes parfaits sur le champs MT . Le
morphisme φ est par d´efinition celui correspondant au T op -dg-module universel sur MT . Pour un
objet x ∈ T , le complexe parfait φ(x) sur MT peut ˆetre d´ecrit de la mani`ere suivante. Soit u :
Spec A −→ MT un morphisme correspondant `a un T op ⊗k A-dg-module parfait E, que l’on voit
comme un dg-foncteur E : T op −→ Lparf (A). Par d´efinition, on dispose d’un identification naturelle
de complexes parfaits de A-modules
E(x) ' u∗ (φ(x)).
L’identification ci-dessus peut aussi s’´ecrire
T (x, E) ' u∗ (φ(x)),
o`
u x ∈ T est vu comme un T op -dg-module par le plongement de Yoneda T ,→ Tb. En particulier,
lorsque A = k et u : Spec k −→ MT correspdond `a un objet y ∈ T , on trouve la formule suivante
pour la fibre en u de φ(x)
φ(x)y := u∗ (φ(x)) ' T (x, y) ∈ Lparf (k).
On suppose maintenant que l’on est sous les hypoth`eses du th´eor`eme 6.1: on se fixe un syst`eme de
points P de dimension d et une t-structure sur T qui satisfont aux conditions suivantes.
• La t-structure est parfaite et ouverte.
• La famille de points P co-engendre fortement la t-structure.
• La famille de points P est born´ee.
`
´
´
SYSTEMES
DE POINTS DANS LES DG-CATEGORIES
SATUREES
23
Par le th´eor`eme 6.1 on dispose d’une sous-champ ouvert j : MP ⊂ MT , qui est une Gm -gerbe sur
un espace alg´ebrique lisse et s´epar´e MP . En composant φ avec la restriction le long de j on trouve un
dg-foncteur
φP : T op
φ
/ Lparf (MT )
j∗
/ Lparf (MP ).
En utilisant la description des fibres des objets φ(x) que l’on donne c-dessus, on voit que le dg-foncteur
φP se factorise par la sous-dg-cat´egorie Lχ=1
parf (MP ) ⊂ Lparf (MP ) des objets de poids 1.
D´
efinition 7.1. Avec les conditions et les notations pr´ec´edentes, le dg-foncteur de d´ecomposition
associ´e `a la paire (T, P) est le dg-foncteur
φP : T op −→ Lχ=1
parf (MP )
d´efini ci-dessus.
Intuitivement, l’espace alg´ebrique MP est un espace de modules pour les objets de P, et le dgfoncteur φP d´ecompose chaque objet x ∈ T en un complexe parfait φP (x) au-dessus de MP dont la
fibre en y ∈ MP est T (x, y) le complexe. La non-existence de l’objet universel sur MP , control´ee par la
gerbe MP , implique que φ(x) n’existe uniquement comme un complexe parfait tordu sur MP . D’une
certaine fa¸con, le dg-foncteur φP doit ˆetre consid´er´e comme un foncteur de d´ecomposition spectrale
des objets de T au-dessus de l’espace des modules des objets simples de la cat´egorie ab´elienne H.
Nous arrivons enfin au th´eor`eme principal de ce travail.
Th´
eor`
eme 7.2. Soit T une dg-cat´egorie satur´ee munie d’un syst`eme de points P v´erifiant les conditions ci-dessous.
• La t-structure est parfaite et ouverte.
• La famille de points P co-engendre fortement la t-structure.
• La famille de points P est born´ee.
Le dg-foncteur de d´ecomposition
φP : T op −→ Lχ=1
parf (MP )
est conservatif. C’est une quasi-´equivalence si et seulement si l’espace alg´ebrique MP est propre sur
Spec k.
Preuve: La conservativit´e est une cons´equence directe de la formule donnant la fibre de φP (x) en
un point global y ∈ MP (k)
φP (x)y ' T (x, y),
et de la d´efinition d’un syst`eme de points P (voir d´efinition 5.2).
Supposons pour commencer que φP soit une quasi-´equivalence. Comme T est propre, le fait que
φP est une ´equivalence implique que Lχ=1
egorie propre.
parf (MP ) est une dg-cat´
Lemme 7.3. Soit X un espace alg´ebrique de type fini et s´epar´e sur Spec k, et X −→ X une Gm -gebre
sur X. Si la dg-cat´egorie Lχ=1
parf (X ) est propre alors X est propre sur Spec k.
24
¨ AND MICHEL VAQUIE
´
BERTRAND TOEN
Preuve du lemme: Supposons que X ne soit pas propre. Alors, il existe une courbe affine lisse
C et un morphisme fini p : C −→ X. Par [To4, Cor. 5.2] (on se ramn`e ais´ement au cas o`
u X
sch´ema en utilisant le lemme de Chow, comme par exemple dans [To-Va2, Prop. B1]) choississons un
g´en´erateur compact K ∈ Lχ=1
egorie d´eriv´ee tordue Lχ=1 (X ), que nous supposerons
parf (X ) de la dg-cat´
aussi g´en´erateur compact local. Notons AK := REnd(K) ∈ Lparf (X) la dg-alg`ebre d’Azumaya sur X
correspondante.
Notons E := p∗ (AX ) ∈ Lparf (C). Pour tout V ∈ L(C), on a
RΓ(C, V ⊗ E) ' RΓ(X, p∗ (V ) ⊗ AX ) ' RHom(K, p∗ (V ) ⊗ K).
Ainsi, comme Lχparf (X ) est propre, le complexe RΓ(C, V ⊗ E) est parfait sur k. Comme C est affine
et que AX est un g´en´erateur compact local, E est un g´en´erateur compact de L(C), et le faisceau
structure OC appartient donc `
a la sous-cat´egorie triangul´ee ´epaisse engendr´ee par E. Cela implique
donc que RΓ(C, V ) est parfait pour tout complexe parfait V sur C, et en particulier pour V = OC .
Ceci est une contradiction car C est une courbe affine.
2
Il nous reste `a montrer que si MP est propre alors φP est une ´equivalence. Tout d’abord on sait que
est une dg-cat´egorie satur´ee (voir [To4, Cor. 5.4] (4) pour X un sch´ema, et le cas des espaces
alg´ebriques de ram`ene au cas des sch´emas par le lemme de Chow comme dans [To-Va2, Prop. B1]).
Par ailleurs, il existe un syst`eme de points P 0 de dimension d dans Lχparf (X ) d´efini par les points de
X de la mani`ere suivante. Pour x ∈ X(k), on consid`ere la gerbe r´esiduelle Xx := X ×X {x} ' BGm ,
ainsi que le morphisme naturel jx : Xx −→ X . On note L la repr´esentation de rang 1 de Gm et de
efinition, P 0 est l’ensemble des
poids 1 que l’on voit comme un objet de L[−d] ∈ Lχ=1
parf (Xx ). Par d´
Lχ=1
parf (X )
classes d’´equivalence des objets de la forme (jx )∗ (L[−d]) ∈ Lχ=1
parf (X ) (il est donc en bijection naturelle
avec les points de X). Il est facile de v´erifier que P 0 est un syst`eme de points dans Lχ=1
parf (X ) au sens
de la d´efinition 5.2.
Nous allons maintenant appliquer le lemme 5.3 au dg-foncteur de d´ecomposition
φP : T op −→ Lχ=1
parf (X ),
avec les syst`emes de points P et P 0 . Il faut montrer que φP induit une quasi-´equivalence entre les
deux sous-dg-cat´egories pleine de T op et Lχ=1
efinies par les ensembles de points P et P 0 .
parf (X ) d´
Pour cela, on rappelle que si x, y ∈ T op , alors φP (x)y ' T (x, y), o`
u φP (x)y = (jy )∗ (φP (x)) et
jy : Xy −→ X est la gerbe r´esiduelle en y. Cette identification pour x = y nous donne un morphisme
naturel dans L(Xx )
(jx )∗ (φP (x)) ' T (x, x) −→ H d (T (x, x))[−d] ' L[−d].
Par adjonction ceci d´efinit des morphismes dans L(X )
φP (x) −→ (jx )∗ (L[−d]),
qui sont des ´equivalences. Ainsi, le dg-foncteur φP identifie les ensembles P et P 0 , en identifiant un
point x ∈ P `a l’objet (jx )∗ (L)[−d] ∈ L(X ). Cette description implique aussi que φP est pleinement
fid`ele lorsque restreint aux objets de P.
2
`
´
´
SYSTEMES
DE POINTS DANS LES DG-CATEGORIES
SATUREES
25
8. Deux exemples
Nous donnons pour terminer deux exemples de situations qui illustrent le th´eor`eme 7.2. Cependant,
nous ne donnons pas les d´etails des preuves que les hypoth`eses sont effectivemet v´erif´ees dans chacun
des cas. Il existe par ailleurs de nombreux autres exemples qui m´eriteraient d’ˆetre ´etudi´es, comme par
exemple les flops en dimension 3 de [Br].
Gerbes sur un groupe fini. Soit Z un espace alg´ebrique propre et lisse sur Spec k. Soit Z un
champ alg´ebrique muni d’un morphisme π : Z −→ Z. On suppose que localement pour la topologie
´etale sur Z le morphisme π est ´equivalent `
a la projection Z × BG −→ Z pour un groupe fini G (qui
n’est bien d´efini que localement). On supposera pour simplifier que Z est connexe, de sorte `a ce
que la classe de conjugaison du groupe G ne d´epende pas du choix du point z ∈ Z. On consid`ere
T := Lparf (Z) la dg-cat´egorie des complexes parfaits sur Z. D’apr`es [To4, Cor. 5.4] (et l’astuce du
lemme de Chow de [To-Va2, Prop. B1]) on sait que T est une dg-cat´egorie propre et lisse sur k.
Nous d´efinissons un syst`eme de points P de dimension d = dim Z de la mani`ere suivante. Soit z ∈ Z
un point ferm´e, et notons Zz := π 1 (z) la gerbe r´esiduelle du champ Z en z. Le champ Zz est, de
mani`ere non-canonique, ´equivalente `
a BG pour G un groupe fini. Cela implique que la cat´egorie des
faisceaux
quasi-coh´
e
rents
QCoh(Z
)
ecrit comme un produit fini de cat´egorie de k-espaces vectoriels
z s’´
Q
u I(z) est un ensemble fini de repr´esentant d’objets simples dans QCoh(Zz ). Si l’on
ρ∈I(z) V ect(k), o`
choisit un ´equivalence Zz ' BG, l’ensemble I(z) peut s’identifier `a un ensemble de repr´esentants des
classes d’isomorphismes de repr´esentations lin´eaires de G sur k. Nous noterons
On pose
a a
P :=
(jz )∗ (ρ),
z∈Z ρ∈I(z)
o`
u jz : Zz ,→ Z est l’immersion canonique. L’ensemble P est un ensemble de faisceaux coh´erents sur le
champ Z que l’on consid`ere comme des objets de T . La paire (T, P) v´erifie les hypoth`eses du th´eor`eme
7.2. L’espace alg´ebrique MP est ici un espace alg´ebrique fini et ´etale sur Z, dont la fibre en z ∈ Z est
l’ensemble fini des classes d’isomorphismes de repr´esentations lin´eaires du groupe G. L’espace MP ,
2 (Z, G ) de la G -gerbe M −→ M peuvent se d´
ainsi que la classe α ∈ Het
ecrire explicitement de
m
m
P
P
la mani`ere suivante. On choisit un point de base z ∈ Z(k), et une identification Zz ' BG, de sorte
`a ce que Z −→ Z s’identifie `
a une forme tordue, pour la topologie ´etale de BG. La projection π est
donc class´ee par un morphisme de champs
Z −→ BAut(BG),
o`
u Aut(BG) est le 2-groupe des auto-´equivalences de BG. On se fixe une identification QCoh(BG) '
⊕I V ect(k), avec I un ensemble fini qui s’identifie aux classes d’isomorphismes de repr´esentations
irr´ecutibles de G sur k. Le champ en groupe des auto-´equivalences de ⊕I V ect(k) est un produit semidirect ΣI o B(Gm )I . On dipose ainsi d’un morphisme de 2-champs BAut(BG) −→ B(ΣI o B(Gm )I ),
et donc d’un morphisme classifiant
q : Z −→ B(ΣI o B(Gm )I ).
Ce morphisme d´etermine le champ en cat´egories OZ -li´eaires π∗ (QCoh) sur le petit site ´etale Zet .
26
¨ AND MICHEL VAQUIE
´
BERTRAND TOEN
On a une suite de fibrations de 2-champs
/ B(ΣI o B(Gm )I )
B(Gm )I
/ BΣI .
La donn´ee de la projection p : Z −→ B(ΣI ) d´etermine un revˆetement ´etale fini r : Z 0 −→ Z de fibre
I. Par ailleurs, le rel`evement de p en un morphisme q
Z
q
/ B(ΣI o B(Gm )I )
p
&
B(ΣI ),
2 (Z, A), o`
d´etermine une classe de cohomologie α ∈ Het
u A est une forme tordue du faisceau GIm . Cette
forme tordue n’est autre que r∗ (Gm ), l’image direct du faisceau Gm par le revˆetement fini r : Z 0 −→ Z.
On trouve donc ainsi une classe
2
2
α ∈ Het
(Z 0 , r∗ (Gm )) ' Het
(Z 0 , Gm ).
Avec ces notations, l’espace alg´ebrique MP s’identifie naturellement `a Z 0 , et α ainsi construit est la
classe de la gerbe MP −→ MP .
Le th´eor`eme 7.2 induit ainsi une ´equivalence naturelle
Lparf (Z) ' Lαparf (Z 0 ),
o`
u Lαparf (Z 0 ) est la dg-cat´egorie des complexes parfaits sur Z 0 tordus par la classe α. Cet ´enonc´e est
en r´ealit´e vrai sans les hypoth`eses de lissit´e et de propret´e sur Z, comme cela peut se voir de mani`ere
directe.
Correspondance de McKay. Soit X une surface projective, lisse et connexe sur k munie d’une
trivialisation ω : ωX ' OX . On se donne un groupe fini G qui op`ere sur X en fixant la trivialisation ω.
On consid`ere T := Lparf ([X/G]) la dg-cat´egorie des complexes parfaits sur le champ quotient [X/G],
qui s’identifie naturellement `
a la dg-cat´egorie des complexes parfaits G-´equivariants sur X. On d´efinit
un syst`eme de points P de dimension 2 dans T de la mani`ere suivante. On consid`ere les coh´erents
G-´equivariants F sur X qui v´erifie les deux conditions suivantes.
• F est le faisceau structure d’un sous-sch´emas fini de X de longueur ]G.
• La repr´esentation G sur Γ(X, F) est isomorphe `a la repr´esentation r´eguli`ere.
Ces faisceaux coh´erents forment une famille d’objets dans T , et nous notons P l’ensemble de leurs
classes d’´equivalences dans T . Le couple (T, P) v´erifie les conditions du th´eor`eme 7.2. Dans cet
exemple MP ' Z est propre, et la Gm -gerbe est ici triviale. Ainsi, le th´eor`eme 7.2 implique l’existence
d’une ´equivalence
Lparf ([X/G]) ' Lparf (Z),
qui est une incarnation de la correspondance de McKay (voir par exemple [Br-Ki]).
`
´
´
SYSTEMES
DE POINTS DANS LES DG-CATEGORIES
SATUREES
27
´fe
´rences
Re
[Ab] Abouzaid, M. Family Floer cohomology and mirror symmetry. ICM lecture, Seoul 2014.
[BBD] Beilinson, A. A.; Bernstein, J.; Deligne, P. Faisceaux pervers. Analyse et topologie sur les espaces singuliers I
(Luminy, 1981), 5-171, Ast´erisque, 100, Soc. Math. France, Paris, 1982.
[Br] Bridgeland, T. Flops and derived categories. Invent. Math. 147 (2002), no. 3, 613-632.
[Br-Ki] Bridgeland, T.; King, A. The McKay correspondence as an equivalence of derived categories. J. Amer. Math.
Soc. 14 (2001), no. 3, 535-554
[Ho] Hovey, M. Model Categories. Mathematical Surveys and Monographs, vol 63, Amer. Math. Soc., Providence, 1998.
[Ke] Keller, B. On differential graded categories. International Congress of Mathematicians. Vol. II, 151-190, Eur. Math.
Soc., Z¨
urich, 2006.
[Ke-Vo] Keller, B. ; Vossieck, D. Aisles in derived categories. Bull. Soc. Math. Belg. 40 (1988), 239-253.
[Lu1] Lurie, J. The ”DAG” series. Available at the author home page http://www.math.harvard.edu/ lurie/
[Lu2] Lurie, J. On the Classification of Topological Field Theories. Current Developments in Mathematics, vol. 2008,
129-280, Int. Press, Somerville, 2009.
[Lu3] Lurie, J. Moduli problems for ring spectra. Proceedings of the International Congress of Mathematicians. Volume
II, 1099-1125, Hindustan Book Agency, New Delhi, 2010.
[Lu4] Lurie, J. Higher Algebra. Available at the author home page http://www.math.harvard.edu/ lurie/
[Or] Orlov, D. Equivalences of derived categories and K3 surfaces. Journal of Mathematical Sciences. Vol. 84, no. 5,
1997.
[Pa-To-Va-Ve] Pantev, T.; To¨en, B.; Vaqui´e, M.; Vezzosi, G. Shifted symplectic structures. Publ. Math. Inst. Hautes
´
Etudes
Sci. 117 (2013), 271-328.
[Ro] Rouquier, R. Cat´egories d´eriv´ees et g´eom´etrie birationnelle (d’apr`es Bondal, Orlov, Bridgeland, Kawamata et al.).
S´eminaire Bourbaki. Vol. 2004/2005. Ast´erisque No.307 (2006), Exp. No. 946, viii, 283-307.
[Ta1] Tabuada, G. Une structure de cat´egorie de mod`eles de Quillen sur la cat´egorie des dg-cat´egories. C. R. Math.
Acad. Sci. Paris 340 (2005), no. 1, 15-19.
[Ta2] Tabuada, G. A guided tour through the garden of noncommutative motives. Topics in noncommutative geometry,
259-276, Clay Math. Proc., 16, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2012.
[Ta3] Tabuada, G. Differential graded versus simplicial categories. Topology Appl. 157 (2010), no. 3, 563-593.
[To1] To¨en, B. Derived Algebraic Geometry. EMS Surv. Math. Sci. 1 (2014), no. 2, 153-245.
[To2] To¨en, B. The homotopy theory of dg-categories and derived Morita theory. Invent. Math. 167 (2007), no. 3, 615-667.
[To3] To¨en, B. Lectures on dg-categories. Topics in Algebraic and Topological *K*-theory. lectures Notes in mathematics,
vol. 2008, Springer, 2011.
[To4] To¨en, B. Derived Azumaya algebras and generators for twisted derived categories. Invent. Math. 189 (2012), no.
3, 581-652.
´
[To-Va1] To¨en, B.; Vaqui´e, M. Moduli of objects in dg-categories. Ann. Sci. Ecole
Norm. Sup. (4) 40 (2007), no. 3,
387-444.
[To-Va2] To¨en, B.; Vaqui´e, M. Alg´ebrisation des vari´et´es analytiques complexes et cat´egories d´eriv´ees. Math. Ann. 342
(2008), no. 4, 389-831.
[To-Ve1] To¨en, B.; Vezzosi, G. Homotopical algebraic geometry. I. Topos theory. Adv. Math. 193 (2005), no. 2, 257-372.
[To-Ve2] To¨en, B.; Vezzosi, G. Homotopical algebraic geometry. II. Geometric stacks and applications. Mem. Amer.
Math. Soc. 193 (2008), no. 902, x+224 pp.
´ Paul Sabatier, Toulouse - France
IMT UMR 5219, CNRS, Universite
E-mail address: [email protected]
´ Paul Sabatier, Toulouse - France
IMT UMR 5219, CNRS, Universite
E-mail address: [email protected]