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Mesures ext´
erieures
D´
efinition: Soit X un ensemble et P(X) l’ensemble des parties de X. Une
fonction µ : P(X) 7→ R+ ∪ {+∞} est appel´ee mesure ext´erieure si:
• µ(∅) = 0
P
S∞
• µ(A) ≤ ∞
i=1 µ(Ai ) avec A ⊆
i=1 Ai .
D´
efinition: Soit µ une mesure ext´erieure sur un ensemble X. Un ensemble
A ⊆ X est µ-mesurable si:
µ(F ) = µ(F ∩ A) + µ(F \ A) ∀F ⊆ X.
Remarques:
1. Si on restreint une mesure ext´erieure µ aux ensembles µ-mesurables,
alors on obtient une mesure.
2. La famille des ensembles µ-mesurables est une σ-alg`ebre.
3. Il existe des mesures ext´erieures µ v´erifiant µ(A ∪ B) < µ(A) + µ(B)
pour deux ensembles disjoints A et B.
Exemple: Soit X un ensemble. Soit µ une mesure ext´erieure sur X tel
que:
0 si A 6= ∅
∀A ∈ P(X), µ(A) =
1 sinon
Avec cette mesure, nous avons pour deux ensembles A et B disjoints et nonvides dans X: 2 = µ(A) + µ(B) > µ(A ∪ B) = 1.
Remarque: Dor´enavant, lorsque nous dirons mesure, il faudra comprendre
mesure ext´erieure.
Exemple: Soient F ⊂ X, o`
u (X, d) est un espace m´etrique, et s ≥ 0. Pour
δ > 0, on d´efinit
P
s
Hδs (F ) := inf{ ∞
i=1 diam(Ui ) | {Ui } δ−recouvrement de F}.
La mesure Hausdorff de dimension s de F est d´efinie par
Hs (F ) := lim Hδs (F ).
δ→0
1
Exemple: Soit X un ensemble. La mesure de comptage sur X est d´efinie
par:
]A si A est fini
∀A ∈ P(X), µ(A) =
+∞ sinon
Exemple: Soit X un ensemble et a ∈ X. On appelle mesure de Dirac au
point a la mesure sur X not´ee δa et d´efinie par:
1 si a ∈ A
∀A ∈ P(X), δa (A) =
0 sinon
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Mesures doublantes
D´
efinition: Soit (X, d) un espace m´etrique. Une mesure doublante est une
mesure µ : P(X) 7→ R+ ∪ {+∞} qui est finie sur les ensembles born´es et qui
v´erifie:
µ(B2r (x)) ≤ Cµ(Br (x))
pour tout x ∈ X, tout r > 0 et pour une certaine constante C.
Exemple: La mesure de Hausdorff Hn sur (Rn , | . |max ) est doublante.
Remarque: La condition ”doublante” offre plus de r´egularit´e a` une mesure.
En particulier, si une mesure µ est doublante, elle ne poss`ede aucune boule
de mesure 0. Sauf pour la mesure µ ≡ 0.
Exemple: Soit µ une mesure sur un espace m´etrique (X, d). µ est n-Ahlfors
r´eguli`ere si:
arn ≤ µ(Br (x)) ≤ Arn avec 0 < r < diam(X)
et pour des constantes a, A > 0 bien choisies, ind´ependantes de x.
Les mesures Ahlfors r´eguli`eres sont des mesures doublantes.
D´
efinition: Un espace doublant est un espace m´etrique (X, d) pour lequel
il existe une constante M > 0 tel que pour tout x ∈ X et r > 0 la boule
B(x, r) est contenue dans l’union d’au plus M boules de rayon 2r .
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Remarques:
1. Un espace m´etrique qui supporte une mesure doublante est un espace
m´etrique doublant.
2. Un espace m´etrique doublant et complet supporte une mesure doublante.
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Lemme de recouvrement 5r
Th´
eor`
eme: Toute famille F de boules de diam`etre uniform´ement born´e
dans un espace m´etriqueS propre S
X contient une sous famille disjointe et
d´enombrable G tel que
B⊂
5B.
B∈F
B∈G
Exemple: Voici un exemple o`
u l’on utilise la norme max.
Preuve: Voici un dessin qui illustre la fin de la preuve, o`
u Br0 (x) ∈ G et
B2r (x0 ) ∈ F . On peut y voir que d(x, y) ≤ r + 2r + 2r = 5r pour tout
y ∈ B2r (x0 ).
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