TD n°3 Acoustique
Licence parcours Musique et Métiers du son
CORRECTION TD n°3 Acoustique
1
Applications SOURCES ACOUSTIQUES MUSICALES
Exo : 1.1 Etude du fonctionnement d’une guitare basse.
Une guitare basse 4 cordes est accordée ainsi :
Fréquence
Diamètre corde
Corde de MI
41 Hz
2,28 mm
Corde de LA
55 Hz
1,778 mm
Corde de RE
73,5 Hz
1,27 mm
Corde de SOL
98 Hz
0,762 mm
La longueur libre de chaque corde est de L = 88 cm. La masse volumique étant de ρ = 7,2.103 kg.m-3.
1 - Calculer la tension dans chacune des cordes.
LONGUEUR
masse vol
88 cm
7200 kg/m3
fréquence
Hz
Corde de MI
Corde de LA
Corde de RE
Corde de SOL
41
55
73,5
98
diametre
mm
0,88 m
masse
célérité(m/s lineique (kg/m
2,28
1,778
1,27
0,762
FORCE
N
72,16
0,029396259
153,07
96,8
0,01787664
167,51
129,36
0,009120735
152,63
172,48
0,003283464
97,68
2 – En déduire la charge que subit le manche de la guitare.
Il s’agit de faire la somme des tensions dans les cordes : on trouve :
570, 9 N (soit 57 kg)
Exo : 1.2
La partie vibrante d’une corde de guitare à 80 cm de long. Après avoir été pincée, elle donne le LA3 dont la
fréquence est 440 Hz.
1) Quelle est la longueur d’onde λ stationnaire obtenue sur la corde ?
C corde
2.L
f = n.
De la formule
on peut en déduire que : 2L =
définition de la longueur d’onde λ. Donc λ = 2.L = 1,6 m
C
(avec n = 1) ce qui correspond à la
f
2) Quelle est la vitesse de propagation d’une onde dans cette corde ?
La célérité est donc C = 1,6*440 = 704 m.s-1
3) Quelles sont les fréquences inférieures à 2000 Hz sur lesquelles la corde, convenablement excitée,
peut résonner ?
Il s’agit des harmoniques de 440 Hz. Donc 880 Hz ; 1320 Hz et 1760 Hz
4) Peut-on obtenir toutes ces fréquences en excitant la corde par son milieu ?
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non, si on pince au centre, on oblige ce point à être ventre de vibration.
Seul 440 Hz et 1320 Hz peuvent être compatible.
5) Un choc décale le chevalet de la guitare, ce qui allonge la partie vibrante de la corde de 1,5 cm.
Sur quelle fréquence fondamentale résonne-t-elle à présent ?
La longueur devient 81,5 cm. La fréquence devient 704/(2.0,815) = 432 Hz
6) Si l’on fait résonner simultanément la corde précédente et un diapason donnant le LA3,
qu’entend-on ?
Un battement modulation d’amplitude de (440 -432)/2 = 4 Hz.
Exo : 1.3 Etude du fonctionnement de la corde d’un piano.
A l’instant t = 0, on frappe la corde avec un petit marteau de largeur e (e << L longueur de la corde) situé entre
les abscisses x = a et x = a + e. Ce choc communique à la corde une impulsion initiale (v : vitesse initiale) à la
partie frappée.
On admettre que les amplitudes An sont de la forme :
An =
2.v.e
a

. sin  n.π . 
n.π .C
L

1 – Comment varie les amplitudes des harmoniques ?
Les amplitudes sont inversement proportionnelles au rang de l’harmonique (1/n)
2 – Si on frappe la corde en a = L/2, quelles sont les harmoniques restantes ?


Le sinus dans l’expression de An devient : sin  n.π .
a
 π
 = sin  n. 
L
 2
La fonction sinus est nulle lorsque les rangs n sont pairs (n = 2, 4 , 6 ….)
3 – En posant (2.v.e/π.C) = 0,01. Déterminer l’atténuation en dB des 5 premières harmoniques par
rapport à la fondamentale. Commenter.
L’expression de An devient :An =
0,01
 π
. sin  n. 
n
 2
Mettons les résultas dans un tableau (nous tenons compte que des harmoniques impaires ici) :
n=1
n =3
n=5
n =7
n =9
A1 = 0,01 (amplitude du fondamental
A3 = 0,01/3 = 0,0033
A5 = 0,01/5 = 0,002
A3 = 0,01/7 = 0,00143
A3 = 0,01/9 = 0,000111
Atténuations :
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 0,0033 
 = -9,54 dB
 0,01 
Amplitude A3 par rapport à A1 20log( 
 0,002 
 = -13,97 dB
 0,01 
Amplitude A5 par rapport à A1 20log( 
 0,00143 
 = -16,9 dB
 0,01 
Amplitude A7 par rapport à A1 20log( 
 0,000111 
 = -19dB
 0,01 
Amplitude A9 par rapport à A1 20log( 
4 – On veut supprimer la 7eme harmonique de la corde. Déterminer la position a du marteau.
Pour avoir A7 = 0 (donc pour le rang n= 7) a

sin  7.π .  = 0
L

7.π .
a
L
=π a=
L
7
Remarque : Les marteaux du piano frappent les cordes au 1/7 ou 1/9 de leur longueur ; il ne peut alors se produire de
nœud à cet endroit, et on évite ainsi la présence du 7ème ou du 9ème harmonique qui donneraient un timbre désagréable :
il est facile de voir que ces harmoniques ne font pas partie de l’accord parfait du son fondamental.
Exo : 1.4 Etude du fonctionnement de la trompette.
1) Fréquence fondamentale de la trompette.
La trompette est considérée comme un tuyau acoustique fermé (par les lèvres du musicien) ouvert
(pavillon). Les fréquences de résonance sont définies par :
fn = (2.n++1). C
4.L
La fréquence fondamentale est donnée pour n = 0 ffond = C
4.L
= 59,86 Hz
A l’extrémité ouverte, la pression acoustique est théoriquement considérée nulle (réflexion totale).
Cette hypothèse simplificatrice (puisque, heureusement pour le musicien, une partie de la pression est
transmise à l’extérieur de la trompette) traduit le fait que la pression réfléchie est considérablement
plus importante que la pression transmise (on néglige cette dernière).
A l’extrémité fermée, c’est la vitesse acoustique qui est considérée nulle. Cette hypothèse, qui est
peut-être moins difficile à apprécier que la précédente, est pourtant tout aussi discutable. En effet, les
lèvres du musicien qui ferment l’extrémité dite fermée, sont loin d’être « infiniment rigide ».
2) Note correspondante à cette fréquence. Cette note est appelée « note d’accord »
La note « La » la plus proche de la fréquence 60,71 Hz est le La0 qui est à la fréquence 55 Hz.
Si on effectue le rapport entre les deux fréquences :
59,86
= 1,1 = ( 12 2 )n avec n le nombre de
55
demi-tons qui séparent les deux fréquences.
On trouve n = 1,47… La note d’accord n’est donc pas très juste et cela correspond à une note entre
Sib et Si.
Cependant, la valeur de la fréquence fondamentale (qui donne la hauteur de la note d’accord) peut
fluctuer suivant la valeur de la célérité C (340 m.s-1 pour le calcul) qui varie en fonction de la
température. Lorsque la température augmente, la fréquence augmente. De même l’imprécision de la
mesure de la longueur L peut entraîner des écarts dans le calcul de la fréquence.
Si la note d’accord est un Sib, la fréquence « juste » doit être : ffond = 55.
12
2 = 58,27 Hz
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Si on considère que la longueur est correcte, cela fait une célérité de : Cair = 4.L.ffond = 331 m.s-1 ce
qui correspond à une température de l’air quasiment de 1° Celsius. Ce qui n’est pas une température
très agréable pour jouer de la trompette !!
4) Longueur de variation de la coulisse d’accord pour sonner « juste ».
Il y a un demi-ton d’écart en dessous la note d’accord. Ce qui signifie que la fréquence fondamentale
émise est égale à un La : ffond = 55 Hz
On peut écrire le système d’équations suivant :
ffond = C
4.L
= 55 Hz
C
= 58,27 Hz
4.(L + l)
ffond’ =
(l étant la longueur à rajouter pour faire l’accord)
ffond (L + l)
=
ffond '
L
ffond
D’où : l = L.[
- 1] = -7,96 cm
ffond '
On obtient :
(il faut donc diminuer la longueur du tuyau de 7,96 cm)
Ce qui correspond à un déplacement d’environ 4 cm pour la coulisse d’accord.
5) Longueur de la coulisse correspondant au troisième piston
Le calcul est similaire à la question précédente. On abaisse le son de trois demi-tons en activant le
troisième piston, ce qui revient à ajouter la longueur l3 à la longueur du tuyau. D’où le système
d’équation :
ffond = C
4.L
fpiston3 =
= 58,27 Hz
C
= 58,27.( 12 2 )-3 = 49,06 Hz
4.(L + l 3)
On obtient :
ffond
(L + l 3)
=
fpiston3
L
D’où : l3 = L.[
(l3 étant la longueur de la coulisse recherchée)
ffond
- 1] = 26,65 cm
fpiston3
Exo : 1.5 Etudes des instruments à maillets (Marimba ; Xylophone ;
Vibraphone)
Les barres sont mises en vibrations de flexion. Chaque vibration est amplifiée par un résonateur tube du type
fermé-ouvert..
Les résonateurs du marimba sont accordés sur le fondamental de la vibration de la barre
Les résonateurs du xylophone sont accordés sur le troisième harmonique de la vibration de la lame.
1) Les fréquences de résonance d’un tube fermé/ouvert sont : fn = n.
C
4.L
On dit que le résonateur du marimba (le tube) est accordé sur le fondamental de la barre. Cette
dernière produit un La3, donc une fréquence fondamentale égale à 440 Hz.
On a donc la relation suivante :
C
= 440 Hz
4.L
La longueur du tube situé sous la barre est donc :
LMarimba =
C
= 19 cm (avec C = 340 m.s-1)
4.(440)
4
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2) On dit que le résonateur du xylophone (le tube) est accordé sur le 3eme harmonique de la barre.
Cette dernière produit un La3, dont la fréquence fondamentale est 440 Hz. L’harmonique de rang 3 est
donc égale à 3.440 = 1320 Hz
On a donc la relation suivante :
C
= 1320 Hz
4.L
La longueur du tube situé sous la barre est donc :
LXylophone =
C
= 6,4 cm (avec C = 340 m.s-1)
4.(1320)
3) Pour la note Do1
Déterminons d’abord la fréquence correspondante à la hauteur Do1. Cette note est séparée du La3 par
2 octaves et par 9 demi-tons.
On a donc la relation suivante :
110
=
fDO1
( 2)
12
9
(110 Hz correspond à la fréquence du La1)
On en déduit que fDo1 = 65,4 Hz
Pour cette note la longueur des barres respectivement pour le marimba et le xylophone sont :
C
= 1,29 m
4.(65,4)
C
LXylophone =
= 43 cm
4.(3.65,4)
LMarimba =
Exo : 1.6 Etude oreille externe
Le conduit auditif de l’oreille est assimilable à un tube acoustique ouvert et fermé (par le
tympan), chez l’adulte, la longueur moyenne du conduit est de 2,7 cm.
Déterminer la fréquence de résonance naturelle de l’oreille, cette résonance correspond
en fait à la sensibilité maximale de notre oreille (voir courbes de Fletcher).
Dans ce cas fn = n.
C
4.L
et pour n =1
f1 =
340
= 3148 Hz exactement.
4.0,027
Exo : 1.7 Accorder ses bouteilles
On souhaite connaître la fréquence que l’on entend lorsque l’on souffle dans une bouteille.
Considérons une petite bouteille dont :
– longueur du goulot l=2 cm
– Diamètre du goulot d=1,5 cm
– Diamètre de la bouteille D=4 cm
– Hauteur de la bouteille h=6 cm
Question : Calculez la surface du goulot, le volume interne de la bouteille puis la
fréquence propre de la bouteille.
On peut rester en cm
Surface du goulot A = .d2/4 = 1,77 cm2
Volume = .h.D2/4 = 75,4 cm3
Donc la fréquence propre est :
=
34000 1,77
.
= 586 Hz
2.π
75,4.2
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Exo : 1.8 Estimation du volume V d’une guitare
Le caisse d’une guitare acoustique agit comme un résonateur de Helmholtz dans le registre grave. La
rosace a pour dimension :
Diamètre : 10 cm
Epaisseur de la table d’harmonie : 3 mm
On prendra la longueur corrigée pour lieux estimer la longueur de l’évent du résonateur équivalent à
la caisse de résonance de la guitare.
Pour une guitare « folk » courante, la fréquence propre de la caisse est accordée sur le La1
Pour une guitare classique courante, la fréquence propre de la caisse est accordée sur le Sol#1
1) Calculer pour ces types de guitare le volume de la caisse.
La formule de résonance est :
avec
A section de la rosace = π.0,12/4 = 78,53.10 m
-4
2
L longueur corrigé de l’évent = 0,003 +0,8.0,1 = 0,083 m
V le volume à déterminer
Pour la guitare folk, la fréquence de résonance est donc 100 Hz, on peut écrire :
110 =
340 78,53.10−4
.
V = 0,022 m3
2.π
V .0,083
Pour la guitare classique, déterminons la fréquence correspondante au Sol#2.
La fréquence du La1 est 110Hz donc la fréquence du Sol#2 situé un demi ton en dessous est :
f = 110/1,0595 = 103,82 Hz
Donc on peut écrire :
340 78,53.10−4
103,82 =
.
V = 0,0257 m3
2.π
V .0,083
6