TD n°3 Acoustique Licence parcours Musique et Métiers du son CORRECTION TD n°3 Acoustique 1 Applications SOURCES ACOUSTIQUES MUSICALES Exo : 1.1 Etude du fonctionnement d’une guitare basse. Une guitare basse 4 cordes est accordée ainsi : Fréquence Diamètre corde Corde de MI 41 Hz 2,28 mm Corde de LA 55 Hz 1,778 mm Corde de RE 73,5 Hz 1,27 mm Corde de SOL 98 Hz 0,762 mm La longueur libre de chaque corde est de L = 88 cm. La masse volumique étant de ρ = 7,2.103 kg.m-3. 1 - Calculer la tension dans chacune des cordes. LONGUEUR masse vol 88 cm 7200 kg/m3 fréquence Hz Corde de MI Corde de LA Corde de RE Corde de SOL 41 55 73,5 98 diametre mm 0,88 m masse célérité(m/s lineique (kg/m 2,28 1,778 1,27 0,762 FORCE N 72,16 0,029396259 153,07 96,8 0,01787664 167,51 129,36 0,009120735 152,63 172,48 0,003283464 97,68 2 – En déduire la charge que subit le manche de la guitare. Il s’agit de faire la somme des tensions dans les cordes : on trouve : 570, 9 N (soit 57 kg) Exo : 1.2 La partie vibrante d’une corde de guitare à 80 cm de long. Après avoir été pincée, elle donne le LA3 dont la fréquence est 440 Hz. 1) Quelle est la longueur d’onde λ stationnaire obtenue sur la corde ? C corde 2.L f = n. De la formule on peut en déduire que : 2L = définition de la longueur d’onde λ. Donc λ = 2.L = 1,6 m C (avec n = 1) ce qui correspond à la f 2) Quelle est la vitesse de propagation d’une onde dans cette corde ? La célérité est donc C = 1,6*440 = 704 m.s-1 3) Quelles sont les fréquences inférieures à 2000 Hz sur lesquelles la corde, convenablement excitée, peut résonner ? Il s’agit des harmoniques de 440 Hz. Donc 880 Hz ; 1320 Hz et 1760 Hz 4) Peut-on obtenir toutes ces fréquences en excitant la corde par son milieu ? 1 TD n°3 Acoustique non, si on pince au centre, on oblige ce point à être ventre de vibration. Seul 440 Hz et 1320 Hz peuvent être compatible. 5) Un choc décale le chevalet de la guitare, ce qui allonge la partie vibrante de la corde de 1,5 cm. Sur quelle fréquence fondamentale résonne-t-elle à présent ? La longueur devient 81,5 cm. La fréquence devient 704/(2.0,815) = 432 Hz 6) Si l’on fait résonner simultanément la corde précédente et un diapason donnant le LA3, qu’entend-on ? Un battement modulation d’amplitude de (440 -432)/2 = 4 Hz. Exo : 1.3 Etude du fonctionnement de la corde d’un piano. A l’instant t = 0, on frappe la corde avec un petit marteau de largeur e (e << L longueur de la corde) situé entre les abscisses x = a et x = a + e. Ce choc communique à la corde une impulsion initiale (v : vitesse initiale) à la partie frappée. On admettre que les amplitudes An sont de la forme : An = 2.v.e a . sin n.π . n.π .C L 1 – Comment varie les amplitudes des harmoniques ? Les amplitudes sont inversement proportionnelles au rang de l’harmonique (1/n) 2 – Si on frappe la corde en a = L/2, quelles sont les harmoniques restantes ? Le sinus dans l’expression de An devient : sin n.π . a π = sin n. L 2 La fonction sinus est nulle lorsque les rangs n sont pairs (n = 2, 4 , 6 ….) 3 – En posant (2.v.e/π.C) = 0,01. Déterminer l’atténuation en dB des 5 premières harmoniques par rapport à la fondamentale. Commenter. L’expression de An devient :An = 0,01 π . sin n. n 2 Mettons les résultas dans un tableau (nous tenons compte que des harmoniques impaires ici) : n=1 n =3 n=5 n =7 n =9 A1 = 0,01 (amplitude du fondamental A3 = 0,01/3 = 0,0033 A5 = 0,01/5 = 0,002 A3 = 0,01/7 = 0,00143 A3 = 0,01/9 = 0,000111 Atténuations : 2 TD n°3 Acoustique 0,0033 = -9,54 dB 0,01 Amplitude A3 par rapport à A1 20log( 0,002 = -13,97 dB 0,01 Amplitude A5 par rapport à A1 20log( 0,00143 = -16,9 dB 0,01 Amplitude A7 par rapport à A1 20log( 0,000111 = -19dB 0,01 Amplitude A9 par rapport à A1 20log( 4 – On veut supprimer la 7eme harmonique de la corde. Déterminer la position a du marteau. Pour avoir A7 = 0 (donc pour le rang n= 7) a sin 7.π . = 0 L 7.π . a L =π a= L 7 Remarque : Les marteaux du piano frappent les cordes au 1/7 ou 1/9 de leur longueur ; il ne peut alors se produire de nœud à cet endroit, et on évite ainsi la présence du 7ème ou du 9ème harmonique qui donneraient un timbre désagréable : il est facile de voir que ces harmoniques ne font pas partie de l’accord parfait du son fondamental. Exo : 1.4 Etude du fonctionnement de la trompette. 1) Fréquence fondamentale de la trompette. La trompette est considérée comme un tuyau acoustique fermé (par les lèvres du musicien) ouvert (pavillon). Les fréquences de résonance sont définies par : fn = (2.n++1). C 4.L La fréquence fondamentale est donnée pour n = 0 ffond = C 4.L = 59,86 Hz A l’extrémité ouverte, la pression acoustique est théoriquement considérée nulle (réflexion totale). Cette hypothèse simplificatrice (puisque, heureusement pour le musicien, une partie de la pression est transmise à l’extérieur de la trompette) traduit le fait que la pression réfléchie est considérablement plus importante que la pression transmise (on néglige cette dernière). A l’extrémité fermée, c’est la vitesse acoustique qui est considérée nulle. Cette hypothèse, qui est peut-être moins difficile à apprécier que la précédente, est pourtant tout aussi discutable. En effet, les lèvres du musicien qui ferment l’extrémité dite fermée, sont loin d’être « infiniment rigide ». 2) Note correspondante à cette fréquence. Cette note est appelée « note d’accord » La note « La » la plus proche de la fréquence 60,71 Hz est le La0 qui est à la fréquence 55 Hz. Si on effectue le rapport entre les deux fréquences : 59,86 = 1,1 = ( 12 2 )n avec n le nombre de 55 demi-tons qui séparent les deux fréquences. On trouve n = 1,47… La note d’accord n’est donc pas très juste et cela correspond à une note entre Sib et Si. Cependant, la valeur de la fréquence fondamentale (qui donne la hauteur de la note d’accord) peut fluctuer suivant la valeur de la célérité C (340 m.s-1 pour le calcul) qui varie en fonction de la température. Lorsque la température augmente, la fréquence augmente. De même l’imprécision de la mesure de la longueur L peut entraîner des écarts dans le calcul de la fréquence. Si la note d’accord est un Sib, la fréquence « juste » doit être : ffond = 55. 12 2 = 58,27 Hz 3 TD n°3 Acoustique Si on considère que la longueur est correcte, cela fait une célérité de : Cair = 4.L.ffond = 331 m.s-1 ce qui correspond à une température de l’air quasiment de 1° Celsius. Ce qui n’est pas une température très agréable pour jouer de la trompette !! 4) Longueur de variation de la coulisse d’accord pour sonner « juste ». Il y a un demi-ton d’écart en dessous la note d’accord. Ce qui signifie que la fréquence fondamentale émise est égale à un La : ffond = 55 Hz On peut écrire le système d’équations suivant : ffond = C 4.L = 55 Hz C = 58,27 Hz 4.(L + l) ffond’ = (l étant la longueur à rajouter pour faire l’accord) ffond (L + l) = ffond ' L ffond D’où : l = L.[ - 1] = -7,96 cm ffond ' On obtient : (il faut donc diminuer la longueur du tuyau de 7,96 cm) Ce qui correspond à un déplacement d’environ 4 cm pour la coulisse d’accord. 5) Longueur de la coulisse correspondant au troisième piston Le calcul est similaire à la question précédente. On abaisse le son de trois demi-tons en activant le troisième piston, ce qui revient à ajouter la longueur l3 à la longueur du tuyau. D’où le système d’équation : ffond = C 4.L fpiston3 = = 58,27 Hz C = 58,27.( 12 2 )-3 = 49,06 Hz 4.(L + l 3) On obtient : ffond (L + l 3) = fpiston3 L D’où : l3 = L.[ (l3 étant la longueur de la coulisse recherchée) ffond - 1] = 26,65 cm fpiston3 Exo : 1.5 Etudes des instruments à maillets (Marimba ; Xylophone ; Vibraphone) Les barres sont mises en vibrations de flexion. Chaque vibration est amplifiée par un résonateur tube du type fermé-ouvert.. Les résonateurs du marimba sont accordés sur le fondamental de la vibration de la barre Les résonateurs du xylophone sont accordés sur le troisième harmonique de la vibration de la lame. 1) Les fréquences de résonance d’un tube fermé/ouvert sont : fn = n. C 4.L On dit que le résonateur du marimba (le tube) est accordé sur le fondamental de la barre. Cette dernière produit un La3, donc une fréquence fondamentale égale à 440 Hz. On a donc la relation suivante : C = 440 Hz 4.L La longueur du tube situé sous la barre est donc : LMarimba = C = 19 cm (avec C = 340 m.s-1) 4.(440) 4 TD n°3 Acoustique 2) On dit que le résonateur du xylophone (le tube) est accordé sur le 3eme harmonique de la barre. Cette dernière produit un La3, dont la fréquence fondamentale est 440 Hz. L’harmonique de rang 3 est donc égale à 3.440 = 1320 Hz On a donc la relation suivante : C = 1320 Hz 4.L La longueur du tube situé sous la barre est donc : LXylophone = C = 6,4 cm (avec C = 340 m.s-1) 4.(1320) 3) Pour la note Do1 Déterminons d’abord la fréquence correspondante à la hauteur Do1. Cette note est séparée du La3 par 2 octaves et par 9 demi-tons. On a donc la relation suivante : 110 = fDO1 ( 2) 12 9 (110 Hz correspond à la fréquence du La1) On en déduit que fDo1 = 65,4 Hz Pour cette note la longueur des barres respectivement pour le marimba et le xylophone sont : C = 1,29 m 4.(65,4) C LXylophone = = 43 cm 4.(3.65,4) LMarimba = Exo : 1.6 Etude oreille externe Le conduit auditif de l’oreille est assimilable à un tube acoustique ouvert et fermé (par le tympan), chez l’adulte, la longueur moyenne du conduit est de 2,7 cm. Déterminer la fréquence de résonance naturelle de l’oreille, cette résonance correspond en fait à la sensibilité maximale de notre oreille (voir courbes de Fletcher). Dans ce cas fn = n. C 4.L et pour n =1 f1 = 340 = 3148 Hz exactement. 4.0,027 Exo : 1.7 Accorder ses bouteilles On souhaite connaître la fréquence que l’on entend lorsque l’on souffle dans une bouteille. Considérons une petite bouteille dont : – longueur du goulot l=2 cm – Diamètre du goulot d=1,5 cm – Diamètre de la bouteille D=4 cm – Hauteur de la bouteille h=6 cm Question : Calculez la surface du goulot, le volume interne de la bouteille puis la fréquence propre de la bouteille. On peut rester en cm Surface du goulot A = .d2/4 = 1,77 cm2 Volume = .h.D2/4 = 75,4 cm3 Donc la fréquence propre est : = 34000 1,77 . = 586 Hz 2.π 75,4.2 5 TD n°3 Acoustique Exo : 1.8 Estimation du volume V d’une guitare Le caisse d’une guitare acoustique agit comme un résonateur de Helmholtz dans le registre grave. La rosace a pour dimension : Diamètre : 10 cm Epaisseur de la table d’harmonie : 3 mm On prendra la longueur corrigée pour lieux estimer la longueur de l’évent du résonateur équivalent à la caisse de résonance de la guitare. Pour une guitare « folk » courante, la fréquence propre de la caisse est accordée sur le La1 Pour une guitare classique courante, la fréquence propre de la caisse est accordée sur le Sol#1 1) Calculer pour ces types de guitare le volume de la caisse. La formule de résonance est : avec A section de la rosace = π.0,12/4 = 78,53.10 m -4 2 L longueur corrigé de l’évent = 0,003 +0,8.0,1 = 0,083 m V le volume à déterminer Pour la guitare folk, la fréquence de résonance est donc 100 Hz, on peut écrire : 110 = 340 78,53.10−4 . V = 0,022 m3 2.π V .0,083 Pour la guitare classique, déterminons la fréquence correspondante au Sol#2. La fréquence du La1 est 110Hz donc la fréquence du Sol#2 situé un demi ton en dessous est : f = 110/1,0595 = 103,82 Hz Donc on peut écrire : 340 78,53.10−4 103,82 = . V = 0,0257 m3 2.π V .0,083 6
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