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C´alculo Integral
Carlos E Mart´ınez Rodr´ıguez
Semestre I de 2013
1
´Indice
1. Parte II
1.1. Aplicaci´on de Integrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
3
2. Primer Evaluaci´
on Parcial
6
3. Segunda Evaluaci´
on Parcial
7
4. Segunda Evaluaci´
on Parcial (versi´
on corregida)
9
5. Segunda Evaluaci´
on Parcial (Resposici´
on)
2
11
1.
1.1.
Parte II
Aplicaci´
on de Integrales
1. Plantea y resuelve los siguientes problemas:
a) Para los primeros 10 d´ıas de diciembre una c´elula vegetal creci´o de forma que
t d´ıas despu´es del 1 de diciembre el volumen de la c´elula estuvo creciendo a
una tasa de (12 − t)2 micras c´
ubicas por d´ıa. Si el 3 de diciembre el volumen
3
de la c´elula fue de3µm . Cu´al fue el volumen el 8 de diciembre?.
√
=
b) El volumen de un globo crece de acuerdo a la f´ormula dV
t + 1+ 25 t, donde
dt
V metros c´
ubicos es el volumen de un globo a los t segundos. Si V = 33 cuando
t = 3, determine una ecuaci´on para el volumen y diga cual es el volumen del
globo a los 8 segundos.
2. Movimiento de part´ıculas
a) Una part´ıcula se mueve a lo largo de una recta de acuerdo a la ecuaci´on v =
10 cos 2πt, donde v cent´ımetros por segundo es la velocidad a los t segundos.
Si el sentido positivo es hacia la derecha del origen y la part´ıcula est´a a 5 cm
a la derecha del origen al inicio del movimiento, determine su posici´on cuando
t es igual a {0,3, 1, 4, 2,9, 3,6}.
b) Se lanza una piedra verticalmente hacia arriba desde el suelo con una velocidad inicial de 128 pie/s considere que la u
´nica fuerza que act´
ua sobre la
piedra es la aceleraci´on debida a la gravedad. Determine que tan alto va a
llegar la piedra, qu´e tiempo le tomar´a a la piedra llegar al suelo y la rapidez
al momento de llegar al suelo.
3. Determine la soluci´on completa de la ecuaci´on diferencial
a)
dy
dx
= 6 − 3x2
c)
du
dv
=
√
x+x
√
y−y
√
3v 1+v 2
u
d)
dy
dx
=
sec2 x
tan2 y
e)
du
dv
=
cos 2v
sin 3u
f)
d2 y
dx2
b)
dy
dx
=
2
= 5x + 1
3
√
g)
d2 y
dx2
=
h)
d2 s
dt2
= sin 3t + cos 3t
i)
d2 u
= tan v sec2 v
j)
dy
dx
= (x + 1) (x + 2); y = − 23 cuando x = −3,
k)
d2 y
dx2
dv 2
2x − 3
= − x34 ; y =
do x = 1.
1
2
y
dy
dx
= −1 cuan-
4. En la siguiente lista de ejercicios una part´ıcula se mueve a lo largo de una recta, a
los t segundos, s pies es la distancia dirigida de la part´ıcula desde el or´ıgen, v pies
por segundo es la velocidad de la part´ıcula y a pies por segundo por segundo es la
ds
aceleraci´on de la part´ıcula. Sugerencia: a = dv
= dv
= v dv
.
dt
ds dt
ds
√
a) v = 2t + 4; s = 0, cuando t = 0.
Expresar s en t´erminos de t.
b) a = 5 − 2t; v = 2 y s = 0 cuando
t = 0. Exprese v y s en t´erminos de
t.
c) a = t2 + 2t; s = 1 cuando t = 0 y
s = −3 cuando t = 2. Exprese v y
s en t´erminos de t.
d ) a = 800; v = 20 cuando s = 1. Obtenga una ecuaci´on que contenga a
v y s.
5. Plantea y resuelve los siguiente problemas
a) Una part´ıcula se mueve a lo largo de una recta de modo que si v
cent´ımetros por segundo es la velocidad de la part´ıcula a los t segundos, entonces v = 9 sin 3πt, donde el sentido positivo es a la derecha del origen. Si la particula se
encuentra en el origen al iniciar su
movimiento determine su posici´on
cuando t = {0,6, 2,5, 4,8, 7,2}.
b) Se deja caer una piedra desde lo alto del monumento a Washington,
de 555 pies de altura. cu´anto tiempo le toma a la piedra llegar al suelo
y con qu´e rapidez lo hace.
c) Se lanza una pelota verticalmente hacia arriba desde el suelo con
una velocidad inicial de 20pie/s.
Cu´anto tiempo ascender´a la pelota, qu´e tan alto llegar´a la pelota y
cuanto tiempo lo tomar´a llegar al
piso.
d ) si una pelota se rueda a nivel de
suelo con una velocidad inicial de
20pie/s y si la rapidez de la pelota se disminuye a la tasa de 6pie/s
debido a la fricci´on. Qu´e distancia
recorrer´a la pelota?.
e) Si los frenos de un automovil pueden darle una aceleraci´on negativa y constante de 8m/s2 , cu´al es
la m´axima rapidez a la que puede viajar si es necesario detener el
autom´ovil en un intervalo de 25m
despu´es de de que se apliquen los
frenos?
´
6. Area
entre curvas.reglamento de consejos de plantel uacm
4
a) Determine el a´rea de la regi´on limitada por y = x3 − 2x2 − 5x + 6, y
ejes x = −1 y x = 2.
c) Calcule el ´area de la regi´on limitada por la par´abola y 2 = 2x − 2 y la
recta y = x − 5.
b) Determine el ´area de la regi´on limitada por las curvas y = x2 y
y = −x2 + 4.
d ) Calcule el ´area de la regi´on limitada por las curvas y = x3 − 6x2 + 8x
y y = x2 − 4x.
7. Calcule el ´area de la regi´on acotada por las curvas
a) y = cos x; eje x, eje y, x = π6 .
e) y = 2 − x2 ; y = −x, x = 3.
b) y = sin x; eje x, x = 31 π, x = 23 π.
c) y = sec2 x; eje x, eje y, x = 14 π.
f ) y 2 = x − 1; x = 3.
√
g) y = x; y = x3 .
d ) y 2 = −x; x = −2 y x = −4.
h) y 3 = x2 ; x − 3y + 4 = 0.
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2.
Primer Evaluaci´
on Parcial
Responde las siguientes preguntas, indicando todos los pasos que realizaste para obtener la respuesta:
Nombre:
Matr´ıcula:
1. Se lanza una piedra verticalmente hacia arriba desde el suelo con una velocidad
inicial de 128 pie/s considere que la u
´nica fuerza que act´
ua sobre la piedra es la
aceleraci´on debida a la gravedad. Determine que tan alto va a llegar la piedra,
qu´e tiempo le tomar´a a la piedra llegar al suelo y la rapidez al momento de llegar
al suelo.
2. Determine la soluci´on completa de la ecuaci´on diferencial
una soluci´on particular.
dy
dx
=
√
x+x
√
y−y
y encuentre
√
3. La pendiente de la recta tangente en cualquier punto (x, y) de una curva es 3 x,
si el punto (9, 4) est´a en la curva, obtenga una ecuaci´on de la misma.
4. Utilice el Teorema Fundamental del C´alculo para calcular las siguientes derivadas
Rx√
a) 1 2t2 + 1dx
R2
b) 0 2x3/4 − 5x2/3 dx
5. Calcule las siguientes antiderivadas
a) f (x) =
√
sin x
√
x
b) f (x) =
2 cot x−3 sin2 x
sin x
c) f (x) = 3 sec x tan x − 5csc2 x
√
d ) f (x) = x x + x1
6
3.
Segunda Evaluaci´
on Parcial
Nombre:
Matr´ıcula:
1. Resuelve a lo m´as dos de las siguientes integrales indicando todos los pasos que
realizaste para obtener la respuesta:
a)
R
b)
R
√
x2 x − 4dx (7.5 puntos)
(4 csc x cot x + 2 sec2 x) dx
puntos)
c)
R
6x2 sen x3 dx (5 puntos)
d)
R
2
√ x +2x
dx
x3 +3x2 +1
(7.5
(8.5 puntos)
2. Calcule una de las siguientes derivadas y simplifique
a) f (x) = ln (ln (x))
(7.5 puntos)
3. Calcular
dy
dx
√
b) f (x) = ln tan x
(10 puntos)
para una de las siguientes expresiones
c) y = ln | tan 4x + sec 4x|
b) x ln y + y ln x = xy
d) y =
x3 +2x
√
5 7
x +1
(12.5 puntos)
4. Evaluar una de las siguientes derivadas mediante derivaci´on logar´ıtmica
x2 (x−1)2 (x+2)2
(x−4)5
b) y =
x3 +x
√
5 7
x +1
(12.5 puntos)
5. Evalue a lo m´as dos de las siguientes integrales
a)
R
2+ln2 x
dx
x(1−ln x()
c)
R
tan ln x
dx
x
b)
R
cos 3x+3
dx
sin 3x
d)
R
3x5 −2x3 +5x2 −2
dx
x3 +1
(15 puntos)
6. Calcule
dy
dx
para una de las siguientes expresiones
7
4
c) f (x) = ln
(12.5 puntos)
a) x ln x2 y + 3y 2 = 2x2 − 1
a) y =
q
x2 −1
x2 +1
a) y = ee
x
c) y 2 e2x + xy 3 = 1
b) y = ln (ex + e−x )
d ) ye2x + xe2y = 1
(15 puntos)
7. Calcule una de las siguientes integrales
a)
R
e3x e2x dx
b)
R
1
dx
1+ex
c)
R
e2x
dx
ex +3
(20 puntos)
8. Calcule una de las siguientes derivadas
a) y = 25x 34x
2
√
b) y = x
x
c) y = xe
x
(20 puntos)
9. Calcule una de las siguientes integrales
a)
R
5x
4 +2x
(2x3 + 1) dx
b)
R
3
x2 10x dx
c)
R
x
x
ex 2e 3e dx
(20 puntos)
En matem´aticas uno no entiende las cosas, se acostumbra a ellas: John Von Neumann
Suerte!
8
4.
Segunda Evaluaci´
on Parcial (versi´
on corregida)
Nombre:
Matr´ıcula:
1. Resuelve a lo m´as dos de las siguientes integrales indicando todos los pasos que
realizaste para obtener la respuesta:
a)
R
b)
R
√
x2 x − 4dx (10 puntos)
(4 csc x cot x + 2 sec2 x) dx (12.5
puntos)
c)
R
6x2 sen x3 dx (10 puntos)
d)
R
2
√ x +2x
dx
x3 +3x2 +1
(10 puntos)
2. Calcule a los m´as dos de las siguientes derivadas y simplifique
a) f (x) = ln (ln (x))
(7.5 puntos)
3. Calcular
dy
dx
√
b) f (x) = ln tan x
(10 puntos)
q
2
c) f (x) = ln 4 xx2 −1
+1
(12.5 puntos)
para a los m´as dos de las siguientes expresiones
a) x ln x2 y + 3y 2 = 2x2 − 1 (20 ptos)
c) y = ln | tan 4x + sec 4x| (15 ptos)
b) x ln y + y ln x = xy (20 ptos)
d) y =
x3 +2x
√
5 7
x +1
(15 ptos)
4. Evaluar una de las siguientes derivadas mediante derivaci´on logar´ıtmica
a) y =
x2 (x−1)2 (x+2)2
(x−4)5
b) y =
x3 +x
√
5 7
x +1
(15 puntos)
5. Evalue a lo m´as dos de las siguientes integrales
a)
R
2+ln2 x
dx
x(1−ln x()
c)
R
tan ln x
dx
x
b)
R
cos 3x+3
dx
sin 3x
d)
R
3x5 −2x3 +5x2 −2
dx
x3 +1
(20 puntos)
6. Calcule
dy
dx
para a los m´as dos de las siguientes expresiones
9
x
a) y = ee (15 puntos)
c) y 2 e2x + xy 3 = 1 (20 puntos)
b) y = ln (ex + e−x )(15 puntos)
d ) ye2x + xe2y = 1 (20 puntos)
(15 puntos)
En matem´aticas uno no entiende las cosas, se acostumbra a ellas: John Von Neumann
Suerte!
10
5.
Segunda Evaluaci´
on Parcial (Resposici´
on)
Nombre:
Matr´ıcula:
1. Resuelve a lo m´as dos de las siguientes integrales indicando todos los pasos que
realizaste para obtener la respuesta:
a)
R
cos2 x sin xdx (10 puntos)
b)
R
x3 +1
dx
x+1
(10 puntos)
2. Calcule las siguientes derivadas y simplifique
a) f (x) = ln
3. Calcular
dy
dx
q
3
x+1
x2 +1
b) f (x) = x ln x (10 ptos)
(10 ptos)
para a los m´as dos de las siguientes expresiones
a) x ln x2 y + 3y 2 = 2x2 − 1 (20 ptos)
b) y =
x3 +2x
√
5 7
x +1
(15 ptos)
4. Evaluar una de las siguientes derivadas mediante derivaci´on logar´ıtmica
a) y =
x2 (x−1)2 (x+2)2
(x−4)5
b) y =
x5 (x+2)
x−3
(15 puntos)
5. Evalue a lo m´as dos de las siguientes integrales
a)
R
2+ln2 x
dx
x(1−ln x)
b)
R
√
cot x
√
dx
x
(20 puntos)
6. Calcule
dy
dx
para a los m´as dos de las siguientes expresiones
a) y 2 e2x + xy 3 = 1 (20 puntos)
b) ye2x + xe2y = 1 (20 puntos)
En matem´aticas uno no entiende las cosas, se acostumbra a ellas: John Von Neumann
Suerte!
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