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Universidad de los Andes
2015-I
C´alculo Diferencial
Primer Simulacro Parcial 3 - Prof. Sandor Orteg´on
S´
abado 25 de Abril de 2015
Este es un examen individual. No se permite el uso de libros, apuntes, calculadoras o cualquier otro
medio electr´
onico. Los primeros tres puntos son “t´ıpicos”. Los restantes puntos son posibles, pero en
el parcial real no estar´
an todos.
1. (1 punto) Resuelva uno de los siguientes dos problemas:
a) Una caja con base cuadrada y parte superior abierta debe tener un volumen de 32 cent´ımetros c´
ubicos. Determine las dimensiones de la caja que minimiza la cantidad de material
usado.
b) A la 1:00pm un barco A se encuentra 20 kil´ometros al sur del barco B y viaja hacia el norte
a 15 kil´
ometros por hora. El barco B navega hacia el oeste a 10 kil´ometros por hora. ¿A
qu´e hora se alcanza la distancia m´ınima entre las dos embarcaciones?
2. (1 punto) Haga un esbozo de la gr´afica de UNA de las siguientes dos funciones, teniendo en
cuenta los factores vistos en clase.
a) f (x) =
x2 − 1
x2 − 4
b) f (x) = 3x5 − 5x3
3. (1 punto) Calcule las siguientes integrales:
Z
a)
0
π
2
Z
cos x
dx
1 + sin2 x
b)
x3
dx
(x2 + 1)5
4. (0.5 puntos) Determine el valor del siguiente l´ımite
e(x−1)
R
l´ım
x2
√ 1
1+t2
dt
x2 − 1
x→1
5
3
5. (0.5 puntos) Encuentre
1 3 el valor m´aximo y m´ınimo absoluto que toma f (x) = 3x − 5x en el
intervalo cerrado − 2 , 2 .
6. (0.5 puntos) Explique por qu´e la ecuaci´on 4x5 + x3 + 2x = 1 no tiene m´as de una soluci´
on real.
!
r
n
3 X
3i
7. (0.5 puntos) Sea S = l´ım
·
2+ 1+
. Exprese S como una integral definida
n→∞ n
n
i=1
(indicando una funci´
on y un intervalo). Calcule la integral usando teorema fundamental del
C´alculo. Aproxime esta integral usando una suma de Riemann con 3 intervalos de igual tama˜
no
y usando el extremo izquierdo de cada intervalo para calcular la altura de los rect´angulos.
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Universidad de los Andes
2015-I
C´alculo Diferencial
Segundo Simulacro Parcial 3 - Prof. Sandor Orteg´on
S´
abado 25 de Abril de 2015
Este es un examen individual. No se permite el uso de libros, apuntes, calculadoras o cualquier otro
medio electr´
onico. Los primeros tres puntos son “t´ıpicos”. Los restantes puntos son posibles, pero en
el parcial real no estar´
an todos.
1. (1 punto) Resuelva uno de los siguientes dos problemas:
a) Dos puntos A, B se encuentran en la orilla de una playa recta, separados 6km entre s´ı. Un
punto C est´
a frente a B a 3km en el mar. Cuesta 400,000 d´olares tender 1 kil´ometro de
tuber´ıa en la playa y 500,000 d´olares tender un kil´ometro de tuberia en el mar. Determine
la forma m´
as econ´
omica de trazar la tuber´ıa desde A hasta C.
b) Un tri´
angulo rect´
angulo est´
a formado por los semiejes positivos y una recta que pasa por
el punto (4, 3). Halle los v´ertices de modo que su ´area sea m´ınima.
2. (1 punto) Haga un esbozo de la gr´afica de f (x) =
mencionados en clase.
ex
teniendo en cuenta los factores
ex + 1
3. (1 punto) Calcule las siguientes integrales:
Z
a)
0
1
(1 +
1
√
Z
x)2
b)
dx
sen x cos3 x dx
4. (2 puntos) Resuelva los siguientes problemas:
1
a) Calcule l´ım (1 + sin 2x) x
x→0+
xZ2 +1
p
1 + t2 dt
b) Halle la derivada de g(x) =
x+1
c) Calcule l´ım
n→∞
n
X
i=1
n
1
+1
i
n
d ) Explique por qu´e la ecuaci´
on x3 + 3x2 + 6x = 5 no tiene m´as de una soluci´on real
Z4
5. (Bono, 0.5 puntos) Aproxime
(1 − x2 ) dx usando una suma de Riemann, donde divide el
1
intervalo en tres partes de igual ancho y usa el extremo de la derecha de cada parte para hallar
la altura de cada rect´
angulo. Sin calcular la integral exacta, determine (con explicaci´
on) si la
aproximaci´
on es mayor o menor que el valor exacto de la integral.
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Universidad de los Andes
2015-I
C´alculo Diferencial
Tercer Simulacro Parcial 3 - Prof. Sandor Orteg´on
S´
abado 25 de Abril de 2015
Este es un examen individual. No se permite el uso de libros, apuntes, calculadoras o cualquier otro
medio electr´
onico. Los primeros tres puntos son “t´ıpicos”. Los restantes puntos son posibles, pero en
el parcial real no estar´
an todos.
1. (1 punto) Resuelva uno de los siguientes dos problemas:
a) Un terreno rectangular est´
a delimitado por un r´ıo en un lado y por una cerca el´ectrica de
un solo cable en los otros tres lados. ¿Cu´al es la mayor ´area que pueda cercarse con un
cable de 800 m?
b) La suma del per´ımetro de un c´ırculo y un cuadrado es de 16 cm. Hallar las dimensiones de
las dos figuras que hacen m´ınima el ´area total encerrada por ambas figuras.
2. (1 punto) Haga un esbozo de la gr´afica de f (x) =
mencionados en clase.
x2
x
teniendo en cuenta los factores
+1
3. (1 punto) Calcule las siguientes integrales:
Zπ/3
a)
Z
b)
ln(tan x)
dx
sen x cos x
x(1 − x)9 dx
π/4
4. (2 puntos) Resuelva los siguientes problemas:
a) Calcule l´ım
x→0+
1 + x2
1
x
Zx
b) Determine para qu´e valores de x la funci´on g(x) =
et (1 − t2 ) dt es decreciente
0
c) Calcule l´ım
n→∞
n
X
i=1
sen
iπ
n
·
π
n
d ) Explique por qu´e la ecuaci´
on 2x3 + ex = 4 no tiene m´as de una soluci´on real
Z5
5. (Bono, 0.5 puntos) Aproxime
(x2 + x) dx usando una suma de Riemann, donde divide el
2
intervalo en tres partes de igual ancho y usa el extremo de la izquierda de cada parte para hallar
la altura de cada rect´
angulo. Sin calcular la integral exacta, determine (con explicaci´
on) si la
aproximaci´
on es mayor o menor que el valor exacto de la integral.
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