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Freddy Contreras
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2676c2d9 @prolintomora
Cálculo del m.c.m:
Después de descompuestos: SE MULTIPLICAN TODOS LOS VALORES QUE
OBTUVE, PERO, TOMÁNDOLOS UNA SÓLA VEZ Y CON EL MAYOR
EXPONENTE...
Multiplos: los múltiplos de un número se obtienen multiplicando dicho número
por los números naturales 0, 1, 2, 3, 4, 5.....
Ejemplo: múltiplos del 7: 7x0=0; 7x1=7; 7x2=14; 7x3=21; 7x4=28; 7x5=35 ....
O sea son múltiplos del 7:, 0, 7, 14, 21, 28, 35, 42, 48, 56, 63, 70, 77, 84, 91,
98, 105, 112, 119, 126, 133, 140, 147, 154, 161, 168...
Y son múltiplos del 2:, 0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, 26…
Ahora; si necesito calcular el mínimo común múltiplo entre 2 y 7..
simplemente, me pregunto ¿cuál sería el primer número común (excepto el
cero (0)), que me encuentro en ambas listas?
múltiplos del 7:, 0, 7, 14, 21, 28, 35, 42, 48, 56, 63, 70, 77, 84, 91, 98, 105,
112, 119, 126, 133, 140, 147, 154, 161, 168...
múltiplos del 2:, 0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, 26…
…Y observo que es el 14 el primer número común que encuentro…
por lo tanto el 14 es el m.c.m. entre 2 y 7.
Múltiplos
de
2,4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18,
22,.....
Múltiplos
de
3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24,
30, 33,.....
2:
20,
3:
27,
Observa que los números 6, 12, y18 se
repiten en ambos casos y son al mismo
tiempo, múltiplos del 2 y del 3.
El más pequeño de estos múltiplos
comunes es el número 6, entonces se
dice que 6 es el mínimo común múltiplo
de 2 y 3, y lo escribimos así: m.c.m. (2 y
3) = 6.
Existe una manera más práctica y fácil para hallar el m.c.m, sobre todo si se trata
de números muy altos.
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Consiste en descomponer cada número en factores primos y el mínimo común
múltiplo será igual al producto de los factores comunes y no comunes con su
mayor exponente.
Para descomponer un número en sus factores primos se sigue el siguiente
procedimiento
Se divide el número entre el número primo más pequeño que lo divida
exactamente.
Se divide el cociente de la división anterior entre el siguiente número primo que
dé división exacta.
Se continúan efectuando cálculos hasta llegar a un cociente igual a uno.
El número que se descompuso en sus factores primos dede ser igual al producto de
todos los divisores resultantes.
Veamos un ejemplo:
Procedemos a descomponer al número 60
60 es divisible por varios números primos
(o factores primos): 2, 3, 5
Tomemos el factor primo 2 para usarlo
como divisor de 60.
Observa que 60 se descompone en sus
factores primos de la siguiente manera:
60 = 2 x 2 x 3 x 5 => 60 = 2 x 3 x 5
Observa otro ejemplo:
Calcular el mínimo común múltiplo entre
los números 2, 5 y 10.
Observa el siguiente:
Máximo común divisor de dos o más
números
Para hallar el máximo común divisor
(m.c.d.) de varios números, se procede
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de la misma manera que para el m.c.m.,
con la diferencia de que luego de
descomponer las cantidades dadas en
sus factores primos, se toman de
ellos, el producto de los factores
comunes con su menor exponente.
Partiendo de dos o más números y por descomposición en factores primos,
expresados como producto de factores primos, su mínimo común múltiplo será
el resultado DE MULTIPLICAR TODOS LOS VALORES QUE OBTUVE,
PERO, TOMÁNDOLOS UNA SÓLA VEZ Y CON EL MAYOR EXPONENTE...
, por ejemplo el mcm de 72 y 50 será:
TOMÁNDOLOS UNA SÓLA VEZ Y CON EL MAYOR EXPONENTE...,
tenemos que:
Conociendo el máximo común divisor de dos números, se puede calcular el
mínimo común múltiplo de ellos, que será el producto de ambos dividido
entre su máximo común divisor.
Además podemos utilizar otro método en caso que hubiéramos calculado el
máximo común divisor, en el cual se toman los factores comunes y no
comunes con el mayor exponente y se multiplican: 2·2·3·5 = 60. El m.c.m. de
4, 5 y 6 es 60.
Propiedades básicas

Si el producto de dos números lo dividimos por su máximo común divisor
el cociente es el mínimo común múltiplo.
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A y B que
descompuestos
en números
primos será A=(p1·p2)·p3·p4 y B=(p1·p2)·p5·p6 donde si m.c.d. es (p1·p2) y el
producto de A·B=(p1·p2)·p3·p4·(p1·p2)·p5·p6 donde vemos que (p1·p2) esta
repetido dos veces, luego si dividimos ese total por ( p1·p2) tendremos el
total menor que contiene a A y B siendo su m.c.m.
 El mínimo común múltiplo de dos números, donde el menor divide al
mayor, será el mayor. Es lógico ya que un múltiplo de ambos inferior
al mayor sería imposible ya que no sería múltiplo del mayor.
 El mínimo común múltiplo de dos números primos es el total de su
multiplicación. Esto es lógico ya que su máximo común divisor es 1.
 El mínimo común múltiplo de dos números compuestos será igual al
cociente entre su producto y el m.c.d de ellos. Es evidente según la
propiedad 1 de este tema.
 El máximo común divisor de varios números está incluido en el mínimo
común múltiplo.
Aplicaciones del m.c.m.
Suma de fracciones
El
m.c.m.
se
puede
emplear
para
sumar fracciones de
distinto denominador, tomando el m.c.m de los denominadores de las
fracciones, y convirtiéndolas en equivalentes que puedan ser sumadas.
Véase el siguiente ejemplo:
Para poder efectuar la suma, primero se debe buscar el mínimo
común múltiplo de los denominadores (6 y 33)
luego el mínimo común múltiplo de 6 y 33 es:
que corresponde al número 66; ambas fracciones tendrán como
denominador 66, ahora se divide el mcm que obtuvimos (66)
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entre cada denominador y se multiplica por el respectivo
numerador, osea:
Expresiones algebraicas
El m.c.m. para dos expresiones algebraicas, corresponde a la
expresión algebraica de menor coeficiente numérico y de
menor grado que es divisible exactamente por cada una de las
expresiones dadas. Esta teoría es de suma importancia para
las fracciones y ecuaciones. De esta forma el m.c.m. de
y
es
igualmente para
y
es
.
Algoritmos de cálculo
Para más de dos números, un algoritmo es el siguiente:
1. Descomponer los números en factores primos.
2. Para
cada
factor,
elegir
entre
todas
las
descomposiciones aquel factor con mayor exponente.
3. Multiplicar todos los factores elegidos.
Por ejemplo, mcm(324,16,7,5) La descomposición de 324 es
22·34; la descomposición de 16 es: 24; la descomposición de 7
es 7 y la descomposición de 5 es 5. Por tanto, obtenemos el
mcm: 24·34·7·5 = 45360.
Ejemplo: Averiguar el m.c.m. de Sacar el M.C.D. de 20 y 10:
20:
20, 40, 60, 80...
10:
10, 20, 30...
20 es el múltiplo menor que es común a ambos números.
Ejemplo: Calcular el m. c. m. de 4, 5 y 6.
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Se hace la descomposición de factores (que ya la explicamos en el máximo
común divisor). Lo hacemos de la siguiente forma:
4= 2x2
5= 5
6= 2x3
Se toman los factores comunes y no comunes con el mayor exponente y se
multiplican: 2x2 x3 x5 = 60. El mcm de 4,5 y 6 es 60.
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