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PC(*)
Exercices-type des Arts et Métiers PSI
2014/2015
À chaque question, les instructions ou les fonctions écrites devront être testées.
Exercice 1 : arithmétique
1. Soit l’entier n=1234. Quel est le quotient, noté q, dans la division euclidienne de n par 10 ? Quel est
le reste ? Que se passe-t-il si on recommence la division par 10 à partir de q ?
2. Écrire la suite d’instructions calculant la somme des cubes des chiffres de l’entier 1234.
3. Écrire une fonction somcube, d’argument n, renvoyant la somme des cubes du nombre entier n.
4. Trouver tous les nombres entiers inférieurs à 1000 égaux à la somme des cubes de leurs chiffres.
5. En modifiant les instructions de la fonction somcube, écrire une fonction somcube2 qui convertit
l’entier n en une chaîne de caractères permettant ainsi la récupération de ses chiffres sous forme de
caractères. Cette nouvelle fonction renvoie toujours la somme des cubes des chiffres de l’entier n.
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Exercice 2 : encore de d’arithmétique
1. On considère le code python de la fonction d suivante :
>>>def d(n):
>>>
L=[1]
>>>
for nombre in range(2,n+1):
>>>
if n%nombre==0:
>>>
L.append(nombre)
>>>
return L
Quel est le résultat de l’appel d(4) ? Puis de l’appel d(10) ?
Que fait la fonction d ?
2. Un diviseur non-trivial d’un entier n est un diviseur de n différent de 1 et de n.
Écrire une fonction DNT, d’argument n, renvoyant la liste des diviseurs non-triviaux de l’entier n.
3. Écrire la suite des instructions permettant d’afficher tous les nombres entiers inférieurs à 1000 égaux
à la somme des carrés de leurs diviseurs. Que peut-on en conjecturer ?
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Exercice 3 : un graphe et des matrices
On considère le graphe suivant, où le nombre situé sur l’arête joignant deux sommets est leur distance,
supposée entière :
4
1
5
2
6
3
3
8
9
0
7
4
1. Construire la matrice M0Éi , j É4 , matrice des distances du graphe G, définie par :
« pour tous les indices i , j , Mi , j représente la distance entre les sommets i et j ,
ou encore la longueur de l’arête liant les sommets i et j . »
On convient que lorsque les sommets ne sont pas reliés, cette distance vaut −1. La distance du sommet i à lui-même est, bien sûr, égale à 0.
2. Écrire une suite d’instructions permettant de dresser à partir de la matrice M la liste des voisins du
sommet 4.
3. Écrire une fonction voisins, d’argument un sommet i , renvoyant la liste des voisins du sommet i .
4. Écrire une fonction degre, d’argument un sommet i , renvoyant le nombre des voisins du sommet i ,
c’est-à-dire le nombre d’arêtes issues de i .
5. Écrire une fonction longueur, d’argument une liste L de sommets de G, renvoyant la longueur du
trajet décrit par cette liste L, c’est-à-dire la somme des longueurs des arêtes empruntées. Si le trajet
n’est pas possible, la fonction renverra −1.
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Exercice 4 : listes et boucles
Soit n un entier naturel non nul et une liste t de longueur n dont les termes valent 0 ou 1. Le but de cet
exercice est de trouver le nombre maximal de 0 contigus dans t (c’est-à-dire figurant dans des cases consécutives). Par exemple, le nombre maximal de zéros contigus de la liste t1 suivante vaut 4 :
i
t1[i]
0
0
1
1
2
1
3
1
4
0
5
0
6
0
7
1
8
0
9
1
10
1
11
0
12
0
13
0
14
0
1. Écrire une fonction nombreZeros(t,i), prenant en paramètres une liste t, de longueur n, et un
indice i compris entre 0 et n − 1, et renvoyant :
(
0, si t[i ] = 1
le nombre de zéros consécutifs dans t à partir de t[i ] inclus, si t[i ] = 0
Par exemple, les appels nombreZeros(t1,4), nombreZeros(t1,1) et nombreZeros(t1,8) renvoient respectivement les valeurs 3,0 et 1.
2. Comment obtenir le nombre maximal de zéros contigus d’une liste t connaissant la liste des
nombreZeros(t,i) pour 0 É i É n − 1 ?
En déduire une fonction nombreZerosmax(t), de paramètre t, renvoyant le nombre maximal de 0
contigus d’une liste t non vide. On utilisera la fonction nombreZeros.
3. Quelle est la complexité de la fonction nombreZerosmax construite à la fonction précédente ?
4. Trouver un moyen simple, toujours en utilisant le fonction nombreZeros, d’obtenir un algorithme
plus performant.
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Exercice 5 : codage
Soit n un entier vérifiant n É 23. On souhaite écrire un programme qui code un mot en décalant chaque
lettre de l’alphabet de n lettres. Par exemple pour n = 3, le décalage sera le suivant :
avant décalage
après décalage
a
d
b
e
c
f
d
g
···
···
···
···
x
a
y
b
z
c
Le mot oralensam devient ainsi rubohqvdp.
1. Définir une chaîne de caractères contenant toutes les lettres dans l’ordre alphabétique (caractères
en minuscule).
2. Écrire une fonction decalage, d’argument un entier n, renvoyant une chaîne de caractère contenant
toutes les lettres dans l’ordre alphabétique, décalées de n, comme indiqué ci-dessus.
3. Écrire une fonction indices, d’arguments un caractère x et une chaîne de caractère phrase, renvoyant une liste contenant les indices de x dans phrase si x est une lettre de phrase et une liste vide
sinon.
4. Écrire une fonction codage d’arguments un entier n et une chaîne de caractères phrase, renvoyant
phrase codé avec un décalage de n lettres.
5. Comment peut-on décoder un mot codé ?
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Exercice 6 : fonctions et courbes
On considère la fonction g définie sur ]0, 2[ par
(
g (x) =
x
pour 0 É x < 1
1
pour 1 É x < 2
1. Définir la fonction g . Tracer sa courbe représentative sur ]0, 2[, c’est-à-dire la ligne brisée reliant les
points (x, g (x)) pour x variant de 0 à 1.99 avec un pas de 0.01.
2. Définir une fonction f donnée de manière récursive sur [0, +∞[ par
(
g (x)
f (x) = p
x f (x − 2)
pour 0 É x < 2
pour x Ê 2
3. Tracer la courbe représentative de f sur [0, 6].
4. Écrire les instructions permettant de calculer à 10−2 près, la plus petite valeur α > 0 telle que f (α) > 4.
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Exercice 7 : ensemble de M ANDELBROT
On pose M = 20 et m = 10.
À un nombre c quelconque, on associe la suite (u n )nÊ0 définie par
u 0 = 0 et u n+1 = u n2 + c pour n Ê 0
S’il existe, on note k le plus petit entier tel que l’on ait 0 É k É m et |u k | > M .
On définit alors la fonction f par :
(
k
s’il existe
f 7→
m + 1 sinon.
1. Donner le code python définissant la fonction f .
2. Tracer l’allure de la courbe représentative de la fonction f sur [−2; 2], en créant une liste LX de
401 valeurs équiréparties entre −2 et 2 inclus et en utilisant les fonctions plot et show de la sousbibliothèque matplotlib.pyplot.
3. Construire le tableau de valeurs f (x + iıy) où x prend 101 valeurs complexes comprises entre −2 et
0.5 et y prend 101 valeurs entre −1.1 et 1.1. On rappelle que le nombre complexe iı est représenté par
1j. Par exemple, le complexe 1+2iı est représenté par 1+2j.
4. Tracer l’image que code ce tableau. On pourra utiliser les fonctions imshow et show de la sousbibliothèque matplotlib.pyplot.
Quels paramètres peut-on modifier pour obtenir une meilleure résolution ?
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Exercice 8 : lecture de fichier et intégration numérique
On cherche à calculer une valeur approchée de l’intégrale d’une fonction donnée par des points dont les
coordonnées sont situées dans un fichier.
1. Le fichier "ex_001.csv", situé dans le sous-répertoire data du répertoire de travail, contient une
quinzaine de lignes selon le modèle suivant :
0.1;0.196026577955
0.2;0.368842046094
Chaque ligne contient deux valeurs flottantes séparées par un point-virgule, représentant respectivement l’abscisse et l’ordonnée d’un point. Les points sont ordonnés par abscisses croissantes.
Ouvrir le fichier en lecture, le lire et construire la liste LX des abscisses et la liste LY des ordonnées
contenues dans ce fichier.
2. Représenter les points sur une figure.
3. Les points précédents sont situés sur la courbe représentative d’une fonction f . On souhaite déterminer une valeur approchée de l’intégrale I de cette fonction sur le segment où elle est définie.
Écrire une fonction trapeze, d’arguments deux listes y et x de même longueur n, renvoyant :
n−1
X
(xi − xi −1 )
i =1
yi + yi −1
2
trapeze(LY,LX) renvoie donc une valeur approchée de l’intégrale I par la méthode des trapèzes.
4. En utilisant la méthode d’intégration numérique trapz de la sous-bibliothèque scipy.integrate
du langage python , retrouver la valeur approchée de l’intégrale I .
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Exercice 9 : algèbre linéaire
Dans cet exercice, avec python on pourra utiliser la fonction array de la bibliothèque numpy, ainsi que la
fonction eig de la sous-bibliothèque numpy.linalg.


µ
¶
1 2 3
1 2 3
1. Créer deux matrices R =
et S = 4 5 6 et les faire afficher.
4 5 6
7 8 9
2. Créer une fonction test, d’argument M , renvoyant la valeur n si M est une matrice carrée d’ordre n
(entier naturel non nul), et zéro dans les autres cas.
Vérifier la fonction test sur R et sur S.
3. Le fichier ex_006.csv, situé dans le sous-répertoire data du répertoire de travail, contient un tableau de valeurs flottantes séparées par des points-virgules.
Lire ce tableau dans le fichier et vérifier qu’il correspond bien à une matrice carrée d’ordre 5 que l’on
désignera par M1.
4. Déterminer les valeurs propres de la matrice M1.
5. Créer une fonction dansIntervalle, d’arguments une liste L et deux réels a et b, renvoyant la valeur
True si tous les éléments de la liste L sont dans l’intervalle [a, b] et False sinon.
Vérifier que toutes les valeurs propres de la matrice M1 sont dans l’intervalle [0, 1].
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Exercice 10 : tri de listes d’entiers
Soit N un entier naturel non nul. On cherche à trier une liste L d’entiers d’entiers naturels strictement
inférieurs à N .
1. Écrire une fonction comptage, d’arguments L et N , renvoyant une liste P dont le k ème élément désigne le nombre d’occurrences de l’entier k dans la liste L.
2. Utiliser la liste P pour en déduire une fonction tri, d’arguments L et N , renvoyant la liste L triée
dans l’ordre croissant.
3. Tester la fonction tri sur une liste de 20 entiers inférieurs ou égaux à 5, tirés aléatoirement.
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Exercice 11 : extremum de fonctions
Soit N un nombre entier. Par défaut, on pose N = 101. On considère alors un échantillonnage de l’intervalle
[0, 1] en N points.
Pour tout entier n, on définit sur [0, 1] la fonction f n par
f n (x) = n sin (nπx)2 (1 − x)n
1. Écrire une fonction Maxiliste, d’argument L, renvoyant le maximum de la liste L, liste contenant
des nombres, et le premier indice où ce maximum est atteint. Pour cela, on n’utilisera pas les fonctions et méthodes déjà programmées dans python et ses modules.
2. Écrire une fonction Sup, admettant deux arguments :
• une fonction f définie sur l’intervalle [0, 1] ;
• le nombre de points d’échantillonnage de l’intervalle [0, 1], noté N , sur lesquels seront effectués
les calculs.
Cette fonction Sup retourne comme valeurs le maximum de f sur les points d’échantillonnage et la
plus petite abscisse où ce maximum est réalisé.
3. Écrire une fonction F, à deux arguments n et x, renvoyant la valeur f n (x).
4. Écrire une fonction Graph qui affiche sur une même figure le graphe sur [0, 1] de toutes les fonctions
f n , où n appartient à une liste L d’entiers naturels passés en argument.
La tester sur des fonctions f n pour n ∈ [[0, 6]].
5. Écrire une fonction PlusGrand admettant deux arguments :
• un nombre flottant M ;
• le nombre de points d’échantillonnage de l’intervalle [0, 1], noté N , sur lesquels seront effectués
les calculs.
Cette fonction PlusGrand retourne trois valeurs :
l’indice n de la première fonction f n dont le maximum sur l’intervalle [0, 1] est supérieur à M , puis
l’abscisse et l’ordonnée du premier maximum de f n .
Tester cette fonction PlusGrand avec M = 2, puis M = 10 (et avec N = 100).
6. Écrire les instructions permettant de trouver la plus petite valeur de n vérifiant les deux conditions :
• sup f n (x) Ê 20 ;
x∈[0,1]
• ∀x ∈ [0.1, 1],
f n (x) É 10−8 .
Essayer avec plusieurs valeurs de N et expliquer les résultats obtenus.
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Indications
1. arithmétique
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Pas de librairie nécessaire
Commandes à utiliser : // (quotient de la division euclidienne) et % (reste de la division euclidienne).
On peut extraire les chiffres du nombre n avec l’algorithme de pseudo-code :
tant que n6= 0
c=n%10
n=n%10
Pour la question 5. : str transforme un objet (par exemple un nombre) en chaîne, et int transforme
un objet (par exemple une chaîne) en entier.
2. encore de l’arithmétique
librairie utilisée : math
retour à l’exercice
Pour la question 3., on peut calculer la somme
n
X
a(k)de deux manières :
k=0
∗ par une boucle :
s=0
pour k de 0 à n
s=s+a(k)
∗ avec une liste définie par compréhension :
sum([a(k) for k in range(n+1)])
3. un graphe et des matrices librairie utilisée : numpy et matplotlib.pyplot
3.1 On pourra créer deux listes : une liste paires de paires [a,b], si a et b sont deux sommets contigus, et une liste distances telle que distance[k] contient la distance entre les deux sommets
de paires[k]. Ces deux listes ont la même longueur (7).
Ceci, en utilisant un test de syntaxe if e in paires, permet d’écrire une fonction dist qui à
(i , j ) ∈ [[0, 4]]2 associe la distance de i à j dans tous les cas.
Enfin, la matrice peut être construite à l’aide d’une liste par compréhension.
3.5 On peut alors utiliser la fonction dist pour déterminer la distance de chacun des couples
[L[k],L[k+1]], en détectant la présence d’un nombre négatif, à l’aide d’une boucle for ou
d’une boucle while (laquelle est préférable ?)
4. listes et boucles
retour à l’exercice
Pas de librairie nécessaire
4.1 Pour l’écriture de nombreZeros, on pourra utiliser le pseudo-code
si t[i]=0
renvoyer 0
sinon
k=i+1, nz=0
tant que k<longueur(t) et t[k]=0
k=k+1, nz=nz+1
renvoyer nz
après avoir vérifié que l’on ne déborde pas du tableau. . .
4.2 Que suggère le nom nombreZerosmax(t) ?
4.3 Estimer d’abord le nombre d’opérations (test) pour nombreZeros(n).
4.4 Une idée : parcourir la liste en sautant de i à chaque fois que t[k] est suivi de i zéros, et en
déterminant la valeur maximale de i au fur et à mesure.
5. codage
retour à l’exercice
Pas de librairie nécessaire
5.1 On peut utiliser (ou non) les commandes chr et ord.
5.2 On peut utiliser la fonction n 7→ (n + 3)%26 pour décaler les indices en restant dans l’intervalle
[[0, 25]].
5.3 Passer en revue les caractères de phrase à l’aide de la commande for l in phrase.
5.4 Utiliser indices, et ne pas oublier de tester si chaque caractère appartient à alphabet.
5.5 Quel est l’effet de codage(-n,phrase) ?
6. fonctions et courbes
retour à l’exercice
librairies utilisées : maths, numpy, matplotlib.pyplot
6.1 Utiliser numpy.arange pour créer la liste des abscisses.
6.4 Deux possibilités : boucle for (éventuellement avec un break), ou boucle while (plus propre).
7. ensemble de M ANDELBROT
retour à l’exercice
librairies utilisées : numpy et matplotlib.pyplot
Presque tout est détaillé. Le choix des paramètres dans le 4. relève du « bon sens »( ?).
8. lecture de fichier et intégration numérique
retour à l’exercice
librairies utilisées : scipy.integrate (on utilise seulement trapz) et matplotlib.pyplot, éventuellement os.
8.1 Lecture du fichier texte présent dans un répertoire : on utilise la fonction open, de syntaxe :
fidata=open(chemin+fichier ,’r’)
’r’ (pour read) correspond à une lecture sans écriture (’w’).
Un petit obstacle : if faut indiquer le nom du fichier précédé de son chemin, qui dépend du
système d’exploitation et de la configuration. Le module os peut nous aider, en particulier les
fonctions os.getcwd(), qui renvoie le répertoire courant, ou os.chrdir(chemin), qui change
le répertoire courant, exprimé avec une syntaxe UNIX : "/home/fred/python/examples/" par
exemple.
On peut ensuite lire le fichier ligne à ligne :
>>>lidata=[]
>>>for line in fidata:
>>>
lidata.append(line)
>>>fidata.close()
# fermer le fichier après utilisation
8.2 Utiliser la commande scatter du module matplotlib.pyplot.
9. algèbre linéaire
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librairies utilisées : numpy et numpy.linalg (on utilise seulement eig)
9.1 numpy.array transforme des listes en vecteurs et des listes de listes en matrices ; si M est un
vecteur ou une matrice ainsi formés, M.shape renvoie son format sous la forme (n, ) ou (l , c).
9.2 Écrire une fonction fsplit telle que fsplit("abc;def;uio") renvoie la liste ["abc", "d e f ", "ui o"].
On peut ensuite transformer une chaîne de caractère en décimal avec la fonction float.
9.3 Pour la lecture de fichier, utiliser les indications de l’exercice précédent.
9.4 Usage de la fonction eig du module numpy.linalg : eig(M1) renvoie le tuple (vp,P), où vp est
le vecteur formé des valeurs propres de M1, et P la transposée de la matrice de passage associée.
9.5 Parcourir la liste L et évaluer (e>=a) and (e<=b) pour chacun de ses éléments e.
10. tri de listes d’entiers
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librairie utilisée : numpy.random
10.1 On peut soit passer en revue tous les entiers de 0 à N − 1 pour compter leurs occurrences dans L,
soit passer en revue les éléments de L pour modifier la liste P .
10.2 La liste triée contient dans l’ordre les entiers k tels que P [k] > 0.
numpy.randint(n) renvoie un entier aléatoire dans l’intervalle [[0, n − 1]].
11. extremums de fonctions
retour à l’exercice
librairies utilisées : numpy, math, et matplotlib.pyplot.
11.1 Calcul de maximum en parcourant les valeurs de la liste. Il peut être intéressant de les parcourir par indices décroissants pour finir par les « premières » valeurs et trouver ainsi le plus petit
maximum.
11.2 Utiliser numpy.linspace pour créer l’échantillonnage.
11.4 Entre les commandes figure() et show(), parcourir la liste L avec la commande for k in L.
On rappelle que lambda x : f(x) permet de définir la fonction x 7→ f (x).
11.5 Utiliser une boucle while avec un test d’arrêt supplémentaire lorsque n dépasse une valeur fixée
(100 convient).
11.6 Refaire un échantillonnage équiréparti sur [0.1, 1]. On pourra utiliser une boucle while avec une
condition d’arrêt complexe.