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Devoir Maison
Exercice 1
Deux chaînes de télévision A et B programment chaque semaine, à la même heure, deux émissions
concurrentes. On suppose que le nombre global de téléspectateurs de ces émissions reste constant.
Une étude statistique montre que :
Tous les spectateurs qui ont regardé la chaîne A une semaine, regardent toujours la chaîne A la
semaine suivante.
50 % des spectateurs qui ont regardé la chaîne B une semaine, regardent la chaîne >A la semaine
suivante.
1) Dessiner le graphe probabiliste associé à cette situation puis déterminer sa matrice de transition.
2) Pourquoi ne peut on pas appliquer la dernière propriété du cours pour déterminer l'existence d'un état stable ?
3) Pour tout entier n, on note Pn=( x n y n ) la matrice traduisant l'état probabiliste au bout de n semaines. On a donc
P0=( x 0 y 0) .
Exprimer y n+1 en fonction de y n puis y n en fonction de n. Déterminer la limite de la suite ( y n ) et en déduire la limite de la
suite ( x n ) .
Interpréter ces deux limites.
Exercice 2
( 01 10)
Soit M =
la matrice de transition associée à un graphe probabiliste dont l'état initial est P0=( x 0
y0 ) .
1) Dire pourquoi la matrice M est bien une matrice de transition associée à un graphe probabiliste.
2) Donner les états probabilistes P1 , P2 et P3 . Que peut on conjecturer ?
4) On suppose qu'un état stable P=( x y ) existe. Résoudre alors le système vérifié par x et y.
3) Justifier que si P0=(0,5 0,5) il existe un état stable.
Donner alors cet état stable P.
4) Justifier que dans tous les autres cas il ne peut y avoir d'état stable.
Dans cette configuration, on parlera selon les cas d'état stable initial et homogène ou de processus « clignotant ».
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M.Reiss­Barde Lycée J.Mermoz www.docsmaths.jimdo.com
TES2 2014­2015