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Clase de C´alculo / 04 - 2015
Salom´
on Alarc´
on Araneda
Universidad T´
ecnica Federico Santa Mar´ıa, Valpara´ıso, Chile
Sistemas de ecuaciones de primer grado con dos inc´
ognitas
Un sistema de dos ecuaciones lineales con dos inc´
ognitas es un arreglo como el
siguiente:
Ax + By = C
Dx + Ey = F
donde A, B, C y D son coeficientes reales, y C y F son n´
umeros reales fijos.
Si las ecuaciones del sistema representan dos rectas no paralelas en un
plano, entonces ellas se intersecan en un u
´nico punto, y as´ı el sistema
tiene soluci´
on u
´nica. La soluci´
on del sistema es precisamente el punto
(par ordenado) donde ambas rectas se intersecan. En t´erminos de los
coeficientes involucrados en las ecuaciones del sistema, esta situaci´
on se
da cuando las pendientes de las rectas son diferentes; es decir, cuando se
verifica que
D
A
− 6= − ,
B
E
o bien
A · E 6= B · D.
Si las ecuaciones del sistema representan rectas paralelas diferentes, el
sistema NO tiene soluci´
on. Las rectas no se intersecan por lo cual el
conjunto soluci´
on del sistema es vac´ıo. Este es el caso cuando las rectas
tienen la misma pendiente, pero ellas son diferentes entre s´ı; es decir,
cuando se verifica
A
D
B
E
D
A
o
,
y
6=
6=
− =−
B
E
C
F
C
F
o bien
A·E =B ·D
y
B · F 6= C · E
(o A · F 6= C · D) .
Si las ecuaciones del sistema representan a la misma recta en el plano, el
sistema tiene infinitas soluciones. Las soluciones del sistema
corresponden a todos los puntos que componen la recta. Este es el caso
cuando una recta es un m´
ultiplo de la otra; es decir, cuando se verifica
Ax + By − C = k · (Dx + Ey − F )
para alguna constante k 6= 0 independiente de x e y , o bien
A
B
C
=
= .
D
E
F
Ejercicios Propuestos
1
2
3
4
5
6
¿Cu´
al es el valor de x + y si se sabe que x e y resuelven el sistema
5x + 4y = 2 ?
−3x + 2y = 4
¿Qu´e condici´
on debe cumplir n para que el sistema
3x − 2y = 5 tenga soluci´
on u
´nica?
4y − nx = −10
¿Qu´e condici´
on debe cumplir k para que el sistema
x − 3y = 6 tenga infinitas soluciones?
kx + y = −2
Para que el par ordenado (−1, −2) sea la soluci´
on del sistema
rx + sy = −1 ¿cu´
ales deben ser los valores de r y s
2sx − 3y = 8
respectivamente?
1
2
y
Si
+
= 5 , entonces ¿Cu´
al es el valor de
?
x
y
x
2
3
−
=3
x
y
Si
2x − 4 · 3y = −11 , entonces ¿Cu´
al es el valor de x?
x+1
3·2
+ 2 · 3y +1 = 24
Axioma de completitud de los n´
umeros reales
Partimos esta subsecci´
on entregando algunas definiciones b´
asicas.
Definici´
on
Sea S ⊂ R y sea M ∈ R. Si para cada x ∈ S se verifica que x ≤ M, entonces
decimos que M es una cota superior de S.
Definici´
on
Un conjunto S ⊂ R se dice que es acotado superiormente si posee una cota
superior, es decir:
S es acotado superiormente ⇔ (∃M ∈ R) tal que (x ≤ M)(∀x ∈ S).
Definici´
on
Sea S ⊂ R. Si existe un elemento b ∈ S tal que x ≤ b para todo elemento
x ∈ S, entonces decimos que b es el m´
aximo de S, usualmente denotado por
m´
ax(S).
Ejemplo
Considere los conjuntos A =]1, +∞[, B =] − ∞, 1] y C = [−2, 7[. Determine, si
es posible, el conjunto se las cotas superiores y el m´
aximo de cada conjunto.
Soluci´
on.
El conjunto A no posee cotas superiores. El conjunto A no posee m´
aximo.
El conjunto de las cotas superiores de B es [1, +∞[. El m´
aximo de B es
m´
ax(B) = 1.
El conjunto de las cotas superiores de C es [7, +∞[. El conjunto C no
posee m´
aximo. Definici´
on
Sea S ⊂ R y sea m ∈ R. Si para cada x ∈ S se verifica que m ≤ x, entonces
decimos que m es una cota inferior de S.
Definici´
on
Un conjunto S ⊂ R se dice que es acotado inferiormente si tiene una cota
inferior, es decir:
S es acotado inferiormente ⇔ (∃m ∈ R) tal que (m ≤ x)(∀x ∈ S).
Definici´
on
Sea S ⊂ R. Si existe un elemento a ∈ S tal que a ≤ x para todo elemento
x ∈ S, entonces decimos que a es el m´ınimo de S, usualmente denotado por
m´ın(S).
Ejemplo
Considere los conjuntos A =]1, +∞[, B =] − ∞, 1] y C = [−2, 7[. Determine,
si es posible, el conjunto se las cotas inferiores y el m´ınimo de cada conjunto.
Soluci´
on.
El conjunto de las cotas inferiores de A es ] − ∞, 1]. El conjunto A no
posee m´ınimo.
El conjunto B no posee cotas inferiores. El conjunto A no posee m´ınimo.
El conjunto de las cotas inferiores de C es ] − ∞, −2]. El m´ınimo de C es
m´ın(C ) = −2. Definici´
on
Decimos que S ⊂ R es acotado si lo es superiormente e inferiormente a la vez.
Definici´
on
Sea S un conjunto acotado superiormente, llamamos supremo de S a la menor
de las cotas superiores de S. Usualmente el supremo de S se denota por sup(S).
Definici´
on
Sea S un conjunto acotado inferiormente, llamamos ´ınfimo de S a la mayor de
las cotas inferiores de S. Usualmente el ´ınfimo de S se denota por ´ınf(S).
Ejemplo
Considere los conjuntos A =]1, +∞[, B =] − ∞, 1] y C = [−2, 7[. Determine,
si es posible, el supremo y el ´ınfimo de cada conjunto. Se˜
nale adem´
as si estos
conjuntos son acotados.
Soluci´
on.
El conjunto A es acotado inferiormente, por lo que posee ´ınfimo, a saber
´ınf(A) = 1. El conjunto A no es acotado superiormente, por lo que no
posee supremo. El conjunto A no es acotado, pues no es acotado
superiormente.
El conjunto B no es acotado inferiormente, por lo que no posee ´ınfimo. El
conjunto B es acotado superiormente, por lo que posee supremo, a saber
sup(B) = 1. El conjunto B no es acotado, pues no es acotado
inferiormente.
El conjunto C es acotado inferiormente, por lo que posee ´ınfimo, a saber
´ınf(C ) = −2. El conjunto C es acotado superiormente, por lo que posee
supremo, a saber sup(C ) = 7. El conjunto C es acotado. Axioma del supremo
Sea S un subconjunto no vac´ıo de R que es acotado superiormente. Entonces
S posee supremo.
Axioma del ´ınfimo
Sea S un subconjunto no vac´ıo de R que es acotado inferiormente. Entonces S
posee ´ınfimo.
Observaci´
on
No todo conjunto no vac´ıo de R y acotado superiormente posee m´
aximo.
No todo conjunto no vac´ıo de R y acotado inferiormente posee m´ınimo.
Todo conjunto no vac´ıo de R que posee m´
aximo, contiene a su m´
aximo.
Todo conjunto no vac´ıo de R que posee m´ınimo, contiene a su m´ınimo.
No todo conjunto no vac´ıo de R que posee supremo, contiene a su
supremo.
No todo conjunto no vac´ıo de R que posee ´ınfimo, contiene a su ´ınfimo.
Propiedad caracter´ıstica del supremo
Si b = sup(S), entonces se debe cumplir:
i) (s ≤ b)(∀s ∈ S)
ii) (∀ε > 0)(∃s 0 ∈ S) tal que (s 0 > b − ε).
Propiedad caracter´ıstica del ´ınfimo
Si a = ´ınf(S), entonces se debe cumplir:
i) (s ≥ a)(∀s ∈ S)
ii) (∀ε > 0)(∃s 0 ∈ S) tal que (s 0 < a + ε).
Ejemplo
n
o
x +3
Sea S = x ∈ R :
<0
x +2
a) Prueba que S es un conjunto acotado
b) Demuestra que ´ınf(S) = −3
Soluci´
on.
a)
x +3
< 0 ∧ x 6= −2 ⇔ (x + 3) > 0 ∧ (x + 2) < 0 ∨ (x + 3) < 0 ∧ (x + 2) > 0
x +2
⇔ (x > −3 ∧ x < −2) ∨ (x < −3 ∧ x > −2)
⇔ −3 < x < −2
El conjunto de las cotas inferiores de S es ] − ∞, −3]. Por lo tanto S es
acotado inferiormente. Por otro lado, el conjunto de las cotas superiores
de S es [−2, +∞[. Por lo tanto S, es acotado superiormente. De esta
forma, S es un conjunto acotado.
continuaci´
on ejemplo...
b) Debemos demostrar que a = −3 es el ´ınfimo de S =] − 3, −2[. Es decir,
debemos demostrar que:
(∀ε > 0)(∃s 0 ∈ S) tal que (s 0 < −3 + ε).
En efecto, sea ε > 0 dado.
I Si ε ≥ −2 − (−3) = 1, entonces es claro que existe s 0 = −
que s 0 < −3 + ε.
I Si 0 < ε < 1, entonces es claro que existe −3 < s 0 = −3 +
que s 0 < −3 + ε.
5
∈ S tal
2
ε
∈ S tal
2
Tres resultados relacionados
Teorema: Principio de Arqu´ımides, primera versi´
on
El conjunto de los n´
umeros naturales no es acotado superiormente.
Teorema: Principio de Arqu´ımides, segunda versi´
on
Si x, y ∈ R, con y > 0, entonces
∃n ∈ N tal que ny > x.
Corolario
El conjunto de los n´
umeros reales es arquimideano. Es decir,
1
(∀r ∈ R+ )(∃n ∈ N) tal que
<r .
n
Densidad de Q en R
Definici´
on
Sea A ⊂ N, A 6= ∅. Decimos que n0 es el primer elemento de A si verifica las
siguientes dos condiciones:
i) n0 ∈ A,
ii) n0 ≤ n,
∀n ∈ A.
Principio del buen orden
Si A es un subconjunto no vac´ıo de N, entonces A contiene un elemento que es
el menor de todos.
Densidad de Q en R
Q es denso en R. Es decir,
(∀x, y ∈ R) tal que (x < y ) (∃r ∈ Q) tal que (x < r < y ) .
Observaci´
on
1
El teorema anterior se˜
nala que dado un n´
umero real cualquiera, siempre
podemos encontrar un n´
umero racional que est´e tan cerca del n´
umero real
dado como lo deseemos.
2
Otra lectura del teorema previo es que siempre podemos encontrar un
n´
umero racional entre dos n´
umeros reales dados.
Fin de la cuarta clase