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Clase de C´alculo / 03 - 2015
Salom´
on Alarc´
on Araneda
Universidad T´
ecnica Federico Santa Mar´ıa, Valpara´ıso, Chile
Inecuaciones de primer grado
Definici´
on
Una inecuaci´
on de primer grado con una inc´
ognita es una inecuaci´
on de la
forma:
ax + b ≤ 0
∨
ax + b < 0
∨
ax + b > 0
∨
ax + b ≥ 0
donde a y b son n´
umeros reales, a 6= 0, y x es la inc´
ognita. Una ra´ız o soluci´
on
de una inecuaci´
on corresponde a un valor de la inc´
ognita que permite verificar
la desigualdad. La reuni´
on de las soluciones de una inecuaci´
on corresponde a su
conjunto soluci´
on.
Ejemplo
Resuelve la inecuaci´
on: 5x + 1 > 3x − 3.
Soluci´
on.
5x + 1 > 3x − 3 ⇒ 5x + 1 − (3x − 3) > 0
⇒ 5x + 1 − 3x + 3 > 0
⇒ 2x + 4 > 0
⇒ 2x > −4
⇒ x > −2.
Representaci´
on gr´
afica del conjunto soluci´
on de la inecuaci´
on 5x + 1 > 3x − 3.
Inecuaciones de primer grado con valor absoluto
Sean a, b, c, d ∈ R, con a 6= 0. Consideremos la siguiente inecuaci´
on con valor
absoluto:
|ax + b| ≤ cx + d
Si a 6= 0, las soluciones de la inecuaci´
on |ax + b| ≤ cx + d corresponden a
las soluciones obtenidas al resolver:
−cx − d ≤ ax + b ≤ cx + d
∧
cx ≥ −d,
que corresponde a la intersecci´
on entre las soluciones de las inecuaciones:
−cx − d ≤ ax + b
∧
ax + b ≤ cx + d
∧
cx ≥ −d.
Si a 6= 0, las soluciones de la inecuaci´
on |ax + b| ≤ d corresponden a las
soluciones obtenidas al resolver la inecuaci´
on:
−d ≤ ax + b ≤ d
∧
d ≥ 0,
que corresponde a la intersecci´
on entre las soluciones de las inecuaciones:
−d ≤ ax + b
∧
ax + b ≤ d
∧
d ≥ 0.
Ejemplo
Resuelve la inecuaci´
on: |2x − 3| < 5.
Soluci´
on.
−5 < 2x − 3 < 5 ⇔ −2 < 2x < 8
⇔ −1 < x < 4.
Por lo tanto, el conjunto soluci´
on de la inecuaci´
on es
S =] − 1, 4[.
Ejemplo
Resuelve la inecuaci´
on: |3x + 5| ≥ 2 − 6x.
Soluci´
on. Lo haremos de forma indirecta. Resolvemos la inecuaci´
on con
desigualdad complementaria; es decir, resolvemos |3x + 5| < 2 − 6x.
Tenemos:
−2+6x < 3x+5 < 2−6x ∧ 2−6x ≥ 0 ⇔ (−2 + 6x < 3x + 5 ∧ 3x + 5 < 2 − 6x ∧ 6x ≤ 2)
⇔ 3x < 7 ∧ 9x < −3 ∧ x ≤ 26
⇔ x < 73 ∧ x < − 13 ∧ x ≤ 31
⇔ x < − 13 .
Luego,
soluci´
on de la inecuaci´
on |3x + 5| < 2 − 6x es
el conjunto
S ∗ = −∞, − 31 .
Por lo tanto, el conjunto soluci´
on de la inecuaci´
on |3x
+ 5| > 6 es el
complemento de S ∗ en R. Es decir, S = − 13 , +∞ . Ejercicios Propuestos
1
Resuelve las siguientes inecuaciones:
a) |7x − 3| < 6
b) |4x + 5| ≤ 8
d) |16 − 5x| ≥ 3
2
e) |2x − 4| < 4x + 3
Si y = 3x + 5, prueba que |x − 1| <
c) |3x − 4| > 34
f) |x − 5| ≥ 1 − x.
1
3
⇒ |y − 8| <
.
10
10
Resoluci´
on de inecuaciones mediante construcci´
on de tablas de signos
Se reduce una inecuaci´
on cualquiera a otra cuyo lado derecho de la
desigualdad es cero, y cuyo lado izquierdo es una expresi´
on algebraica
expresada s´
olo en factores de primer grado y/o de segundo grado
irreductible.
Se determinan los valores para los cuales los factores son iguales a 0,
llamados valores cr´ıticos.
Se estudian los signos de la inecuaci´
on en cada uno de los intervalos
determinados por los valores cr´ıticos, obteniendo el signo de la expresi´
on
algebraica completa al efectuar el producto de los signos en los intervalos
correspondientes.
Ejemplo
x +5
≤ 0.
x(x + 1)
Soluci´
on. En primer lugar determinamos los valores cr´ıticos:
Determine el conjunto soluci´
on de la inecuaci´
on
x + 5 = 0 ⇔ x = −5 ∧ x + 1 = 0 ⇔ x = −1 ∧ x = 0.
Ahora construimos nuestra tabla de signos:
x
x +5
x +1
x +5
−∞ < x < −5
−
−
−
x = −5
−
0
−
−5 < x < −1
−
+
−
x = −1
−
+
0
−1 < x < 0
−
+
+
x = 0
0
+
+
0 < x < ∞
+
+
+
−
0
+
6 ∃
−
6 ∃
+
x(x + 1)
Finalmente, observando la u
´ltima l´ınea de nuestra tabla y los intervalos
x +5
correspondientes donde se verifica que
≤ 0, concluimos que el
x(x + 1)
conjunto soluci´
on es:
S =] − ∞, −5] ∪ ] − 1, 0[.
Ejemplo
Encuentre el conjunto soluci´
on de: |x 2 − 5x + 5| < 1.
Soluci´
on. Desde la definici´
on de valor absoluto, debemos estudiar dos casos e
intersecar sus soluciones
(1◦ ) Si x 2 − 5x + 5 ≥ 0, entonces se resuelve la inecuaci´
on:
x 2 − 5x + 5 < 1.
Ordenando y factorizando obtenemos la inecuaci´
on equivalente:
(x − 4)(x − 1) < 0.
Aqu´ı los puntos cr´ıticos son: x = 4 y x = 1, y construimos la tabla de
signos:
x −1
x −4
(x − 4)(x − 1)
−∞ < x < 1
−
−
+
x =1
0
−
0
1<x <4
+
−
−
x =4
+
0
0
4 < x < +∞
+
+
+
Observando la u
´ltima l´ınea de nuestra tabla y los intervalos
correspondientes donde se verifica que (x − 4)(x − 1) < 0, concluimos que
el conjunto soluci´
on en este caso es:
S1 =]1, 4[.
continuaci´
on ejemplo
(2◦ ) Si x 2 − 5x + 5 < 0, entonces se resuelve la inecuaci´
on:
x 2 − 5x + 5 > −1.
Ordenando y factorizando obtenemos la inecuaci´
on equivalente:
(x − 3)(x − 2) > 0.
Los puntos cr´ıticos son: x = 3 y x = 2, y construimos la tabla de signos:
x −3
x −2
(x − 3)(x − 2)
−∞ < x < 2
−
−
+
x =2
−
0
0
2<x <3
−
+
−
x =3
0
+
0
3 < x < +∞
+
+
+
Observando la u
´ltima l´ınea de nuestra tabla y los intervalos
correspondientes donde se verifica que (x − 3)(x − 2) > 0, concluimos que
el conjunto soluci´
on en este caso es:
S2 =] − ∞, 2[ ∪ ]3, +∞[.
Finalmente, el conjunto soluci´
on de la inecuaci´
on |x 2 − 5x + 5| < 1 es:
S = S1 ∩ S2 =]1, 4[ ∩ ] − ∞, 2[ ∪ ]3, +∞[ =]1, 2[ ∪ ]3, 4[. Ejercicios Propuestos
Resuelva las siguientes inecuaciones:
|x − 1|
a)
<2
|x + 1|
(x 2 + x + 1)(x − 3)
≥0
|x − 5|
√
x − 2 (x 2 − 1)
c)
≥0
x 2 − 3x + 2
b)
d)
(x − 3)(x − 1)
< 0.
|x + 1|(x 2 + 9)
Fin de la tercera clase