Universidad de La Frontera
Facultad de Ingenier´ıa y Ciencias
Departamento de Matem´
atica y Estad´ıstica
GUIA DE EJERCICIOS (IME050)
CALCULO UNA VARIABLE
1. Analice si las siguientes sucesiones son acotadas (superior e inferiormente) y en cada caso estudie si son crecientes o decrecientes.
a)
an =
n
n+3
n∈N
b) {an = sen(n!)}n∈N
1
c)
an = 1 −
n n∈N
n
d)
an = 2
n + 1 n∈N
1
1
1
1
e)
an = + 2 + 3 + . . . . . . + n
5 5
5
5 n∈N
1
1
1
1
f)
an = + + + . . . . . . +
2! 3! 4!
n! n∈N
(−1)n
g)
an =
n
n∈N
2. Calcule el l´ımite de la sucesi´on {an }n∈N , cuando exista, si no justifique
por qu´e la sucesi´on es divergente:
a) {an = n(n + 1)}n∈N
n+2
b) an =
3n − 2 n∈N
3
c) an = 2
n n∈N
d)
an =
√
√ n + 2 − n n∈N
e) {an = n2−n }n∈N
1
1
1
1
f ) an = + 2 + 3 + . . . . . . + n
5 5
5
5 n∈N
1
2
3
n
g) an = 2 + 2 + 2 + . . . . . . + 2
n
n
n
n n∈N
2n4 + 3n2 + 1
h) an = 4
5n − n3 − n − 1 n∈N
1 + 3 + 5 + ··· + n
i ) an =
n2
n∈N
n
o
√
√
n
j ) an = n 2 − 2 n p
, p = cte
n∈N
o
n
p
k ) an = n 0,0007
n∈N
n4
n3
l ) an = 3
−
n + 1 n2 + n n∈N
1 + (−1)n
m) an =
n
n∈N
n
3
n) an = n
4 n∈N
1
n
˜) an = 5 − n
2 n∈N
n
o
√
√
3
3
o) an = n + 1 − n
n∈N
(
)
r
√
√ 1
p) an =
n+1− n
n+
2
n∈N
n+1
n+1
2
+3
q) an =
n
2 + 3n
n∈N
3. Encuentre el t´ermino general de la sucesi´on dada y decida si es convergente. Calcule su l´ımite cuando exista y en el caso de ser divergente,
justifique.
2
4
6
a) a1 = , a2 = , a3 = , . . . . . .
1
3
5
b) a1 =
4
9
16
1
, a2 =
, a3 =
, a4 =
,......
1+1
4+1
9+1
16 + 1
c) a1 = 0, 3, a2 = 0, 33, a3 = 0, 333, a4 = 0, 3333 . . . . . .
d) a1 = 1, a2 = 1 + 2, a3 = 1 + 2 + 3, a4 = 1 + 2 + 3 + 4, . . . . . .
e) a1 = 12 , a2 = 12 + 22 , a3 = 12 + 22 + 32 , a4 = 12 + 22 + 32 + 42 , . . . . . .
4. Sea {an }n∈N una sucesi´on definida como:
a1 = 1 , an+1 =
1
, ∀n ≥ 1
1 + an
Suponiendo que l´ım an existe, calcule su valor.
n→∞
5. Sea {an }n∈N una sucesi´on definida como:
√
a1 = 1 , an+1 = 3an , ∀n ≥ 1
Demuestre que la sucesi´on es creciente.
Demuestre que es acotada superiormente por 3 (use inducci´on.)
6. Considere la sucesi´on {an }n∈N definida por:
1
a1 = −4 y an = an−1 + 4, ∀ n ≥ 2
2
Demuestre que es acotada superiormente por 8 y que es creciente. Calcule l´ım an .
n→∞
√
3
n cos(n)
. Analice la convergencia.
7. Considere la sucesi´on an =
n+4
n∈N
n sen(n!)
8. Decida si la sucesi´on an =
es o no convergente.
n2 + 1 n∈N
9. sea an = n sen( n1 ) n∈N , ¿ existe l´ım an ?.
n→∞
10. Dadas las sucesiones: {an }n∈N y {bn }n∈N definidas por:
1
1
1
1
an = 2
+
+
+ ··· + 2
n + 1 n2 + 2 n2 + 3
n + n n∈N
1
1
1
1
bn = √
+√
+√
+ ··· + √
n2 + 1
n2 + 2
n2 + 3
n2 + n n∈N
a) Escriba los 5 primeros t´erminos de {an }n∈N
b) Calcule l´ım an y l´ım bn
n→∞
n→∞
y
{bn }n∈N