UNIVERS IDAD PO PULAR DEL CES AR DEPART AMENTO DE MATEMÁTI CAS Y ESTADÍSTICA INGENIERÍA E LECTRÓNI CA Y DE SISTEMAS ANÁLIS IS NUMÉRICO TALLER Solu ción numérica de ecuacion es algeb raicas en una variab le E. En cada ejer cicio: E 1 . Present e un est udio previo p ara det er minar un int er valo donde se encuent re la so lució n deseada. Ut ilice Mat lab par a visualizar gráficament e el co mport amient o de la funció n que define a la ecuació n dada. E 2 . Aplique manualment e el mét odo de bisección y el de Newton Raph son, para det er minar una aproximac ió n de la so lució n requer ida, con una toleranc ia de 10 -2 . 1. 2. 3. 4. 5. x-2 - x = 0; única raíz. e -x - x 2 + 3x – 2 = 0; raíz posit iva más pequeña . 2xcos(2x) –(x+1) 2 = 0; raíz negat iva más cercana a cero . (x-2) 2 - lnx = 0; raíz más pequeña. sen( x) – e - x = 0; raíz más pequeña. P. Para cada uno de lo s pro blemas que siguen: P1: Haga un est udio previo que le per mit a aplicar el mét odo pert inent e (Gráficas en Mat lab, análisis de la(s) condició n( es) de convergencia, elecció n del int er valo o aproximació n inicial según sea el caso, et c.). P2: Present e plant eamient os inicia les ( Adecuació n de ecuacio nes, var iables y parámet ros). P3: Ejecut e el guió n o programa del mét odo de bisección en lo s problemas de nu meració n impar y el de Newton Raph son en lo s de numeración par, para reso lver lo s los proble mas con una toleranc ia de 10 -7 . 1. Un recipient e de lo ngit ud L=10 pies t iene una secció n t ransver sal en for ma de semicír culo con r adio r=1 pie ( ver ilust ració n). Cuando se llena con agua hast a una dist ancia h desde la part e super ior, el vo lumen del agua es: V=L[0.5r 2 -r 2 arcsen( h/r)- h r 2 h 2 ] E l vo lumen de agua fue medido y es igual a 12,4 pies 3 . Se desea co nocer la profundidad del agua en el recipient e. 2. Una part ícula part e del reposo en un plano inclinado liso, cuyo ángulo va d aument ando a una razón de w . Al final de t segundos, la posició n est á dada por: dt Al t ranscurr ir 1 seg, la part ícu la se ha movido 1.7 pies. Se desea enco nt rar la razón w a la cual var ía . Tome g=-32.17 pies/ s 2 . 3. Sobre un o bjet o que cae vert icalment e en e l air e se ejer ce una resist encia por visc o sidad así co mo el efect o de la gravedad. Suponga que un objet o con masa m se deja caer desde una alt ura S 0 y que la alt ura de l objet o a los t segundos es: kt mg m2 g S(t ) = S 0 + t 2 (1 e m ) k k Donde g=-32.17 pies/ s 2 y k represent a el coefic ient e de resist encia del aire en lbs/pie. Suponga S 0 = 300 pies m=0.25 lb y k= 0.1 lb s/ pie. Se desea conocer el t iempo que t arda ese objet o en llegar al suelo. g e wt e wt x(t ) ( senwt ) 2 w2 2 4. La ecuació n 1.564000=1.000.000e + 435.000 (e 1) Es la plant eada en e l eje mplo mot ivacio nal sobre el cre cimient o de grandes poblacio nes. Se desea conocer la t asa de nat alidad . 5. Los problemas r elacio nados con la cant idad de dinero para pagar una hipot eca en un per iodo fijo invo lucr an la fór mu la: A P 1 (1 i) n i Conocida co mo la ecuació n de anualidades ordinar ia. En e lla A es el mo nt o de la hipot eca, P es el mo nt o de cada pago, e i es la t asa de int erés por per iodos para los n per iodo s de pago. Supóngase que se necesit a una hipot eca a 30 años para una casa, por un mont o de $150 .000.000 y que el deudor puede hacer pagos de a lo sumo $1.250.000 mensuales ¿Cuál es la t asa de int erés máxima que e l deudor puede pagar? 6. Es un document o t it ulad “H o ldup and axia l mixing in bubble co lu mns co nt ining screen C ylinder s” el aut or (B.H. Che n) calcula el gas at rapado en una co lumna de bur bu jas de gas líquido, aproximando pr imero la cant idad: M S senS 2 2 n 2 n e n 1 S n M 2 M S 2n M 2 t . 2M (1) Donde t y M son parámet ros fís icos y las S n son los valor es más pequeños ( en magnit ud) que sat isfacen: S n t an(S n /2)=M, si n es impar y S n cot (S n /2)=-M: si n es par. A) Suponiendo que M=3.7 encent re S 1 , S 2 , S 3 , S 4 . B) Use lo s result ados del inciso A para aproximar la suma en la ecuació n (1) cuando =0. 7. En el anális is de co nt rol de sist emas, las funcio nes de t ransfer encia que se desarro llan mat emát ica ment e relacio nan la dinámica de la ent rada del sist ema con la salida. La funció n de t ransfer encia para un sist ema de posició n robót ica est á dada por: C ( s) s 3 9s 2 26s 24 4 G(s)= N ( s) s 15s 3 77 s 2 153s 90 Donde G(s)= ganancia del sist ema, c(s) salida del sist ema, N(s) ent rada del sist ema y s=frecuencia co mple ja de la t ransfor mada de Laplace. Use una t écnica numér ica (Mét odo de Bairst ow) para encont rar las raíces del numerador y del de no minador, de t al manera que se pueda fact orizar co mo : ( s a1 )( s a2 )( s a3 ) G(s)= ( s b1 )(s b2 )( s b3 )( s b4 ) 8. Considere el circuit o eléct r ico - La ecuació n diferencia l L d 2 q(t ) dq(t ) 1 R q0 2 dt C dt Es el modelo mat emát ico que descr ibe el co mport amient o de la var iac ió n de la car ga q(t ) almacenada en el capacit or descr it o , cuando se cierra el circuit o y se genera un proceso de ajust e hast a alcanzar un est ado est acio nar io. La so lució n de est a ecuació n e st á dada por: Rt 1 R ( ) 2 t q(t ) = q 0 e 2 L cos LC 2 L S i par a t =0 ( s e g u n d o s ) , q=q 0 =V 0 C ( c o u l o m b i o s ) , V 0 = vo lt aje de la bat er ía en vo lt ios. R= resist encia dada en ohmio s, L= induct ancia , dada en henr io s, C= capacit ancia dada en farad ios. 8.1 Se requiere det er minar la resist encia R apropiada para dis ipar la carga a 1% de su valor original (q/q 0 =0.01) en t = 0.05s, con L=5H y C=10 -4 F (ver Chapr a, cap ít ulo 8) 8.2 Det er mine el valor de L ( induct ancia) que se requiere en el c ir cuit o de manera que disipe el 1% del valor de la carga or igina l en t =0.05s, con R=280 Ω y C=10 -4 F. 9. Una corr ient e eléct r ica se descr ibe mediant e: I ( t ) =9e - t sen(2t ), t dado en segundos. Det er mine t odos los dos valores posit ivos de t , t ales que I(t )=3.5 amp er io s. 10. La r esist ividad de un silicó n revest ido depende de la carga q en un elect rón, la densidad del elect rón n y la mo vilidad del elect rón. La densidad de l elect rón est á dada en t ér mino s de la densidad de revest imient o N y la densidad port adora int r ínseca n i , la mo vilidad del e lect rón est á definida por la t emperat ura T, la t emperat ura de refer encia T 0 y la mo vilidad de referencia 0 . Las ecuacio nes necesar ias para calcular la resist ividad son: 1 1 T = Donde n= ( N N 2 4ni2 ) y = 0 ( ) 2.42 qn 2 T0 2 Det er mine N, dados T 0 =300K, T=1000K, 0 =1330cm /(Vs), q=1.6*1 0 -1 9 C ,n i =6.21x10 9 cm - 3 , y una resist ividad deseada =6*10 6 V s cm/ C. 11. Una carga t ot al Q se dist r ibuye en forma unif or me alrededor de un conduct or con for ma de anillo circular con radio a . Una carga q se localiza a una dist ancia x de l cent ro del anillo ( figura ad junt a) . La fuer za ejercida sobr e la carga por el anillo est á dada por: F= 1 qQx 2 4e0 ( x a 2 ) 3 / 2 Donde e 0 =8.85x10 -1 2 C 2 /(Nm 2 ). E ncuent re la dist ancia x do nde la fuerza es de 1 N si q y Q so n 2x10 -5 C para un anillo con un radio de 0.8m a X q Figu ra 2 Q 12. En la figura siguient e se muest ra un circuit o con un resist or, un induct or y un capacit or en parale lo. Las reglas de Kir cchho f sir ven para expresar la impedancia de l sist ema co mo: 1 1 1 2 ( wC ) 2 Z R wL Donde Z= impedancia ( ) w=la fr ecuencia angular. E ncent re w para que la impedancia resu lt ant e sea de 100 para los siguient es par ámet ros: R=225 , C= 0.6x10 - 6 F y L=0.5H.
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