UNIVERS IDAD PO PULAR DEL CES AR
DEPART AMENTO DE MATEMÁTI CAS Y ESTADÍSTICA
INGENIERÍA E LECTRÓNI CA Y DE SISTEMAS
ANÁLIS IS NUMÉRICO
TALLER
Solu ción numérica de ecuacion es algeb raicas en una variab le
E. En cada ejer cicio: E 1 . Present e un est udio previo p ara det er minar un int er valo
donde se encuent re la so lució n deseada. Ut ilice Mat lab par a visualizar gráficament e
el co mport amient o de la funció n que define a la ecuació n dada. E 2 . Aplique
manualment e el mét odo de bisección y el de Newton Raph son, para det er minar una
aproximac ió n de la so lució n requer ida, con una toleranc ia de 10 -2 .
1.
2.
3.
4.
5.
x-2 - x = 0; única raíz.
e -x - x 2 + 3x – 2 = 0; raíz posit iva más pequeña .
2xcos(2x) –(x+1) 2 = 0; raíz negat iva más cercana a cero .
(x-2) 2 - lnx = 0; raíz más pequeña.
sen( x) – e - x = 0; raíz más pequeña.
P. Para cada uno de lo s pro blemas que siguen: P1: Haga un est udio previo que le
per mit a aplicar el mét odo pert inent e (Gráficas en Mat lab, análisis de la(s)
condició n( es) de convergencia, elecció n del int er valo o aproximació n inicial según
sea el caso, et c.). P2: Present e plant eamient os inicia les ( Adecuació n de ecuacio nes,
var iables y parámet ros). P3: Ejecut e el guió n o programa del mét odo de bisección en
lo s problemas de nu meració n impar y el de Newton Raph son en lo s de numeración
par, para reso lver lo s los proble mas con una toleranc ia de 10 -7 .
1. Un recipient e de lo ngit ud L=10 pies t iene una secció n t ransver sal en for ma de
semicír culo con r adio r=1 pie ( ver ilust ració n). Cuando se llena con agua hast a una
dist ancia h desde la part e super ior, el vo lumen del agua es:
V=L[0.5r 2 -r 2 arcsen( h/r)- h r 2  h 2 ]
E l vo lumen de agua fue medido y es igual a 12,4 pies 3 . Se desea co nocer la
profundidad del agua en el recipient e.
2. Una part ícula part e del reposo en un plano inclinado liso, cuyo ángulo  va
d
aument ando a una razón de
 w . Al final de t segundos, la posició n est á dada por:
dt
Al t ranscurr ir 1 seg, la part ícu la se ha movido
1.7 pies. Se desea enco nt rar la razón w a la
cual var ía . Tome g=-32.17 pies/ s 2 .
3. Sobre un o bjet o que cae vert icalment e en e l
air e se ejer ce una resist encia por visc o sidad así co mo el efect o de la gravedad.
Suponga que un objet o con masa m se deja caer desde una alt ura S 0 y que la alt ura de l
objet o a los t segundos es:
kt

mg
m2 g
S(t ) = S 0 +
t  2 (1  e m )
k
k
Donde g=-32.17 pies/ s 2 y k represent a el coefic ient e de resist encia del aire en lbs/pie. Suponga S 0 = 300 pies m=0.25 lb y k= 0.1 lb s/ pie. Se desea conocer el t iempo
que t arda ese objet o en llegar al suelo.
g e wt  e  wt
x(t ) 
(
 senwt )
2 w2
2
4. La ecuació n
1.564000=1.000.000e  +
435.000
(e   1)

Es la plant eada en e l eje mplo mot ivacio nal sobre el cre cimient o de grandes
poblacio nes. Se desea conocer la t asa de nat alidad  .
5. Los problemas r elacio nados con la cant idad de dinero para pagar una hipot eca en
un per iodo fijo invo lucr an la fór mu la:
A

P
1  (1  i)  n
i

Conocida co mo la ecuació n de anualidades ordinar ia. En e lla A es el mo nt o de la
hipot eca, P es el mo nt o de cada pago, e i es la t asa de int erés por per iodos para los n
per iodo s de pago. Supóngase que se necesit a una hipot eca a 30 años para una casa,
por un mont o de $150 .000.000 y que el deudor puede hacer pagos de a lo sumo
$1.250.000 mensuales ¿Cuál es la t asa de int erés máxima que e l deudor puede pagar?
6. Es un document o t it ulad “H o ldup and axia l mixing in bubble co lu mns co nt ining
screen C ylinder s” el aut or (B.H. Che n) calcula el gas at rapado en una co lumna de
bur bu jas de gas líquido, aproximando pr imero la cant idad:


M 
S senS
2 2 n 2 n
e 
n 1 S n  M  2 M
S 2n M 2 t 
. 
2M
 
(1)
Donde t y M son parámet ros fís icos y las S n son los valor es más pequeños ( en
magnit ud) que sat isfacen:
S n t an(S n /2)=M, si n es impar y S n cot (S n /2)=-M: si n es par.
A) Suponiendo que M=3.7 encent re S 1 , S 2 , S 3 , S 4 .
B) Use lo s result ados del inciso A para aproximar la suma en la ecuació n (1)
cuando =0.
7. En el anális is de co nt rol de sist emas, las funcio nes de t ransfer encia que se
desarro llan mat emát ica ment e relacio nan la dinámica de la ent rada del sist ema con la
salida. La funció n de t ransfer encia para un sist ema de posició n robót ica est á dada
por:
C ( s)
s 3  9s 2  26s  24
 4
G(s)=
N ( s) s  15s 3  77 s 2  153s  90
Donde G(s)= ganancia del sist ema, c(s) salida del sist ema, N(s) ent rada del sist ema y
s=frecuencia co mple ja de la t ransfor mada de Laplace. Use una t écnica numér ica
(Mét odo de Bairst ow) para encont rar las raíces del numerador y del de no minador, de
t al manera que se pueda fact orizar co mo :
( s  a1 )( s  a2 )( s  a3 )
G(s)=
( s  b1 )(s  b2 )( s  b3 )( s  b4 )
8. Considere el circuit o eléct r ico
-
La ecuació n diferencia l
L
d 2 q(t )
dq(t ) 1
R
 q0
2
dt
C
dt
Es el modelo mat emát ico que descr ibe el co mport amient o de la var iac ió n de la car ga
q(t ) almacenada en el capacit or descr it o , cuando se cierra el circuit o y se genera un
proceso de ajust e hast a alcanzar un est ado est acio nar io.
La so lució n de est a ecuació n e st á dada por:
 Rt
 1
R 
 ( ) 2 t
q(t ) = q 0 e 2 L cos
 LC 2 L 
S i par a t =0 ( s e g u n d o s ) , q=q 0 =V 0 C ( c o u l o m b i o s ) , V 0 = vo lt aje de la bat er ía en vo lt ios. R=
resist encia dada en ohmio s, L= induct ancia , dada en henr io s, C= capacit ancia dada en
farad ios.
8.1 Se requiere det er minar la resist encia R apropiada para dis ipar la carga a 1% de su
valor original (q/q 0 =0.01) en t = 0.05s, con L=5H y C=10 -4 F (ver Chapr a, cap ít ulo 8)
8.2 Det er mine el valor de L ( induct ancia) que se requiere en el c ir cuit o de manera
que disipe el 1% del valor de la carga or igina l en t =0.05s, con R=280 Ω y C=10 -4 F.
9. Una corr ient e eléct r ica se descr ibe mediant e: I ( t ) =9e - t sen(2t ), t dado en segundos.
Det er mine t odos los dos valores posit ivos de t , t ales que I(t )=3.5 amp er io s.
10. La r esist ividad  de un silicó n revest ido depende de la carga q en un elect rón, la
densidad del elect rón n y la mo vilidad del elect rón. La densidad de l elect rón est á
dada en t ér mino s de la densidad de revest imient o N y la densidad port adora int r ínseca
n i , la mo vilidad del e lect rón est á definida por la t emperat ura T, la t emperat ura de
refer encia T 0 y la mo vilidad de referencia  0 . Las ecuacio nes necesar ias para calcular
la resist ividad son:
1
1
T
=
Donde
n= ( N  N 2  4ni2 ) y =  0 ( )  2.42
qn
2
T0
2
Det er mine N, dados T 0 =300K, T=1000K,  0 =1330cm /(Vs), q=1.6*1 0 -1 9 C
,n i =6.21x10 9 cm - 3 , y una resist ividad deseada =6*10 6 V s cm/ C.
11. Una carga t ot al Q se dist r ibuye en forma unif or me alrededor de un conduct or con
for ma de anillo circular con radio a . Una carga q se localiza a una dist ancia x de l
cent ro del anillo ( figura ad junt a) . La fuer za ejercida sobr e la carga por el anillo est á
dada por:
F=
1
qQx
2
4e0 ( x  a 2 ) 3 / 2
Donde e 0 =8.85x10 -1 2 C 2 /(Nm 2 ). E ncuent re la dist ancia x do nde la fuerza es de 1 N si q
y Q so n 2x10 -5 C para un anillo con un radio de 0.8m
a
X
q
Figu ra 2
Q
12. En la figura siguient e se muest ra un circuit o con un resist or, un induct or y un
capacit or en parale lo. Las reglas de Kir cchho f sir ven para expresar la impedancia de l
sist ema co mo:
1
1
1 2

( wC 
)
2
Z
R
wL
Donde Z= impedancia (  )
w=la fr ecuencia angular. E ncent re w para que la
impedancia resu lt ant e sea de 100  para los siguient es par ámet ros: R=225  , C=
0.6x10 - 6 F y L=0.5H.