1. No category

BAC BLANC
Mars 2015
MATHÉMATIQUES
Tale S
ENSEIGNEMENT OBLIGATOIRE
Durée épreuve : 4 heures
Les calculatrices électroniques de poche sont autorisées,
conformément à la réglementation en vigueur.
Le sujet est composé de 5 exercices indépendants. Le candidat doit traiter tous les exercices.
Dans chaque exercice, le candidat peut admettre un résultat précédemment donné dans le
texte pour aborder les questions suivantes, à condition de l'indiquer clairement sur la copie.
Le candidat est invité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche, même incomplète
ou non fructueuse, qu'il aura développée. Il est rappelé que la qualité de la rédaction, la
clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans
l'appréciation des copies.
Le sujet comporte 5 pages numérotées de 1/5 à 5/5.
Le sujet est à rendre avec votre copie.
Page 1 / 5
Exercice 1
Commun à tous les candidats.
4 points
Les deux parties A et B peuvent être traitées indépendamment.
Les résultats seront donnés sous forme décimale en arrondissant à 10-4.
Dans un pays, il y a 2% de la population contaminée par un virus.
PARTIE A
On dispose d’un test de dépistage de ce virus qui a les propriétés suivantes :
— La probabilité qu’une personne contaminée ait un test positif est de 0,99 (sensibilité
du test).
— La probabilité qu’une personne non contaminée ait un test négatif est de 0,97
(spécificité du test).
On fait passer un test à une personne choisie au hasard dans cette population.
On note V l’évènement « la personne est contaminée par le virus » et
T l’évènement « le test est positif ».
V et T désignent respectivement les évènements contraires de V et T .
1. a. Préciser les valeurs des probabilités P(V ), PV (T ), P
V
( T ).
Traduire la situation à l’aide d’un arbre de probabilités.
b. En déduire la probabilité de l’évènement V ∩ T .
2. Démontrer que la probabilité que le test soit positif est 0,0492.
3. a. Justifier par un calcul la phrase :
« Si le test est positif, il n’y a qu’environ 40% de « chances » que la personne soit
contaminée ».
b. Déterminer la probabilité qu’une personne ne soit pas contaminée par le virus
sachant que son test est négatif.
PARTIE B
On choisit successivement 10 personnes de la population au hasard, on considère que
les tirages sont indépendants. On appelle X la variable aléatoire qui donne le nombre de
personnes contaminées par le virus parmi ces 10 personnes.
1. Justifier que X suit une loi binomiale dont on donnera les paramètres.
2. Calculer la probabilité qu’il y ait au moins deux personnes contaminées parmi les 10.
Exercice 2
Pour les candidats n’ayant pas la spécialité
5 points
Les parties A et B sont indépendantes
Partie A
→ →
Dans le plan complexe muni d’un repère orthonormal direct (O, u , v ), on considère les
points A et B d’affixes respectives :
zA = 1 – i
et
zB = 2 + 3 + i.
1. Déterminer le module et un argument de zA.
zB
2. a. Ecrire sous forme algébrique.
zA
zB
b. Montrer que = (1 + 3)ei π/3
zA
c. En déduire la forme exponentielle de zB.
Page 2 / 5
Partie B :
Pour chaque question, une seule des trois propositions est exacte. Le candidat indiquera
sur la copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie.
Aucune justification n’est demandée.
Une réponse exacte rapporte 0,5 point ; une réponse inexacte enlève 0,25 point ;
l’absence de réponse est comptée 0 point. Si le total est négatif, la note est ramenée à 0.
Le plan complexe est muni d’un repère orthonormé direct d’origine 0.
1. Soit z un nombre complexe ; |z + i| est égal à :
a. |z| + 1
b. |z – 1|
c. |iz + 1|
-1 + i 3
2. Soit z un nombre complexe non nul d’argument θ. Un argument de
est :
z
π
2π
2π
a. - + θ
b.
+θ
c.
-θ
3
3
3
3. Soit n un entier naturel . Le complexe ( 3 + i)n est un imaginaire pur si et seulement
si :
a. n = 3
b. n = 6k + 3, avec k relatif c. n = 6k avec k relatif
4. Soit A et B des points d’affixes respectives 4 et 3i. L’affixe du point C tel que le
π
→
→
triangle ABC soit isocèle avec ( AB ; AC ) = (2 π) est :
2
a. 1 – 4i
b. -3i
c. 7 + 4i
z–2
5. L’ensemble des solutions dans CI de l’équation
= z est :
z-1
b. L’ensemble vide
c. {1 – i ;1 + i}
a. {1 – i}
Exercice 3
Commun à tous les candidats.
4 points
Soit la suite numérique (un) définie sur l’ensemble des entiers naturels IN par :
 u0 = 2
1

un+1 = un + 3 × 0,5n pour tout n ∈IN
5

1. a. Compléter, à l’aide de la calculatrice, le tableau des valeurs de la suite (un)
approchées à 10-2 près :
n
un
0
2
1
2
3
4
5
6
7
8
b. D’après ce tableau, énoncer une conjecture sur le sens de variations de la suite (un)
2. a. Démontrer, par récurrence, que pour tout entier naturel non nul on a :
un ≥
15
× 0,5n
4
4 15
b. Montrer que pour tout n ∈ IN, un+1 – un = 5 ( 4 ×0,5n – un).
En déduire que, pour tout entier non nul, un+1 – un ≤ 0.
c. Démontrer que la suite (un) est convergente.
Page 3 / 5
2. On se propose de déterminer la limite de la suite (un).
Soit (vn) la suite définie sur IN par vn = un – 10 × 0,5n.
1
a. Démontrer que la suite (vn) est une suite géométrique de raison .
5
On précisera le premier terme de la suite (vn).
1 n
b. En déduire, que pour tout entier naturel n, un = -8 ×   – 10 × 0,5n.
5
 
c. Déterminer la limite de la suite (un).
Exercice 4
Commun à tous les candidats.
7 points
Soit f la fonction définie sur IR par f(x) = (x – 1)e1 – x et Cf sa représentation graphique

→ 
→
dans un repère orthogonal (O; i ; j ).
Partie 1 : Etude de f.
1. Déterminer lim f(x) et lim f(x). En déduire la présence d’une asymptote.
x → -∞
x → +∞
2. Déterminer la fonction dérivée f ‘ de f. Dresser le tableau de variations complet de f.
Partie 2 : Algorithme
On considère l’algorithme suivant :
Initialisation
x prend la valeur 2
S prend la valeur 0
Traitement
Pour i allant de 1 à 4
S prend la valeur S + 0,5 × f(x)
x prend la valeur x + 0,5
Fin pour
Sortie
Afficher S
1. Compléter le tableau donné en annexe 1 : (on arrondira les résultats à 10-3 près)
2. Quel est le rôle de cet algorithme ?
Partie 3 : Aire
x
1. Pour tout nombre réel x ≥ 1, on pose : F(x) = ⌠
⌡ f(t) dt
1
a. Montrer que la fonction F est strictement croissante sur [1 ;+∞[.
b. Soit h la fonction définie sur [1 ;+∞[ par h(x) = x e1-x. Calculer h’(x) puis
déterminer, pour tout x ∈[1 ;+∞[, l’expression de F(x).
1
c. Justifier que l’équation F(x) = admet une unique solution sur [1 ;+∞[ notée α.
2
-2
Déterminer une valeur approchée à 10 près de α par balayage.
1
1
d. Justifier que l’équation F(x) = est équivalente à l’équation h(x) =
2
2
e. Dans le repère orthogonal donné en annexe 2, on a tracé Cf ainsi que la
représentation graphique de la fonction h.
Soit un réel a supérieur ou égal à 1. On considère la partie Da du plan limitée par Cf, l’axe
des abscisses et les droites d’équations x = 1 et x = a.
1
Déterminer la valeur de a telle que l’aire, en unités d’aires, de Da soit égale à et colorier
2
Da sur le graphique.
Page 4 / 5
Annexes :
Annexe 1 :
i
x
S
Initialisation
Etape 1
Annexe 2 :
Page 5 / 5