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Université de Nice-Sophia Antipolis
L2 Informatique - Probabilités
S. Catozzi, D. Mitsche, R. Thomasse
http://math.unice.fr/~dmitsche/Enseignement/
14-15/cours.html
Examen final
Durée : 2h. Documents, calculatrices et téléphones interdits. La plus grande importance sera accordée lors de la
correction à la justification des réponses. Les exercices sont indépendants.
1. (4 points) Trois amis et sept autres personnes prennent dix chaises en cercle, au hasard.
Quelle est la probabilité que exactement deux des amis soient un à côté de l’autre ?
2. (3 points) On sait que 4% de la population est atteinte d’une certaine maladie. On dispose d’un test de
dépistage de cette maladie qui présente les caractéristiques suivantes : si la personne est malade, le test est
positif avec une probabilité de 95%; si la personne est saine, le test est positif avec une probabilité de 15%.
(a) (2 points) Quelle est la probabilité pour une personne d’être malade si son test est positif ?
(b) (1 point) Quelle est la probabilité pour une personne d’être saine si son test est négatif ?
3. (5 points) Une urne contient n boules blanches et m boules noires. On tire des boules une par une avec remise
jusqu’à l’apparition d’une noire. On note X le nombre de tirages nécessaires.
(a) (1 point) Déterminer la loi de X (c’est à dire donner la probabilité pour chaque valeur de X possible).
Que vaut P(X ≥ k)?
(b) (2 points) Déterminer l’espérance et la variance du nombre des tirages (Détailler le calcul. Un résultat
sans calcul ne sera pas accepté).
(c) (2 points) On tire maintenant jusqu’à ce que ` boules noires apparaissent (toujours avec remise) et on
note Y le nombre de tirages nécessaires. Déterminer la loi de Y .
Pour cet exercice, on pourra utiliser les égalités suivantes pour 0 ≤ x < 1 :
P
1
k
•
k≥0 x = 1−x
P
1
k−1
•
= (1−x)
2
k≥1 kx
P
1
2
2 k−1
•
= (1−x)3 − (1−x)
2
k≥1 k x
4. (4 points) Un marcheur marche aléatoirement sur Z, en choisissant à chaque moment un saut à droite avec
probabilité p et un saut à gauche avec probabilité 1 − p (pour une valeur de p ∈ [0, 1]). Soit Si la position de
la marche après i sauts. On suppose S0 = a. Montrer que pour tout n ≥ 1, on a
n+s−a
n−s+a
n
P (Sn = s) = n+s−a p 2 (1 − p) 2
2
n
k
avec la convention
= 0 si k < 0 ou si k > n ou si k n’est pas entier.
On pourra écrire pour tout n ≥ 1,
n
X
Sn = a +
Xi ,
i=1
avec X1 , X2 , . . . , Xn des variables aléatoires à définir, puis considérer les variables aléatoires
n+ (ω) = |{1 ≤ i ≤ n, Xi (ω) = 1}|
et
n− (ω) = |{1 ≤ i ≤ n, Xi (ω) = −1}|.
5. (4 points)
(a) (3 points) Démontrer que la variance de la somme de n variables aléatoires indépendantes discrètes de
carré intégrable est égale à la somme des n variances.
(b) (1 point) Soit X ∼ U{−1, 1}. On définit Y tel que
(
Y =0
si X = −1
Y ∼ U{−1, 1} sinon
Montrer que V[X + Y ] = V[X] + V[Y ]