´matiques ge
´ ne
´rales II – Se
´rie 9
Mathe
G. Favi – 4 mai 2015
Exercice 1 Consid´erons une matrice de Leslie L =
a1 a2
b1 0
g´en´erale de taille 2 × 2.
a) Calculer le polynˆome caract´eristique de L.
b) Donner une condition n´ecessaire et suffisante sur les co´efficients de L pour que 1 soit valeur
propre.
c) Dans le cas o`
u 1 est valeur propre, trouver l’espace propre associ´e.
d) G´eneraliser les points a), b) et c) au cas d’une matrice de Leslie de taille 3 × 3
(Les deux exercices ci-dessous sont tir´es du cours “Math´ematiques Appliqu´ees `a la Biologie”
de F. Diener, Universit´e de Nice, 2006)
Exercice 2 On consid`ere une population de mollusques hermaphrodites vivant au maximum 2
ans, divis´ee en jeunes (de 0 a` 1 an) et adultes (entre 1 et 2 ans). Le taux de survie `a la premi`ere
ann´ee est de 25%. Pendant la premi`ere ann´ee chaque individu donne naissance en moyenne a`
2.25 individus, tandis que pendant la deuxi`eme ann´ee le taux de naissance per capita est de 9.
a) Proposer une matrice de Leslie L pour ´etudier l’´evolution de la population.
b) Trouver les valeurs propres de L ainsi que les espaces propres respectifs.
c) En d´eduire la valeur propre dominante λ∗ et donner un vecteur propre dominant X ∗ dont
la somme des co´efficients vaut 1.
d) Pour une population initiale ´egale `a v(0) = (10, 10) calculer la dynamique v(1), v(2), v(3) (`a
l’aide d’une machine ou en diagonalisant).
e) Notons T (k) la population totale des mollusques apr`es k ann´ees. Ici on a T (0) = 20. Calculer
T (1), T (2), T (3) puis les vecteurs Tv(k)
pour k = 1, 2, 3, . . ..
(k)
f) Se convaincre que le th´eor`eme de Perron-Frobenius est applicable dans cette situation et
comprendre le comportement asymptotique de la population.
Exercice 3 Consid´erons une population de saumons femelles qui vivent au maximum 3 ans,
avec un taux de survie de 0.05% la premi`ere ann´ee et 10% la seconde. Supposons enfin que
chaque femelle donne naissance a` 2000 juv´eniles au cours de sa troisi`eme ann´ee seulement.
´
a) Ecrire
la matrice de Leslie pour cette population.
b) Partant d’une population initiale de 1000 femelles dans chaque classe d’ˆage, calculez les
effectifs jusqu`a l’ann´ee 4 et en d´eduire l’´evolution de la population pour les ann´ees suivantes.
c) Peut-on appliquer le th´eor`eme de Perron-Frobenius dans ce cas-ci ?