‫הטכניון – הפקולטה להנדסת מכונות‬ ‫‪16/12/2012‬‬ ‫בחן ‪ – I‬חלקי מכונות ‪2‬‬ ‫הנכם רשאים להשתמש בכל חומר עזר )פרט למחשבים אישיים ולחומר עזר אנושי‪.(...‬‬ ‫משך הבחן – שעתיים‪.‬‬ ‫שאלה ‪(70%) 1‬‬ ‫באיור ‪ 1‬מתואר שרטוט עקרוני של משאבת גלגלי שיניים ישרות‪.‬‬ ‫איור ‪ :1‬תיאור עקרוני של משאבת גג"ש ישרות‪.‬‬ ‫יניקת )כניסת( המשאבה בצד שמאל והסניקה )פליטה( בצד ימין באיור‪ .‬גלגל השיניים המניע )גג"ש תחתון‬ ‫באיור( מונע באמצעות מנוע וסובב כנגד כיוון השעון‪ .‬גג"ש זה מניע גג"ש זהה‪ ,‬בטלן )גג"ש עליון(‪ ,‬הסובב‬ ‫בכיוון הפוך‪ .‬כאשר גלגלי השיניים סובבים‪ ,‬נוזל הכלוא במרווחים שבין השיניים לבין דופן בית המשאבה‬ ‫מועבר מצד היניקה לצד הסניקה‪ .‬יש לשים לב כי הנוזל עובר בהיקף גלגלי השיניים ולא בין גלגלי השיניים‪.‬‬ ‫פעולת גלגלי השיניים יוצרת תת לחץ בצד היניקה הגורם לנוזל להיכנס אל בית המשאבה‪ .‬הנוזל היוצא‬ ‫מסניקת המשאבה מועבר לצרכנים השונים‪ .‬התנגדות צרכנים אלו לזרימת הנוזל )מפל לחץ( גורמת לעליית‬ ‫הלחץ בצד הסניקה של המשאבה‪.‬‬ ‫הטכניון – הפקולטה להנדסת מכונות‬ ‫הספיקה התיאורטית של המשאבה‪ Q ,‬נתונה על ידי הביטוי‪:‬‬ ‫‪Q = q ⋅ n = 2π ⋅ d ⋅ b ⋅ m ⋅ n‬‬ ‫כאשר‪:‬‬ ‫‪ - q‬הדחק )‪(mm3/rev‬‬ ‫‪ - d‬קוטר מעגל הפסיעה )‪(mm‬‬ ‫‪ - b‬רוחב גלגלי השיניים )‪(mm‬‬ ‫‪ - m‬מודול )‪(mm‬‬ ‫‪ - n‬מהירות סיבוב )‪(rps‬‬ ‫המשאבה מונעת על ידי מנוע הסובב במהירות ‪ 3600‬סל"ד‪ .‬נצילות המשאבה )הספק הידראולי יוצא ‪ /‬הספק‬ ‫מכאני נכנס( הנה ‪ .85%‬המשאבה נדרשת לבנות לחץ של ‪.15 MPa‬‬ ‫הנך נדרש לתכנון עקרוני של גלגלי השיניים )‪ (d, b, m‬של המשאבה בהתאם לנתונים הבאים‪:‬‬ ‫גלגלי שיניים ישרות‪ ,‬זווית לחץ ‪ . 200‬שני גלגלי השיניים עשויים פלדה ‪ grade 2‬מחוסמת למלוא העומק‬ ‫בקושי ‪ . 300 BHN‬בית המשאבה וגלגלי השיניים יתוכננו בדרגת איכות ‪ 11‬ובאמינות ‪ .99%‬ניסויים הראו‬ ‫כי עבור אפליקציה זו ניתן להשתמש במקדמים דלהלן‪. K H = 1.2, K B = 1, K o = 1.1, K s = 1, Yθ = 1 :‬‬ ‫כמו כן נמצא כי את המקדם הדינמי נדרש לחשב בהתבסס על המהירות המרבית המותרת לדרגת האיכות‪.‬‬ ‫המשאבה מתוכננת ל‪ 10,000 -‬שעות עבודה‪ .‬מקדם הביטחון לתכנון‪ .2 ,‬התכנון יתבסס על עמידה במאמצי‬ ‫כפיפה בלבד‪ .‬מתחייב שימוש במודול סטנדרטי‪.‬‬ ‫נדרש‪:‬‬ ‫א‪.‬‬ ‫)‪ (45%‬מצא ביטוי להספק המכאני ‪ H‬הנדרש להינע המשאבה וחשב את מספר השיניים‬ ‫‪ N‬של גלגלי השיניים לקבלת ספיקה מרבית‪.‬‬ ‫ב‪.‬‬ ‫)‪ (20%‬חשב את הקוטר‪ ,‬בחר את המודול‪ ,‬קבע את מספר השיניים בפועל ואת רוחב‬ ‫הגג"ש לקבלת ספיקה מרבית ועמידה בתנאי התכן‪.‬‬ ‫ג‪.‬‬ ‫)‪ (5%‬חשב את ספיקת המשאבה ) ‪ (m 3 s‬והספק המנוע ) ‪ (kW‬הנדרש להינע המשאבה‪.‬‬ ‫הטכניון – הפקולטה להנדסת מכונות‬ ‫פתרון‬ ‫א‪.‬‬ ‫‪H out‬‬ ‫נצילות המשאבה ‪ η‬מחושבת באמצעות הקשר הבא ‪:‬‬ ‫‪H‬‬ ‫= ‪ η‬כאשר ‪ Hout‬זהו ההספק ההידראולי ביציאה‬ ‫ו‪ H -‬זהו ההספק המכני בכניסה‪.‬‬ ‫‪P ⋅ 2π dbm ⋅ n‬‬ ‫הספק ההידראולי ביציאה מחושב ע"י ‪:‬‬ ‫‪103‬‬ ‫= ‪ H out = PQ = P ⋅ q ⋅ n‬כאשר ‪ P‬הוא הלחץ של‬ ‫המשאבה‪ .‬ישנה חלוקה ב‪ 103 -‬על מנת לקבל את ההספק ביחידות של ‪.watt‬‬ ‫‪P ⋅ 2π dbm ⋅ n‬‬ ‫לכן‪ ,‬ההספק המכני בכניסה הנדרש מהמנוע הוא ‪:‬‬ ‫‪η ⋅103‬‬ ‫=‬ ‫‪H out‬‬ ‫‪η‬‬ ‫= ‪ H‬כאשר הקוטר ‪ ,d‬הרוחב ‪b‬‬ ‫והמודול ‪ m‬מחושבים במ"מ‪ ,‬הלחץ ‪ P‬מחושב ב‪ MPa -‬ומהירות הסיבוב ‪ n‬נתונה בסל"ש‪.‬‬ ‫לפי נוסחת ‪ ,AGMA‬התנאי למניעת כשל בכפיפה הוא כדלהלן ‪:‬‬ ‫‪Wt‬‬ ‫‪S Y‬‬ ‫‪K K‬‬ ‫‪K o K v K s H B ≤ σ b ,all = t N‬‬ ‫‪bm‬‬ ‫‪YJ‬‬ ‫‪S f Yθ YZ‬‬ ‫הכוח המשיקי ‪ Wt‬מחושב באמצעות הקשר הבא ‪:‬‬ ‫= ‪σb‬‬ ‫‪H‬‬ ‫‪H‬‬ ‫‪P ⋅ 2 π d bm ⋅ n‬‬ ‫‪2P‬‬ ‫=‬ ‫= ‪⋅103‬‬ ‫= ‪⋅ 103‬‬ ‫‪⋅b ⋅ m‬‬ ‫‪3‬‬ ‫] ‪v π d[ mm ]n[ rps‬‬ ‫‪η‬‬ ‫‪π d [ mm ] n [ rps ] ⋅η ⋅ 10‬‬ ‫נציב זאת בנוסחת ‪ AGMA‬ונקבל ‪:‬‬ ‫‪2P‬‬ ‫‪K H K B St YN‬‬ ‫‪K KK‬‬ ‫≤‬ ‫‪η o v s YJ‬‬ ‫‪S f Yθ YZ‬‬ ‫מכאן ‪:‬‬ ‫‪S‬‬ ‫‪YY‬‬ ‫‪2P‬‬ ‫≥ ‪YJ‬‬ ‫‪KO K v K s K H K B f θ Z‬‬ ‫‪η‬‬ ‫‪St YN‬‬ ‫נחשב את כל המקדמים החסרים ‪:‬‬ ‫= ‪Wt‬‬ ‫•‬ ‫המקדמים הנתונים הינם ‪.KO=1.1, Ks=1, KH=1.2, KB=1, Yθ=1, SF=2‬‬ ‫•‬ ‫המקדם הדינמי ניתן לחישוב בהינתן דרגת האיכות ‪ .Qv=11‬לכן המקדמים ‪ A,B‬הינם ‪:‬‬ ‫‪2/3‬‬ ‫)‪(12-11‬‬ ‫=‪B‬‬ ‫‪=0.25‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪A=50+56 (1-B ) =92‬‬ ‫‪ A+ ( Q v -3)  92+ (11-3) ‬‬ ‫‪. v max = ‬‬ ‫=‬ ‫המהירות המקסימלית המותרת הינה ‪= 50m /sec :‬‬ ‫‪200‬‬ ‫‪200‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪0.25‬‬ ‫לכן המקדם הדינמי הינו ‪=1.2 :‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪ A+ 200 ⋅ v   92+ 200 ⋅ 50 ‬‬ ‫‪. K v = ‬‬ ‫‪ = ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪92‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ ‬‬ ‫‪‬‬ ‫הטכניון – הפקולטה להנדסת מכונות‬ ‫•‬ ‫החוזק המותר לכפיפה‪ ,‬עבור פלדה ‪ Grade2‬בחיסום מלא לרמת קשיות של ‪ ,HB=300‬מחושב ע"י ‪:‬‬ ‫‪St = 0.703H B + 113 = 0.703 ⋅ 300 + 113 = 323.9MPa‬‬ ‫•‬ ‫עבור אמינות של ‪ 99%‬מקדם האמינות הוא ‪.YZ=1‬‬ ‫•‬ ‫לחישוב מקדם אורך החיים נחשב את מספר המחזורים לכשל ‪:‬‬ ‫‪rev‬‬ ‫‪min‬‬ ‫[‪N = 3600‬‬ ‫[‪] ⋅ 60‬‬ ‫]‪] ⋅10000[hr ] = 2.16 ⋅109 [cycles‬‬ ‫‪min‬‬ ‫‪hr‬‬ ‫עבור אפליקציות לשימושים רגילים נחשב את מקדם אורך החיים לפי הקשר הבא ‪:‬‬ ‫‪= 0.9248‬‬ ‫‪-0.0178‬‬ ‫) ‪YN =0.84=1.3558 ⋅ N -0.0178 = 1.3558 ⋅ ( 2.16 ⋅109‬‬ ‫נציב את ערכי כל המקדמים ונקבל תנאי על המקדם הגאומטרי ‪: YJ‬‬ ‫‪S f Yθ YZ 2 ⋅15‬‬ ‫‪( 2 ) ⋅ (1) ⋅ (1) = 0.3738‬‬ ‫=‬ ‫⋅ )‪⋅ (1.1) ⋅ (1.2 ) ⋅ (1) ⋅ (1.2 ) ⋅ (1‬‬ ‫‪η‬‬ ‫‪0.85‬‬ ‫‪St YN‬‬ ‫)‪( 323.9 ) ( 0.9248‬‬ ‫מספר השיניים הקטן ביותר המקיים תנאי זה הוא ‪) Np=NG=27‬עבור זווית לחץ ‪ ,20°‬יחס התמסורת הוא ‪.(1‬‬ ‫‪KO Kv K s K H K B‬‬ ‫‪2P‬‬ ‫≥ ‪YJ‬‬ ‫ב‪.‬‬ ‫לקבלת ספיקה מרבית יש לבחור קוטר ומודול מקסימליים‪ .‬ישנו תנאי על המהירות המקסימלית המותרת‪.‬‬ ‫‪πd n‬‬ ‫כלומר ‪ . v = mm3 rps < vmax = 50m /sec :‬לכן הקוטר המקסימלי הניתן לשימוש הוא ‪:‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪v ⋅10‬‬ ‫‪50 ⋅10‬‬ ‫‪d max = max‬‬ ‫=‬ ‫‪= 265.26mm‬‬ ‫‪π nrps‬‬ ‫‪π ⋅ 60‬‬ ‫‪d‬‬ ‫‪265.26‬‬ ‫= ‪ . mmax = max‬נבחר את המודול‬ ‫המודול המקסימלי מתקבל כשמספר השיניים קטן ‪= 9.82mm :‬‬ ‫‪N min‬‬ ‫‪27‬‬ ‫הסטנדרטי הקרוב ביותר למודול המקסימלי שניתן לשימוש ‪ .m=8mm :‬עבור מודול זה ניתן לבחור מספר‬ ‫שיניים גדול יותר מהמינימלי שחושב ע"מ לקבל קוטר מקסימלי‪ .‬מספר השיניים המקסימלי עבור המודול‬ ‫‪d max 265.26‬‬ ‫=‬ ‫הנבחר הוא ‪= 33.16‬‬ ‫‪m‬‬ ‫‪8‬‬ ‫= ‪ . N max‬לכן נבחר ‪ N=33‬שיניים לגיר ולפיניון‪.‬‬ ‫במצב זה קוטר גלגלי השיניים הוא ‪. d = mN = 8 ⋅ 33 = 264mm‬‬ ‫רוחב גלגל השיניים המירבי הוא ‪. b = 5π m = 5 ⋅ π ⋅ 8 = 125.66mm‬‬ ‫ג‪.‬‬ ‫) ‪2 ⋅ π ⋅ ( 264 ) ⋅ (125.66 ) ⋅ ( 8 ) ⋅ ( 60‬‬ ‫= ‪. Q = 2π dbmn‬‬ ‫ספיקת המשאבה המתקבלת היא ‪= 0.1m3 /sec‬‬ ‫‪109‬‬ ‫) ‪P ⋅ 2π dbmn (15 ) ⋅ ( 2π ) ⋅ ( 264 ) ⋅ (125.66 ) ⋅ ( 8 ) ⋅ ( 60‬‬ ‫= ‪.H‬‬ ‫=‬ ‫הספק המנוע הנדרש הוא ‪= 1765kW‬‬ ‫‪η ⋅106‬‬ ‫‪( 0.85) ⋅106‬‬ ‫הטכניון – הפקולטה להנדסת מכונות‬ ‫שאלה ‪(30%) 2‬‬ ‫לשני גלגלי שיניים הנמצאים בשילוב מודול ‪ 10‬מ"מ וזווית לחץ ‪ .20°‬לפיניון ‪ 20‬שיניים ולגיר ‪ 30‬שיניים‪.‬‬ ‫גובה ראש השן )אדנדום( בכל גלגל שיניים אינו סטנדרטי ומיוצר כך שאורך השילוב מכל צד של נקודת‬ ‫החלוקה )נקודת ההשקה בין מעגלי החלוקה( שווה למחצית האורך הכולל שבין נקודת החלוקה לנקודת‬ ‫ההשקה עם מעגל הבסיס המתאים‪ .‬ניתן להניח כי על גבי מעגל החלוקה עובי השן שווה למחצית הפסיעה‪.‬‬ ‫נדרש‪:‬‬ ‫א‪.‬‬ ‫)‪ (10%‬חשב את רדיוס מעגל הראשים )רדיוס אדנדום( של כל גלגל שיניים‪.‬‬ ‫ב‪.‬‬ ‫)‪ (10%‬חשב את אורך המגע המתקבל ואת יחס המגע‪.‬‬ ‫ג‪.‬‬ ‫)‪ (10%‬חשב את עובי השן במעגל הראשים של הפיניון‪.‬‬ ‫פתרון‬ ‫א‪.‬‬ ‫נסמן את הנקודות הבאות ‪:‬‬ ‫‪ – A‬נקודת תחילת השילוב‪ ,‬נקודת חיתוך רדיוס האדנדום של הגיר עם קו הלחץ‪.‬‬ ‫‪ – B‬נקודת סיום השילוב‪ ,‬נקודת חיתוך רדיוס האדנדום של הפיניון עם קו הלחץ‪.‬‬ ‫‪ – C‬נקודת החיתוך של קו הלחץ עם מעגל הבסיס של הפיניון‪.‬‬ ‫‪ – D‬נקודת החיתוך של קו הלחץ עם מעגל הבסיס של הגיר‪.‬‬ ‫‪ – P‬נקודת החלוקה‪ ,‬נקודת ההשקה בין מעגלי החלוקה של הגיר והפיניון‪.‬‬ ‫הטכניון – הפקולטה להנדסת מכונות‬ ‫עפ"י הנתונים ‪:‬‬ ‫‪Np=20, NG=30, φ=20°, m=10mm‬‬ ‫כמו כן נתונים הקשרים הבאים ‪:‬‬ ‫‪PC‬‬ ‫‪PD‬‬ ‫= ‪, BP‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫= ‪AP‬‬ ‫נשים לב כי ‪ PC = rp sin φ :‬ו‪. PD = rG sin φ -‬‬ ‫נחשב את רדיוסי החלוקה של הגיר והפיניון ‪:‬‬ ‫‪d p mN p 10 ⋅ 20‬‬ ‫‪d‬‬ ‫‪mN G 10 ⋅ 30‬‬ ‫=‬ ‫‪= 150mm .‬‬ ‫= ‪rp‬‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫= ‪= 100mm , rG = G‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫לכן ‪ PD = rG sin φ = 150 ⋅ sin ( 20° ) = 51.3mm :‬ו‪. PC = rp sin φ = 100 ⋅ sin ( 20° ) = 34.2mm -‬‬ ‫‪PC 34.2‬‬ ‫‪PD 51.3‬‬ ‫=‬ ‫= ‪ BP‬ו‪= 17.1mm -‬‬ ‫=‬ ‫מכאן נקבל כי ‪= 25.65mm :‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫נחשב את רדיוסי הבסיס של הגיר והפיניון ‪:‬‬ ‫‪rbp = rp cos φ = 100 ⋅ cos ( 20° ) = 93.97 mm , rbG = rG cos φ = 150 ⋅ cos ( 20° ) = 140.95mm‬‬ ‫= ‪. AP‬‬ ‫רדיוסי האדנדום של הגיר והפיניון מחושבים באמצעות משפט פיתגורס ‪:‬‬ ‫‪( BP + PC ) + r = ( 25.65 + 34.2 ) + 93.97 = 111.41‬‬ ‫‪( PD + AP ) + r = ( 51.3 + 17.1) + 140.95 = 156.67‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪mm‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪mm‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪bp‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪bG‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫= ‪rap = BC + rbp2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪raG = AD + rbG‬‬ ‫=‬ ‫ב‪.‬‬ ‫אורך המגע בשאלה זו מחושב ישירות עפ"י הנוסחה הבאה ‪:‬‬ ‫‪LAB = AP + BP = 17.1 + 25.65 = 42.75mm‬‬ ‫נחשב את יחס המגע ‪:‬‬ ‫‪LAB‬‬ ‫‪42.75‬‬ ‫= ‪mc‬‬ ‫=‬ ‫‪= 1.448‬‬ ‫) ‪π m cos φ π ⋅10 ⋅ cos ( 20°‬‬ ‫ג‪.‬‬ ‫‪p π m π ⋅10‬‬ ‫= = ‪. tp‬‬ ‫=‬ ‫עובי השן במעגל החלוקה שווה למחצית הפסיעה ‪= 15.708mm :‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫זווית הלחץ למעגל הראשים מחושבת באמצעות ‪:‬‬ ‫‪ rbp‬‬ ‫‪ rap‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪−1  93.97 ‬‬ ‫‪ = cos ‬‬ ‫‪ = 0.567 rad = 32.495°‬‬ ‫‪ 111.41 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫לכן עובי השן במעגל הראשים של הפיניון הוא ‪:‬‬ ‫‪ t‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ta = 2rap  p + invφ − invϕ a  = 5.268mm‬‬ ‫‪ 2r‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ p‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ϕ a = cos −1 ‬‬ ‫בהצלחה!‬