ניסוי: סטטיסטיקה שימושית
הטכניון – מכון טכנולוגי לישראל הפקולטה להנדסה ביו-רפואית מעבדה בהנדסה ביו-רפואית (331005 ) I ניסוי :סטטיסטיקה שימושית חלק א' .1מטרות הניסוי .2תקציר הניסוי .3רקע חלק ב' .4דו"ח מכין חלק ג' .5תאור מערכת הניסוי .6מהלך הניסוי חלק ד' .7ניתוח תוצאות .8הנחיות לכתיבת הדו"ח המסכם נספחים א. ב. ג. ד. ה. מושגי יסוד בסטטיסטיקה טבלת הסתברות מצטברת (הפוכה) עבור התפלגות .t צמיגות תמיסות סוכרוז פקודות מטלב שימושיות מקורות ניסוי :סטטיסטיקה שימושית עמוד 1מתוך 53 עדכון אחרון 5323/2/30/ :ע"י גיא וינר חלק א' .5מטרות הניסוי א. ב. ג. לימוד תכנון ניסוי תוך התחשבות בסטטיסטיקה. ביצוע בדיקות סטטיסטיות על תוצאות ניסיוניות להוכחת השערה. (למדתם סטטיסטיקה? בואו נראה מה לעשות איתה). .2תקציר הניסוי מהנדסים בפרט ,ומדענים בכלל ,משתמשים בכלים סטטיסטיים כדי להדגים את המשמעותיות של התוצאות ולהסיק מסקנות ברות משמעות .בניסוי הקודם" ,שיערוך וקידום שגיאות ",למדתם על סוגי השגיאות השונים וכיצד לחשבם .בניסוי זה נלמד על התיאוריה והשימוש במבחנים סטטיסטיים כדי להעריך אם קיים הבדל משמעותי בין התוצאות של שני ניסויים. במהלך הניסוי נשתמש בצינורית פלסטיק המלאה בתמיסות של סוכרוז בריכוזים שונים .נמדוד את הצמיגות של תמיסות אלו באמצעות כדור מתגלגל ,ונבנה עקומת סטנדרט לריכוזים ידועים של סוכר. לאח ר מכן ,נמדוד את צמיגויותיהם של שתי תמיסות סוכר בריכוזים לא ידועים ,ונשווה ביניהם באמצעות מבחן סטטיסטי. .3רקע א .מבוא איכותן של תוצאות ניסוי נאמדות לפי תכנון ניסוי נכון .לדוגמה ,בניסוי בו יש הרבה רעש יש צורך לבצע מספר ניסויים רב יותר כדי לקבל תוצאות משמעותיות .אקראיות ורעשים מהווים לעיתים קרובות חלק משמעותי בתוצאות ניסוי .פועל יוצא הוא שכמעט כל ניסוי יניב תוצאות שאינן זהות לניסוי אחר .כיצד ,אם כן ,יידע חוקר לזהות תוצאות ברות משמעות ,שאינן נובעות מרעשים? לשם כך פותחו כלים ומבחנים סטטיסטיים רבים .מבחנים אלו מבוססים על ידע של התנהגותם הסטטיסטית של משתנים ,והם יכולים לתת תשובות לשאלות מחקריות (למשל ,אם קיים הבדל משמעותי בין אוכלוסיות) .טיב השאלה המחקרית ,ומבנה הניסוי ,משפיעים באופן ישיר על היכולת שלנו להגיע למסקנות נכונות ושימושיות. ניסוי :סטטיסטיקה שימושית עמוד 2מתוך 53 עדכון אחרון 5323/2/30/ :ע"י גיא וינר ב .תמיסות סוכר במעבדה זו נשתמש בתמיסות סוכרוז במים ,אלו יוצרות נוזל ניוטוני בצמיגויות שונות כתלות בכמות הסוכר המומס .את כמות הסוכרוז המומס ניתן לכמת כאחוז משקלי ( ,)% w/wאו משקל הסוכרוז המומס ליחידת משקל של 111גרם תמיסה .בתעשיות רבות בהן ויסות ריכוז הסוכר חשוב לכשעצמו (מיצים, יי נות ,סירופים ,דבשים ועוד) האחוז המשקלי של הסוכרוז בתמיסה יכול גם להינתן על ידי "מעלות בריקס" ( ,)Degrees Brixמסומן .oBxעבור תמיסות סוכרוז בריכוזים של עד כ( 68oBx -קרוב לגבול המסיסות בטמפרטורת חדר במים מזוקקים) ,ניתן לחשב את צמיגות התמיסה על ידי משוואת ארהניוס גלובלית: 1 1 exp a3 exp a4C T TS 1 a2 ][ Sucrose a1 ()1 5 כאשר ] [Sucroseהינו הריכוז ב TS ,oBx -הינה טמפרטורת ייחוס כלשהי (אבסולוטי) T ,היא טמפרטורת התמיסה ,ו a 4 , a3 , a 2 , a1 -הינם קבועים הניתנים למציאה באופן אמפירי ( .)Quintas et al. 2006אם נניח כי אנו שומרים על טמפרטורה קבועה ,הרי שהסוגרים המרובעים מתאפסים ,כל האקספוננט החיצוני הופך ל ,1 -ואנו מקבלים את היחס המפושט: 1 a2 ][ Sucrose a1 ()2 2 אם נעלה בחזקת ) (-1את שני האגפים ,נקבל: 1 ][ Sucrose a1 a2 1 ()3 3 הגענו למשוואה הניתנת למידול ליניארי .באיור 1מוצגת התלות של צמיגות תמיסת סוכרוז-מים בריכוז הסוכרוז המומס (מוצג עבור :)20oC ניסוי :סטטיסטיקה שימושית עמוד 3מתוך 53 עדכון אחרון 5323/2/30/ :ע"י גיא וינר ]µ [cP 0 Bx o איור .5תלות של צמיגות תמיסת סוכרוז טהור באחוז משקלי של סוכרוז ,בטמפרטורת Hoynak and ( 20 C .)Bollenback 1966 במעבדה אנו נשערך את הקשר הזה באמצעות מדידת הצמיגויות של חמש תמיסות סוכרוז בריכוזים ידועים .מדידות הצמיגות יעשו באמצעות ויסקומטר כדור מתגלגל ,כפי שיתואר בחלק ג' במבוא זה. ניסוי :סטטיסטיקה שימושית עמוד 4מתוך 53 עדכון אחרון 5323/2/30/ :ע"י גיא וינר ג .ויסקומטר כדור מתגלגל שיטה פשוטה למדידת צמיגותו של נוזל ניוטוני הוא ויסקומטר כדור מתגלגל .בויסקומטר זה ,ניתן לחשב את צמיגות הנוזל על ידי מדידת הזמן שלוקח לכדור (בעל צפיפות וגודל ידועים) להתגלגל דרך מרחק ידוע של הנוזל בתוך צינור בקוטר נתון .בהנחה שזרימת הנוזל סביב הכדור הינה למינרית (לפי ריינולדס מחושב) ,ניתן לקבל את המהירות המכסימלית U maxשהכדור יכול להגיע אליה מתוך הקשר: f x C b t U max ()4 4 כאשר bו f -הם צפיפויות הכדור והנוזל ,בהתאמה ,היא הצמיגות הדינמית של הנוזל עם יחידות של , [ ] Poise P g cm 1 s 1ו C -הינו פרמטר אמפירי המקשר בין משתנים אלו לבין המהירות המכסימלית .הפרמטר Cתלוי במבנה וחומרים מהם מורכב המתקן בו משתמשים .בניסוי נמדוד את הזמן tהדרוש לכדור להתגלגל מרחק מדוד וקבוע . xיש להניח כי הכדור מגיע למהירותו המכסימלית לפני כניסתו לתחום המדידה בצינורית ,והנוזל אחיד בכל נפח הכלי .בנוסף ,נניח שהכדור מתגלגל בנתיב ישר ולא מחליק (נכון עבור זוויות גלגול קטנות ביחס לאופקי) .מנוסחה 3ניתן לקבל את הצמיגות הדינמית על ידי: b f U max C ()5 1 אם נניח כי מרחק הגלגול והצפיפויות נשארים קבועים ,אז נקבל: Bt ()6 6 כאשר C b f x B 7 ניסוי :סטטיסטיקה שימושית עמוד 5מתוך 53 עדכון אחרון 5323/2/30/ :ע"י גיא וינר ()7 ד .תחום העבודה של ויסקומטר כדור מתגלגל ויסקומטר כדור מתגלגל מסוגל לתת לנו מדידה טובה ופשוטה של צמיגות נוזל בהנחה שזרימת הנוזל סביב לכדור המתגלגל הינה למינרית .זרימה למינרית מוגדרת כזרימה שכבתית ללא ערבוב בין השכבות. זרימה למינרית תתקיים כאשר מספר ריינולדס ( ) Reיהיה קטן מערך קריטי ,אותו נסמן ב . Rec -את מספר ריינולדס עבור הכדור המתגלגל דרך נוזל ניוטוני נחשב באמצעות: d eff U max f Re ()8 8 כאשר d effהינו האורך המייצג את הנוזל הזורם סביב הכדור( ,כפי שמוצג באיור 2א) ,והוא שווה: deff D d ()9 9 כאן D ,ו d -הינם קוטרו הפנימי של הצינור וקוטרו של הכדור ,בהתאמה .ידוע כי קיים קשר בין Recלבין יחס הקטרים ,d/Dכפי שמוצג באיור 2ב .ככל שהיחס גדל ,כך גדל גם תחום ה Re -שבו ניתן למדוד את הצמיגות .בניסויים שלנו ,נוודא שמספר הריינולדס הינו מתחת לערך קריטי המתאים לקטרים שבהם נשתמש ,בכדי להבטיח זרימה למינרית בין הכדור לדופן הצינור. ב א איור .2א .סכימת חתך דרך כדור קשיח ומלא המתגלגל בתוך צינור המלא בנוזל שאת צמיגותו נרצה למדוד - D .קוטרו הפנימי של הצינורd , קוטרו של הכדור המתגלגל - deff ,אורך מייצג של הנוזל הזורם סביב הכדור המתגלגל .ב .תלות של מספר ריינולדס קריטי Recביחסהקטרים של פנים הצינור ( )Dוהכדור ( ,)dעבור ויסקומטר כדור מתגלגל (.)Hubbard and Brown 1943 ניסוי :סטטיסטיקה שימושית עמוד 6מתוך 53 עדכון אחרון 5323/2/30/ :ע"י גיא וינר ה .התפלגות נורמלית .5התפלגות נורמלית :מתארת התפלגות טבעית ובסיסית ,ועל כן היא נקראת נורמלית .תופעות טבע ושלל תופעות אחרות ,מראות את סוג התפלגות זו ,שתוארה לראשונה על ידי גאוס בשנת ,1819ומכאן שמה השני ,פעמון גאוס .התפלגות פעמון זו מתוארת על ידי פונקצית גאוס ,כדלהלן: 1 x 2 1 exp 2 2 f X x ()11 50 גרף של פונקצית התפלגות ,לדוגמה עבור ממוצע אפס וסטיית תקן יחידה 0ו 1 -ניתן לראות באיור 3א( .מקרה זה נקרא התפלגות נורמלית תקנית) .כפי שרואים ,ההתפלגות הזו היא בעלת מבנה סימטרי סביב ה ,1-שהינו הממוצע. x Probability Function Probability Distribution א ב x איור .3א .התפלגות נורמלית תקנית של משתנה אקראי עם ממוצע אפס וסטיית תקן יחידה .ב .פונקצית הסתברות נורמלית תקנית מצטברת. .2פונקצית ההסתברות הנורמלית המצטברת :ההסתברות שמשתנה אקראי Xיקבל ערך קטן מ- xניתנת על ידי אינטגרציה של הביטוי במשוואה 11מ -מינוס אינסוף עד .xאיור 3ב מציג את ההסתברות הזו כתלות ב .x -אם נתייחס למשמעות של פונקצית הסתברות ,נבחין כי ערכה הוא אפסי בערכים נמוכים של ,xושואפת ל 1 -בערכים גבוהים .המשמעות היא שההסתברות הולכת וקטנה ש X -יקבל ערך שקטן מהממוצע .ההסתברות ש X -יקבל ערך קטן מאינסוף הוא ,1כלומר מלאה. ניסוי :סטטיסטיקה שימושית עמוד 7מתוך 53 עדכון אחרון 5323/2/30/ :ע"י גיא וינר .3התפלגות :tבהרבה מקרים ניסיוניים ,איננו יודעים את הפרמטרים האמיתיים μו σ -של התפלגות נורמלית .לכן ,משתמשים בהתפלגות ,tשלוקחת בחשבון את האי-ודאות הקיימת בלקיחת דגימות סופיות מאוכלוסייה אינסופית ,ומשערכת את התפלגותה האמיתית .התיאוריה מורכבת למדי ואיננו משתמשים בביטוי אנליטי כמו שהוצג עבור ההתפלגות הנורמלית. השימוש בהתפלגות tדומה מאוד לשימוש בהתפלגות נורמלית ,אך הדבר החשוב ביותר להבין על התפלגות זו הוא שישנן אינסוף התפלגויות .tההתפלגות מקבלת ערכים שונים (אך שומרת על צורתה הכללית) כתלות במספר הדגימות שלוקחים מהאוכלוסייה שאותה בוחנים .עקרון זה יגולם בערך הנקרא דרגות החופש ( ,)df, degrees of freedomהמסומן על ידי .vבמקרה הספציפי של התפלגות ,tמספר דרגות החופש שווה למספר הדגימות פחות אחד .באופן מתמטי (ואינטואיטיבי) ,ככל שמספר דרגות החופש גדל ,כך התפלגות tמתקרבת יותר להתפלגות נורמלית (ראה גרף להלן). Probability Density t איור .4התפלגויות tכתלות במספר דרגות החופש .vככל שישנן יותר דרגות חופש ,כך ההתפלגות הולכת ונעשת צרה יותר ,גובה המקסימום גדל ,וצורתה הכללית מתקרבת לזו של התפלגות נורמלית תקנית. ה .השערות ()Hypotheses השערה מחקרית הינה התוצאה הצפויה בעקבות ניסוי .התפקיד של השערה סטטיסטית יהיה לוודא שהתוצאה שהתקבלה אכן משמעותית .חוקר יכול לרצות להוכיח את השערתו שתרופה חדישה תרפה מחלה מסוימת ,ולשם כך הוא יבצע ניסוי ויפיק נתונים .אם הוא יבצע את הניסוי על מספר אנשים ,וכולם ניסוי :סטטיסטיקה שימושית עמוד 8מתוך 53 עדכון אחרון 5323/2/30/ :ע"י גיא וינר הגיבו לתרופה באותה צורה ,מבחינה סטטיסטית השערתו לא הוכחה או הופרכה ,אלא נתמכה ברמת סיכון מסוימת הנגרמת מאי-וודאות סטטיסטית. השערות סטטיסטיות הינן הבסיס של מבחן סטטיסטי .במבחן סטטיסטי ,ישנן בדרך כלל שתי השערות, הנקראות השערת האפס ( )H0וההשערה החלופית ( .)H1השערת האפס לרוב תהיה ההפך המוחלט של ההשערה החלופית .אם מדובר בתרופה אזי השערת האפס תהיה שהתרופה לא משפיעה על מדד מסוים. השערת H1היא בדרך כלל ההשערה המחקרית ,שאותה החוקר היה רוצה להוכיח .ניתן גם לנסח מבחן עם יותר מהשערה חלופית אחת. המבחן הסטטיסטי בוחן את ההסתברות שהשערת האפס אכן ניתנת לדחייה ו H1 -ניתנת לקבלה.במקביל אם המבחן הסטטיסטי מאפשר דחיית H0אך זה קרה רק בשל חוסר דגימה או רעשים ,נוכל לדעת מה ההסתברות שקיבלנו ” “false positiveשבו H1נראה נכון אבל בעצם אינו (זוהי רמת המובהקות של הנתונים שלנו) .מגבלתו העיקרית של המבחן היא שאינו יכול להוכיח את H1חד משמעית ,אלא רק לדחות את H0ביחס ל H1 -ברמת סיכון מסוימת הנקראת מובהקות. ו .מבחנים סטטיסטיים .5מבנה וגישה למבחנים סטטיסטיים :כל מבחן סטטיסטי בנוי משלושה רכיבים מרכזיים. א. הגדרת ההשערות הסטטיסטיות H0ו .H1 -כפי שהוסבר לעיל ,בדרך כלל H1ייצג בעבורנו את ההשערה המחקרית אותה נרצה לבדוק באמצעות המבחן. ב. ציון ההנחות שאותן יש להניח .ביניהן ,לפעמים יש להניח שמשתנה אקראי מתפלג לפי פילוג נורמלי ,ולפעמים יש להניח אחרת ,בכדי שהנוסחות המשמשות במבחן הסטטיסטי יקבלו תוקף .חשוב לדעת מה אנחנו מניחים ולכן מה המגבלות בשיטה ,בלי "לירות באפלה". במעבדה זו נעסוק רק במשתנים אקראיים המתפלגים נורמלית ,ובעלי סטיית תקן שווה אך לא ידועה מראש .יש לזכור כי כל מבחן דורש הנחות מסויימות ,וייתכן מאוד שתיתקלו במהלך הקריירה שלכם (במחקר או בתעשיה) במבחנים סטטיסטיים בהם נדרש להניח התפלגות אחרת מהנורמלית .יש לתת לכך תשומת לב רבה! די בהנחה שגויה ,ומסקנה יכולה להיות מוטעת לחלוטין. ג. הגדרת רמת המובהקות הנדרשת ,מסומנת על ידי .αרמת מובהקות היא הסף לקביעה אם ניתן לדחות את השערת האפס .מתוקף הגדרתה ,היא גם נותנת לחוקר ידע מסוים על החוזק ניסוי :סטטיסטיקה שימושית עמוד 9מתוך 53 עדכון אחרון 5323/2/30/ :ע"י גיא וינר של תוצאת המבחן .ככל שרמת המובהקות הנדרשת קטנה יותר ,כך המבחן מחמיר יותר .כפי שנראה בהמשך ,להחמרה או הקלה של מבחן סטטיסטי השלכות על תוצאות המבחן .הדרך הנכונה ביותר לתכנן ניסוי היא לקבוע את רמת המובהקות הרצויה ולפיה לתכנן את מהלך הניסוי (גודל המדגם וכד'). קיימים הרבה סוגי מבחנים סטטיסטיים .כדי להבין את מרביתם ,נלמד על מבחן tהשוואתי. .2מבחן tהשוואתי ( :)Student’s t-test for differencesבמבחן זה ,נבדקים הבדלים בממוצעים של שתי התפלגויות נורמליות ,כאשר ההנחה היא שסטיות התקן שלהן שוות אך לא ידועות .נקרא להתפלגות אחת X1ולהתפלגות השנייה .X2נניח שההתפלגויות של האוכלוסיות הן בעלות צפיפות כמוצג באיור .5מכל אוכלוסיה לקחנו n1ו n2 -דגימות בהתאם (X1 ו- X2 הם הממוצעים של הדגימות) .אם נרצה לבחון האם X1שונה משמעותית מ ,X2 -אנו נבצע מבחן דו-צדדי ,וההשערות למבחן זה הינן: H 0 : 1 2 H 1 : 1 2 ()11 55 ראשית ,כדי להבין את עקרונות המבחן ,נתבונן במקרה פשוט יותר ,שהוא מבחן חד-צדדי: H 0 : 1 2 H 1 : 1 2 52 המשמעות של מבחן חד -או דו-צדדי וכיצד מבצעים מבחן דו-צדדי יוסברו בהמשך. ניסוי :סטטיסטיקה שימושית עמוד 11מתוך 53 עדכון אחרון 5323/2/30/ :ע"י גיא וינר ()12 d X 2 X1 איור .1שתי התפלגויות נורמליות ,בעלות הפרש ממוצע . d ההפרש בין ממוצעי ההתפלגויות יסומן . dלמרות שנראה שההתפלגויות בעלות ממוצעים שונים, האם dגדול מספיק באמות מידה סטטיסטיות? כדי לענות על שאלה זו ולנסות לדחות את השערת האפס ,צריכים לחשב משתנה אקראי שייצג את , dמתוך ההתפלגויות X1ו X2 -וההשערות הסטטיסטיות H0ו .H1 -משתנה אקראי חדש זה ,אשר מתפלג לפי התפלגות ,tנקרא גם ה- " "Statisticשל המבחן ,והוא מחושב על ידי נוסחה .13מספר דרגות החופש הם . 1 2 n1 1 n2 1 n1 n2 2 X 1 2 1 d Sd Sd 2 X t ()13 53 כאשר , 2 1והאיבר S dמייצג את השונות המשוערכת של ההפרש בין המשתנים האקראיים ,והוא מחושב על ידי השונויות המדגמיות של X1ו X2 -בנוסחה :14 S12 S 22 n1 n2 Sd ()14 54 במבחן ,אנו מעוניינים לדחות את ההשערה שבה . H 0 0 0עבור השערת האפס, . t H 0 t 0 t 0עבור ההשערה המשנית. t H 1 t 1 , ניסוי :סטטיסטיקה שימושית עמוד 11מתוך 53 עדכון אחרון 5323/2/30/ :ע"י גיא וינר כדי להמשיך בניתוח הסטטיסטי ,נשאלת השאלה מהי ההסתברות ש t -למעשה מתפלג סביב אפס (הנחת H0נכונה)? אם ההסתברות הזו תהיה קטנה מספיק ,נוכל להסיק שהוא לא מתפלג סביב אפס ,ולכן גם dשונה מאפס ,וניתן יהיה לדחות את .H0ההסתברות הזו היא ה p-value -של המבחן .ערך זה בדרך כלל מדווח עם תוצאות ניסוי כדי להראות שנעשתה בדיקה סטטיסטית ומה טיבה .מהי הסתברות p-valueקטנה מספיק? הערך הגדול ביותר ש p-value -יכול לקבל בשביל לדחות את H0הוא רמת המובהקות (.)α רמת המובהקות גם נקראת שגיאה מסוג Iאו ההסתברות ל .“false positive” -אם הp-value - קטן מ ,α -נוכל לדחות את השערת האפס .את הערך של αיש לקבוע מראש ,לפני תחילת הניסוי. ברוב המקרים נהוג לקבוע α = 0.05או ,α = 0.01אך לעיתים נדרש אף להחמיר (ויתרה על כך, אם אפשר להחמיר ללא מאמץ יתר ,כדאי) .כדי לבצע את המבחן הסטטיסטי ,יש צורך לתרגם את αלערך הקריטי * tלבדיקה שתאפשר דחיית .H0במקרה של מבחן חד-צדדי ,מוצאים את * tמתוך טבלה (נספח ב') כך שמתקיים, Pt H 0 t*, Pt H 0 t1 n1 n2 2 ()15 51 ישנה גם שגיאה מסוג ,)β( IIהמייצגת את ההסתברות ש t -לא מתפלג לפי H0למרות שלא דחינו אותה ) .(false negativeאם קיבלנו הפרש , dונניח H1 1שמתאים להשערה H1שלנו, אזי, t , d 1 Pt* t H 1 , P Sd n1 n2 2 . ()16 56 בחירת 1הינה שרירותית בשביל לחשב את . בהמשך נראה כיצד נשתמש בבחירת 1בשביל לתכנן ניסוי עם רצוי. ניסוי :סטטיסטיקה שימושית עמוד 12מתוך 53 עדכון אחרון 5323/2/30/ :ע"י גיא וינר ב איור 6מוצגות שתי התפלגויות :השמאלית מתארת את ההתפלגות של dתחת ,H0והימנית את ההתפלגות תחת .H1רמת המובהקות שלנו הכתיבה את ה,)"Rejection Threshold"( t* - והמשתנה הסטטיסטי tשלנו ( )t-statisticגדול מ .t* -לכן בדוגמה מאוירת זו ניתן לראות שאפשר לדחות את .H0השגיאה מהסוג ה II -מחושבת על ה"זנב" של ההתפלגות של ( H1לכן לוקחים ) H1 שנכנס לתוך התחום של ההתפלגות של .H0במילים אחרות ,אנו בודקים את הסיכוי שהפעמון הימני (של " )H1מתחזה" לפעמון השמאלי (של .)H0 Probability Density d איור .6סכימת דחיית השערת האפס ,והשגיאות .פעמון שמאלי -התפלגות dבהנחת .H0פעמון ימני -התפלגות d בהנחת .H1שטח מסומן משמאל בירוק -שגיאה מסוג )β( IIשל המבחן הסטטיסטי .שטח מסומן מימין בפסים כחולים -שגיאה מסוג )α( Iשל המבחן הסטטיסטי .שטח מסומן מימין לקו הנקרא " "t-statisticובאדוםp-Value - של תוצאות הניסוי. ההסתברויות המשלימות של שני סוגי השגיאות הן הדיוק ( )specificityוהעוצמה (.)power הדיוק ,ששווה ל ,(1-α) -מתייחס להסתברות שאי-דחיית H0מוצדקת .לעומת זאת ,העוצמה )(1-β מתייחסת להסתברות ש H1 -הוא נכון בהינתן שדחינו את .H0כדי לחשב את העוצמה ,נדרש להניח dמסוים (נניח אפשרות ממרחב האפשרויות שמכתיבה ,H1כלומר ) 1 2ולחשב את .β בהמשך נראה כיצד ניתן לנצל את ההנחה של dבכדי לתכנן ניסוי כך שתתקבל עוצמה )(1-β רצויה .ניתן לראות בטבלה 1את סיכום שני סוגי השגיאות וההסתברויות המשלימות שלהם. ניסוי :סטטיסטיקה שימושית עמוד 13מתוך 53 עדכון אחרון 5323/2/30/ :ע"י גיא וינר תוצאה לדחות את H0 לא לדחות את H0 אמת H0נכון H1נכון Type I Error, or )False Positive (α )Power (1-β )Specificity (1-α Type II Error, or )False Negative (β טבלה .5שני סוגי השגיאות וההסתברויות המשלימות שלהם. .3מבחן דו-צדדי :במבחן דו-צדדי נרצה לבדוק אם ממוצע של אוכלוסייה אחת שונה מזה של אוכלוסיה שנייה ,וה p-value -יחושב תחת התפלגות tמשני צידי ההתפלגות .לכן ,ה α -שקבענו מתחלק באופן שווה על שני צידי התפלגות .tכדי לדחות את השערת האפס נדרוש שt> t* - ושיתקיים 2 Pt t*, Pt t*, . כאן עדיין , n1 n2 2כמו במבחן החד-צדדי. בהתאם לכך ,ערך הסף ייחשב על ידי . t* t1 2 ,בגלל שההתפלגות סימטרית ,בודקים רק את אחד מההסתברויות הנ"ל .חישובי ה p-value -והעוצמה משתנים גם הם .למעט אלו ,מבחן דו- צדדי מתבצע באופן זהה למבחן חד-צדדי. .4תכנון גודל מדגם – אנליזת עוצמה (עבור מבחן tהשוואתי) :ראינו שככל שמספר הדגימות גדל, כך גם מספר דרגות החופש של פילוג tגדל והוא מקרב ברמה טובה יותר את הפילוג הנורמלי .לפי כך ,נרצה גודל מדגם גדול ככל האפשר כדי לשפר את הסטטיסטיקה .אך במקרים כגון במחקרים קליניים אנושיים וניסויים בחיות רצוי להקטין ככל האפשר את מספר ה"דגימות" הנדרש כדי להקטין עלויות וסיכונים .האופטימיזציה אותה נבצע היא תכנון גודל מדגם ,שיבוצע על ידי בחינת עוצמת המבחן הסטטיסטי. בכדי לבצע תכנון גודל מדגם בשיטת אנליזת עוצמה ,יש לקבוע את רמת המובהקות ,αהעוצמה הרצויה למבחן ,1-βואת ההבדל dהמינימלי המשמעותי ( ) d minשאותו נרצה לזהות באמצעות המבחן .במקרים רבים מקובל ש , 1 = 0.8 , = 0.05 -אך ניתן לבצע את התכנון לפי ערכים אחרים .ככל שמקטינים את רמת המובהקות ומגדילים את העוצמה ,כך תוצאות המבחן יותר ניסוי :סטטיסטיקה שימושית עמוד 14מתוך 53 עדכון אחרון 5323/2/30/ :ע"י גיא וינר אמינות (יותר מחמירות) .חשוב לציין שאם בוחרים , קטנים מידי המסקנות יכולות להוביל ל- false negativeכאשר ,למשל ,נחליט שאין הבדל בין אוכלוסיות כשבעצם יש .כאן נפתח את השיטה עבור המבחן החד-צדדי. למציאת מספר הדגימות nהמינימלי הדרוש (מכל קבוצה) ,נניח כי השונות ידועה (מנחשים אותה אם אין ידע קודם) וקבועה עבור שתי אוכלוסיות X1ו .X2 -נניח שנרצה למצוא d minבין הממוצעים של האוכלוסיות 1ו , 2 -במבחן חד-צדדי המנוסח כמו בביטוי ,12שבו יתקבלו αו β -מסוימים. מכיוון שאנו דנים במציאת גודל המדגם המינימלי ,אין אנו יודעים את דרגות החופש vשיתקבלו במבחן .לכן אנו נניח כי ישנן אינסוף דרגות חופש .במקרה כזה ,אנו עוסקים בהתפלגות נורמלית תקנית והיא מסומנת על ידי האות . t p Z p :Z Z p t p p Pt t p , ()17 57 מצד אחד ,נדרוש שההסתברות αתקיים עבור ערך קריטי מסוים ,m1 m1 1 X 1 PZ Z1 P Z ()18 58 מצד שני ,נדרוש שההסתברות βתקיים עבור ערך קריטי מסוים ,m2 m2 1 PZ Z1 P Z 2 X2 59 בביטוי הימני ביותר ,הסדר הוחלף בין 2ל m2 -כדי שהשבר יהיה חיובי .השונויות ()19 X 1ו X 2 - מייצגות את שונויות הדגימה של המשתנים האקראיים X1ו .X2 -כאשר דוגמים nפעמים באוכלוסיה בעלת שונות ידועה , השונות של המדגם תהיה . / nמשום שהנחנו כי השונויות של X1וX2 - זהות ,מתקבל: ניסוי :סטטיסטיקה שימושית עמוד 15מתוך 53 עדכון אחרון 5323/2/30/ :ע"י גיא וינר n X1 X 2 ()21 20 נציב את נוסחה 21בתוך הביטוי עבור Z ונקבל: m1 1 n Z1 ()21 25 ומכאן נובע שהערך הקריטי של רמת המובהקות הוא Z1 n m1 1 ()22 22 במבחן הסטטיסטי חישוב ההסתברויות αו β -נעשה עבור אותו ערך קריטי ולכן m1 m2 ()23 23 בהצבת נוסחות 21ו 22 -לתוך הביטוי עבור Z1מתקבל Z1 n n 2 1 Z1 ()24 24 ולאחר העברת אגפים Z1 2 1 d min 1 Z n . ()25 21 לבסוף ,נמצא את ה n-המינימלי לתכנון הניסוי: 2 Z1 Z1 d min nmin 26 ניסוי :סטטיסטיקה שימושית עמוד 16מתוך 53 עדכון אחרון 5323/2/30/ :ע"י גיא וינר ()26 אם לא ידועה לנו סטיית התקן התיאורטית ,נחליף אותה בסטיית תקן מדגמית אותה נקבל מניסוי מקדים: 2 S Z1 Z1 d min nmin ()27 27 הערה :באופן מעשי ,כיוון שיש ל S -תלות במספר הדגימות ,החוקר נאלץ לעשות כאן אחד משלושה דברים :הנחה ש S -המחושב בניסוי המקדים משקף את הערך האמיתי של סטיית התקן ,הנחת ערך כלשהו של Sללא ביצוע ניסוי מקדים או ביצוע איטרציות של החישוב עד להתייצבות הערך .nmin .1מבחן לטיב התאמה ליניארי :במעבדת "שיערוך וקידום שגיאות" ,התאמתם קו בשיטת הריבועים הפחותים עם משוואה מסוג . y L1 x L0עוד ראינו כיצד לחשב את מקדם טיב המתאם .rמקדם הטיב אינו מייצג בלעדי או טוב במיוחד לאמינות הסטטיסטית של המתאם ,אותה יש לבדוק בנפרד. כיצד נבדוק אם הקו שהותאם בשיטה זו הוא אמין סטטיסטית? לשם כך ישנו מבחן tעל השיפוע L1 שנמצא .אם 1מייצג את ערכו האמיתי של , L1אזי ההשערה הסטטיסטית הינה: H 0 : 1 0 H 1 : 1 0 ()28 28 למעשה ,במבחן זה בודקים אם הקו שהתאמנו אינו יותר טוב מאשר קו אופקי (שיפוע שווה .)1 כלומר ,בודקים אם הערכים שמדדנו הם אקראיים סביב קבוע וניתנים לחיזוי על ידי הממוצע שלהם בלבד (הקבוע L0בהתאמת הקו) .שימו לב שמבחן זה הינו דו-צדדי .מספר דרגות החופש במבחן tזה הינו מספר הדגימות (סה"כ) פחות ( 2כי ישנם 2פרמטרים במשוואה שהותאמה): t* t1 / 2 n 2 29 אם ישנו רק פרמטר אחד ,אז מספר דרגות החופש יהיה .n-1 ניסוי :סטטיסטיקה שימושית עמוד 17מתוך 53 עדכון אחרון 5323/2/30/ :ע"י גיא וינר ()29 המשתנה הסטטיסטי tהמחושב הינו: L1 0 S L1 ()31 t 30 כאשר השונות של השיפוע L1משוערך על ידי: S e2 n 1S x2 S L1 ()31 31 כאשר Se2הינה השונות של ההתאמה הליניארית ,והיא מחושבת על ידי: y xi n 2 i y i 1 S e2 ()32 32 מספר דרגות החופש של ההתאמה הליניארית , ,הוא בהתאם להתאמה ומספר הדגימות :אם היו לכם פרמטרים בהתאמה ,מספר דרגות החופש יהיה . n הערך Sxהוא השונות של המשתנה של ציר ה ,x -לפי הנוסחא לשונות מדגמית בנספח א .בנוסף yi ,הוא ערך ניסויי (השייך למשתנה של ציר ה ,)y -ו y(xi) -הוא הערך המתקבל מההתאמה הליניארית כאשר מזינים את הערך הניסויי ( xiהשייך למשתנה של ציר ה :)x -כלומר . yxi L1 xi L0 ניסוי :סטטיסטיקה שימושית עמוד 18מתוך 53 עדכון אחרון 5323/2/30/ :ע"י גיא וינר חלק ב' .4דוח מכין נא להגיש את הדו"ח המכין יחד עם קוד המטלב בהדפסה לפני ביצוע הניסוי במעבדה .לפירוט על פקודות מטלב ,ראו נספח ה'. .1חשבו את משקל הסוכרוז שיש לערבב עם 31גרם מים מזוקקים כדי לקבל תמיסות סוכרוז בעלות ריכוזים של 500Bx ,400Bx ,300Bx ,200Bxו .600Bx -להזכירכם ,מעלה בריקס היא אחוז משקלי של הסוכר בתמיסה .הראו דוגמת חישוב עבור אחד הריכוזים. .2ויסקומטר כדור נופל מערב מדידת זמן נפילתו של כדור בתוך נוזל צמיג ניוטוני .בויסקומטר זה, המרחק בין הכדור לדפנות צריך להיות גדול לפחות פי 3מקוטר הכדור בכדי להזניח את הדפנות. עבור ויסקומטר מסוג זה ,בהנחה שמספר ריינולדס Re U max d נמוך ,מתקיים הקשר, f d 2 g s 18 U max ()33 33 מתי לדעתכם עדיף השימוש בויסקומטר כדור נופל על פני ויסקומטר כדור מתגלגל ,ולהיפך? מהם יתרונותיו וחסרונותיו של ויסקומטר כדור נופל? .3בבדיקה שנעשתה על פרסומים בכתב העת היוקרתי " "New England Journal of Medicineנמצא שרק ב 36% -מהמחקרים הקליניים שהציגו תוצאות שליליות היו בעלי עוצמה סטטיסטית גדולה מספיק כך שיוכלו לזהות שינוי משמעותי (מתואר ע"י הגודל ) d minשל ,50%ורק ב 16% -מהמחקרים יכלו לזהות שינוי משמעותי של .)Moher et al. 1994( 25%תארו בקצרה את ההשלכות של שימוש במבחן tהשוואתי עם מעט מידי דגימות ,וכיצד יכול להיווצר מצב שבו מתקבלת תוצאה שלילית שגויה (אי-דחיית .)H0הסבירו בקצרה מדוע לדעתכם תופעה זו קיימת ,וציינו לפחות שתי דרכים כיצד ניתן להתגבר עליה. .4נסחו מבחן דו-צדדי השוואתי הבודק אם יש הבדל בין שני משתנים אקראיים המתפלגים נורמלית Y1 ו .Y2 -למשתנים יש סטיית תקן זהה ,ומהאוכלוסיות של כל אחד נלקחו nדגימות .נסחו את החישוב הכללי לעוצמת המבחן עבור הבדל . d min ניסוי :סטטיסטיקה שימושית עמוד 19מתוך 53 עדכון אחרון 5323/2/30/ :ע"י גיא וינר .5במטלב ,צרו שלושה וקטורים B ,Aו( C-בעלי 15איברים כל אחד) המתפלגים נורמלית עם ממוצעים וסטיות תקן לפי טבלה .2הציגו היסטוגרמות עבור כל וקטור באמצעות פקודת .histעדיף להשתמש בפקודת ( subplotעם 3שורות ועמודה אחת) עבור כל משתנה בשביל תצוגה נוחה .על גבי כל היסטוגרמה הוסיפו עקומת התפלגות נורמלית (בצבע שונה) בעלת ממוצע וסטיית תקן כנתון בטבלה 2 (השתמשו בנוסחה 11ובפקודות .hold on/offהכפילו את העקומות בקבוע שרירותי כך שצורתן הגאוסיאנית תהיה ברורה .וודאו שלכל הגרפים טווחים זהים בצירי .Y ,Xבנוסף ,הציגו על גרף אחד ,boxplotsעם ממוצעים ,עבור הוקטורים שיצרתם. C B A 14 11 10 μ 3 3 3 σ טבלה .2פרמטרים סטטיסטיים עבור סעיף .5 .6נסחו מבחן tהשוואתי חד-צדדי ובצעו אותו בין הוקטורים Bל ,A -ובין הוקטורים Cל ,A -מהנתונים שייצרתם בסעיף .5במבחנים ,בידקו את ההשערות שהממוצעים של Bו C -גדולים מ .A -בצעו את המבחנים ברמת מובהקות של , 0.05ושוב ברמת מובהקות של . 0.01הציגו תוצאות ותנו הסבר קצר למשמעותן. ניסוי :סטטיסטיקה שימושית עמוד 21מתוך 53 עדכון אחרון 5323/2/30/ :ע"י גיא וינר חלק ג' .1תיאור הניסוי ראשית נמצא את הקשר בין צמיגות תמיסת הסוכרוז לבין ריכוז הסוכרוז ,על ידי זמן הגילגול של כדור למרחק קבוע .הפרמטרים המייצגים את הקשר הזה ייתנו עקום סטנדרט למדידת צמיגות .בשלב הבא, נמדוד את צמיגותן של שתי תמיסות סוכרוז בריכוזים לא ידועים .בעיבוד הנתונים ,נבצע מבחן סטטיסטי לבדיקה אם שתי תמיסות אלו שונות אחת מהשניה. ציוד: )1 )2 )3 )4 )5 )6 )7 )8 מתקן ויסקומטר מפלסטיק ,בעל 3זוויות שונות. שבעה צינורות פרספקס (אורך – ~25ס"מ ,קוטר פנימי 6.5מ"מ). שבעה כדורי נירוסטה (קוטר 6 -מ"מ ,צפיפות – .)7.8 g/cm3 חמש תמיסות סוכרוז בריכוזים שונים ידועים. שתי תמיסות סוכרוז בריכוזים לא ידועים. טיימר למדידת זמן גלגול הכדורים. קליבר. מד טמפרטורה. מערכת הניסוי מוצגת באיור .7במערכת אפשרות לביצוע מדידת זמן גלגול בשלושה זוויות שונות .בצידו האחד נמצא חלקו העליון של הצינור .בצידו השני נמצא חלקו התחתון של הצינור .כאשר מוכנים להתחיל בגלגול ,מטים את הצינור מטה כך שהכדור יתחיל בגלגול והחלק התחתון של הצינור יושב היטב בגומחה המתאימה לו. ב א איור .7מערכת הניסוי .א .מבט על המערכת עם צינור מלא בתמיסת סוכרוז .200Bxב .מבט על החלק העליון של הצינור ,בו ניתן להבחין בכדור נירוסטה המוחזק על ידי מגנט .הסרגל של סנטימטרים. ניסוי :סטטיסטיקה שימושית עמוד 21מתוך 53 עדכון אחרון 5323/2/30/ :ע"י גיא וינר .6מהלך הניסויים א .תחילה ,מדדו ורשמו את הטמפרטורה בחדר. ב .ניסוי :5עקום סטנדרט לצמיגות תמיסת סוכרוז עבור כל תמיסת סוכרוז בריכוז ידוע ,מידדו את הזמן הלוקח לכדור להתגלגל למרחק של 4 ס"מ 11 ,פעמים לכל תמיסה. )1וודאו שהצינורות למדידות צמיגות מלאים עד הסוף בתמיסה ,שאינם מטפטפים ושהכדור בפנים .רישמו את המיקום החריץ במתקן הויסקומטר שבו תבצעו את הניסוי ,לפי הוראותיו של המדריך. )2סמנו על הצינוריות שקיבלתם שני סימונים באמצעות טוש ,כאשר המרחק בין הסימונים הוא לפחות 4ס"מ .מרחק זה יהיה מרחק הבקרה בו תמדדו את זמן (ומהירות) הגלגול. )3שחררו את הכדור כך שיתחיל להתגלגל מעל לקו שחור חיצוני המסומן על הצינורית (ראה .) )4המרחק בין זוג קווים שחורים חיצוני ופנימי הוא המרחק המינימלי הדרוש להשלמת התאוצה של הכדור ולהגעה למהירות קבועה. )5כאשר הכדור חולף על פני סימון העליון שסימנתם ,התחילו במדידת זמן הגלגול באמצעות הטיימר .כאשר הכדור חולף על פני הסימון התחתון של שסימנתם ,עיצרו את הטיימר. )6רישמו את זמן הגלגול אותו מדדתם ,וחיזרו שוב על שלבים ,4-7סך הכל 11חזרות עבור כל תמיסה. הערה :ניתן לתת לכדור להתגלגל עד סוף הצינור ,ולהפוך אותו בין מדידות עוקבות. ג .ניסוי :2תמיסות לא ידועות עבור שתי תמיסות בריכוזים לא ידועים ,בצעו מדידת זמני הגלגול של כדורים באותו אופן כמו בניסוי 1לעיל .רישמו לפניכם את השמות של התמיסות ,וציינו אותם בדו"ח המסכם. איור .8צינורית אחת ,בה רואים את הקווים השחורים .כל זוג קווים מסמן את המרחק המינימלי שנדרש בשביל שהכדורים יגיעו למהירות הגלגול המקסימלית שלהם. ניסוי :סטטיסטיקה שימושית עמוד 22מתוך 53 עדכון אחרון 5323/2/30/ :ע"י גיא וינר חלק ד' .7ניתוח תוצאות כל העבודה ,כולל יצירת גרפים ,צריכה להיות במטלב .לפירוט על פקודות מטלב ,ראו נספח ה'. א .ציינו לפחות 3מקורות לשגיאה ואת סוג השגיאה בניסויים שביצעתם .אין צורך בחישובים. ב .חשבו את מספר ריינולדס הממוצע עבור כל תמיסת סוכרוז בריכוז ידוע ,ובידקו כי למינריות מתקיימת (איור 2ב) .שימו לב שאם למינריות לא מתקיימת עבור נתונים מסויימים ,לא ניתן להשתמש בהם ויש להשמיטם. ג .בעזרת הנתונים בנספח ג' ,התאימו קו ישר בשיטת הריבועים הפחותים עבור תמיסות סוכרוז בתחום 00Bx – 300Bxבטמפרטורה שבה ביצעתם את הניסוי (השתמשו בפונקציה .)fit המשתנה הבלתי תלוי הוא אחד חלקי ריכוז הסוכרוז ,והמשתנה התלוי הוא אחד חלקי צמיגות התמיסה .מיצאו את r2של ההתאמה .הציגו יחד על אותו הגרף את הנתונים ,הקו שהתאמתם ,את משוואת הקו ואת ה r2 -של ההתאמה. ד .לכל הנתונים שאספתם מתמיסות הסוכרוז בריכוזים ידועים (ניסוי )1התאימו קו ישר בשיטת הריבועים הפחותים (השתמשו בפונקציה .)fitהמשתנה הבלתי תלוי הוא צמיגות התמיסה והמשתנה התלוי הוא זמן הגלגול .מיצאו את r2של ההתאמה .הציגו על אותו הגרף את כל הנתונים ,הקו שהתאמתם ,את משוואת הקו ואת ה r2 -של ההתאמה. ה .חשבו את ריכוזי הסוכרוז (ממוצעים) של התמיסות הידועות באמצעות הקשרים שמצאתם בסעיפים ג' ו -ד .הציגו היסטוגרמות עבור ריכוז הסוכרוז המחושב לכל תמיסה ידועה .בשביל תצוגה נוחה ,עדיף להשתמש בפקודת subplotעם 5שורות ועמודה אחת .על גבי כל היסטוגרמה הוסיפו עקומת התפלגות נורמלית (בצבע שונה) בעלת ממוצע וסטיית תקן מדגמית (השתמשו בנוסחה 11ובפקודות .)hold on/offהכפילו את העקומות בקבוע שרירותי כך שצורתן הגאוסיאנית תהיה ברורה .וודאו שלכל הגרפים טווח זהה בצירים Xו.Y - ניסוי :סטטיסטיקה שימושית עמוד 23מתוך 53 עדכון אחרון 5323/2/30/ :ע"י גיא וינר ו .הציגו על גרף אחד ( boxplotsעם ממוצעים) של ריכוזי הסוכרוז המחושבים (כל הנתונים) עבור התמיסות בריכוזים ידועים .ציר Xהוא ריכוזי הסוכרוז הידועים ,וציר Yריכוזי הסוכרוז המחושבים .וודאו שלכל הגרפים טווח זהה בציר Yבשביל שיהיה ניתן להשוות ביניהם. ז .בצעו מבחן tדו-צדדי לשיפוע הקוו שהתאמתם בסעיף ד' .הציגו את חישוביכם ודונו במשמעויות התוצאות .השתמשו בפונקציית tinvלמציאת הערך הקריטי * ,tתוך וידוי כי קיבלתם את הערך הנכון על ידי נספח ב'. ח .מיצאו את ריכוזי הסוכרוז (ממוצעים) בשתי התמיסות הלא ידועות שבדקתם באמצעות ההתאמות הליניאריות מסעיפים ג' ו -ד' .הציגו על גרף אחד את הקו שהתאמתם בסעיף ג' ואת הריכוזים המחושבים של שתי התמיסות הלא ידועות .בנוסף ,הציגו היסטוגרמות עבור כל תמיסה לא ידועה ,ו( boxplots -עם ממוצעים). ט .בצעו מבחן tהשוואתי דו-צדדי לריכוזי הסוכרוז של התמיסות הלא ידועות שבדקתם .הציגו את חישוביכם .השתמשו בפונקציית tinvלמציאת הערך הקריטי * ,tתוך וידוי כי קיבלתם את הערך הנכון על ידי נספח ב'. י. מבין כל התמיסות הידועות שבחנתם ,מצאו את סטיית התקן הגדולה ביותר של הצמיגות המחושבת מתוך ההתאמה הליניארית מסעיף ד' .ערך זה יהווה חסם עליון לניחוש של סטיית התקן של צמיגות תמיסת סוכרוז במעבדה זו (נסמן אותה Sוהיא תחליף את σהתיאורטי). נניח ש S -נכון לכל ריכוז סוכרוז .מיצאו את מספר הדגימות המינימלי שצריך לאסוף מכל תמיסה לא ידועה ,כדי למצוא הבדל מינימלי בריכוז הסוכרוז של ( d min 5o Bxבטווח הריכוזים שמצאתם בסעיף ח' עבור התמיסות הלא ידועות) ברמת מובהקות α=0.05ועוצמה .1-β=0.8 יש לתרגם את d minל min -באמצעות הקשר הליניארי שמצאתם בין צמיגות לריכוז .הראו את חישוביכם .דונו בהבדל (אם היה) בין ערך מספר דגימות מינימלי זה לבין מספר הדגימות שנלקח בניסוי .כיצד הייתם משנים את הניסוי אילו הייתם מבצעים אנליזת עוצמה מראש? יא .הסבירו ,באמצעות 2דוגמאות קלינית-מחקריות ,את החשיבות ואופן יישומו של power ,analysisוכיצד הוא מסייע לבניית מחקרים ברי משמעות והשקעה מיטביים. ניסוי :סטטיסטיקה שימושית עמוד 24מתוך 53 עדכון אחרון 5323/2/30/ :ע"י גיא וינר .8דוח סופי להגשה א .דף שער עם שמות ,מספרי זהות ,מספר הקבוצה ,שם הניסוי ותאריך ביצוע הניסוי. ב .תקציר המסכם את הדו"ח :רקע ,מטרות ,מהלך הניסוי ,תוצאות ,מסקנות .אורך כחצי עמוד. ג .מבוא באורך של עד שני עמודים .המבוא יכלול בתוכו: )1תמצית הרקע התיאורטי )2מטרות הניסוי )3תיאור הניסוי בקצרה ד .גוף הדו"ח :כל התוצאות הגולמיות ,וניתוחן .יש להציג את תוצאות הניסוי (כולל הצגה גרפית) וניתוחן .יש לענות על כל השאלות בסעיף ניתוח התוצאות. ה .סיכום ומסקנות :חצי עמוד עד עמוד .יש להתייחס למשמעויות של חלקי ניתוח התוצאות בניסוי זה ,יחד עם חשיבותן למחקר בכלל .קשרו בין מסקנותיכם בניסוי שיערוך וקידום שגיאות לבין ניסוי זה. על כל הגרפים להיות ברורים ככל הניתן – נקודות יורדו על כל גרף שאינו ברור. הדו"ח יוגש באותן הזוגות כפי שעבדתם במעבדה .ההגשה תהיה עד שבועיים מיום ביצוע המעבדה. את הדו"ח יש להגיש בדואר אלקטרוני בלבד אל המדריך[email protected] : ניסוי :סטטיסטיקה שימושית עמוד 25מתוך 53 עדכון אחרון 5323/2/30/ :ע"י גיא וינר חלק ה' .9נספחים נספח א' :מושגי יסוד בסטטיסטיקה משתנה אקראי – אוסף ערכים שנמדדים בד"כ על ידי ניסוי. פילוג צפיפות הסתברות – צפיפות ההסתברות מראה בצורה גרפית את הערכים של המשתנה האקראי המנורמל .סך כל השטח מתחת לגרף פילוג צפיפות ההסתברות הוא אחד (מנורמל) .כאשר המשתנה האקראי בדיד ,מדובר בערכים בדידים בלבד ,אך אם המשתנה רציף או שנאספו "אינסוף" ערכים בדידים ,הפילוג יהיה עקומה רציפה .צורת הגרף עצמה מוגדרת על ידי פונקצית ההסתברות. מהגרף ניתן לקבל את ההסתברות שהמשתנה האקראי יהיה בעל ערך מסוים ,כשמסתכלים על השטח מתחת לגרף בטווח הערכים הרצויים. פונקצית ההסתברות – ההסתברות שהערך של המשתנה האקראי יהיה קטן מערך כלשהו שנקבע מראש (משתנה פונקצית ההסתברות) .אם מדובר במשתנה אקראי בדיד ,אזי פונקצית ההסתברות היא: k FX xk P X xk P X xi i 1 & 1 k n xi x1,..., xn ()34 34 אם מדובר במשתנה אקראי רציף ,אזי פונקצית ההסתברות היא: f x dx x FX x P X x ()35 35 סכום ההסתברויות (במשתנה רציף ,אינטגרל על פילוג ההסתברות) על כל תחומו של משתנה האקראי (מנורמל) שווה ל .1 -הערה :פונקצית הסתברות נורמלית תקנית איננה בעלת ביטוי אנליטי, ולכן משתמשים בערכים מטבלה .ניתן לראות את הערכים האלו בנספח ב' עבור ( df התפלגות t עם אינסוף דרגות חופש ,ראו הסבר בתכנון גודל מדגם בעמוד .)9 ניסוי :סטטיסטיקה שימושית עמוד 26מתוך 53 עדכון אחרון 5323/2/30/ :ע"י גיא וינר פונקציה של משתנה אקראי – אם Xהוא משתנה אקראי ,ו Y -הוא פונקציה של Xלפי, , Y gX ()36 36 אזי גם Yהוא משתנה אקראי בעל פונקצית הסתברות המתוארת על ידי: . FY Y PY y Pg X y ()37 37 אך במקרה הפרטי שבו gהינה פונקציה מונוטונית עולה ,מתקיים, FY Y P X g 1 y FX g 1 y FX x ()38 38 חישוב הסתברות מתוך צפיפות ההתפלגות – נניח ש X -משתנה אקראי רציף המתפלג בצורה נורמלית תקנית ואנחנו נרצה לחשב את ההסתברות ש X -יקבל ערך בין ( )-1ל .2 -באמצעות פונקצית הסתברות נורמלית תקנית ,אנחנו יודעים לחשב את ההסתברויות ש X -מקבל ערך קטן/שווה ל 2 -או ל .)-1( -החסרה של שתי ההסתברויות הללו תיתן לנו את ההסתברות הרצויה (ראו איור .)9באופן כללי ,ההסתברות ש Y -משתנה אקראי כללי (רציף) יקבל ערך בטווח שבין aל b -ניתן על ידי, . Pa Y b PY b PY a FY b FY a 39 ניסוי :סטטיסטיקה שימושית עמוד 27מתוך 53 עדכון אחרון 5323/2/30/ :ע"י גיא וינר ()39 P 1 X 2 P X 1 איור .9חישוב הסתברות ש X -משתנה אקראי נורמאלי תקני יקבל ערך בין ( )-1ל.2 - ממוצע מדגמי – הוא הערך המשוערך שמשתנה אקראי אמור לקבל במצב אידיאלי ,ללא רעשים או השפעות מהסביבה .משום שדגימות מניסוי הן בדידות ,נתבונן על המקרה של משתה אקראי בדיד. אלגברית ,הממוצע ניתן לשערוך על ידי: n i x i 1 n X ()41 40 שונות מדגמית – מידת הפיזור של משתנה אקראי .השונות מבטאת את הסטייה הממוצעת של דגימות של משתנה כלשהו מהממוצע של אותו המשתנה .במילים אחרות השונות היא ממוצע ריבועי השגיאות .במקרה של משתנה אקראי בדיד ,ניתן לשערך את השונות על ידי הביטוי, 2 X X n i n 1 i 1 S2 ()41 45 סטיית התקן המדגמית הינה שורש השונות המדגמית .החזקה השנייה בתוך הסכום קיימת כדי שההפרשים החיוביים לא יבטלו את ההפרשים השליליים ,והחלוקה היא במספר דרגות החופש (.)n-1 למעשה השונות גם היא משתנה אקראי .כאשר מספר הדגימות גדול מאוד ,המכנה הופך ל.)n( - ניסוי :סטטיסטיקה שימושית עמוד 28מתוך 53 עדכון אחרון 5323/2/30/ :ע"י גיא וינר נספח ב' :טבלת הסתברות מצטברת (הפוכה) עבור התפלגות .t הערכים tשל משתנה אקראי המתפלג לפי התפלגות ,tכתלות בהסתברות )* P(t>tומספר דרגות החופש (.)df t-Distribution )p = P(t>t*) = P(t>t1-p Probability t = t*= t1-p ניסוי :סטטיסטיקה שימושית עמוד 29מתוך 53 עדכון אחרון 5323/2/30/ :ע"י גיא וינר נספח ג' :צמיגות תמיסות סוכרוז נתון כתלות בטמפרטורה וריכוז סוכרוז טהור במים ,ביחידות של : cP = 1x10-2 Poise ρ cP g/L Bx Sucr. 1.018 1.144 50.9 5 1.038 1.333 103.8 10 1.059 1.589 158.90 15 1.081 1.941 216.20 20 1.104 2.442 275.90 25 1.127 3.181 338.10 30 1.151 4.314 402.90 35 1.176 6.150 470.60 40 1.203 9.360 541.10 45 1.230 15.400 614.80 50 o ניסוי :סטטיסטיקה שימושית עמוד 31מתוך 53 עדכון אחרון 5323/2/30/ :ע"י גיא וינר נספח ד' :צפיפות תמיסת סוכרוז טהור כתלות באחוז משקלי (( )DSמתוך .)Asadi 2005 ניסוי :סטטיסטיקה שימושית עמוד 31מתוך 53 עדכון אחרון 5323/2/30/ :ע"י גיא וינר נספח ה' :פקודות מטלב שימושיות ( * = הפונקציה מותקנת וקיימת במחשבים בחוות הפקולטה). )normrnd(mu,sigma,m,n יצירת מטריצה בעלת mשורות ו n-עמודות ,אשר איבריה נלקחו מהתפלגות נורמלית בעלת ממוצע muוסטיית תקן .sigma )boxplot(X יצירת דיאגרמות boxplotשל מספר ניסויים כמספר העמודות של מטריצת Xומספר שורות כמספר החזרות בכל ניסוי .הדיאגרמה הבאה מציגה דוגמה לפלט הפונקציה (עמודה אחת ממטריצת .)X * * אחוזון (“whisker”) 99.65% אחוזון (“3rd Quartile”) 75.00% אחוזון (“2nd Quartile”) 50.00% אחוזון (“1st Quartile”) 25.00% אחוזון (“whisker”) 0.3500% חריג אחוזון 50.00%מייצג את הערך ש 50.00% -מהנתונים קטנים/שווים אליו ( .)medianה “box” -תחום על ידי ה“whiskers” - האחוזונים 75.00%ו.25.00% - מייצגים את האחוזונים 0.3500%ו .99.65% -חריגים הינם נתונים שנמצאים מתחת לאחוזון 0.3500%או מעל אחוזון .99.65% הערה :יש להוסיף סמן למיקום הממוצעים האלגבריים לאחר הפקודה ( hold onנותן את האפשרות לצייר על אותו הגרף עוד פעמים) ,ואז באמצעות scatterשל ערכי הממוצעים (מצייר את הממוצעים כנקודות). יצירת היסטוגרמה מוקטור הנתונים ,Aאשר מראה את מספר הנתונים הנמצאים בתוך nbinsתחומים בגודל שווה .למשל ,אם nbinsשווה ,5הפונקציה מחלקת את הטווח של הנתונים ב A -ל 5 -תחומים שווים ,ומוצא כמה מהם נופלים בכל תחום. )hist(A,nbins ניסוי :סטטיסטיקה שימושית עמוד 32מתוך 53 עדכון אחרון 5323/2/30/ :ע"י גיא וינר )ffun=fittype(expr יצירת אובייקט התאמה ffunמתוך ,exprשמשתמשים בו בפונציית .fitבמקרה של התאמת פונקציה ) f(xבעלת משתנה יחיד expr ,יכול להיות מחרוזת תווים שמבטאת את ) f(xכפונציה של xעם פרמטרים שאותם יש למצוא. למשל ,עבור התאמה ריבועית expr ,יכול להיות ' ,'a+b*x+c*x^2כאשר b ,aו c -הינם הפרמטרים .ישנם עוד שימושים מגוונים וחזקים של פונקציה זו. )>[myfit,gof]=fit(x,y,ffun,<fitoptions ביצוע התאמה לפי אובייקט ההתאמה ffunלנתונים x (משתנה בלתי-תלוי) ו( y -משתנה תלוי) .התוצאה myfit הינו משתנה מסוג ,cfitוניתן לקבל את הערכים שהותאמו לפרמטרים על ידי, * * myfit.ParamName ניתן להגדיר ב <fitoptions> -אופציות נוספות (ללא הסוגריים) ,כגון StartPointשמגדיר את הניחוש ההתחלתי שפונקצית fitתשתמש במציאת הפרמטרים שהוגדרו ב ,ffun -על ידי נתינת וקטור הערכים לניחוש כל פרמטר .אופן הגדרה היא (עבור התאמה עם שני פרמטרים): )]fit(x,y,ffun,'StartPoint',[1 2 הפלט השני gofהינו structureהנותן מידע השימושי להערכת טיב ההתאמה .ספציפית r2 ,נתון על ידי, gof.rsquare ישנן עוד הרבה הגדרות שימושיות שאותן ניתן לשרשר בתוך ,fitואותן ניתן למצוא תחת הערך " "fitoptionsב- helpשל מטלב. מוצא את הערך tשעבורו ההסתברות המצטברת של התפלגות tשווה .pהמשתנה freeהוא מספר דרגות החופש. )t=tinv(p,free * ניסוי :סטטיסטיקה שימושית עמוד 33מתוך 53 עדכון אחרון 5323/2/30/ :ע"י גיא וינר hold on – hold onלאחר יצירת גרף ושרטוט עקומה ,קוראים לפקודה זו כדי לאפשר הוספת עקומות נוספות ללא איתחול הגרף. – hold offכל שינוי שיעשה בגרף עכשיו יאתחל אותו (ריק). )subplot(rows,cols,ind יצירת "מטריצה" של גרפים בתוך figureאחד ,כאשר למטריצה מספר שורות rowsומספר עמודות .colsאת הפקודה הזו יש לקרוא לפני כל פקודה ליצירת גרף חדש, כאשר rowsו cols -אינם משתנים .כדי לבחור את המיקום של הגרף החדש בתוך "מטריצת" הגרפים, בוחרים ערך ל ind -מתאים ,כאשר indהוא מספר הגרף ב"מטריצה" .מספור הגרפים הוא משמאל לימין ,ומלמעלה למטה .לדוגמה: hold off 1 2 3 4 5 6 ניסוי :סטטיסטיקה שימושית עמוד 34מתוך 53 עדכון אחרון 5323/2/30/ :ע"י גיא וינר מקורות:'נספח ו 1. Asadi, M. Beet-Sugar Handbook (p. 779 – 780). John Wiley & Sons (2005). 2. Hoynak PX and Bollenback GN, This is Liquid Sugar (p. 224 – 225). Key Book Service, Inc. (1966) 2nd Ed. 3. Hubbard RM and Brown GG. The rolling ball viscometer. Indust Eng Chem 15(3): 212218 (1943). 4. Moher D, Dulberg CS, Wells GA. Statistical Power, Sample Size, and Their Reporting in Randomized Controlled Trials. JAMA 272: 122-124 (1994). 5. Quintas M et al. Rheology of supersaturated sucrose solutions. J Food Eng 77: 844-852 (2116). סטטיסטיקה שימושית: ניסוי ע"י גיא וינר5323/2/30/ :עדכון אחרון 53 מתוך35 עמוד
© Copyright 2024