‫אוניברסיטת ת"א‬ ‫סמסטר א'‪ ,‬תשע"ד‬ ‫תרגיל בית ‪ 7‬במבני נתונים‬ ‫תזכורת‪ :‬על כל התשובות להיות מנומקות‪.‬‬ ‫שאלה ‪1‬‬ ‫תזכורת להגדרה של עץ בינומי‪ :‬עץ מדרגה ‪ 0‬צומת בודד ללא ילדים (רק שורש)‪ .‬עץ מדרגה ‪ :k‬שורש של עץ מדרגה‬ ‫‪ k-1‬תלוי על שורש של עץ מדרגה ‪ k-1‬אחר (כמו שהראנו בתרגול)‪.‬‬ ‫בהינתן ההגדרה הנ"ל‪ ,‬הוכיחו את התכונות הבאות של עצים בינומיים מדרגה ‪:k‬‬ ‫א‪.‬‬ ‫ב‪.‬‬ ‫ג‪.‬‬ ‫ד‪.‬‬ ‫בעץ יש ‪ 2k‬צמתים‪.‬‬ ‫לעץ עומק ‪( k‬עומק = מספר הקשתות במסלול הארוך ביותר משורש לעלה)‪.‬‬ ‫לשורש של העץ ‪ k‬ילדים‪ ,‬שהם שורשים של עצים בדרגות ‪.0,…,k-1‬‬ ‫(‪ k‬מעל ‪ ,d‬מקדם בינומי)‪.‬‬ ‫מספר הצמתים בעומק ‪ d‬בעץ הוא‬ ‫שאלה ‪2‬‬ ‫הציגו מימוש בעל סיבוכיות זמן ריצה אסימפטוטי (כפונקציה של גודל הערימה) טובה ככל שתוכלו עבור הפעולה‬ ‫)‪ ,split(r‬שנגדיר על ערימה בינומית כלהלן‪:‬‬ ‫הפעולה מתבצעת על ערימה בינומית בעלת ‪ n‬איברים‪.‬‬ ‫הנתון הוא מספר שלם ‪.1≤r≤n-1‬‬ ‫התוצאה היא חלוקה של הערימה הנתונה לשתי ערימות בינומיות בגדלים ‪ r‬ו‪.(n-r)-‬‬ ‫איברי הערימה המקורית המתחלקים שרירותית בין שתי הערימות החדשות‪.‬‬ ‫שאלה ‪3‬‬ ‫ענו על השאלה הבא עבור כל סוג ערימה‪ .‬נוסיף לערימה פעולה )‪ ,whereToInsert(x‬שמקבלת עדיפות ‪ ,x‬ומחזירה‬ ‫באיזה אינדקס במערך בערימה בינארית או באיזה דרגה של עץ הוא יוכנס אם הוא היה מוכנס‪ .‬אין לשנות את‬ ‫הערימה‪ ,‬רק להחזיר מה היה קורה אילו הערך היה מוכנס‪.‬‬ ‫א‪ .‬ערימה בינארית (מקום במערך שבו היה יושב הערך בתום פעולת ההכנסה)‪.‬‬ ‫ב‪ .‬ערימה בינומית (דרגת העץ אליו היה מוכנס בתום פעולת ההכנסה)‪.‬‬ ‫ג‪ .‬ערימת פיבונצ'י (דרגת העץ אליו היה מוכנס בתום פעולת ההכנסה)‪.‬‬ ‫שאלה ‪4‬‬ ‫השאלה מתייחסת לערימה בינומית עצלה‪.‬‬ ‫בכיתה ראיתם מימוש חליפי ל‪ .successive linking-‬עוברים על כל העצים‪ :‬שמים את העץ בתא שלו לפי הדרגה‪.‬‬ ‫אם אין שם עץ‪ ,‬העץ עובר לרשימה הסופית כמו שהוא‪ .‬אם יש שם עץ‪ ,‬מבצעים ‪ linking‬ואז מעבירים את התוצר‬ ‫לרשימה הסופית‪.‬‬ ‫נכניס לערמה בינומית עם מימוש חליפי זה של ‪( successive-linking‬ומימוש שאר הפעולות כפי שהוגדר בכתה) את‬ ‫האיברים ‪ 1,2,3,4,….,n‬ואז נבצע שתי פעולות ‪ delete-min‬בזו אחר זו‪.‬‬ ‫א‪ .‬מהי סיבוכיות הזמן של כל אחת מפעולות ‪ delete-min‬אלו? מהי סיבוכיות הזמן של כל אחת מפעולות אלו‬ ‫אם ‪ successive-linking‬ממומש בדרך המקורית?‬ ‫ב‪ .‬הוכח חסם על ה‪ amortized-time-‬של ‪ delete-min‬עם המימוש של ‪ successive-linking‬החלופי‪ ,‬ו‪-‬‬ ‫‪ findmin, insert, meld‬ממומשות כפי שתואר בכיתה‪.‬‬