‫‪- 40 -‬‬ ‫ד"ר נוע רגוניס‬ ‫מכללת בית ברל‬ ‫יתרונות הצגת הבעיה ופתרונה‬ ‫מבוא‬ ‫•‬ ‫בהוראת סיבוכיות של אלגוריתמים אנחנו מדברים על‬ ‫בדרך כלל איננו עוסקים בבעיות של מערכים דו‪-‬‬ ‫שיפור בסדר גודל‪ ,‬אך לא מציגים דוגמאות רבות‬ ‫מימדיים בתחום הערכת הסיבוכיות‪ ,‬פרט מן‬ ‫המעידות על שיפורים מסוג זה‪.‬‬ ‫העובדה הבסיסית שסריקת מערך דו‪-‬מימדי‬ ‫הבעיות הקלאסיות אותן אנו מציגים בדרך כלל‬ ‫היא בסיבוכיות של )‪.O(n2‬‬ ‫מופיעות בטבלה המצורפת למטה‪.‬‬ ‫•‬ ‫מאמר זה מציג בעיה המתייחסת למערך דו‪-‬מימדי וידון‬ ‫מערך דו‪-‬מימדי‪.‬‬ ‫בשני פתרונות המראים שיפור בסיבוכיות בסדר גודל‪.‬‬ ‫הבעיה‬ ‫במערך הגדולים מכל הערכים הנמצאים בשורה שלהם‬ ‫ובעמודה שלהם‪.‬‬ ‫הבעיה‬ ‫חיפוש מחלק של מספר‬ ‫•‬ ‫הפתרונות המוצגים מראים שיפור בסדר גודל‪.‬‬ ‫•‬ ‫הייצוג הגראפי של ניתוח הסיבוכיות‪ ,‬יכול‬ ‫לשמש דגם לניתוח סיבוכיות של אלגוריתמים‪.‬‬ ‫כתוב אלגוריתם המקבל מערך ‪ A‬דו‪-‬מימדי של‬ ‫מספרים בגודל ‪ ,N*M‬ומחזיר את מספר הערכים‬ ‫הבעיה דורשת מיומנויות טיפול באינדקסים של‬ ‫בהמשך נציג שני פתרונות‪ .‬בפתרון ‪ ,1‬עבור כל תא‬ ‫במערך ייבדק התנאי‪ :‬האם הערך שבו גדול מכל‬ ‫הערכים שבשורה שלו‪ ,‬וגם גדול מכל הערכים‬ ‫שבעמודה שלו‪ .‬אם התנאי מתקיים יקודם המונה‪.‬‬ ‫בפתרון ‪ ,2‬עבור כל שורה במערך ימצא הערך‬ ‫המקסימאלי בשורה ותישמר בהתאמה גם העמודה‬ ‫שלו‪ .‬עבור המקסימאלי שנמצא בשורה‪ ,‬תיסרק כל‬ ‫העמודה שלו וייבדק התנאי‪ :‬האם הוא גדול מכל‬ ‫הערכים בעמודה זו‪ .‬אם התנאי מתקיים יקודם המונה‪.‬‬ ‫הפתרון‬ ‫די לחפש עד לשורש של המספר‬ ‫שיפור בסיבוכיות‬ ‫מ‪O(n) -‬‬ ‫ל‪O(√n) -‬‬ ‫למשל‪ ,‬בבדיקה האם מספר הוא‬ ‫ראשוני‬ ‫חיפוש ערך במערך ממוין‬ ‫שימוש בחיפוש בינארי במקום‬ ‫חיפוש לינארי‬ ‫מ‪O(n) -‬‬ ‫מיון מערך‬ ‫מיון בשיטה של מיון‪-‬מיזוג במקום‬ ‫שיטות המיון הקלאסיות‬ ‫מ‪ O(n2) -‬ל‪O(nlog2n) -‬‬ ‫הבטים בהוראת מדעי המחשב – ינואר ‪2006‬‬ ‫ל‪O(log2n) -‬‬ ‫‪- 41 -‬‬ ‫פתרון ‪1‬‬ ‫הרעיון לפתרון‬ ‫עבור כל תא במערך ייבדק התנאי‪ :‬האם הערך שבו גדול מכל הערכים שבשורה שלו‪ ,‬וגם גדול מכל הערכים שבעמודה‬ ‫שלו‪ .‬אם התנאי מתקיים יקודם המונה‪.‬‬ ‫האלגוריתם לפתרון‬ ‫מספר‪-‬גדולים‪-‬בשורה‪-‬ובעמודה )‪(A, N, M‬‬ ‫} הפעולה מקבלת מערך ‪ A‬דו‪-‬מימדי של מספרים‪ ,‬ובו ‪ N‬שורות ו‪ M -‬עמודות‪.‬‬ ‫{‬ ‫} הפעולה מחזירה את מספר הערכים במערך הגדולים מכל הערכים בשורה שלהם‬ ‫{‬ ‫} ומכל הערכים בעמודה שלהם‪.‬‬ ‫{‬ ‫} ‪ – Counter‬מונה מספר הערכים המקיימים את התנאי‬ ‫{‬ ‫} ‪ – Ok‬דגל‪ ,‬ערכו ‪ true‬אם האיבר התורן מקיים את התנאי‪ ,‬וערכו ‪ false‬אחרת‬ ‫{‬ ‫} ‪ – I‬מציין שורה‪ – J ,‬מציין עמודה‪ – k ,‬מציין סריקה לעמודה ואח"כ לשורה‬ ‫{‬ ‫‪Counter ³ 0 (1‬‬ ‫‪ (2‬עבור ‪ I‬מ‪ 1 -‬עד ‪ N‬בצע‬ ‫סריקת המערך הדו‪-‬מימדי‪,‬‬ ‫האיבר לבדיקה ]‪A [I, J‬‬ ‫‪ (2.1‬עבור ‪ J‬מ‪ 1 -‬עד ‪ M‬בצע‬ ‫‪(2.1.1‬‬ ‫‪(2.1.2‬‬ ‫‪Ok ³ true‬‬ ‫‪K ³ 1‬‬ ‫‪(2.1.3‬‬ ‫כל עוד )‪ (K ≤M‬וגם )‪ (Ok‬בצע‬ ‫‪ (2.1.3.1‬אם ]‪ A[I, J] < A[I, K‬אזי‬ ‫‪Ok ³ false (2.1.3.1.1‬‬ ‫בדיקה על פני‬ ‫השורה ‪I‬‬ ‫‪ (2.1.3.2‬אחרת‬ ‫‪K ³ K + 1 (2.1.3.2.1‬‬ ‫‪K ³ 1 (2.1.4‬‬ ‫‪ (2.1.5‬כל עוד )‪ (K ≤N‬וגם )‪ (Ok‬בצע‬ ‫‪ (2.1.5.1‬אם ]‪ A[I, J] < A[K, J‬אזי‬ ‫בדיקה על פני‬ ‫העמודה ‪J‬‬ ‫‪Ok ³ false (2.1.5.1.1‬‬ ‫‪ (2.1.5.2‬אחרת‬ ‫‪K ³ K + 1 (2.1.5.2.1‬‬ ‫‪ (2.1.6‬אם ‪ Ok‬אזי‬ ‫‪Counter ³ Counter + 1 (2.1.6.1‬‬ ‫‪ (3‬החזר ‪Counter‬‬ ‫הבטים בהוראת מדעי המחשב – ינואר ‪2006‬‬ ‫‪- 42 -‬‬ ‫הערכת סיבוכיות הפתרון‬ ‫על מנת להעריך את סיבוכיות האלגוריתם‪ ,‬נוריד ממנו את כל הפעולות שהן בסדר גודל )‪ ,O(1‬ונשאר עם מבנה‬ ‫הלולאות‪ .‬יש לשים דגש כמובן על קינון הלולאות‪.‬‬ ‫לולאה על ‪N‬‬ ‫שורות‬ ‫)‪O(n‬‬ ‫‪ (2‬עבור ‪ I‬מ‪ 1 -‬עד ‪ N‬בצע‬ ‫לולאה על ‪M‬‬ ‫עמודות‬ ‫)‪O(n‬‬ ‫‪ (2.1‬עבור ‪ J‬מ‪ 1 -‬עד ‪ M‬בצע‬ ‫לולאה על‬ ‫השורה ‪I‬‬ ‫‪ M‬עמודות‬ ‫)‪O(n‬‬ ‫לולאה על‬ ‫העמודה ‪J‬‬ ‫‪ N‬שורות‬ ‫)‪O(n‬‬ ‫‪(2.1.2‬‬ ‫‪K ³ 1‬‬ ‫‪(2.1.3‬‬ ‫כל עוד )‪ (K ≤M‬וגם )‪ (Ok‬בצע‬ ‫‪K ³ 1 (2.1.4‬‬ ‫‪ (2.1.5‬כל עוד )‪ (K ≤N‬וגם )‪ (Ok‬בצע‬ ‫כלומר‪:‬‬ ‫)‪O(n‬‬ ‫)‪O(n‬‬ ‫)‪O(n‬‬ ‫⇐‬ ‫)‪O(n‬‬ ‫ולכן הסיבוכיות היא )‪o(n3‬‬ ‫‪(n + n) * n * n‬‬ ‫הבטים בהוראת מדעי המחשב – ינואר ‪2006‬‬ ‫‪- 43 -‬‬ ‫פתרון ‪2‬‬ ‫הרעיון לפתרון‬ ‫עבור כל שורה במערך ימצא הערך המקסימאלי בשורה ותישמר בהתאמה גם העמודה שלו‪ .‬עבור המקסימאלי‬ ‫שנמצא בשורה‪ ,‬תיסרק כל העמודה שלו וייבדק התנאי‪ :‬האם הוא גדול מכל הערכים בעמודה זו‪ .‬אם התנאי מתקיים‬ ‫יקודם המונה‪.‬‬ ‫האלגוריתם לפתרון‬ ‫מספר‪-‬גדולים‪-‬בשורה‪-‬ובעמודה )‪(A, N, M‬‬ ‫} הפעולה מקבלת מערך ‪ A‬דו‪-‬מימדי של מספרים‪ ,‬ובו ‪ N‬שורות ו‪ M -‬עמודות‪.‬‬ ‫{‬ ‫} הפעולה מחזירה את מספר הערכים במערך הגדולים מכל הערכים בשורה שלהם‬ ‫{‬ ‫} ומכל הערכים בעמודה שלהם‪.‬‬ ‫{‬ ‫} ‪ – Counter‬מונה מספר הערכים המקיימים את התנאי‬ ‫{‬ ‫} ‪ – Ok‬דגל‪ ,‬ערכו ‪ true‬אם נערכים בעמודה מקיימים את התנאי‪ ,‬וערכו ‪ false‬אחרת‬ ‫{‬ ‫} ‪ – Max‬ערך מקסימלי בשורה ה‪ – colMax ,I -‬העמודה של הערך המקסימלי בשורה ‪I‬‬ ‫{‬ ‫} ‪ – I‬מציין שורה‪ – J ,‬מציין עמודה‪ – k ,‬מציין סריקה לשורות‬ ‫{‬ ‫‪Counter ³ 0 (1‬‬ ‫סריקת שורות המערך הדו‪-‬מימדי‬ ‫‪ (2‬עבור ‪ I‬מ‪ 1 -‬עד ‪ N‬בצע‬ ‫‪ColMax ³ 1 (2.1‬‬ ‫‪Max ³ A[I, 1] (2.2‬‬ ‫‪ (2.3‬עבור ‪ J‬מ‪ 2 -‬עד ‪ M‬בצע‬ ‫‪ (2.3.1‬אם ]‪ Max < A[I, J‬אזי‬ ‫‪ColMax ³ J (2.3.1.1‬‬ ‫‪Max ³ A[I, J] (2.3.1.2‬‬ ‫סריקת השורה ‪I‬‬ ‫למציאת הערך המקסימלי‪,‬‬ ‫שיושם ב‪,Max -‬‬ ‫ומספר העמודה שלו‬ ‫יושם ב‪ColMax -‬‬ ‫‪Ok ³ true (2.4‬‬ ‫‪K ³ 1 (2.5‬‬ ‫‪ (2.6‬כל עוד )‪ (K≤N‬וגם )‪ (Ok‬בצע‬ ‫‪ (2.6.1‬אם ]‪ Max < A[K, colMax‬אזי‬ ‫‪Ok ³ false (2.6.1.1‬‬ ‫‪ (2.6.2‬אחרת‬ ‫‪K ³ K + 1 (2.6.2.1‬‬ ‫‪ (2.7‬אם ‪ Ok‬אזי‬ ‫‪Counter ³ Counter + 1 (2.7.1‬‬ ‫‪ (3‬החזר ‪Counter‬‬ ‫הבטים בהוראת מדעי המחשב – ינואר ‪2006‬‬ ‫סריקת העמודה ‪ColMax‬‬ ‫לבדיקה האם אין ערך גדול‬ ‫מ‪ Max -‬בעמודה זו‬ ‫‪- 44 -‬‬ ‫הערכת סיבוכיות הפתרון‬ ‫על מנת להעריך את סיבוכיות האלגוריתם‪ ,‬נוריד ממנו את כל הפעולות שהן בסדר גודל )‪ ,O(1‬ונשאר עם מבנה‬ ‫הלולאות‪ .‬יש לשים דגש כמובן על קינון הלולאות‪.‬‬ ‫לולאה על ‪N‬‬ ‫שורות‬ ‫)‪O(n‬‬ ‫‪ (2‬עבור ‪ I‬מ‪ 1 -‬עד ‪ N‬בצע‬ ‫לולאה על השורה ‪I‬‬ ‫)‪ (M-1‬עמודות‬ ‫)‪O(n‬‬ ‫‪ (2.3‬עבור ‪ J‬מ‪ 2 -‬עד ‪ M‬בצע‬ ‫לולאה על העמודה‬ ‫‪ColMax‬‬ ‫‪ N‬שורות‬ ‫)‪O(n‬‬ ‫‪K ³ 1 (2.5‬‬ ‫‪ (2.6‬כל עוד )‪ (K≤N‬וגם )‪ (Ok‬בצע‬ ‫כלומר‪:‬‬ ‫)‪O(n‬‬ ‫)‪O(n‬‬ ‫⇐‬ ‫)‪O(n‬‬ ‫ולכן הסיבוכיות היא )‪o(n2‬‬ ‫‪(n + n) * n‬‬ ‫הראנו שיפור בסיבוכיות מ‪ O(n3) -‬ל‪O(n2) -‬‬ ‫הבטים בהוראת מדעי המחשב – ינואר ‪2006‬‬