‫מונחים‪ :‬גרף פשוט‪ :‬ללא לולאות עצמיות וקשתות מקבילות‪ .‬גרף אציקלי‪ :‬ללא‬ ‫מעגלים‪ .‬גרף קשיר‪ :‬גרף לא מכוון עם מסלול בין כל זוג קדקודים‪.m ≥ n − 1 .‬‬ ‫גרף קשיר בחזקה‪ :‬גרף מכוון עם מסלול מכוון בין כל זוג קדקודים‪ .‬ניתן לפרק‬ ‫לרק"חים‪ .‬עץ‪ :‬גרף לא מכוון‪ ,‬קשיר ואציקלי‪ .‬מסלול אוילר‪ :‬מסלול בגרף‬ ‫שעובר על כל קשת בדיוק פעם אחת‪ .‬מעגל אוילר‪ :‬מסלול אוילר שמתחיל‬ ‫ומסתיים באותו קדקוד‪ .‬גרף דו צדדי‪ :‬אמ"מ אפשר לצבוע את קדקודיו של‬ ‫גרף לא מכוון בשני צבעים‪ ,‬כך שאף קשת לא מחברת בין שני קדקודים בעלי‬ ‫אותו צבע‪ G = (U, W, E) .‬כך ש ‪U ∩ W = ∅ ,U, W ⊆ V‬‬ ‫ואין קשתות בין ‪ U‬ל ‪ .W‬זיווג‪ :‬קבוצת קשתות זרות בקדקודים‪ .‬גודל הזיווג‬ ‫= מס' הקשתות בקבוצה‪ .‬זיווג מקסימום‪ :‬זיווג עם מס' מקס' של קשתות מבין‬ ‫‪ . n‬קדקוד מנתק‪ :‬קדקוד בגרף לא‬ ‫הזיווגים שבגרף‪ .‬זיווג מושלם‪ :‬זיווג בגודל‬ ‫‪2‬‬ ‫מכוון אשר הסרתו )יחד עם הקשתות הסמוכות אליו( מגדילה את מס' רכיבי‬ ‫הקשירות של הגרף‪ .‬קבוצת מוצא‪ :‬קבוצת קדקודים אשר יש ממנה מסלול לכל‬ ‫קדקוד בגרף‪ .‬גרף על‪ :‬גרף המכיל קדקוד עבור כל רק"ח של הגרף המקורי‪.‬‬ ‫לכל זוג רק"חים עם קשת אחת לפחות בינם‪ ,‬תהיה קשת אחת בין הקדקודים‬ ‫המייצגים אותם‪ .‬תמיד אציקלי וניתן למיון טופ'‪ .‬מעגל פשוט‪ :‬עוברים על‬ ‫נמצא גם במעגל פשוט‪.‬‬ ‫כל קדקוד פעם ‪ .1‬כל קדקוד שנמצא במעגל רגיל‪ ,‬‬ ‫ייצוג גרפים‪ :‬מטריצה‪ :‬גרף מכוון‪/‬לא מכוון ללא משקל‪) O n2 :‬ביט ‪ 1‬או‬ ‫‬ ‫‬ ‫‪ .(0‬גרף מכוון‪/‬לא מכוון עם משקלים ‪.O n2 · log(W ) :1, . . . ., W‬‬ ‫רשימת שכנויות )מערך של הקדקודים‪ ,‬כשמכל אחד מהם יוצאת רשימה מקשורת‬ ‫‪:‬‬ ‫של שכנים(‪ .O (n · logn + m · logn) :‬שימושי כשהגרף דליל‪.‬‬ ‫)‪ δ(s, v‬־ המרחק הקצר ביותר בקשתות מ ‪ s‬ל ‪ ∞ .v‬אם אין מסלול מ ‪s‬ל‬ ‫‪ .v‬א"ש ה‪ .δ(s, v) ≤ δ(s, u) + 1 ⇐ (u, v) ∈ E :4‬יהי ‪ u‬הקדקוד‬ ‫הלפני אחרון על מק"ב מ ‪ s‬ל ‪ ,v‬אז‪ .δ(s, u) = δ(s, v) − 1 :‬האלג'‪:‬‬ ‫אתחול‪ :‬לכל ‪.d[v] = ∞, π[v] = N IL, col[v] = white :v ∈ V‬‬ ‫‪ .d[s] = 0, col[s] = grey‬מכניסים את ‪ s‬לתור‪ .‬כל עוד התור לא‬ ‫ריק‪ ,‬מוציאים קדקוד ‪ ,u‬ועוברים על כל השכנים שלו‪ .‬לכל שכן‪ ,‬אם צבעו לבן‪:‬‬ ‫‪ ,col[v] = grey, d[v] + +, π[v] = u‬ונכניסו לתור‪ .‬בסיום טיפול‬ ‫בשכנים‪ .col[u] = black :‬הפ' ‪ π‬מקודדת את המסלול הקצר ביותר )בכיוון‬ ‫ההפוך(‪ .‬סיבוכיות‪ .O(m + n) :‬שימושים‪ :‬בדיקה האם יש מסלול מ ‪ u‬ל‬ ‫‪ .v‬מציאת אורכו של המסלול הקצר ביותר מ ‪ u‬ל ‪ .v‬מציאת רכיבי קשירות‬ ‫בגרף לא מכוון‪ .‬מציאת עץ מק"בים ‪ +‬גרף מק"בים מ ‪ s‬לשאר הקדקודים‬ ‫)‪ BF S‬שזורק קשתות רק באותה רמה(‪ .‬גרף מסלולים מ ‪ s‬ל ‪ t‬־ ‪BF S‬‬ ‫‪ d[u] :‬־ זמן‬ ‫מ ‪ s‬ו ‪ BF S‬מ ‪ t‬ב ‪ GT‬בלי לזרוק קשתות כלל‪.‬‬ ‫התחלת הטיפול ב ‪ f [u] ,u‬־ זמן הסיום‪ .‬האלג'‪ :‬מאתחלים את ‪ time‬ל‬ ‫‪ ,0‬את הצבעים של כל הקדקודים ללבן‪ ,‬את האבות שלהם ל ‪ .N IL‬בלולאה‪:‬‬ ‫אם הצבע של ‪ u‬לבן‪ ,‬קוראים ל )‪ .DF S _visit(u‬בתוך ‪DF S _visit‬‬ ‫־ צובעים את ‪ u‬באפור ו ‪ .d[u] = + + time‬בלולאה ־ לכל ‪ v‬שכן‬ ‫של ‪ ,u‬אם הצבע שלו לבן‪ ,π(v) = u ,‬וקוראים ל )‪.DF S _visit(v‬‬ ‫אחרי שהלולאה מסתיימת‪ .f [u] = + + time ,‬תכונות פ' הזמן‪ u :‬הוא‬ ‫צאצא של ‪ v‬אמ"מ ]]‪ u .[d[u], f [u]] ⊂ [d[v], f [v‬הוא אב קדמון של‬ ‫‪ v‬אמ"מ ]]‪ u .[d[u], f [u]] ⊃ [d[v], f [v‬לא מיוחס ל ‪ v‬אמ"מ המקטעים‬ ‫]]‪ [d[u], f [u‬ו ]]‪ [d[v], f [v‬זרים‪ .‬משפט המסלול הלבן‪ u :‬אב קדמון של ‪v‬‬ ‫ביער ‪ DF S‬אמ"מ בזמן ]‪ d[u‬יש מסלול מ ‪ u‬ל‪ v‬שכולו לבן‪ .‬סיווג הקשתות‪:‬‬ ‫‪ :T reeEdge‬חלק מעץ ה ‪ :BackEdge .DF S‬מצומת ‪ u‬לאב קדמון של‬ ‫‪) u‬לא חלק מהעץ(‪ :F orwardEdge .‬קשת מעבר לצאצא )לא חלק מהעץ(‪.‬‬ ‫‪ :CrossEdge‬קשת בין שני צמתים שאינן צאצאים‪ .‬משפט‪ :‬בעץ ‪ DF S‬של‬ ‫גרף לא מכוון כל הקשתות הן או ‪ T reeEdge‬או ‪ .BackEdge‬למה‪ :‬גרף‬ ‫מכוון ‪ G‬הוא אציקלי אמ"מ אין ‪ BackEdge‬ב )‪ .DF S(G‬מיון טופולוגי‪:‬‬ ‫קיים לכל גרף אציקלי‪ .‬זמני הסיום )]‪ (f [u‬של כל קדקוד קובעים את הסדר‬ ‫הטופולוגי ־ קדקוד מוקדם יותר הוא קדקוד בעל זמן סיום גבוה יותר‪ .‬אלג'‬ ‫למציאת רק"חים‪ (*) :‬מריצים ‪ ,DF S‬ושומרים ערכי ‪ (*) .f‬מגדירים ∗ ‪,DF S‬‬ ‫שעובר על הצמתים של ‪ V‬ע"פ הסדר העולה של ערכי )‪ (*) . f (u‬מריצים‬ ‫‬ ‫‪ (*) .BF S ∗ GT‬כל עץ שמתקבל ביער ה ‪) DF S‬השני( הוא רק"ח של‬ ‫‪BFS‬‬ ‫‪DFS‬‬ ‫‪) G‬וגם של ‪ .(GT‬למה‪ :‬יהי )‪ G = (V, E‬ויהיו ‪ C‬ו ‪ C 0‬שני רק"חים‪ ,‬כך‬ ‫ש ‪ .C 6= C 0‬נניח כי הקשת ‪) (u, v) ∈ E‬כש ‪ .(v ∈ C 0 ,u ∈ C‬אזי‪,‬‬ ‫) ‪ ,f (C) > f (C 0‬כאשר )‪ .f (C) = maxv∈C f (v‬עפ"מ‪ :‬הגדרות‪ :‬חתך‬ ‫)‪ (S, V \S‬־ חלוקה של ‪ V‬ל ‪ 2‬קבוצות זרות‪ .‬קשת חוצה חתך ־ קשת )‪(u, v‬‬ ‫כש ‪ u ∈ S‬ו ‪ .v ∈ V \S‬חתך מכבד את ‪ A‬־ אין קשת ב ‪ A‬שחוצה את‬ ‫החתך‪ .‬קשת קלה ־ קשת חוצה חתך בעלת משקל מינ'‪ .‬תתכן יותר מאחת‪ .‬משפט‪:‬‬ ‫)‪ (u, v‬היא קשת בטוחה עבור ‪ A ⊆ E‬אם היא קשת קלה שחוצה חתך שמכבד‬ ‫את ‪ .A‬קרוסקל‪ :‬משתמשים ב ‪ .union − f ind‬האלג'‪ (1) :‬ממיינים קשתות‬ ‫לפי משקל‪ (2) .‬עוברים עליהן בסדר עולה‪ :‬אם ‪ u, v‬לא שייכים לאותה הקבוצה ־‬ ‫נעשה להם ‪ union‬ונצרף את )‪ (u, v‬לקבוצת הקשתות שטופלו‪ .‬תמיד אפשרות‬ ‫לשנות את סדר בחירת הקשתות‪ ,‬כדי לקבל עפ"מ מסוים )למשל עם מספר קשתות‬ ‫אדומות מקס'(‪ .‬סיבוכיות‪) O (m · log(n)) :‬בגלל המיון(‪ .‬פרים‪ :‬בונים עץ‬ ‫החל מקדקוד מוצא שרירותי‪ .‬בכל שלב מוסיפים לו קודקוד אשר עלות חיבורו לעץ‬ ‫היא מינימלית ־ את המינימום משיגים בעזרת תור עדיפויות‪ .‬בכל פעם שולפים את‬ ‫המינ' ‪ u‬מהתור‪ ,‬ועבור כל ‪ v‬שכן שלו בודקים ־ אם )‪,d[v] > d[u] + w(u, v‬‬ ‫ומעדכנים בהתאם‪ .‬הערה‪ :‬אם יש מס' קבוע של משקלים‪ ,‬אפשר לעשות כמה‬ ‫לינארי‪ ,‬וקרוסקל ב )‪ .α(m)log(n‬סיבוכיות‪ :‬תלוי‬ ‫בזמן ‬ ‫תורים‪ ,‬ואז פרים פועל ‬ ‫במימוש התור‪ :‬מערך ־ ‪ ,O n2‬ערימת מינימום ־ ))‪ ,O (m · log(n‬ערימת‬ ‫פיבונאצ'י ־ ))‪ .O (m + n · log(n‬בעיות מק"בים‪ :‬בעיית היעד היחיד שקולה‬ ‫לבעיית המוצא היחיד‪ .‬אין דרך לפתור את בעיית הזוג היחיד מלבד שימוש באלג'‬ ‫לבעיית המוצא היחיד ושליפת התוצאה עבור ‪ .t‬תכונות‪ (1) :‬כל תת מסלול של‬ ‫מסלול מינ' מ ‪ s‬ל ‪ v‬גם הוא מינ' )‪ (2‬יהי ‪ u‬הקדקוד הלפני אחרון על מסלול‬ ‫מינ' מ ‪ s‬ל ‪ ,v‬אז )‪ (2) δ(s, v) ≡ δ(s, u) + w(u, v‬א"ש המשולש‪ :‬לכל‬ ‫‪ (u, v) ∈ E‬מתקיים )‪ (4) δ(s, v) ≤ δ(s, u) + w(u, v‬אם אין מעגלים‬ ‫שליליים בגרף‪ ,‬אז יש מסלול מינ' פשוט‪ .‬שיטת פורד‪ :‬לכל קודקוד ‪d[v] :v‬‬ ‫משקל מינ' מ ‪ s‬ל ‪ v‬שגילינו עד כה‪ .‬בסוף ההרצה מתקיים )‪.d[v] = δ(s, v‬‬ ‫]‪ :π[v‬הקדקוד שנמצא לפני ‪ v‬על המסלול המינ' שגילינו‪ .‬אלג' מופשט‪ :‬אתחל‬ ‫)∞ = ]‪ π(v) = N IL ,d[v‬לכל ‪ ,(d[s] = 0 ,v‬ובצע שיפורי קשתות כל‬ ‫עוד אפשר לשפר‪ ,‬בעזרת )‪ :Relax(u, v‬אם )‪d(v) > d(u) + w(u, v‬‬ ‫אז‪ d(v) = d(u) + w(u, v) :‬ו ‪ .π(v) = u‬אם יש מעגל שלילי נגיש מ‬ ‫‪ ,s‬האלג' לא יעצור‪ .‬תכונות של ‪) :Relax‬א( הערך של ]‪ d[v‬יורד מונ' במהלך‬ ‫ריצת האלג'‪) .‬ב( בכל שלב שבו ∞ =‪ d[v] ,d[v] 6‬הוא משקלו של מסלול מ‬ ‫‪ s‬ל ‪ v‬אשר מגיע ל ‪ v‬דרך ]‪) .π[v‬ג( בכל שלב‪) .d[v] ≥ δ(s, v) :‬ד(‬ ‫אם נבצע ‪ Relax‬לקשתות במק"ב שמוביל לקדקוד ‪ v‬בסדר שלהן במסלול‪,‬‬ ‫נקבל כי )‪ d[v] = δ(s, v‬בלמן־פורד‪ :‬מבצעים ‪ n‬איטרציות שעוברות על‬ ‫כל הקשתות‪ ,‬ומשפרים בעת הצורך‪ .‬האלג'‪ :‬מאתחלים‪ ,‬ואז מבצעים ‪Relax‬ים‬ ‫על כל הקשתות בתוך לולאה כפולה‪ .‬עוברים עוד פעם על כל הקשתות ע"מ‬ ‫לתפוס מעגלים שליליים )אם יש אפשרות לשפר ־ קיים מעגל שלילי(‪ .‬סיבוכיות‪:‬‬ ‫)‪ Θ (n · m‬־ ‪ n‬איטרציות על כל ‪ m‬הקשתות‪ .‬דייקסטרה‪ :‬פועל רק על גרף‬ ‫עם משקלים אי שליליים‪ .‬סדר הקדקודים במסלול הוא סדר עולה של מרחקם‬ ‫מ ‪ .s‬האלג'‪ :‬מאתחלים כרגיל‪ .‬כל עוד לא ביקרנו בכל הקדקודים‪ ,‬שולפים את‬ ‫‪ u‬שעבורו ]‪ d[u‬הוא המינימלי מבין אלה שטרם ביקרנו בהם‪ .‬משפרים את כל‬ ‫הקשתות לשכניו של ‪ .u‬סיבוכיות‪ :‬תלוי במימוש התור ־ ע"ׂע פרים‪ .‬גרף מק"בים‬ ‫מ ‪ :s‬מריצים דייקסטרה )או ‪ .(BF‬עוברים על כל הקשתות ושומרים רק את‬ ‫אלה שמקיימות )‪ d[u] = d[v] + w(u, v‬מק"בים בין כל זוגות הקדקודים‪:‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫פתרון נאיבי ־ הרצת ‪ BF‬מכל קדקוד ־ ‪ .O n2 m‬כפל מטריצות‪ :‬נניח‬ ‫שאין מעגלים שליליים‪ ,‬ונמספר את הקדקודים }‪ .V = {1, ...n‬נגדיר‬ ‫‪ i n‬ל ‪ j‬שמכיל לכל היותר ‪ m‬קשתות‪.‬‬ ‫‪ o‬משקל המסלול המינ' במשקל מ‬ ‫)‪ dm (i, j‬־‬ ‫)‪.dm (i, j) = min1≤k≤n dm−1 (i, k) + w(k, j‬‬ ‫מתקיים‪:‬‬ ‫כיוון שאין מעגלים שליליים‪δ(i, j) = dn−1 (i, j) = dn (i, j) = :‬‬ ‫‪ ....‬האלג'‪ :‬מחשב את )‪ D (m‬בהינתן )‪ D (m−1‬ומטריצת המשקלים‬ ‫‪ .W‬עבור כל תא במטריצה )‪) D (m‬בתוך לולאה כפולה( עוברים על כל‬ ‫ה ‪k‬ים מ ‪ 1‬עד ‪) n‬ע"ע הנוסחה למעלה( )לולאה שלישית(‪ ,‬ומנסים למצוא‬ ‫את המסלול המינ' באורך לכל היותר ‪ m‬קשתות מ ‪ i‬ל ‪ .j‬ב ‪ D‬כבר‬ ‫יש את המסלולים המינ' מכל קדקוד לכל קדקוד באורך לכל היותר ‪m − 1‬‬ ‫קשתות‪ ,‬לכן‪ ,‬צריך למצוא את ה‪ k‬שנותן את ‪ dik + wkj‬המינ'‪ .‬סיבוכיות‪:‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫ ‬ ‫‪) O n4‬שלוש לולאות‪ n ,‬פעמים(‪ .‬אפשר לשפר ל )‪O n3 log(n‬‬ ‫אם משתמשים בעובדה ש ‪ .W 2k = W k · W k‬פלויד־ווארשל‪ :‬נניח‬ ‫שאין מעגלים שליליים‪ .‬נגדיר )‪ δk (i, j‬־ משקל המסלול המינימלי במשקל‬ ‫מ ‪ i‬ל ‪ j‬שעובר רק דרך קדקודים }‪) {1, ..., k‬פרט ל ‪ .(i, j‬נקבל‪:‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫)‪,δk (i, j) = min δk−1 (i, j), δk−1 (i, k) + δk−1 (k, j‬‬ ‫כאשר )‪ δk−1 (i, k) + δk−1 (k, j‬אומר שבחרנו לעבור ב ‪ , k‬ו‬ ‫)‪ δk−1 (i, j‬אחרת‪ .‬מימוש‪ :‬מערכים דו ממדיים ‪ d‬עבור המרחקים‪ ,‬ו ‪ p‬עבור‬ ‫המסלולים‪ d[i, j] .‬־ משקל המסלול המינימלי מ ‪ i‬ל ‪ j‬שמצאנו עד כה )לאחר ‪k‬‬ ‫איטרציות מכיל את )‪ p[i, j] .(δk (i, j‬־ הקדקוד האחרון לפני ‪ j‬על המסלול‬ ‫המינימלי מ ‪ i‬ל ‪ j‬שמצאנו עד כה‪ .‬האלג'‪ :‬מאתחלים את המערכים )‪,d[i, i] = 0‬‬ ‫אם ‪ (i, j) ∈ E‬אז )‪ .(d[i, j] = w(i, j‬בלולאה הראשונה בודקים ־ אם‬ ‫‪ d[k, k] < 0‬אז יש מעגל שלילי בגרף‪ .‬בתוך שתי לולאות מקוננות‪ ,‬לכל תא‬ ‫‪d[i, j] = d[i, k]+d[k,‬‬ ‫בודקים‪ :‬אם ]‪ ,d[i, j] > d[i, k]+d[k, j‬אז ]‪ j‬‬ ‫ו ]‪ .p[i, j] = p[k, j‬סיבוכיות‪ :‬שלוש לולאות ־ ‪ .O n3‬ג'ונסון‪ :‬נפעיל‬ ‫פונקציה על המשקלים בגרף‪ ,‬כך שהמשקלים החדשים ‪ w0‬יקיימו ‪ 2‬תנאים‪.1 :‬‬ ‫מק"ב נשאר מק"ב תחת הפונקציה‪ .2 .‬כל המשקלים אי שליליים‪ .‬הפונקציה‪:‬‬ ‫נצרף קדקוד ‪ s‬ל ‪ .V‬נחבר אותו בקשתות לכל קדקודי הגרף )עם משקל ‪ .(0‬על‬ ‫יתר הקשתות נפעיל‪ .w0 (u, v) = w(u, v) + δ(s, u) − δ(s, v) :‬את‬ ‫המרחקים )‪ δ(s, v‬נחשב באמצעות הפעלה יחידה של בלמן־פורד על ‪ .s‬האלג'‪:‬‬ ‫החדשה‪ ,‬ומפעילים דייקסטרה מכל קדקוד‪ .‬סיבוכיות‪:‬‬ ‫מחשבים את פונ' המשקלים ‬ ‫‬ ‫)‪ .O m · n + n2 · log (n‬תכנות דינאמי‪ :‬שלבי פתרון הבעיות‪.1 :‬‬ ‫הגדרת תתי בעיות‪ .2 .‬מציאת הקשר לפתרון השאלה‪ .3 .‬חישוב מקרי‬ ‫בסיס‪ .4 .‬חישוב תתי בעיות באמצעות תתי בעיות קטנות מהן‪ .5 .‬סיבוכיות‪.‬‬ ‫‪ :‬קלט‪ S = [s1 , .., sn ] :‬קבוצה של ‪ n‬עצמים‪ ,‬כאשר לכל‬ ‫עצם ‪ si‬מותאמים שני ערכים‪ wi :‬־ הנפח של ‪ bi ,si‬־ הערך של ‪ W .si‬־‬ ‫נפח מקס' לכלל החפצים‪ .‬פלט‪ :‬תת קבוצה של ‪ S‬אשר נפחה הכולל אינו עובר‬ ‫את ‪ W‬וסכום ערכי העצמים בה מקס' )ביחס לשאר תתי הקבוצות שנפחן אינו‬ ‫עובר את ‪ .(W‬הרעיון‪ :‬נגדיר את )‪ B(i, w‬להיות סכום הערכים המקסימלי‬ ‫שאפשר להרכיב מ ‪ s1 , s2 , ..., si‬שנפחם הכולל לא עובר את ‪ .w‬נחפש את‬ ‫) ‪ .B(n, W‬מתקיים‪ :‬אם ‪ w < wi‬אז )‪ ,B(i, w) = B(i − 1, w‬אחרת‪:‬‬ ‫}) ‪ .B(i, w) = max {B(i − 1, w), bi + B (i − 1, w − wi‬תנאיי‬ ‫התחלה‪ :‬אם ‪ w < wi‬אז ‪ ,B(1, w) = 0‬אחרת ‪.B(1, w) = b1‬‬ ‫האלג'‪ :‬אתחול ־ נמלא את השורה הראשונה של הטבלה ‪) V‬בטבלה תהיינה‬ ‫‪n‬שורות )החפצים( ו ‪ W‬עמודות(‪ .‬אתחול שורה ראשונה ־ נרוץ על ‪ w‬מ ‪0‬‬ ‫ועד ‪ ,W‬ועבור כל ‪ w‬נבדוק‪ :‬אם ) ‪ (w < w1‬אז ‪ ,V [1, w] = 0‬אחרת‬ ‫‪ .V [1, w] = b1‬בתוך לולאה כפולה‪ ,‬בכל שורה ‪ i‬ועמודה ‪ w‬נבדוק‪ :‬אם‬ ‫) ‪ (w < w1‬אז ]‪ ,V [i, w] = V [i − 1, w‬אחרת‪ ,‬נחשב שני ערכים‪:‬‬ ‫] ‪ valW ithIth = bi + V [i − 1, w − wi‬ו = ‪valW ithoutIth‬‬ ‫]‪ V [i − 1, w‬וב ]‪ V [i, w‬נשים את המקס' מהם‪ .‬סיבוכיות‪ :‬מילוי כל‬ ‫משבצת במטריצה ־ )‪ .O(1‬במטריצה יש ‪ n · W‬משבצות ) ‪ W‬קבוע(‪ ,‬כלומר‬ ‫הסיבוכיות הסופית היא )גם זמן וגם מקום(‪ .O(n · W ) :‬ניתן לחסוך במקום‬ ‫‪ :‬תהי ‪X = hx1 , ..., xm i‬‬ ‫־ מספיק לשמור את השורה הקודמת‪.‬‬ ‫סדרה‪ .‬אזי ‪ Z = hz1 , ..., zk i‬היא תת"ס של ‪ X‬אם קיימת סדרה‬ ‫עולה ממש של אינדקסים ‪ hi1 , ..., ik i‬של ‪ X‬כך שלכל ‪j = 1, 2, ..., k‬‬ ‫מתקיים ‪ .xij = zj‬הרעיון‪ :‬נגדיר את ]‪ c[i, j‬להיות האורך של ‪LCS‬‬ ‫של ‪ Xi‬ו ‪ Yj‬ונקבל‪) c[i, j] = 0 (*) :‬אם ‪ i = 0‬או ‪,(j = 0‬‬ ‫)*( ‪) c[i, j] = c[i − 1, j − 1] + 1‬אם ‪ i, j > 0‬ו ‪(xi = yj‬‬ ‫)*( )]‪) c[i, j] = max (c[i, j − 1], c[i − 1, j‬אם ‪ i, j > 0‬וגם‬ ‫‪ .(xi 6= yj‬האלג'‪ :‬אתחול ־ נבנה טבלה בגודל ‪ n) n × m‬־ אורך ‪,X‬‬ ‫‪ m‬־ אורך ‪ .(Y‬נמלא את השורה הראשונה ואת העמודה הראשונה של הטבלה‬ ‫באפסים )תנאיי התחלה(‪ .‬נריץ ‪ 2‬לולאות מקוננות‪ ,‬אחת עד ‪ n‬ואחת עד ‪ .m‬בכל‬ ‫שלב‪ ,‬נבדוק‪ :‬אם ) ‪ ,(xi = yj‬אז ‪.c[i, j] = c[i − 1, j − 1] + 1‬‬ ‫אחרת‪ ,‬נבדוק‪ :‬אם )]‪ (c[i − 1, j] ≥ c[i, j − 1‬אז = ]‪c[i, j‬‬ ‫]‪ ,c[i − 1, j‬אחרת ]‪ .c[i, j] = c[i, j − 1‬סיבוכיות‪ :‬זמן ומקום )‪.O(mn‬‬ ‫רשת זרימה‪ :‬הגדרות‪ :‬פ' הזרימה חייבת לקיים שלושה אילוצים‪ .1 :‬אילוץ הקיבול‪:‬‬ ‫)‪ .2 .f (u, v) ≤ C(u, v‬אנטי־סימטריה‪.f (u, v) = −f (v, u) :‬‬ ‫‪P‬‬ ‫‪ .3‬שימור הזרימה‪ :‬לכל ‪ u 6= s, t‬מתקיים ‪. v∈V f (u, v) = 0‬‬ ‫‪P‬‬ ‫‪P‬‬ ‫= | ‪ .|f‬הערה‪ :‬זרימת‬ ‫= )‪v∈V f (s, v‬‬ ‫ערך הזרימה‪v∈V f (v, t) :‬‬ ‫ה־‪ 0‬תמיד חוקית‪ .‬החתך‪ :‬חתך ) ‪ (S, T‬־ חלוקה של ‪ V‬לשתי קבוצות זרות‬ ‫כאשר ‪ s ∈ S‬ו ‪ .t ∈ T‬קיבול חתך‪ :‬סכום הקיבולים החוצים את החתך‪:‬‬ ‫‪P‬‬ ‫‪P‬‬ ‫= ) ‪ .C(S, T‬זרימה בחתך‪ :‬סכום הזרימות‬ ‫‪u∈S‬‬ ‫)‪v∈T C(u, v‬‬ ‫‪P‬‬ ‫‪P‬‬ ‫= ) ‪ .f (S, T‬לכל חתך‬ ‫‪f‬‬ ‫‪(u,‬‬ ‫)‪v‬‬ ‫החוצות את החתך‪:‬‬ ‫‪u∈S‬‬ ‫‪v∈T‬‬ ‫) ‪ (S, T‬מתקיים ) ‪ .f (S, T ) ≤ C(S, T‬למת החתך‪ :‬תהי ‪ f‬זרימה‪ ,‬ויהי‬ ‫) ‪ (S, T‬חתך‪ ,‬אז | ‪ .f (S, T ) = |f‬משפט ‪:M ax F low ,M in Cut‬‬ ‫תהי ‪ f‬זרימה ברשת ‪ .G‬התנאים הבאים שקולים‪ f (1) :‬זרימה מקסימלית ב ‪G‬‬ ‫)‪ (2‬בגרף השיורי אין מסלול מ ‪ s‬ל ‪) t‬אין מסלול משפר( )‪ (3‬קיים חתך ) ‪(S, T‬‬ ‫שעבורו ) ‪) |f | = C(S, T‬חתך רווי(‪ .‬מקרה פרטי ־ רשת ‪ :0 − 1‬הערכים‬ ‫הבאים שווים‪ (1) :‬ערך הזרימה המקסימלית )‪ (2‬גודל החתך המינ' )‪ (3‬המס'‬ ‫‪Knapsack‬‬ ‫‪LCS‬‬ ‫המקס' של מסלולים זרים בקשתות )‪ (4‬מס' הקשתות המינ' שיש להסיר כדי לנתק‬ ‫את הגרף )‪ (5‬גודל זיווג המקסימום‪ .‬חתך מינ'‪ :‬קיום חתך מינ' המכיל קשת ‪:e‬‬ ‫מקטינים את הקיבול של ‪ .e‬אם החתך המינ' קטן‪ ,‬היה חתך מינ' שהכיל‬ ‫את ‪ .e‬האם כל חתך מינ' מכיל את ‪ :?e‬מגדילים את הקיבול של ‪ .e‬אם‬ ‫החתך המינ' גדל‪ e ,‬משתתפת בכל חתך מינ'‪ .‬הגבלת זרימה ברשת‪ :‬בקדקודים‪:‬‬ ‫משכפלים כל קדקוד ל־‪ 2‬קדקודים ‪ vin , vout‬ובינם קשת בקיבול ‪ .1‬כל‬ ‫מסלול בזרימה חוקית ברשת זר בקדקודים‪ .‬בקשתות‪ :‬פשוט ניתן קיבול‬ ‫‪ .1‬קשת דו כיוונית‪ :‬אם יש קשת )‪ (u, v‬וגם קשת )‪ (v, u‬ורוצים לוודא‬ ‫שרק אחת מהן תיבחר בזרימה‪ ,‬נהפוך את הקשתות ‪ e1‬ו ‪ e2‬לקדקודים‬ ‫וניצור את הקשתות‪.(u, e1 ), (v, e1 ), (e1 , e2 ), (e2 , v), (e2 , u) :‬‬ ‫כל מסלול שעובר בקדקודים ‪ u, v‬יהיה חייב לעבור בקשת ) ‪.(e1 , e2‬‬ ‫זרימה בין קבוצות‪ :‬עבור ‪ X, Y ⊆ V‬הזרימה מ ‪ X‬ל ‪ Y‬היא = ) ‪f (X, Y‬‬ ‫‪P‬‬ ‫‪P‬‬ ‫‪ . u∈X‬תכונות ‪ :‬תהיינה ‪ X, Y, Z ⊆ V‬קבוצות‪ .‬אז‪:‬‬ ‫)‪v∈Y f (u, v‬‬ ‫)‪) (3) f (X, X) = 0 (2) f (X, Y ) = −f (Y, X) (1‬חוק הפילוג( אם ∩ ‪X‬‬ ‫∅ = ‪ Y‬אז‪f (X ∪ (b) f (Z, X ∪ Y ) = f (Z, X) + f (Z, Y ) (a) :‬‬ ‫)‪ .Y, Z) = f (X, Z) + f (Y, Z‬מציאת זרימה מקסימלית‪ :‬פורד פלקרסון‪:‬‬ ‫)לא אלג' חמדן ־ מאפשר "חרטות"(‪ .‬מושגים‪ :‬קיבול שיורי ‪ :Cf‬כמות הזרימה‬ ‫שאפשר עדיין להזרים לאורך קשת‪.Cf (u, v) = C(u, v) − f (u, v) :‬‬ ‫תמיד מתקיים ‪ .Cf (u, v) ≥ 0‬ייתכן כי )‪) Cf (u, v) > C(u, v‬יכולה‬ ‫להיות זרימה שלילית בקשת(‪ .‬הקיבול השיורי של מסלול ‪ :P‬זהו הקיבול השיורי‬ ‫המינימלי לאורך ‪ .Cf (P ) = min(u,v)∈P Cf (u, v) :P‬קשת משפרת‪:‬‬ ‫קשת )‪ (u, v‬שאפשר "להזרים" לאורכה עוד זרימה )קשת בלתי רוויה(‪.‬‬ ‫מסלול משפר‪ :‬מסלול מ ‪ s‬ל ‪ t‬שמורכב כולו מקשתות משפרות )קיבולו השיורי‬ ‫חיובי(‪ .‬הגרף השיורי ‪ :Gf‬מכיל את כל הקשתות המשפרות )קשתות שקיבולן‬ ‫השיורי חיובי( ⇐ כל מסלול מ ‪ s‬ל ‪ t‬ב ‪ Gf‬הוא מסלול משפר‪ .‬האלג'‪.1 :‬‬ ‫אתחול‪ .2 .Gf (u, v) = G(u, v) .f (u, v) = f (v, u) = 0 :‬כל עוד‬ ‫יש מסלול מ ‪ s‬ל ‪ t‬בגרף ‪) Gf‬מסלול משפר(‪) :‬א( נמצא מסלול כזה ‪ P‬ונחשב‬ ‫את קיבולו השיורי ) ‪) Cf (P‬ב( נגדיל את הזרימה ב ‪ G‬לאורך ‪ P‬ב ) ‪:Cf (P‬‬ ‫לכל קשת )‪ (u, v‬במסלול ‪ P‬נעדכן‪ ,f (u, v) = f (u, v) + Cf (P ) :‬ו‬ ‫)‪ .3 .f (v, u) = −f (u, v‬נעדכן את הגרף השיורי לאורך המסלול ‪ P‬־‬ ‫לכל קשת )‪ (u, v‬במסלול ‪ P‬נעדכן‪Cf (u, v) = C(u, v) − f (u, v) :‬‬ ‫ו )‪ .Cf (v, u) = C(v, u) − f (u, v‬סיבוכיות‪ :‬מס' איטרציות ×‬ ‫עלות כל איטרציה‪ .‬עלות כל איטרציה‪ :‬תמיד )‪) O (m + n) = O (m‬גרף‬ ‫קשיר(‪ ,‬נשתמש ב ‪ BF S‬או ‪ .DF S‬מס' איטרציות‪ M F :‬־ ערך הזרימה‬ ‫המקסימלית‪ .‬אם הקיבולים שלמים‪ ,O (M F · m) ,‬אם הקיבולים רציונליים‪,‬‬ ‫)‪ cd) O (M F · cd · m‬־ המכנה המשותף לכל הקיבולים(‪ .‬אדמונדס־קארפ‪:‬‬ ‫האלג'‪ (1) :‬אתחול‪ :‬זרימה ‪ 0‬בכל הקשתות‪ (2) .Cf (u, v) = C(u, v) ,‬כל‬ ‫עוד יש מסלול מ ‪ s‬ל ‪ t‬בגרף ‪) Gf‬מסלול משפר(‪) :‬א( נמצא מסלול ‪ P‬משפר ע"י‬ ‫‪ BF S‬ונחשב את קיבולו השיורי ) ‪) Cf (P‬ב( לכל קשת )‪ (u, v‬במסלול ‪P‬‬ ‫נעדכן‪ f (u, v) = f (u, v) + Cf (P ) :‬ו )‪(3) .f (v, u) = −f (u, v‬‬ ‫לכל קשת )‪ (u, v‬במסלול ‪ P‬נעדכן‪.Cf (u, v) = C(u, v) − f (u, v) :‬‬ ‫)‪ (4‬בסיום‪ ,‬נחזיר את ‪ .f‬טענה‪ :‬כל קשת יכולה להיות "צוואר בקבוק" )קיבולה‬ ‫‪ n‬איטרציות‪.‬‬ ‫כקיבול השיורי של המסלול המשפר עליו היא נמצאת( לכל היותר ב‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ m‬קשתות‪ ,‬מס' האיטרציות חסום ע"י )‪ .O (m · n‬סיבוכיות‪:‬‬ ‫כיוון שיש ‬ ‫‬ ‫‪) O n · m2‬מס' האיטרציות חסום ע"י ‪ m · n‬ועלות כל איטרציה נשארת‬ ‫לינארית‪ ,‬כי ‪ BF S‬לינארי(‪ .‬טענה זו נכונה גם אם הקיבולים אינם שלמים‪.‬‬ ‫אם בוחרים תמיד מסלול משפר בעל קיבול שיורי מקסימלי‪ ,‬והקיבולים שלמים‪,‬‬ ‫מס' האיטרציות אינו עולה על ) ‪ .2|m| · log (Cmax‬דיניץ‪ :‬הגדרות‪ :‬גרף‬ ‫השכבות‪ :‬גרף שכבות ה ‪) BF S‬גרף המסלולים הקצרים ביותר‪ BF S .‬שלא‬ ‫"מוחק קשתות" בין רמות עוקבות( של ‪ L (G) :Gf‬־ גרף זה מורכב אך ורק‬ ‫מהמסלולים הקצרים ביותר מ ‪ s‬בגרף השיורי‪ .‬בשכבה ‪ k‬מופיעים כל הקדקודים‬ ‫שמרחקם מ ‪ s‬הוא ‪ .k‬השכבה האחרונה תכיל את ‪ .t‬זרימה חוסמת‪ :‬אמ"מ‬ ‫כל מסלול מ ‪ s‬ל ‪ t‬כולל לפחות קשת אחת רוויה‪ .‬האלג'‪ (1) :‬אתחול‪f :‬‬ ‫זרימה ‪ ,0‬הגרף השיורי הוא ‪ G‬עצמו‪ (2) .‬כל עוד ‪ t‬נגיש מ ‪) :s‬א( בנה‬ ‫מהגרף השיורי את גרף השכבות )‪) L(G‬ב( מצא זרימה חוסמת ‪ g‬ב )‪L(G‬‬ ‫)ג( עדכן ‪ .f = f + g‬מציאת זרימה חוסמת‪ :‬כל עוד יש קשתות יוצאות מ‬ ‫‬ ‫‬ ‫‪ s‬ב ‪ (1) :L Gf‬הרץ ‪ DF S‬על ‪ L Gf‬מ ‪ ,s‬עד שתגיע לצומת ‪ v‬עם‬ ‫דרגת יציאה ‪ (2) 0‬אם ‪ ,v = t‬שפר את הזרימה לאורך מסלול ה ‪ DF S‬מ‬ ‫‬ ‫‪ s‬ל ‪ t‬וסלק מ ‪ L Gf‬קשתות במסלול שהקיבול השיורי שלהן הפך ל ‪,0‬‬ ‫‬ ‫וחזור חלילה מ ‪ (3) s‬אחרת )‪ ,(v 6= t‬סלק מ ‪ L Gf‬את כל הקשתות‬ ‫הנכנסות אל ‪ ,v‬והמשך בביצוע ה ‪ .DF S‬סיבוכיות‪ .‬עלות פאזה באלג'‪ :‬הפאזה‬ ‫מורכבת מ‪ (1) :‬בניית הרשת השיורית ־ )‪) O (m‬גרף קשיר( )‪ (2‬בניית רשת‬ ‫שכבות ‪ BF S‬מ ‪ s‬עד ‪ t‬־ )‪ BF S) O (m‬לינארי( )‪ (3‬זמן מציאת זרימה‬ ‫חוסמת לרשת השכבות ־ )‪) t (n, m‬בהמשך( )‪ (4‬עדכון הזרימה ־ )‪O (m‬‬ ‫סה"כ‪ .O (m + t (n, m)) :‬עלות מציאת זרימה חוסמת‪ :‬הצעדים הם‪(1) :‬‬ ‫‪ extend‬־ ‪ DF S‬צועד לעומק‪ retreat (2) .‬־ הגענו לקדקוד ללא קשתות‬ ‫יוצאות שאיננו ‪ breakthrough (3) .t‬־ הגענו ל ‪ .t‬עלות המציאה הכוללת‪:‬‬ ‫‪ ,#extends + #retreats + n · #breakthoughs‬כי בפאזה מסוימת‬ ‫נעשה לקשת ‪ extend‬פעם אחת לכל היותר‪ ,‬נעשה ‪ retreat‬פעם אחת לכל‬ ‫היותר מכל קדקוד )אם ביצענו ‪ ,retreat‬מחקנו את הקשתות הנכנסות לקדקוד‬ ‫זה‪ ,‬ולא נוכל לחזור אליו שוב( וכל ‪ breakthrough‬עולה לנו )‪ O (n‬־‬ ‫הגענו ל ‪ t‬־ צריך לחשב את הקיבול השיורי של המסלול וזרימה ־ מעבר על‬ ‫כל קדקודי המסלול‪ .‬מתקיים‪) #breakthroughs ≤ m :‬כי מס' הדרכים‬ ‫להגיע ל ‪ t‬הוא לכל היותר )‪ ,O (m‬ובכל פעם לפחות קשת אחת הופכת לרוויה(‪,‬‬ ‫‪) #retreats ≤ m‬כי לפחות קשת אחת נמחקת כל פעם כתוצאה מפעולת‬ ‫‪ (retreat‬ו ‪#extends ≤ #retreats + n · #breakthroughs‬‬ ‫)כי כל נסיגה עולה לנו בהרחבה‪ ,‬וכל פריצה עולה לנו ב )‪ O (n‬הרחבות(‪ .‬אז‬ ‫נקבל כי‪t (n, m) =≤ m + (m + n · m) + n · m = O (m · n) :‬‬ ‫‪ .#extends + #reatreats + n · #breakthroughs‬סה"כ עלות‬ ‫פאזה‪ .O (m · n) :‬טענה‪ :‬מס' הפאזות באלג' דיניץ חסום ע"י ‪ n − 1‬כיוון‬ ‫שבכל פאזה המרחק בקשתות מ ‪ s‬ל ‪t‬עולה ממש )ואורך המסלול המקסימלי‬ ‫הוא ‪ .(n − 1‬הסיבוכיות‪ .O n2 · m :‬מקרים פרטיים‪ (1) :‬ר"ז ‪ 0/1‬־‬ ‫הפאזות לאעולה‬ ‫לינארי‬ ‫)‪ ,O(m‬ומס' ‬ ‫‬ ‫הזרימההחוסמת בזמן ‬ ‫אפשר למצוא את ‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ √‬ ‫‪ O‬ו ‪ ,O n 3‬אז סך הכל‪.O min n 3 , m 2 · m :‬‬ ‫על ‪m‬‬ ‫)‪ (2‬רשת )‪ (type − 2‬שבה לכל קדקוד )פרט ל ‪ s‬ו ‪ (t‬יש או קשת כניסה‬ ‫יחידה בקיבול ‪ ,1‬או קשת יציאה יחידה בקיבול ‪ ,1‬וכל שאר הקיבולים הם‬ ‫‬ ‫√‬ ‫‪ .O‬תכנות לינארי‪n :‬‬ ‫‪n·m‬‬ ‫מס'ים שלמים אקראיים‪ .‬הסיבוכיות‪:‬‬ ‫משתנים ‪ m ,x1 , .., xn‬א"ש לינאריים )אילוצים(‪ ,‬פ' מטרה לינארית )מינ'‬ ‫או מקס'(‪ .‬פתרון פיזיבילי‪ :‬הצבת ערכים ל ‪ x1 , .., xn‬כך שכל הא"ש‬ ‫מתקיימים‪ .‬יכולות להיות ‪ 3‬אפשרויות‪ (1) :‬קיים פתרון אופ' )‪ (2‬הפתרון לא‬ ‫חסום )‪ (3‬אין פתרון‪ .‬צורה סט'‪ (*) :‬פ' המטרה היא מקס' )*( כל האילוצים‬ ‫‪Pn‬‬ ‫)*( קיים אילוץ חיוביות על כל ‪ .xi‬המרה‬ ‫מהצורה ‪j=1 aij xj ≤ bi‬‬ ‫לצורה סט'‪ :‬שוויון‪ :‬נהפוך שוויון לשני א"ש ־ ≥ ו ≤‪ .‬חוסר אילוץ חיוביות‪:‬‬ ‫נהפוך את ‪ xi‬ל ) ‪ ,(xi1 − xi2‬ונוסיף אילוץ לשניהם ‪.xi1 , xi2 ≥ 0‬‬ ‫א"ש הפוך )או פ' מטרה מינ'(‪ :‬נכפול ב ‪ .−1‬צורת ‪ n (*) :Slack‬משתנים‬ ‫‪P‬‬ ‫לא בסיסיים ו ‪ m‬משתנים בסיסיים )*( פ' מטרה‪ max v + j cj xj :‬מכילה‬ ‫רק מש' לא בסיסיים )*( אילוצי חיוביות לכל המשתנים )*( לכל משתנה בסיסי קיים‬ ‫‪P‬‬ ‫שוויון ‪ xk ) xk = bi − j aij xj‬בסיסי‪ xj ,‬לא(‪ .‬המרה לצורת ‪:Slack‬‬ ‫‪Pn‬‬ ‫‪Pn‬‬ ‫‪bi −‬‬ ‫נהפוך ל = ‪j=1 aij xj‬‬ ‫כל א"ש מהצורה ‪j=1 aij xj ≤ bi‬‬ ‫‪ xj ) xn+i‬הם משתנים לא בסיסיים‪ xn+i ,‬כן( ונוסיף ‪.xn+1 ≥ 0‬‬ ‫הבעיה הדואלית‪ (*) :‬מתחילים בצורה הסט' )*( כל משתנה הופך לאילוץ‪ ,‬וכל‬ ‫אילוץ למשתנה )*( פ' המטרה הופכת למינ' )*( הא"ש משנים כיוון )*( אילוצי‬ ‫החיוביות נשארים‪ ,‬אבל בשביל המשתנים החדשים‪ .‬מעבר לדואלית‪ :‬אם היה לנו‬ ‫‪Pn‬‬ ‫‪Pn‬‬ ‫ל ‪,i = 1, ..., m‬‬ ‫‪ ,max‬א"ש‪j=1 aij xj ≤ bi :‬‬ ‫‪j=1 cj xj‬‬ ‫‪P‬‬ ‫‪ ,min m‬א"ש‬ ‫‪b‬‬ ‫‪y‬‬ ‫נקבל‪:‬‬ ‫‪,j‬‬ ‫=‬ ‫‪1,‬‬ ‫‪..,‬‬ ‫‪n‬‬ ‫ל‬ ‫‪x‬‬ ‫≥‬ ‫אילוצים‪0 :‬‬ ‫‪j‬‬ ‫‪i=1 i i‬‬ ‫‪Pm‬‬ ‫ל ‪ ,j = 1, .., n‬אילוצים ‪ yi ≥ 0‬ל ‪.i = 1, ..., m‬‬ ‫‪i=1 aij yi ≥ cj‬‬ ‫משפט הדואליות‪ :‬אם ל קיים פתרון פיזיזילי אופ'‪ ,‬אז ערך הפתרון האופ' של‬ ‫הבעיה הפרימאלית = ערך הפתרון האופ' של הדואלית‪ .‬פיזיביליות לינארית‪:‬‬ ‫נתונים ‪ m‬א"ש ו ‪ n‬משתנים‪ .‬צריך למצוא הצבה המספקת את כל האילוצים‪.‬‬ ‫תרגילים וטענות מתרגולים‪ :‬מסלול‪/‬מעגל אוילר‪ :‬גרף )לאו דווקא פשוט( קשיר‬ ‫ולא מכוון מכיל מעגל אוילר אמ"מ לכל קדקוד ‪ u ∈ V‬יש דרגה זוגית‪ .‬גרף קשיר‬ ‫ולא מכוון מכיל מסלול אוילר )שאינו מעגל( אמ"מ הוא מכיל בדיוק שני קדקודים‬ ‫מדרגה אי זוגית‪ .‬גרף דו"צ‪ :‬גרף הינו דו"צ אמ"מ הוא אינו מכיל מעגל באורך‬ ‫אי זוגי‪ .‬צביעת הגרף בשני צבעים‪ (1) :‬נבחר שרירותית קדקוד ונריץ ממנו‬ ‫‪ (2) BF S‬את הקדקודים ברמות הזוגיות בעץ ה ‪ BF S‬נצבע בצבע אחד‪,‬‬ ‫והקדקודים ברמות האי זוגיות בשני‪ .‬גרף מק"בים מ ‪ :s‬גרף ) ‪G0 = (V, E 0‬‬ ‫כך ש‪ e ∈ E 0 :‬אמ"מ ‪ e‬חלק ממק"ב מ ‪ .s‬מציאת גרף המק"בים‪ :‬נריץ מ‬ ‫‪ BF S s‬עם שינוי ־ נזרוק מהגרף רק קשתות בין קדקודים באותה הרמה‪.‬‬ ‫סיבוכיות‪ .O(m + n) :‬מציאת גרף המק"בים מ ‪ s‬ל ‪ t‬בגרף מכוון‪ :‬נריץ מ ‪s‬‬ ‫‪ BF S‬שלא יזרוק קשתות ברמות עוקבות‪ .‬נהפוך את קשתות הגרף‪ ,‬ונריץ מ‬ ‫‪ t‬את ה ‪ BF S‬החדש‪ .‬נהפוך בחזרה את קשתות הגרף‪ .‬זהו ‪ ,DAG‬ואפשר‬ ‫למצוא בו את גרף המסלולים הקלים ביותר בזמן לינארי )ע"י מיון טופולוגי וביצוע‬ ‫פעולות ‪ Relax‬ע"פ סדר טופ'(‪ .‬סיבוכיות‪ .O(m + n) :‬קדקודים מנתקים‪:‬‬ ‫מציאת כל הקדקודים המנתקים של גרף לא מכוון‪ (1) :‬נריץ ‪ DF S‬על הגרף‪,‬‬ ‫ונשמור את זמני הגילוי )‪ (2‬יודעים ששורש הנו קדקוד מנתק אמ"מ יש לו לפחות‬ ‫‪ 2‬ילדים )‪ (3‬עלה לא יכול להיות קדקוד מנתק )‪ (4‬תוך כדי הרצת ‪ DF S‬נחשב‬ ‫לכל קדקוד )בזמן הסיום שלו(‪low[v] = min {d[v], d[u], low[u]} :‬‬ ‫כאשר ]‪ d[u‬מחושב אם )‪ (v, u‬היא קשת אחורית‪ ,‬ו ]‪ low[u‬מחושב אם ‪u‬‬ ‫הוא צאצא של ‪ (5) v‬קדקוד ‪ v‬שאינו שורש או עלה בעץ הנו קדקוד מנתק‬ ‫אמ"מ קיים ‪ u‬בן של ‪ v‬אשר עבורו מתקיים ]‪ .low[u] ≥ d[v‬סיבוכיות‪:‬‬ ‫)‪ . O(m + n‬קבוצת מוצא‪ :‬מציאת קבוצת מוצא בגרף מכוון‪ (1) :‬נבנה‬ ‫את גרף העל‪) :‬א( נחשב רק"חים )‪ ,DF S‬הפיכת קשתות ושוב ‪) (DF S‬ב(‬ ‫נבחר קודקוד אחד מכל רק"ח להיות הנציג של הרק"ח )ג( גרף העל הוא‬ ‫אציקלי‪ ,‬לכן ניתן למיין אותו טופולוגית )‪ (2‬נמצא את קבוצת המקורות ‪:S‬‬ ‫)א( נעבור על קדקודי הגרף לפי הסדר הטופולוגי ‪ ,‬ולכל קדקוד ‪ v‬שנעבור‬ ‫בו‪ ,‬נסמן את הקדקודים שיש ממנו קשת אליהם )ב( כאשר נגיע לקדקוד‬ ‫שאינו מסומן‪ ,‬נכניס את אחד מקדקודי הרק"ח שהוא מייצג ל ‪ .S‬סיבוכיות‪:‬‬ ‫)‪ .O(m + n‬בדיקת קיום מסלול העובר בכל קדקודי קבוצה ‪(1) :S ⊆ V‬‬ ‫נמצא את הרק"חים של הגרף )‪ (2‬נחפש בגרף העל מסלול אשר עובר דרך כל‬ ‫הרק"חים המכילים לפחות איבר אחד מ ‪) :S‬א( נמיין טופולוגית את גרף העל‬ ‫)ב( נטייל על גרף העל לפי הסדר הטופולוגי )ג( בכל פעם שנגיע לאיבר המייצג‬ ‫רק"ח רלוונטי‪ ,‬נבדוק האם קיים מסלול ממנו אל הרק"ח הרלוונטי הבא )בסדר‬ ‫הטופולוגי( )ד( חיפוש מסלול מקדקוד ‪ v‬אל קדקוד ‪ u‬יתבצע באמצעות ‪BF S‬‬ ‫מ־ ‪ v‬על תת הגרף בין ‪ v‬לבין ‪ .u‬סיבוכיות‪ .O(m + n) :‬עפ"מים‪ :‬נתונים שני‬ ‫עפ"מים ‪ .T1 , T2‬טענה‪ :‬לכל מס' ממשי ‪ r‬מתקיים‪ :‬תהי ‪ E1,r‬קבוצת הקשתות‬ ‫‬ ‫של ‪ T1‬שמשקלן לכל היותר ‪) r‬כנ"ל ‪ E2,r‬ו ‪ .(T2‬בגרפים ‪ V, E1,r‬ו־‬ ‫‬ ‫‪ V, E2,r‬יש בדיוק אותם רכיבי קשירות‪ .‬טענה‪ :‬תהי ‪α1 ≤ ... ≤ αn−1‬‬ ‫רשימה ממוינת של משקלי קשתות ‪ .T1‬כנ"ל ‪ β1 ≤ ... ≤ βn−1‬ו ‪ .T2‬אז‬ ‫‪ .∀i : αi = βi‬מציאת עפ"מ עם מס' קשתות אדומות מקס'‪ :‬כל קשת‬ ‫בגרף צבועה בכחול או אדום‪ .‬נרצה למצוא מבין העפ"מים את זה שמכיל את מס'‬ ‫הקשתות האדומות המקס'‪ .‬דרך א‪ :‬נגדיר קבוע ‪ ε‬ונתייחס למשקל של קשת כחולה‬ ‫‪ e‬כאל ‪ .w(e) + ε‬נריץ את קרוסקל על הגרף עם פ' המשקל החדשה‪ ,‬ונמצא‬ ‫עפ"מ‪ .‬בחירת ‪ (1) :ε‬אם נסמן את משקל העפ"מים בגרף המקורי בתור ‪ ,m‬ואת‬ ‫משקל העץ השני הקל ביותר ב ‪ ,m2‬נרצה שיתקיים‪.m + (n − 1)ε < m2 :‬‬ ‫)‪ (2‬אפשר לקחת ‪ ,ε < ∆min‬כאשר ‪ ∆min‬היא ההפרש הקטן ביותר בין‬ ‫משקלי ‪ 2‬קשתות בגרף )לוקח הרבה זמן(‪ .‬סיבוכיות‪ :‬כמו של קרוסקל‪ .‬דרך ב‪:‬‬ ‫נסדר את הקשתות לפי משקל ואז לפי צבע בהרצת קרוסקל‪ .‬סיבוכיות‪ :‬כמו‬ ‫של קרוסקל‪ .‬מס' קבוע של משקלים‪ :‬שומרים תור נפרד לכל משקל )ולאינסוף(‪,‬‬ ‫ומריצים פרים‪ .‬שומרים מצביע מהקדקוד לאיבר בתור‪ .‬כשרוצים לעדכן את ערך‬ ‫]‪ , d[v‬מוציאים את ‪ v‬מהתור‪ ,‬ומעבירים אותו לתור האחר בזמן קבוע‪ .‬סיבוכיות‪:‬‬ ‫לינארית‪ .‬בלמן פורד‪ :‬ארביטראז'‪ :‬נתונים ‪ n‬סוגי מטבעות‪ ,‬וטבלת מחירי המרה‬ ‫ביניהם‪ .‬תארו אלג' הבודק האם ניתן להתחיל עם מטבע אחד מסוג ‪ i‬ולבצע סדרת‬ ‫המרות שבסופה נקבל יותר ממטבע אחד מסוג ‪ .i‬פתרון‪ ai,j (1) :‬־ מס' מטבעות‬ ‫‪ cj‬שאפשר לקבל תמורת מטבע ‪ (2) .ci‬נבנה גרף מכוון ‪ G‬עם צומת לכל סוג‬ ‫‬ ‫מטבע‪ ,‬וקשת בין כל זוג צמתים )‪ ai,j (3‬־ משקל הקשת ‪ (4) ci , cj‬המשקל‬ ‫של מעגל ‪ ci1 → ... → ci → ci1‬יהיה ‪.ai1 ,i2 + ... + ai ,i1‬‬ ‫‪k‬‬ ‫‪k‬‬ ‫⇒⇐‬ ‫מחפשים מעגל שמקיים‪ai1 ,i2 + ... + ai ,i1 > 1 :‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫‪ k‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫‬ ‫‪⇐⇒ log ai1 ,i2 + log ai2 ,i3 + ... + log ai ,i1 > 0‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫‬ ‫‬ ‫‪ k‬‬ ‫‬ ‫‪(5) −log ai1 ,i2 − log ai2 ,i3 − ... − log ai ,i1 < 0‬‬ ‫‪k‬‬ ‫‬ ‫לקשת מ ‪ ci‬ל ‪ cj‬ניתן משקל ‪ (6) −log ai,j‬קיים רצף המרות שמביא‬ ‫ ‬ ‫לרווח אמ"מ בגרף החדש יש מעגל שלילי )‪ (7‬נשתמש ב ‪ BF‬בסיבוכיות ‪.O n3‬‬ ‫הגרף קשיר בחזקה ולכן נוכל להריץ ‪ BF‬מכל קדקוד‪ .‬המסלול הקל לקדקוד‪:‬‬ ‫אין מעגלים שליליים‪ .‬לכל ‪ v ∈ V‬מגדירים‪δ ∗ (v) = minu∈V δ(u, v) :‬‬ ‫־ משקל המסלול הקל ביותר מהמסלולים שמסתיימים ב ‪ .v‬תארו אלג' שמחשב‬ ‫את כל ערכי )‪ .δ ∗ (v‬פתרון‪ (1) :‬תמיד יהיה אי חיובי )כי קיים מסלול באורך‬ ‫‪ 0‬מהקדקוד לעצמו( )‪ (2‬נוסיף קדקוד ‪ s‬ונוציא ממנו קשתות במשקל ‪ 0‬לכל‬ ‫‪ (3) v ∈ V‬נריץ ‪ ,BF‬ועבור כל קדקוד ‪ v ∈ V‬נציב )‪.δ ∗ (v) = δ(s, v‬‬ ‫סיבוכיות‪ :‬כמו של ‪ .BF‬מעגל במשקל ‪ :0‬נתון שאין מעגלים שליליים‪ .‬האם‬ ‫קיים מעגל במשקל ‪ ?0‬פתרון‪ (1) :‬נוסיף קדקוד ‪ s‬וקשת במשקל ‪ 0‬לכל‬ ‫‪ (2) .v ∈ V‬נריץ ‪ BF‬מ ‪ (3) s‬ניצור תת גרף ‪G0 = hV, E 0 i‬‬ ‫כאשר })‪) E 0 = {(u, v) ∈ E | δ(s, v) = δ(s, u) + w(u, v‬גרף‬ ‫המק"בים שיוצאים מ ‪ ,(s‬כלומר‪ ,‬קשת נשארת בגרף אמ"מ היא חלק ממק"ב‬ ‫היוצא מ ‪ (4) s‬אם קיים בגרף מעגל‪ ,‬בהכרח משקלו ‪ (5) 0‬אם היה מעגל‬ ‫במשקל ‪ 0‬ב ‪ ,G‬הוא קיים ב ‪ .G0‬סיבוכיות‪ :‬כמו של ‪ .BF‬דייקסטרה‪:‬‬ ‫מציאת הילוך קל עם קשתות בצבעים‪ :‬נתון גרף מכוון‪ . w(e) ≥ 0 ,‬כל קשת‬ ‫בגרף צבועה באדום או כחול‪ .‬תארו אלג' למציאת ההילוך הקל ביותר מ ‪ s‬ל‬ ‫‪ t‬מבין ההילוכים עם מס' זוגי של קשתות אדומות )אפשר לחזור על קשתות(‪.‬‬ ‫פתרון‪ (1) :‬נפצל כל קדקוד ‪ v ∈ V‬לשני קדקודים ‪(2) vo , ve ∈ V 0‬‬ ‫‪ vo‬־ הגענו ל ‪ v‬אחרי מס' א"ז של קשתות אדומות‪ ,‬ו ‪ ve‬אחרי מס' זוגי‬ ‫)‪ (3‬לקשתות אדומות ‪ (u, v) ∈ E‬נגדיר‪(ue , vo ) , (uo , ve ) ∈ E 0 :‬‬ ‫)‪ (4‬לכחולות ‪ (u, v) ∈ E‬־ ‪ (5) (ue , ve ) , (uo , vo ) ∈ E 0‬נחפש ב‬ ‫‪ G0‬את המסלול הקל ביותר מ ‪ se‬ל ‪ .te‬סיבוכיות‪ :‬כמו של דייקסטרה‪.‬‬ ‫מק"בים עם משקלים שליליים‪ :‬נתון גרף מכוון‪ .w(e) ≤ 0 ,s ∈ V ,‬אין‬ ‫מעגלים שליליים‪ .‬תארו אלג' למציאת מק"בים מ ‪ s‬אל שאר הקדקודים‪ .‬פתרון‪:‬‬ ‫)‪ (1‬פתרון נאיבי ־ ‪ BF‬מ ‪ .s‬סיבוכיות‪ (2) O (mn) :‬נתון שאין מעגלים‬ ‫שליליים בגרף ⇐ המעגלים היחידים שיכולים להיות הם מעגלים במשקל ‪⇐ 0‬‬ ‫אם קיים רק"ח‪ ,‬כל הקשתות בו במשקל ‪ .0‬כלומר‪ ,‬לקדקודים באותו רק"ח‬ ‫יהיו מק"בים באותו משקל‪ .‬מספיק למצוא את המרחק של כל רק"ח מ ‪(3) s‬‬ ‫נבנה את גרף העל ונמצא את המק"בים בו‪ .‬סיבוכיות‪ :‬בגרף אציקלי אפשר‬ ‫למצוא מק"בים בזמן לינארי‪ .‬משקלים עם הגבלה‪ :‬נתון ‪ s ∈ V‬ופ' משקל‬ ‫}‪ .w : E → {0, 1, 2‬תארו אלג' למציאת מק"בים מ ‪ .s‬פתרון‪(1) :‬‬ ‫פתרון נאיבי ־ דייקסטרה מ ‪ .s‬סיבוכיות‪ (2) .O (m + nlogn) :‬נשפר את‬ ‫דייקסטרה‪ .‬נשנה את תור העדיפויות‪ ,‬כך שכל פעולה תדרוש זמן קבוע‪ ,‬ונקבל‬ ‫אלג' עם זמן ריצה לינארי‪ .‬משקל כל מסלול יהיה בין ‪ 0‬ל )‪) 2(n − 1‬או‬ ‫אינסוף(‪ .‬נחזיק מערך בגודל ‪ ,2n‬כך שכל תא יתאים למשקל אפשרי של מק"ב‪.‬‬ ‫איברי הרשימה בתא ‪ i‬יתאימו למסלולים במשקל ‪ i‬שבוחנים בשלב זה‪ .‬עלות‬ ‫הוצאת האיבר המינ' מהתור‪) :‬א( נחזיק משתנה ‪ p‬שיצביע לתא המינימלי שאינו‬ ‫ריק במערך‪ .‬בפעולת ‪ extractM in‬נוציא את האיבר שנמצא בראש הרשימה‬ ‫אשר בתא ש ‪ p‬מצביע אליו ־ )‪) .O(1‬ב( מס' התא ש ‪ p‬מצביע עליו יכול רק‬ ‫לגדול‪ ,‬ולכן סך עלות העדכון של ‪ p‬היא )‪ .O(n‬סה"כ סיבוכיות זמן ומקום‪:‬‬ ‫)‪ .O(m + n‬הערה‪ :‬אם משקלי הקשתות האפשריים הם }‪,{0, 1, 2..., k‬‬ ‫הסיבוכיות עולה ל )‪ .O (m + kn‬תכנות דינמי‪ :‬מנורות וקומות‪ n :‬קומות ו‬ ‫‪ m‬מנורות‪ .‬רוצים לדעת כמה זריקות נצטרך לכל היותר כדי לדעת בוודאות‬ ‫מאיזו קומה מנורה נפתחת‪ .‬תתי בעיות‪ c(w, f ) :‬־ מס' הזריקות שצריך‬ ‫עבור ‪ w‬מנורות ו ‪ f‬קומות‪ .‬הקשר לפתרון‪ :‬נרצה למצוא את )‪c(n, m‬‬ ‫בסיס‪ .∀j : c(1, j) = j ,∀k : c(k, 1) = 1 :‬חישוב‪c(k, j) = :‬‬ ‫‪ .mini {max [c(k, j − i), c(k − 1, i − 1)]}+1‬סיבוכיות‪ :‬מחשבים‬ ‫)‪ c(k, j‬לכל ‪ ,k, j‬כלומר סך הכל )‪ O(mn‬חישובים‪ .‬כל חישוב הוא‬ ‫לכל היותר ‪ n‬השוואות של ‪ 2‬ערכים שכבר חישבנו‪ ,‬וחישוב מינימום על ‪n‬‬ ‫ערכים ־ )‪ .O(n‬סה"כ‪:‬‬ ‫‪ .O mn2‬מסיבה‪ :‬מארגנים מסיבה‪ .‬לכל‬ ‫עובד יש רמת כיפיות‪ .‬לא מזמינים שני אנשים כשאחד הבוס הישיר של השני‪,‬‬ ‫ולכן מחזיקים את עץ הכפיפויות של העובדים‪ .‬רוצים למצוא את תת קבוצת‬ ‫העובדים עם רמת הכיפיות המקס'‪ .‬תתי בעיות‪ :‬לכל צומת ‪ v‬בעץ נגדיר ‪:‬‬ ‫)*( )‪ f un+ (v‬־ הכיפיות המקס' לתת העץ של שורש ‪ v‬כש ‪ v‬מוזמן )*(‬ ‫)‪ f un− (v‬־ כנ"ל‪ ,‬כש ‪ v‬לא מוזמן )*( )‪ f un(v‬־ רמת הכיפיות של ‪(*) v‬‬ ‫)‪ child(v‬־ קבוצת הבנים הישירים של ‪ v‬בעץ‪ .‬הקשר לפתרון‪ r :‬־ שורש‬ ‫‪n‬‬ ‫‪o‬‬ ‫העץ‪ .‬רוצים למצוא‪ max f un+ (r), f un− (r) :‬בסיס‪ :‬אם ‪ v‬עלה ‪:‬‬ ‫)*( )‪ .f un− (v) = 0 (*) f un+ (v) = f un(v‬חישוב‪ :‬אם ‪ v‬אינו‬ ‫‪P‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪f un+ (v) = f un(v) +‬‬ ‫עלה אז‪u∈child(v) f un (v) (*) :‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫‪P‬‬ ‫‪+‬‬ ‫= )‪.f un− (v‬‬ ‫‪max‬‬ ‫‪f‬‬ ‫‪un‬‬ ‫‪(v),‬‬ ‫)*( )‪f un− (v‬‬ ‫)‪u∈child(v‬‬ ‫סיבוכיות‪ :‬אם מס' העובדים הוא ‪ (1) :n‬לכל עובד מחשבים ‪ 2‬ערכים‪ ,‬כאשר‬ ‫כל ערך יכול לדרוש חישוב סכום של )‪ O(n‬איברים )‪ (2‬כיוון שכל עובד מופיע‬ ‫רק בשני סכומים )בחישוב הערכים של אבא שלו(‪ ,‬סך החישובים לכל הסכומים‬ ‫הוא )‪ .O(n‬סך הכל‪ .O(n) :‬סידור מילים בשורה‪ :‬נתונים ‪ n‬מילים שאורכן‬ ‫‪ . l1 , ..., ln‬שורה מכילה ‪ m‬תווים‪ .‬בין המילים יש בדיוק רווח אחד‬ ‫)ייתכן רווח גדול יותר בסוף שורה(‪ si .‬־ מס' הרווחים בסוף השורה ה ‪.i‬‬ ‫‪Pk−1 2‬‬ ‫= ‪ .ugliness‬תארו אלג'‬ ‫עבור סידור המילים ב ‪ k‬שורות‪i=1 si :‬‬ ‫שמוצא סידור של מילים בשורות אשר מביא את הכיעור למינ'‪ .‬תתי בעיות‪:‬‬ ‫)*( נגדיר את מס' הרווחים בסוף שורה שמתחיל במילה ה ‪ i‬ומסתיימת ב‬ ‫‪Pj‬‬ ‫‪ j − i) s(i, j) = m −‬הם הרווחים(‬ ‫‪l − (j − i) :j‬‬ ‫‪k=i k‬‬ ‫)*( נגדיר עלות שורה שמתחילה במילה ‪ i‬ומסתיימת ב ‪) lc(i, j) :j‬מקבל‬ ‫∞אם ‪ 0 ,(si, j) < 0‬אם ‪) j = n‬שורה אחרונה( ו ‪ s(i, j)2‬אחרת(‬ ‫)*( נגדיר ]‪ c[j‬־ הכיעור המינ' לפסקה שמורכבת מ ‪ j‬המילים הראשונות‪.‬‬ ‫הקשר לפתרון‪ :‬רוצים למצוא את ]‪ c[n‬בסיס‪ .c[1] = lc(1, 1) :‬חישוב‪:‬‬ ‫})‪ .c[j] = min1≤i≤j {c[i − 1] + lc(i, j‬סיבוכיות‪ (1) :‬מחשבים ‪n‬‬ ‫ ‬ ‫ערכים של ]‪ .c[j‬לצורך זה נצטרך ‪ O n2‬ערכים של )‪ lc(i, j‬ו )‪(2) s(i, j‬‬ ‫חישוב ערך של )‪ s(i, j‬לוקח זמן קבוע אם משתמשים בערך של )‪s(i, j − 1‬‬ ‫‪ lc(i,‬בזמן קבוע )‪ (4‬כלומר חישוב של ]‪ c[j‬לוקח )‪ O(n‬זמן‬ ‫)‪ (3‬חישוב )‪j‬‬ ‫ ‬ ‫‪ m‬מילים‪.‬‬ ‫‪ .O n2‬שיפור‪ :‬שורה יכולה להכיל לכל היותר‬ ‫)‪ (5‬סה"כ‪:‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪m‬‬ ‫לכן‪ (*) :‬אפשר להניח שמתקיים ∞ = )‪ lc(i, j‬כאשר ‪j − i > 2‬‬ ‫)*( נצטרך לחשב רק )‪ O(nm‬ערכי )‪ (*) lc(i, j‬נשנה את ההגדרה של‬ ‫]‪ c[j‬להיות })‪ (*) c[j] = minj− m ≤i≤j {c[i − 1] + lc(i, j‬חישוב‬ ‫‪2‬‬ ‫של ]‪ c[j‬יעלה )‪ (*) O(m‬סה"כ סיבוכיות‪ .O(mn) :‬רשתות זרימה‪:‬‬ ‫מס' מקורות ובורות‪ :‬נתונה ר"ז עם מס' מקורות ומס' בורות‪ .‬הראו שניתן למצוא‬ ‫זרימה מקס' ע"י שימוש באלג' לבעיה המקורית‪ .‬פתרון‪ :‬נוסיף "מקור על" וממנו‬ ‫קשתות לשאר המקורות עם קיבול אינסופי‪ ,‬ו"בור על" עם קשתות אליו משאר‬ ‫הבורות עם קיבול אינסופי‪ .‬זרימה בשלמים‪ :‬נתונה ר"ז עם קיבולים שלמים‪ .‬הוכח‬ ‫שערך הזרימה המקס' שלם‪ .‬פתרון‪ :‬כל הקיבולים ברשת שלמים ⇐ הערך של כל‬ ‫‪M axF low\M inCut‬‬ ‫⇐‬ ‫חתך ברשת שלם ⇐ הערך של החתך המינימלי שלם‬ ‫ערך הזרימה המקסימלית שלם‪ .‬זרימה בשלמים ‪ :2‬רוצים להראות שהשיטה של‬ ‫‪ F F‬מוצאת זרימה מקסימלית ‪ f‬כך שלכל ‪ f (u, v) ,u, v ∈ V‬שלם‪ .‬פתרון‪:‬‬ ‫נוכיח באינדוקציה על מס' הזרימות שהאלג' חיבר עד כה‪ .‬בסיס‪ :‬מצאנו ‪0‬‬ ‫מסלולים‪ ,‬אז לכל קשת יש זרימה ‪ .0‬צעד‪ :‬מצאנו זרימה ‪ f‬שבה בכל קשת‬ ‫עוברת זרימה שלמה‪ .‬יהי ‪ p‬מסלול ברשת השיורית של ‪ (1) .f‬מההנחה‪ ,‬כל‬ ‫הקיבולים ברשת השיורית שלמים‪ (2) .‬גודל הזרימה שנעביר דרך ‪ p‬הנו הקיבול‬ ‫המינימלי מקיבולי קשתות ‪ ,p‬ולכן מדובר בערך שלם‪ .‬מסלולים זרים בקשתות‬ ‫‪ +‬קשתות מנתקות‪ :‬נתון גרף מכוון וצמתים ‪ .s, t‬מס' מקס' של מסלולים‬ ‫זרים בקשתות מ ‪ s‬ל ‪ t‬שווה למס' מינ' של קשתות שיש לנתק ע"מ שלא יהיה‬ ‫מסלול מ ‪ s‬ל ‪ .t‬פתרון )לשתי הבעיות(‪ :‬ניתן לכל קשת קיבול ‪) 1‬מקבלים‬ ‫ מקסימליתמ ‪ s‬ל ‪) t‬שווה בערכה למס' הרצוי(‪.‬‬ ‫ ונמצא זרימה‬ ‫רשת ‪,(0 − 1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫סיבוכיות‪:‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪n3 ,m2‬‬ ‫‪m · min‬‬ ‫‪ .O‬מסלולים זרים בקדקודים‪ :‬נתון‬ ‫גרף מכוון וצמתים ‪ .s, v‬תארו אלג' אשר מוצא את המס' המקס' של מסלולים‬ ‫זרים בקדקודים מ ‪ s‬ל ‪ .t‬פתרון‪ :‬ניתן לכל קשת קיבול ‪ .1‬בנוסף‪ ,‬נפצל כל קדקוד‬ ‫‪) v‬פרט ל ‪ s‬ו ‪ (t‬לשני קדקודים ‪ ,vin , vout‬עם קשת מ ‪vin‬ל ‪ vout‬בקיבול ‪.1‬‬ ‫אמ"מ הם זריםבקדקודים‪ .‬נמצא את‬ ‫זרים בקשתות ‬ ‫ברשת שהתקבלה‪ ,‬מסלולים ‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ .O m · min n 3 , m 2‬זיווג מקסימום‪:‬‬ ‫הזרימה המקסימלית בזמן‬ ‫נתון גרף דו"צ )‪ .G = (U, W, E‬תארו אלג' המוצא זיווג מקסימום בגרף‪.‬‬ ‫פתרון‪ :‬נהפוך את ‪ G‬לר"ז‪ (1) :‬נכוון את כל הקשתות מ ‪ U‬ל ‪ (2) W‬נוסיף קדקוד‬ ‫‪ s‬וניצור ממנו קשתות לכל קדקודי ‪ (3) U‬נוסיף קדקוד ‪ t‬וניצור קשתות אליו‬ ‫מכל קדקודי ‪ (4) W‬ניתן לכל הקשתות קיבול ‪ .1‬קיבלנו ר"ז ‪1‬־‪ .0‬נמצא זרימה‬ ‫מקסימלית מ ‪ s‬ל ‪ .t‬גודל הזרימה המקסימלית שווה לגודל הזיווג המקסימום‪,‬‬ ‫וקבוצת הקשתות הרוויות מ ‪ U‬ל ‪ W‬הנה זיווג מקסימום‪ .‬סיבוכיות‪ :‬בניית הרשת‬ ‫ √‬ ‫־ זמן לינארי‪ .‬מציאת הזרימה ־ דיניץ ב ‪ .O m · n‬מכונות ומשימות‪:‬‬ ‫נתונות ‪ n‬מכונות ו ‪ m‬משימות‪ .‬מכונה ‪ i‬יכולה לבצע ‪ ni‬משימות‪ .‬לכל‬ ‫משימה נתונה רשימת המכונות שיודעות לבצע אותה‪ .‬תאר אלג' אשר בוחר לכל‬ ‫משימה את המכונה שתבצע אותה‪ ,‬או מודיע שלא קיימת השמה כזה‪ .‬פתרון‪:‬‬ ‫נהפוך את הבעיה לבעיה בזרימה‪ (1) :‬ניצור גרף דו"צ‪ ,‬שבו קבוצת קדקודים אחת‬ ‫היא המשימות‪ ,‬והשנייה היא המכונות )‪ (2‬נעביר קשתות בקיבול ‪ 1‬מכל משימה‬ ‫למכונות שיודעות לבצע אותה )‪ (3‬ניצור קדקוד ‪ s‬וממנו קשתות בקיבול ‪ 1‬לכל‬ ‫‪ m‬המשימות )‪ (4‬ניצור קדקוד ‪ t‬ואליו קשתות בקיבול ‪ ni‬עבור כל מכונה ‪.i‬‬ ‫כעת נחפש זרימה בגודל ‪ .m‬סיבוכיות‪ :‬מס' הקדקודים ־ ‪ .m + n + 2‬מס'‬ ‫הקשתות שלהמשימות(‪ .‬דיניץ ירוץ‬ ‫אורכי‬ ‫‬ ‫‬ ‫הקשתות ־ ‪ M ) m + n + M‬־ סך ‬ ‫ב‪ ,O mn2 = O (m + n + M ) · (m + n)2 :‬אבל ‪ F F‬חסום‬ ‫ע"י‪ k .O (m (m + n + M )) :‬קשירות‪ :‬גרף מכוון נקרא ‪k‬־קשיר אם בין‬ ‫כל זוג קדקודים שלו יש לפחות ‪ k‬מסלולים זרים בקשתות )בכל כיוון(‪ .‬נתון גרף‬ ‫מכוון ‪ G‬וקבוע ‪ .k‬תארו אלג' אשר בודק האם ‪ G‬הוא ‪k‬־קשיר‪ .‬פתרון‪ :‬עבור‬ ‫כל זוג קדקודים ‪ v, u ∈ V‬נבדוק האם יש בינם ‪ k‬מסלולים זרים בקשתות‬ ‫‪2‬‬ ‫)לכל זוג קדקודים( ברשת ‪.0 − 1‬‬ ‫)בשני‬ ‫דיניץ ‪ n‬פעמים ‬ ‫הכיוונים(‪ .‬מריצים ‬ ‫‬ ‫‪1‬‬ ‫סיבוכיות‪:‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪n3 ,m2‬‬ ‫‪n2 m · min‬‬ ‫‪ .O‬שיפור ‪ :1‬אין צורך למצוא‬ ‫מספיק להריץ ‪ F F‬ולעצור אחרי ‪ k‬מסלולים משפרים‪ .‬סיבוכיות‪:‬‬ ‫זרימה מקס'‪ ,‬‬ ‫‬ ‫‪ .O n2 · m · k‬שיפור ‪ :2‬נבחר קדקוד כלשהו ‪ v ∈ V‬ונבדוק שיש ‪k‬‬ ‫מסלולים זרים בקשתות בינו לבין כל אחד מהקדקודים האחרים )בשני הכיוונים(‪.‬‬ ‫סיבוכיות‪ .O (n · m · k) :‬מציאת חתך מינ'‪ :‬נתונה ר"ז וזרימה מקס' ‪ .f‬תארו‬ ‫אלג' למציאת חתך מינ'‪ .‬פתרון‪ :‬נבנה את הרשת השיורית ביחס ל ‪ .f‬נריץ ‪BF S‬‬ ‫מהמקור ונכניס את כל הקדקודים שבעץ ה ‪ BF S‬לתוך ‪ .S‬שאר הקדקודים‬ ‫יהיו ב ‪ .T‬סיבוכיות‪ .O(m + n) :‬כיסוי לוח שחמט עם אבני דומינו‪ :‬נתון‬ ‫לוח שח בגודל ‪ ,n × n‬לאחר שהוסרו ממנו חלק מהמשבצות‪ .‬תארו אלג'‬ ‫שבודק האם ניתן לכסות אותו ע"י אבני דומינו‪ .‬פתרון‪ :‬נבנה גרף‪ (*) :‬ניצור‬ ‫קדקוד לכל משבצת )*( ניצור קשת לכל זוג משבצות סמוכות‪ .‬זהו גרף דו"צ‬ ‫־ צד לקדקודים של המשבצות השחורות‪ ,‬וצד ללבנות‪ .‬קיים כיסוי חוקי של‬ ‫אבני דומינו אמ"מ קיים זיווג מושלם בגרף‪ .‬ע"מ למצוא זיווג מקס' בגרף דו‬ ‫צדדי בונים רשת מטיפוס ‪) 2‬רשת שבה לכל קדקוד )פרט ל ‪ s‬ו ‪ (t‬יש או קשת‬ ‫יציאה יחידה בקיבול ‪ ,1‬שאר הקיבולים הם‬ ‫קשת ‬ ‫כניסה יחידה בקיבול ‪ ,1‬או ‬ ‫ √‬ ‫שלמים אקראיים(‪ .‬סיבוכיות‪) O m n = O n2 :‬יש )‪ O(n‬קשתות‬ ‫ ‬ ‫לכל היותר ־ מכל קדקוד יש עד ‪ 4‬קשתות‪ ,‬ומס' הקדקודים הוא ‪.(O n2‬‬ ‫משפט ‪ :Hall‬עבור גרף דו"צ לא מכוון )‪ G(U, W, E‬ותת קבוצה ‪X ⊆ U‬‬ ‫נגדיר‪ .N (X) = {y ∈ W : (x, y) ∈ E for some x ∈ X} :‬נתון‬ ‫גרף דו"צ )‪ G = (U, W, E‬כך ש ‪ .|U | = |W | = n‬צ"ל‪ :‬קיים זיווג‬ ‫מושלם בגרף אמ"מ לכל תת קבוצה ‪ X ⊆ U‬מתקיים |)‪.|X| ≤ |N (X‬‬ ‫כיוון ראשון‪ (*) :‬נניח שקיים זיווג מושלם בגרף )*( נבחר זיווג מושלם‪ ,‬ונסמן ב‬ ‫‪ Y ⊆ W‬את קבוצת הקדקודים שמתאימים בזיווג לקדקודים ‪ (*) X‬מתקיים‬ ‫| ‪ |X| = |Y‬וגם )‪ ,Y ⊆ N (X‬לכן |)‪ .|X| = |Y | ≤ |N (X‬כיוון‬ ‫שני‪ (*) :‬נניח שלכל תת קבוצה ‪ X ⊆ U‬מתקיים |)‪(*) |X| ≤ |N (X‬‬ ‫נהפוך את הגרף לר"ז‪ ,‬אך לקשתות מ ‪ U‬ל ‪ W‬ניתן קיבול אינסופי )*( גודל‬ ‫הזרימה המקס' שווה לגודל הזיווג המקס' )*( נניח בשלילה שלא קיים זיווג מושלם‪.‬‬ ‫נסמן את גודל הזיווג המקס' ב ‪ .k < |W | = |U | = n‬ז"א שקיים‬ ‫חתך ‪ S, T‬בגודל ‪ (*) k‬נסמן‪) :‬א( ‪) A = S ∩ U‬ב( ‪B = T ∩ U‬‬ ‫)ג( ‪) C = S ∩ W‬ד( ‪ (*) D = T ∩ W‬לא תיתכן קשת מ ‪ A‬ל ‪,D‬‬ ‫כיוון שאז לחתך יהיה ערך אינסופי‪ .‬כלומר ‪ (*) N (A) ⊆ C‬לכן‪ ,‬בחתך יש‬ ‫רק קשתות מ ‪ s‬ל ‪ B‬ומ ‪ C‬ל ‪ .t‬כלומר ‪ (*) .|B| + |C| = k‬נקבל‬ ‫סתירה להנחה‪.|N (A)| ≤ |C| = k − |B| < |U | − |B| = |A| :‬‬ ‫תת גרף עם דרגות ‪ :1‬נתון גרף מכוון ‪ .G‬תארו אלג' המוצא קבוצת קשתות‬ ‫‪ ,E 0 ⊆ E‬כך שלכל קדקוד בגרף ) ‪ G0 = (V, E 0‬דרגת כניסה ‪ 1‬ודרגת יציאה‬ ‫‪) 1‬או מודיע שלא קיימת(‪ .‬פתרון‪ (*) :‬נבנה גרף דו"צ ) ∗ ‪ G = (U, W, E‬כך‬ ‫ש ‪ .U = W = V‬נסמן } ‪ W = {w1 , ..., wn‬ו } ‪U = {u1 , ..., un‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫)*( לכל קשת ‪ vi , vj ∈ E‬ניצור קשת ∗ ‪ (*) ui , wj ∈ E‬נבדוק האם‬ ‫קיים בגרף זיווג מושלם )ע"י מציאת זיווג מקס'( )*( אם מצאנו זיווג מושלם‪ ,‬נחזיר‬ ‫את קבוצת הקשתות בגרף המקורי אשר מתאימות לקשתות הזיווג )*( אחרת‪,‬‬ ‫נודיע שלא קיים תת גרף מתאים‪ .‬אילוצי דרגות‪ :‬נתון גרף לא מכוון ‪ .G‬תארו‬ ‫אלג' אשר מכוון את קשתות הגרף‪ ,‬כך שבגרף שהתקבל לכל קדקוד תהיה דרגת‬ ‫יציאה ≥ ‪) 3‬או מודיע שלא קיים כיוון כזה(‪ .‬פתרון‪ :‬נבנה גרף דו"צ‪ ,‬וממנו נבנה‬ ‫ר"ז‪ (1) :‬נוסיף קדקוד עבור כל קדקוד של הגרף המקורי ) ‪ (2) (U‬קדקוד עבור‬ ‫כל קשת של הגרף המקורי ) ‪ (3) (W‬נעביר קשתות מכל קדקוד ב ‪ U‬לקדקוד ב‬ ‫‪ ,W‬אם בגרף המקורי הקדקוד שב ‪ U‬סמוך לקשת שב ‪ .W‬ניתן קיבול ‪ 1‬לכל‬ ‫קשת כזו )‪ (4‬נוסיף קדקוד ‪ ,s‬ונעביר ממנו קשתות בקיבול ‪) 3‬דרגת היציאה( לכל‬ ‫קדקוד ב ‪ (5) U‬נוסיף קדקוד ‪ ,t‬ונעביר אליו קשתות בקיבול ‪ 1‬מכל קדקוד ב ‪.W‬‬ ‫קיים כיוון תקין של הגרף אמ"מ גודל הזרימה המקסימלית הנו |‪ .|E‬סיבוכיות‪:‬‬ ‫גודל הרשת‪ :‬קדקודים‪ ,|V 0 | = O(m+n) :‬קשתות‪.|E 0 | = O(m+n) :‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫זמן ריצה‪ :‬הרצת דיניץ )לא ‪1‬־‪ (0‬־ | ‪ ,O |V 0 |2 · |E 0‬כיוון הקשתות בהתאם‬ ‫לזרימה ־ )‪ ,O(m‬הרצת ‪ F F‬־ ))‪ .O (m(m + n‬שיפור‪ :‬נרצה לקבל רשת‬ ‫‪ .0 − 1‬נפרק כל קדקוד ל־‪ 3‬קדקודים בצד השמאלישל הרשת‪ .‬ניתןלכל‬ ‫‪p‬‬ ‫הקשתות מהמקור לקדקודים הללו קיבול ‪ .1‬זמן ריצה‪O |E 0 | · |V 0 | :‬‬ ‫תכנות לינארי‪ :‬פריאמלי‪+‬דואלית‪ :‬רוצים לתת משקל ≤ ‪ 0‬לכל הקשתות‪ ,‬כך‬ ‫שסכום המשקלים יהיה מקס'‪ .‬לכל קדקוד סכום משקלי הקשתות הסמוכות ≥ ‪.1‬‬ ‫‪P‬‬ ‫פתרון‪ :‬לכל ‪ e ∈ E‬ניצור ‪ ,xe‬ונרצה למצוא ‪ .max e∈E xe‬לכל ‪v ∈ V‬‬ ‫‪P‬‬ ‫ניצור אילוץ ‪) v∈e xe ≤ 1‬סכום על הקשתות שמכילות את הקדקוד(‪ .‬נוסיף‬ ‫אילוצי חיוביות‪ .‬יש משתנה לכל קשת ואילוץ לכל קדקוד‪ .‬התכנית הדואלית‪:‬‬ ‫‪P‬‬ ‫| ‪P|V‬‬ ‫ל ‪ yv ≥ 0 ,e ∈ E‬ל ‪.v ∈ V‬‬ ‫‪v∈e yv ≥ 1 ,min‬‬ ‫‪v=1 yv‬‬ ‫יש משתנה לכל קדקוד ואילוץ לכל קשת‪ .‬התכנית הדואלית פותרת את הבעיה‪:‬‬ ‫רוצים לתת משקל ≤ ‪ 0‬לכל קדקוד‪ ,‬כך שסכום משקלי הקדקודים מינ'‪ .‬עבור‬ ‫כל קשת‪ ,‬סכום משקלי הקדקודים שהיא נוגעת בהם נדרוש להיות לפחות ‪.1‬‬ ‫פיזיביליות לינארית ) ‪ (1) :(LF‬נתון אלג' לפתרון ‪ .LP‬כיצד פותרים בעזרתו‬ ‫בעיית ‪ ?LF‬פתרון‪ :‬נוסיף פ' מטרה כלשהי )למשל ‪ (min 0‬ונקבל בעיית ‪.LP‬‬ ‫)‪ (2‬נתון אלג' לפתרון ‪ .LF‬כיצד פותרים בעזרתו בעיית ‪ ?LP‬נשתמש באילוצים‬ ‫‪P‬‬ ‫‪Pm‬‬ ‫‪. n‬‬ ‫= ‪j=1 cj xj‬‬ ‫של הפרימאלית ושל הדואלית‪ .‬נוסיף אילוץ ‪i=1 bi yi‬‬ ‫מתקיים רק עבור הפתרונות האופ'‪.‬‬