תרגיל בית מספר 1 - אוניברסיטת תל אביב
מבוא למצב מוצק · סתיו 2012 תרגיל בית מספר 1 .1עבור כל אחד מהסריגים הבאים ,קבעו האם הוא סריג .Bravaisבמידה וכן ,מצאו וקטורי סריג עבורו .אחרת ,מצאו וקטורי סריג ובסיס: )א( סריג קובי פשוט בתוספת נקודות סריג במרכזי הפאות האופקיות. z y x a ˆ( y±x ˆ aו־)ˆ זהו סריג Bravaisטטרגונלי :כל נקודה בו שקולה לכל נקודה אחרת ,וניתן להגדיר את וקטורי הסריג z . a2 )ב( סריג קובי פשוט בתוספת נקודות במרכזי הפאות האנכיות. z 2 3 y x 1 a שונות .כדי לתאר אותו יש צורך בווקטורי סריג )כגון זה אינו סריג :Bravaisהנקודות המסומנות כ־ 2 ,1ו־ 3בשרטוט aרואות סביבות ˆ( . 0, a2 z+x ˆ( ˆ) , 2 z+y ˆ ,(aובנוסף בבסיס בעל שלושה ווקטוריםˆ) , ˆ aו־z ˆy ,a x )ג( שריג קובי פשוט בתוספת נקודות שריג במרכז הקו המחבר כל שני שכנים קרובים. 4 z 2 y x a 3 1 ˆ(a ˆ aו־z ˆy ,a גם זה אינו שריג :Bravaisהפעםקיימים ארבעה סוגים שונים של נקודות ,ולכן יש צורך בשריג )כמו בסעיף הקודםx , . 0, a2 x ˆ, a2 y ˆ ˆ, a2 ובבסיס המרובע z .2חשבו את יחסי האריזה עבור הסריגים הבאים: )א( סריג קובי פשוט ).(sc [email protected] גיא כהן · ביה״ס לכימיה · אוניברסיטת תל־אביב אורנשטיין 6407229 · 206־03 מבוא למצב מוצק · סתיו 2012 אם נצייר תא יחידה באורך 2aכך שפינותיו במרכזים של שמונה כדורים ,נראה כי הוא מכיל בדיוק 8שמיניות כדור )למעשה ,יכולנו לבצע את החיתוך גם כך שבדיוק כדור אחד שלם יכנס לתא יחידה ־ ודאו זאת!( .כיוון ששני חצאי כדור נכנסים לתא ,רדיוס הכדורים 3 3 . 4πנפח התא הכולל הוא ) ,(2aוהיחס ביניהם הינו .R = aאם כך ,נפח כל כדור והנפח הכולל של שמונה שמיניות כדורים הוא 3 a הוא יחס האריזה: π ≈ 0.52 . 6 = 4π 3 3 a 3 )(2a לחילופין ,אפשר להתשמש בתא יחידה פרימיטיבי המכיל תמיד כדור אחד :במקרה זה אם אורך צלע הוא aאזי נפח תא היחידה הפרימיטיבי הוא .a3רדיוס הכדורים יהיה תמיד מחצית ממרחק השכנים הקרובים ביותר ,ובמקרה זה .R = a2היחס המבוקש בין נפח הכדורים לנפח התא יצא ,כמו בשיטה השניה, π . 6 = a 3 2 a3 4π 3 )ב( סריג .bcc אפשר לשים הכדורים, נצייר שוב תא יחידה באורך 2aכך שפינותיו במרכזי שמונה כדורים סמוכים .הפעם ,כדי לקבוע את רדיוסי √ √ לב √לכך כי בין כל פינה למרכז התא עוברים בדיוק שני רדיוסים .כיוון שהמרחק בין שתי נקודות אלו הוא , 3a2 = 3aנקבל .R = 23 aנותרנו ,אם כך ,עם שמונה שמיניות כדור וכדור שלם אחד בתוך התא .גודלו הכולל של התא לא השתנה מהסעיף הקודם, ויחס האריזה הינו √ √ 3 3 8 × 18 + 1 4π π 3 3 3 R = = π ≈ 0.68. 3 3 2 8 )(2a גם כאן ניתן לעבוד עם תא היחידה הפרימיטיבי שנפחו כדי לקבל את אותה תוצאה. a3 2 √ ועם כדורים ברדיוס מחצית ממרחק השכנים הקרובים ביותר 3a ) 4 = (R )ג( סריג הקסגונלי דו־מימדי. [email protected] גיא כהן · ביה״ס לכימיה · אוניברסיטת תל־אביב אורנשטיין 6407229 · 206־03 מבוא למצב מוצק · סתיו 2012 נגדיר תא יחידה מלבני בהתאם לתרשים )יש לשים לב כי ניתן לשכפל אותו לכל הכיוונים וכך לייצר את הסריג השלם( .אם נקרא √ צלעות ,אזי נוכל להראות משיקולים גיאומטריים פשוטים לצלעות ההקסגונים aונשים לב שכל אחד מהם מורכב משישה משולשים שווי )בדקו זאת!( כי אורך צלעו האפקית של התא 3aואורך צלעו האנכית . 3aהוא מכיל 3עיגולים שלמים 4 ,חצאים וארבעה רבעים ־ בסך הכל 6עיגולים .כיוון ששני חצאי עיגולים נכנסים לכל צלע ,רדיוס הכדורים . a2יחס האריזה ,אם כן ,הוא היחס בין שטח הכדורים לשטח התא הכולל: 2 6 × π a2 π √ = √ ≈ 0.9069. 3a · 3a 2 3 שוב ,אם נעבוד עם תא פרימיטיבי )למשל המקבילית שיוצרים שני ווקטורי הסריג( ששטחו ) ◦ a2 sin (60ועם כדורים ברדיוס מחצית ממרחק השכנים הקרובים ,R = a2נקבל תוצאה זהה. .3הראו כי תא ,Wigner-Seitzתא היחידה הפרימיטיבי המוגדר כאוסף הנקודות בחלל שהן יותר קרובות לנקודת הסריג שבראשית מאשר לכל נקודה אחרת ,הוא: )א( מלבני עבור סריג מלבני בשני מימדים. כדי למצוא את התא ,אפשר להשתמש ברמז כדי לחלק את המרחב מסביב לנקודת סריג שקרובים יותר לנקודה אחרת .לצורך העניין מספיק לצייר קווים )מקווקווים בשרטוט( השכנות אליה ,ולחסר מהמרחב את כל מה שרחוק יותר מהנקודה מהישר המאונך לקו זה מלא( .השטח שנותר )באפור( הוא תא ,Wigner-Seitzוקל להשתכנע שבסריג מלבני הוא האלכסוניים משיקים למלבן שמגדירים השכנים הקרובים. לחלקים שקרובים ביותר אליה ,ולחלקים בין הנקודה הנבחרת לבין כל הנקודות וחוצה אותו )הישרים הללו מצויירים בקו מלבן כיוון שהאנכים המתאימים לשכנים )ב( הקסגונלי )כלומר ,יש לו שישה צדדים( עבור כל סריג אחר בשני מימדים. )רמז :שימו לב בין החלק של המרחב שקרוב יותר לנקודה Aלבין החלק של המרחב שקרוב יותר לנקודה Bמפריד הישר המאונך ל־ ABוחוצה אותו .ניתן להעזר בעמוד 74ב־(.Ashcroft/Mermin [email protected] גיא כהן · ביה״ס לכימיה · אוניברסיטת תל־אביב אורנשטיין 6407229 · 206־03 מבוא למצב מוצק · סתיו 2012 במקרה הכללי יותר ,כאשר אנחנו משנים את הסימטריה של הסריג מסימטריה מלבנית ,המלבןמהסעיף הקודם הופך למעויין :הוא ״נדחס״ לאורך אלכסון אחד ו־״נמתח״ לאורך השני .כתוצאה מכך ,שניים מהישרים האלכסוניים שהשיקו קודם לריבוע מתרחקים ממנו יותר ואינם משפיעים ,בעוד השניים האחרים חודרים לתוך הצורה וקוטמים אותה ,כך שנוספות לה שתי צלעות חדשות. .4מהו סריג ה־ Bravaisשנוצר על ידי אוסף הנקודות במרחב עם קואורדינטות ) (n1 , n2 , n3אם נתון כי ה־ niהינם: )א( מספרים שלמים כלשהם? זהו סריג קובי פשוט ) (SCבאורך תא :1הוא מורכב מכל הנקודות ˆ + n3 z ˆ, R = n1 x ˆ + n2 y עם אינדקסים שלמים ,וזהו בדיוק הסריג שנפרש על ידי שלושת ווקטורי היחידה הקרטזיים. )ב( מספרים שלמים שסכומם זוגי? כדי שהסכום יהיה זוגי ,ישנן שתי אפשרויות :כל המספרים זוגיים ,או אחד זוגי ושניים אי־זוגיים .נפריד את הסריג לשני תת־סריגים המתאימים כל אחד לאחד משני המקרים הללו. המקרה הראשון הוא קל :הוא נותן לנו את הסריג ˆ + 2n3 z ˆ, Rall−even = 2n1 x ˆ + 2n2 y שהוא סריג קובי בעל קבוע סריג .2כעת ,נשים לב שכדי לעבור מנקודה בסריג הזה לנקודה שכנה בסריג השני ,יש להוסיף או להחסיר אחד מבדיוק שניים מהאינדקסים .כלומר ,הווקטורים האפשריים למעברים כאלו הם ˆ, x±y ˆ± ˆ∆R = ± ˆ, x±z ˆ. ˆ± y±z קל לבדוק כי כל ווקטור כזה ממקם אותנו במרכז פאה ־ כלומר בסך הכל מתקבל סריג FCCבאורך תא .2 .5נתון כי חומר מסוים עובר תחת חימום מעבר פאזה מממבנה scעם קבוע סריג 5Åלמבנה hcpאידיאלי .בהנחה כי הצפיפות נשארת קבועה )מעבר הפאזה הוא מסדר שני( ,מה יהיה קבוע הסריג בסוף התהליך? אורנשטיין 6407229 · 206־03 גיא כהן · ביה״ס לכימיה · אוניברסיטת תל־אביב [email protected] מבוא למצב מוצק · סתיו 2012 תא יחידה קובי פשוט עם קבוע a1 = 5Åמכיל אטום יחיד בנפח של ,a31כלומר הצפיפות המקורית הינה .ρ1 = a1−3מבנה פרימיטיבי .ווקטורי סריג סטנדרטיים ניתן למצוא בספר: ,hcpלעומת זאת ,הוא סריג עם בסיס ומכיל qשני אטומים בכל תא יחידהq √ ,a1 = a2 x ˆ היחידה הוא 3 ˆ 2 a2 y + a2 ˆ 2 x = a2 8 ו־z ˆ 3 a2 = ) a3שימו לב שנבחר ! √ 8 a2 y ˆ×ˆ z = 2a32 . 3 מכאן 2 V2 r 8 3a = ,cהערך המתאים ליחס אריזה אופטימלי( .נפח תא √ 3 a2 2 V2 = a1 · (a2 × a3 ) = a2 x ·ˆ = ,ρ2והתנאי שעלינו לקיים הוא 1 2 −3 6 ρ2 = ρ1 ⇒ √ a−3 2 = a1 ⇒ a2 = 2 a1 ≈ 5.612Å. 2 [email protected] גיא כהן · ביה״ס לכימיה · אוניברסיטת תל־אביב אורנשטיין 6407229 · 206־03
© Copyright 2024