‫גידול מעריכי וזמן הכפלה ככלים תכנוניים ‪ /‬עמית מורלי‬
‫אלברט ברטלט‪ ,‬פרופסור לפיסיקה באוניברסיטת קולורדו‪ ,‬טען כי "החיסרון הגדול ביותר של האנושות הוא‬
‫חוסר יכולתה להבין את הפונקציה המעריכית"‪ .‬אנו חושבים שאנו מבינים מהי המשמעות הכספית של ריבית‬
‫דריבית המחושבת בבנק‪ ,‬אולם איננו מסוגלים לתפוס‪ ,‬במשמעותו המרחבית של הגידול המעריכי‪ ,‬כי עובייה‬
‫של ממחטת נייר שתקופל ‪ 05‬פעם (אילו היה הדבר ניתן לביצוע) יעלה על ‪ 05‬מיליון ק"מ‪ .‬בפתח הדברים יודגש‬
‫כי מטרת מאמר קצר זה אינה להתריע מפני טרגדיה מלתוסיאנית‪ ,‬אלא להציג את בעיית הגידול המעריכי‬
‫בהקשרים התכנוניים שלו‪ ,‬תוך הישענות על כלים מתמטיים ועל תחזיות ברות‪-‬חישוב‪.‬‬
‫החשיבה האנושית הטבעית נוטה להעריך גידול רב‪-‬שנתי באופן ליניארי‪ .‬ניקח לדוגמא ישוב צעיר‪,‬‬
‫שאוכלוסייתו הוכפלה בתוך עשור מ‪ 05,555-‬תושבים ל‪ 05,555-‬תושבים‪ .‬בהינתן קצב גידול קבוע‪ ,‬האם נוכל‬
‫לתפוס כי בתוך עשור נוסף תעמוד האוכלוסייה על ‪ 05,555‬תושבים‪ ,‬וכי בסוף העשור הרביעי יאמיר המספר ל‪-‬‬
‫‪ 05,555‬תושבים?‬
‫כאשר הכסף שהפקדנו בבנק‪ ,‬אוכלוסייתה של עיר‪ ,‬או קצב השימוש בדלק גדלים באחוז קבוע בכל שנה‪,‬‬
‫משמעות הדבר שהגידול הוא מעריכי‪ .‬העובדה החשובה בגידול המעריכי היא שהזמן הנדרש לכמות מסוימת‬
‫כדי לגדול פי מספר נתון‪ ,‬הוא קבוע‪ .‬את אותו הקשר הקבוע בין אחוז הגידול לזמן ההכפלה (הנשען על הקבוע‬
‫‪ ,3..6‬או ‪ 05‬בקירוב) ניתן לבטא במשוואה הבאה‪:‬‬
‫זמן ההכפלה‬
‫אחוז הגידול ביחידת זמן‬
‫לדוגמא‪ ,‬אם אנו יודעים שאוכלוסייתה של עיר מבוקשת גדלה בשיעור שנתי קבוע של ‪ ,6.0%‬משמעות הדבר‬
‫היא שהאוכלוסייה תוכפל בכל ‪ 05‬שנה‪ .‬ועדה לתכנון עירוני המאשרת קצב גידול שנתי זה‪ ,‬הנראה סביר למדי‪,‬‬
‫עלולה שלא לשים לב שפירוש הדבר הוא שבתוך ‪ 05‬שנה תידרש הכפלת יכולת אספקת מי השתייה‪ ,‬הכפלת‬
‫יכולת הקליטה במתקני טיהור השפכים‪ ,‬והכפלת כל צורך ציבורי אחר לרבות מוסדות חינוך ושטחים ציבוריים‬
‫פתוחים‪.‬‬
‫במקרים מורכבים‪ ,‬הסביבה מוגדרת כסביבה סופית‪ .‬במדינת‪-‬אי זעירה כמו סינגפור הדברים אולי מובנים‬
‫מאליהם‪ ,‬אך גם בישראל יתכן ולא ירחק היום בו המרחב העומד לרשותנו יהפוך למרחב סופי‪ .‬מצב זה יכול‬
‫להתקיים הן מאילוצים כפויים (פוליטיים‪ ,‬ביטחוניים וכיו"ב)‪ ,‬והן מאילוצים רצוניים (תיחום שרירותי של‬
‫שטחים שהוקצו לפיתוח)‪ .‬האם נוכל להעריך כבר בשלב מוקדם מהן המשמעויות הנגזרות מסביבה סופית?‬
‫ניקח לדוגמא מושבת חיידקים המתרבים בדרך החלוקה‪ -‬מחיידק אחד מתקבלים שניים‪ ,‬משניים ארבעה‪ ,‬וכן‬
‫הלאה‪ .‬כעת נניח שזמן ההתחלקות של החיידקים הוא דקה אחת‪ .‬זהו אם כן גידול קבוע‪ ,‬כאשר מספר‬
‫החיידקים גדל באופן מעריכי‪ ,‬וזמן ההכפלה הוא דקה אחת‪ .‬כעת נניח‪ ,‬כנתון‪ ,‬שבשעה ‪ 05:55‬הונח בבקבוק ריק‬
‫חיידק אחד‪ ,‬ושהגידול ממשיך בקצב קבוע עד השעה ‪ ,00:55‬אז מתמלא הבקבוק בחיידקים ולא נותר בו עוד‬
‫מקום פנוי‪ .‬כעת ננסה לענות על השאלה הבאה‪ :‬מתי הבקבוק יתמלא עד מחציתו?‬
‫אינסטינקטיבית‪ ,‬נבחר אולי לטעון שהבקבוק יתמלא עד מחציתו בשעה ‪ ,05:65‬אך העובדה הבלתי‪-‬נתפשת היא‬
‫שהבקבוק יתמלא עד מחציתו במועד מאוחר הרבה יותר‪ -‬רק בשעה ‪ .05:0.‬אם נרחיב את הרעיון הרי שבשעה‬
‫מנפחו‬
‫מנפח הבקבוק היה מלא‪ ,‬לעומת‬
‫‪ 05:00‬רק רבע מהבקבוק היה מלא‪ ,‬ואילו בשעה ‪ 05:00‬רק‬
‫(‪ ).0.0%‬שנותרו פנויים ומשתוקקים לפיתוח‪ .‬לו היינו אנו החיידקים‪ ,‬מתי היינו חשים שהמרחב העומד‬
‫לרשותנו הולך ואוזל? האם היינו מסוגלים בכלל לחוש בכך? בגידול מסוג מעריכי לא חולף זמן רב בין הרגע‬
‫שבו ניכרות השפעות הגידול‪ ,‬לבין הרגע בו כבר לא ניתן לעמוד בפניהן‪.‬‬
‫גידול מתמשך והולך והכפלה חוזרת ונשנית‪ ,‬מובילים למספרים ענקיים‪ .‬בשני זמני הכפלה ( ) הסכום יגדל פי‬
‫ארבעה‪ ,‬בשלושה זמני הכפלה הוא יגדל פי שמונה ( ) וכן הלאה‪ .‬להמחשת הגידול העצום ניעזר באגדה על‬
‫ממציא השחמט‪ ,‬שביקש ממלכו גמול צנוע למדי תמורת ההמצאה‪ :‬האיש ביקש שכרו בגרגרי חיטה‪ ,‬כאשר‬
‫גרגר אחד יונח על משבצת לוח השחמט הראשונה‪ ,‬שני גרגרים על המשבצת השנייה‪ ,‬ארבעה על השלישית וכן‬
‫גרגרי חיטה רק על‬
‫הלאה‪ ,‬עד למילוי ‪ 30‬המשבצות כולן‪ .‬מהר מאוד הבין המלך שהבקשה ה"צנועה" (‬
‫המשבצת האחרונה לבדה) עלתה בכמותה על כל החיטה שנקצרה בהיסטוריה האנושית‪.‬‬
‫הנתון המעניין העולה מדוגמת לוח השחמט הוא שמספר הגרגרים על כל משבצת גדול בגרגר אחד מסך כל‬
‫הגרגרים שהונחו במשבצות הקודמות‪ .‬כך‪ ,‬למשל‪ ,‬כאשר שמונה גרגרים מונחים על המשבצת הרביעית‪ ,‬מספרם‬
‫גדול בגרגר אחד משבעת הגרגרים שכבר נמצאים על הלוח (‪ .)02020‬ניתן לראות כי בזמן הכפלה אחד‪ ,‬אנו‬
‫משתמשים במשאבים העולים על כמות המשאבים שהשתמשנו בהם במשך כל הגידול הקודם‪ .‬בכדי לפשט את‬
‫הדברים‪ ,‬נדמיין כוכב לכת מרוחק‪ ,‬בו זוג אסטרונאוטים מתחילים שושלת אנושית הגדלה בקצב קבוע ומינורי‬
‫של ‪ 0%‬בשנה‪ .‬לשושלת יידרשו ‪ 0,055‬שנים בכדי להגיע לאוכלוסייה של מיליארד איש (‪ 65‬הכפלות × ‪ ,)05‬אך‬
‫רק עוד ‪ 05‬שנים נוספות (!) כדי להגיע לאוכלוסייה של שני מיליארד איש‪.‬‬
‫כעת ניתן אולי להבין מעט טוב יותר כיצד אוכלוסיית העולם גדלה בשיעורי‪-‬ענק ממיליארד נפש בשנת ‪ 0055‬ל‪-‬‬
‫‪ 0‬מיליארד בשנת ‪ ,0.00‬ל‪ 3-‬מיליארד בשנת ‪ 0...‬ול‪ 0-‬מיליארד בשנת ‪ .0500‬הגידול באוכלוסיית העולם אינו‬
‫הומוגני‪ :‬הוא גבוה במיוחד באפריקה ובמזרח התיכון‪ ,‬ונמוך במיוחד במדינות ה‪.OECD-‬‬
‫גידול האוכלוסין במדינת ישראל אף הוא אינו הומוגני‪ ,‬אך עומד על ממוצע של כ‪ 0.0%-‬לשנה‪ .‬בהנחת גידול‬
‫קבוע באוכלוסיית ישראל‪ ,‬העומדת כיום על כ‪ 0.0-‬מיליון נפש‪ ,‬נמצא שבתוך כ‪ 6.-‬שנים תוכפל אוכלוסיית‬
‫ישראל‪ .‬עם זאת‪ ,‬יש לזכור שהיישובים במדינת ישראל אינם הומוגניים‪ ,‬וכי לכל ישוב קיימת "תבנית הכפלה"‬
‫בהתאם לאופי האוכלוסייה המתגוררת בו‪.‬‬
‫ביישובים מסורתיים הגידול לרוב גבוה יותר‪ ,‬ולפיכך מצוקת המשאבים רבה יותר‪ .‬מצוקת משאבים זו עלולה‬
‫להוביל לבעיות קשות של בניה לא חוקית‪ ,‬לעומסים על מתקני טיהור שפכים ולמחסור בהקצאת שטחי ציבור‪.‬‬
‫אם רשות עירונית אינה מסוגלת להשתלט על המערכת עליה היא מופקדת‪ ,‬חלקים הולכים וגדלים בציבור‬
‫ימצאו צידוק בהתחמקות מחובת תשלום המיסים העירוניים‪ ,‬ויובילו את הרשות העירונית לגירעון כרוני‪.‬‬
‫ברקע תוסיף להתקיים בעיית שיעור גידול האוכלוסין הנקודתי‪ ,‬החורג משיעורי הגידול הכלל‪-‬ארציים‪,‬‬
‫ותתעצם בשיעור מעריכי‪ .‬זוהי מערכת כשלים המזינה את עצמה‪ ,‬כאשר ברקע מתרחב הפער בין רשויות‬
‫מתפקדות לרשויות לא מתפקדות‪ ,‬ששורשיו בין היתר בחוסר היכולת לתכנן בזמן את היקף המשאבים‬
‫הדרושים עבור תבניתו הייחודית של הישוב‪ .‬השימוש במקדמי ההכפלה‪ ,‬תוך ניתוח מושכל של שיעורי‬
‫אוכלוסין‪ ,‬מגבלות תקציביות ועתודות קרקע זמינות‪ ,‬עשוי להקל על רשות עירונית או על‪-‬עירונית בבואה‬
‫לתכנן את עתידה לעשורים הקרובים‪.‬‬
‫כבסיס ראשוני וכמודל תיאורטי‪ ,‬על מתכנני הישוב לוודא מהו שיעור הגידול השנתי של הישוב‪ ,‬ולהציב שיעור‬
‫זה כפרמטר במשוואת זמן ההכפלה‪ .‬אם נמצא‪ ,‬לדוגמא‪ ,‬ששיעור הגידול השנתי הינו ‪ ,6%‬הרי שזמן ההכפלה‬
‫של הישוב הינו כ‪ 06-‬שנה‪ .‬כעת‪ ,‬במסגרת העבודה המעשית על תוכנית מתארית (ותוך שניתן מענה תכנוני‬
‫למגורים עצמם)‪ ,‬יתבקשו המתכננים להציע פתרונות ישימים וברי‪-‬היתכנות להכפלת כלל הצרכים הציבוריים‬
‫של הישוב במסגרת הזמן הנתונה‪ .‬לדוגמא‪ ,‬אם כיום פועלים בישוב ‪ 05‬גני ילדים לגילאי ‪ ,6-0‬הרי שעד לשנת‬
‫היעד ‪ 0560‬תידרש הקמתם והפעלתם של ‪ 05‬גני ילדים נוספים לגילאי ‪.6-0‬‬
‫בכדי לפשט את העבודה ולהבטיח יעילותה‪ ,‬רצוי לקבוע בהוראות התוכנית שלביות ביצוע "ליניארית"‪ ,‬לפיה ‪05‬‬
‫גני ילדים חדשים לגילאי ‪ 6-0‬יוקמו בתוך עשור ואילו ‪ 05‬הגנים הנותרים יוקמו בתוך ‪ 06‬שנים נוספות (ניתן‬
‫לבצע המרה ליניארית‪ ,‬מכיוון שכעת הגידול המעריכי כבר "כלוא" במסגרת זמן קשיחה לצרכים תכנוניים)‪.‬‬
‫השיטה אינה נטולת חסרונות‪ ,‬כמובן‪ ,‬בין היתר מאחר וערכי הגידול השנתיים בישוב עלולים לגדול או לקטון‬
‫תוך כדי יישום השלכותיו של זמן הכפלה שנקבע מראש‪ .‬כמו כן‪ ,‬לא מן הנמנע כי בעתיד הנראה לעין ישתנה‬
‫האופן בו מתוכננים צרכי ציבור (הן במהות והן בכמות)‪ .‬עם זאת‪ ,‬ובראיה כוללת‪ ,‬יישום המודל התיאורטי של‬
‫זמן ההכפלה יכול לסייע רבות להתפתחות הישוב כאורגניזם בריא‪ ,‬המקדים תכנון לביצוע‪.‬‬