המאמר המלא של עמית מורלי
גידול מעריכי וזמן הכפלה ככלים תכנוניים /עמית מורלי אלברט ברטלט ,פרופסור לפיסיקה באוניברסיטת קולורדו ,טען כי "החיסרון הגדול ביותר של האנושות הוא חוסר יכולתה להבין את הפונקציה המעריכית" .אנו חושבים שאנו מבינים מהי המשמעות הכספית של ריבית דריבית המחושבת בבנק ,אולם איננו מסוגלים לתפוס ,במשמעותו המרחבית של הגידול המעריכי ,כי עובייה של ממחטת נייר שתקופל 05פעם (אילו היה הדבר ניתן לביצוע) יעלה על 05מיליון ק"מ .בפתח הדברים יודגש כי מטרת מאמר קצר זה אינה להתריע מפני טרגדיה מלתוסיאנית ,אלא להציג את בעיית הגידול המעריכי בהקשרים התכנוניים שלו ,תוך הישענות על כלים מתמטיים ועל תחזיות ברות-חישוב. החשיבה האנושית הטבעית נוטה להעריך גידול רב-שנתי באופן ליניארי .ניקח לדוגמא ישוב צעיר, שאוכלוסייתו הוכפלה בתוך עשור מ 05,555-תושבים ל 05,555-תושבים .בהינתן קצב גידול קבוע ,האם נוכל לתפוס כי בתוך עשור נוסף תעמוד האוכלוסייה על 05,555תושבים ,וכי בסוף העשור הרביעי יאמיר המספר ל- 05,555תושבים? כאשר הכסף שהפקדנו בבנק ,אוכלוסייתה של עיר ,או קצב השימוש בדלק גדלים באחוז קבוע בכל שנה, משמעות הדבר שהגידול הוא מעריכי .העובדה החשובה בגידול המעריכי היא שהזמן הנדרש לכמות מסוימת כדי לגדול פי מספר נתון ,הוא קבוע .את אותו הקשר הקבוע בין אחוז הגידול לזמן ההכפלה (הנשען על הקבוע ,3..6או 05בקירוב) ניתן לבטא במשוואה הבאה: זמן ההכפלה אחוז הגידול ביחידת זמן לדוגמא ,אם אנו יודעים שאוכלוסייתה של עיר מבוקשת גדלה בשיעור שנתי קבוע של ,6.0%משמעות הדבר היא שהאוכלוסייה תוכפל בכל 05שנה .ועדה לתכנון עירוני המאשרת קצב גידול שנתי זה ,הנראה סביר למדי, עלולה שלא לשים לב שפירוש הדבר הוא שבתוך 05שנה תידרש הכפלת יכולת אספקת מי השתייה ,הכפלת יכולת הקליטה במתקני טיהור השפכים ,והכפלת כל צורך ציבורי אחר לרבות מוסדות חינוך ושטחים ציבוריים פתוחים. במקרים מורכבים ,הסביבה מוגדרת כסביבה סופית .במדינת-אי זעירה כמו סינגפור הדברים אולי מובנים מאליהם ,אך גם בישראל יתכן ולא ירחק היום בו המרחב העומד לרשותנו יהפוך למרחב סופי .מצב זה יכול להתקיים הן מאילוצים כפויים (פוליטיים ,ביטחוניים וכיו"ב) ,והן מאילוצים רצוניים (תיחום שרירותי של שטחים שהוקצו לפיתוח) .האם נוכל להעריך כבר בשלב מוקדם מהן המשמעויות הנגזרות מסביבה סופית? ניקח לדוגמא מושבת חיידקים המתרבים בדרך החלוקה -מחיידק אחד מתקבלים שניים ,משניים ארבעה ,וכן הלאה .כעת נניח שזמן ההתחלקות של החיידקים הוא דקה אחת .זהו אם כן גידול קבוע ,כאשר מספר החיידקים גדל באופן מעריכי ,וזמן ההכפלה הוא דקה אחת .כעת נניח ,כנתון ,שבשעה 05:55הונח בבקבוק ריק חיידק אחד ,ושהגידול ממשיך בקצב קבוע עד השעה ,00:55אז מתמלא הבקבוק בחיידקים ולא נותר בו עוד מקום פנוי .כעת ננסה לענות על השאלה הבאה :מתי הבקבוק יתמלא עד מחציתו? אינסטינקטיבית ,נבחר אולי לטעון שהבקבוק יתמלא עד מחציתו בשעה ,05:65אך העובדה הבלתי-נתפשת היא שהבקבוק יתמלא עד מחציתו במועד מאוחר הרבה יותר -רק בשעה .05:0.אם נרחיב את הרעיון הרי שבשעה מנפחו מנפח הבקבוק היה מלא ,לעומת 05:00רק רבע מהבקבוק היה מלא ,ואילו בשעה 05:00רק ( ).0.0%שנותרו פנויים ומשתוקקים לפיתוח .לו היינו אנו החיידקים ,מתי היינו חשים שהמרחב העומד לרשותנו הולך ואוזל? האם היינו מסוגלים בכלל לחוש בכך? בגידול מסוג מעריכי לא חולף זמן רב בין הרגע שבו ניכרות השפעות הגידול ,לבין הרגע בו כבר לא ניתן לעמוד בפניהן. גידול מתמשך והולך והכפלה חוזרת ונשנית ,מובילים למספרים ענקיים .בשני זמני הכפלה ( ) הסכום יגדל פי ארבעה ,בשלושה זמני הכפלה הוא יגדל פי שמונה ( ) וכן הלאה .להמחשת הגידול העצום ניעזר באגדה על ממציא השחמט ,שביקש ממלכו גמול צנוע למדי תמורת ההמצאה :האיש ביקש שכרו בגרגרי חיטה ,כאשר גרגר אחד יונח על משבצת לוח השחמט הראשונה ,שני גרגרים על המשבצת השנייה ,ארבעה על השלישית וכן גרגרי חיטה רק על הלאה ,עד למילוי 30המשבצות כולן .מהר מאוד הבין המלך שהבקשה ה"צנועה" ( המשבצת האחרונה לבדה) עלתה בכמותה על כל החיטה שנקצרה בהיסטוריה האנושית. הנתון המעניין העולה מדוגמת לוח השחמט הוא שמספר הגרגרים על כל משבצת גדול בגרגר אחד מסך כל הגרגרים שהונחו במשבצות הקודמות .כך ,למשל ,כאשר שמונה גרגרים מונחים על המשבצת הרביעית ,מספרם גדול בגרגר אחד משבעת הגרגרים שכבר נמצאים על הלוח ( .)02020ניתן לראות כי בזמן הכפלה אחד ,אנו משתמשים במשאבים העולים על כמות המשאבים שהשתמשנו בהם במשך כל הגידול הקודם .בכדי לפשט את הדברים ,נדמיין כוכב לכת מרוחק ,בו זוג אסטרונאוטים מתחילים שושלת אנושית הגדלה בקצב קבוע ומינורי של 0%בשנה .לשושלת יידרשו 0,055שנים בכדי להגיע לאוכלוסייה של מיליארד איש ( 65הכפלות × ,)05אך רק עוד 05שנים נוספות (!) כדי להגיע לאוכלוסייה של שני מיליארד איש. כעת ניתן אולי להבין מעט טוב יותר כיצד אוכלוסיית העולם גדלה בשיעורי-ענק ממיליארד נפש בשנת 0055ל- 0מיליארד בשנת ,0.00ל 3-מיליארד בשנת 0...ול 0-מיליארד בשנת .0500הגידול באוכלוסיית העולם אינו הומוגני :הוא גבוה במיוחד באפריקה ובמזרח התיכון ,ונמוך במיוחד במדינות ה.OECD- גידול האוכלוסין במדינת ישראל אף הוא אינו הומוגני ,אך עומד על ממוצע של כ 0.0%-לשנה .בהנחת גידול קבוע באוכלוסיית ישראל ,העומדת כיום על כ 0.0-מיליון נפש ,נמצא שבתוך כ 6.-שנים תוכפל אוכלוסיית ישראל .עם זאת ,יש לזכור שהיישובים במדינת ישראל אינם הומוגניים ,וכי לכל ישוב קיימת "תבנית הכפלה" בהתאם לאופי האוכלוסייה המתגוררת בו. ביישובים מסורתיים הגידול לרוב גבוה יותר ,ולפיכך מצוקת המשאבים רבה יותר .מצוקת משאבים זו עלולה להוביל לבעיות קשות של בניה לא חוקית ,לעומסים על מתקני טיהור שפכים ולמחסור בהקצאת שטחי ציבור. אם רשות עירונית אינה מסוגלת להשתלט על המערכת עליה היא מופקדת ,חלקים הולכים וגדלים בציבור ימצאו צידוק בהתחמקות מחובת תשלום המיסים העירוניים ,ויובילו את הרשות העירונית לגירעון כרוני. ברקע תוסיף להתקיים בעיית שיעור גידול האוכלוסין הנקודתי ,החורג משיעורי הגידול הכלל-ארציים, ותתעצם בשיעור מעריכי .זוהי מערכת כשלים המזינה את עצמה ,כאשר ברקע מתרחב הפער בין רשויות מתפקדות לרשויות לא מתפקדות ,ששורשיו בין היתר בחוסר היכולת לתכנן בזמן את היקף המשאבים הדרושים עבור תבניתו הייחודית של הישוב .השימוש במקדמי ההכפלה ,תוך ניתוח מושכל של שיעורי אוכלוסין ,מגבלות תקציביות ועתודות קרקע זמינות ,עשוי להקל על רשות עירונית או על-עירונית בבואה לתכנן את עתידה לעשורים הקרובים. כבסיס ראשוני וכמודל תיאורטי ,על מתכנני הישוב לוודא מהו שיעור הגידול השנתי של הישוב ,ולהציב שיעור זה כפרמטר במשוואת זמן ההכפלה .אם נמצא ,לדוגמא ,ששיעור הגידול השנתי הינו ,6%הרי שזמן ההכפלה של הישוב הינו כ 06-שנה .כעת ,במסגרת העבודה המעשית על תוכנית מתארית (ותוך שניתן מענה תכנוני למגורים עצמם) ,יתבקשו המתכננים להציע פתרונות ישימים וברי-היתכנות להכפלת כלל הצרכים הציבוריים של הישוב במסגרת הזמן הנתונה .לדוגמא ,אם כיום פועלים בישוב 05גני ילדים לגילאי ,6-0הרי שעד לשנת היעד 0560תידרש הקמתם והפעלתם של 05גני ילדים נוספים לגילאי .6-0 בכדי לפשט את העבודה ולהבטיח יעילותה ,רצוי לקבוע בהוראות התוכנית שלביות ביצוע "ליניארית" ,לפיה 05 גני ילדים חדשים לגילאי 6-0יוקמו בתוך עשור ואילו 05הגנים הנותרים יוקמו בתוך 06שנים נוספות (ניתן לבצע המרה ליניארית ,מכיוון שכעת הגידול המעריכי כבר "כלוא" במסגרת זמן קשיחה לצרכים תכנוניים). השיטה אינה נטולת חסרונות ,כמובן ,בין היתר מאחר וערכי הגידול השנתיים בישוב עלולים לגדול או לקטון תוך כדי יישום השלכותיו של זמן הכפלה שנקבע מראש .כמו כן ,לא מן הנמנע כי בעתיד הנראה לעין ישתנה האופן בו מתוכננים צרכי ציבור (הן במהות והן בכמות) .עם זאת ,ובראיה כוללת ,יישום המודל התיאורטי של זמן ההכפלה יכול לסייע רבות להתפתחות הישוב כאורגניזם בריא ,המקדים תכנון לביצוע.
© Copyright 2024