‫נושאים מתקדמים בתורת החבורות‬ ‫‪1‬‬ ‫תוכן עניינים‬ ‫תוכן עניינים‬ ‫תוכן עניינים‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫מנהלות ‪. . . . . . . . . . . .‬‬ ‫מבוא ‪. . . . . . . . . . . . .‬‬ ‫גידול של חבורות מכפלה ‪. . .‬‬ ‫מכפלה חופשית ‪. . .‬‬ ‫‪3.1‬‬ ‫גרף קיילי ‪. . . . . .‬‬ ‫‪3.2‬‬ ‫מכפלה ממוזגת ‪. . .‬‬ ‫‪3.3‬‬ ‫חישוב מדויק של פונקציות גידול‬ ‫פונקציות רקורסיבית ‪. .‬‬ ‫‪4.1‬‬ ‫חבורות עם גידול ביניים ‪. . . . .‬‬ ‫חבורת גריגורצ'וק לא נוצרת סופית‬ ‫מכפלות שזורות ‪. . . . . . . . . .‬‬ ‫אוטומטים סופיים ‪. . . . . . . . .‬‬ ‫חבורת גופטה־סידקי ‪. . .‬‬ ‫‪8.1‬‬ ‫חבורת פבריגורסקי־גופטה‬ ‫‪8.2‬‬ ‫מערכות דינמיות ‪. . . . . . . . . .‬‬ ‫חסמים משופרים לחבורת גריגורצ'וק‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪19‬‬ ‫‪19‬‬ ‫‪19‬‬ ‫‪20‬‬ ‫‪20‬‬ ‫‪20‬‬ ‫‪20‬‬ ‫תוכן עניינים‬ ‫תוכן עניינים‬ ‫מרצה‪ :‬פרופ' אבינועם מן‬ ‫מסכם‪ :‬עומר שכטר — ‪omer.shechter SHTRUDEL mail.huji.ac.il‬‬ ‫ניתן בסמסטר סתיו ה'תשע"ה באוניברסיטה העברית בירושלים‬ ‫תיקונים קלים כחמורים יתקבלו בברכה‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫מבוא‬ ‫מנהלות‬ ‫שיעור ראשון‬ ‫השיעור ייערך ביום שני ב־‪ 12:00‬עד ‪ 14:00‬במתמטיקה ‪ .209‬ציונים יינתנו על בסיס עבודת בית בסוף‬ ‫הסמסטר‪.‬‬ ‫‪2‬‬ ‫מבוא‬ ‫תהא ‪ G = hx1 , . . . , xd i‬חבורה נוצרת סופית — כל איבר הוא מכפלה של האיברים האלה או ההופכיים שלהם‪.‬‬ ‫לאיברים } ‪ {x1 , . . . , xd‬קוראים היוצרים של החבורה‪ .‬דרך אחרת לומר זאת שכל תת־חבורה של ‪ G‬שמכילה את‬ ‫כל האיברים האלה — היא ‪ G‬עצמה‪ .‬החבורות שנעשו בהן בקורס זה יהיו נוצרות־סופית‪ .‬ניתן לראות שחבורות‬ ‫כאלה עם מספר יוצרים סופי הוא בן־מנייה‪ ,‬כמספר של כל הסדרות הסופיות של מספר סופי של אותיות‪ .‬ישנם‬ ‫גם חבורות בנות־מנייה רבות שאינן נוצרות־סופית )לדוגמה — )‪.((Q, +‬‬ ‫לכל מלה כזו יש אורך‪ ,‬והוא מוגדר להיות סכום הערכים המוחלטים של החזקות בכתיבה‪ .‬בהינתן‬ ‫‪P‬‬ ‫‪ w = xei1i · · · · · xeikk‬אזי | ‪ .l (w) = ki=1 |ei‬זה מוגדר אורך המלה ולא אורך האיבר‪ ,‬שכן לכל איבר בחבורה‬ ‫‪ ,x2 · x−1‬אנחנו מניחים שזה‬ ‫כללית ישנם מספר דרכים לכתוב‪ .‬יש מקרים טריוויאלים‪ ,‬לדוגמה אפשר להכניס ‪2‬‬ ‫לא קורה‪ ,‬אלא מניחים שכל המלים שלנו מצומצמות‪ .‬כדי להיות חסכוניים‪ ,‬אנחנו מחפשים את המלה הכי קצרה‬ ‫שמייצגת את האיבר )ייתכן שיש כמה( — )‪.l (x) = min (l (w) |w (xi ) = x‬‬ ‫דוגמה ‪ ,(Z, +) :1‬יש לו יוצר יחיד — ‪ .Z = h1i‬לנו ברור כי |‪ l (xm ) = |m‬כי יש ביטוי יחיד‪.‬‬ ‫נסתכל עתה על הכיוון ההפוך‪ ,‬בהינתן אורך אנו רוצים לדעת כמה איברים יש כך שהמלה הקצרה ביותר המייצגת‬ ‫אותם היא באורך זה‪.‬‬ ‫‪n m‬‬ ‫‪ .l (xn1 xm‬אם נחפש מלה באורך‬ ‫דוגמה ‪ :2‬נסתכל על ‪ .Z ⊕ Z‬איבר כללי הוא מהצורה ‪2 ) = |n| + |m| .x1 x2‬‬ ‫‪ ,k ∈ N‬יש לנו מספר גדול יותר של אפשרויות‪.‬‬ ‫עובדה ‪ :3‬אם ניקח חבורה סופית‪ ,‬החל משלב מסויים ‪.l (n) ≡ 0‬‬ ‫דוגמה ‪ :4‬החבורה החופשית ‪ ,F d‬היא המקרה בו אין שוויון בין שתי מלים מצומצמות שונות‪ .‬באורך ‪ 0‬יש‬ ‫רק מלה יחידה‪ .‬באורך ‪ 1‬ישנם היוצרים וההופכיים שלהם — ‪ .l (1) = 2d‬באורך ‪ ,n‬זוהי בעצם מלה באורך‬ ‫‪ n − 1‬עם אחת מתוך )‪(2d − 1‬היוצרים והופכיים )פרט להופכי של האות האחרונה במלה באורך ‪ ,(n − 1‬ולכן‬ ‫‪ .l (n) = 2d · (2d − 1)n−1‬יש חבורות שאינן חופשיות‪ ,‬אבל אנחנו יכולים לבצע שיכון בהתאם לכמות היוצרים‪,‬‬ ‫עובדה זו מאפשרת לנו לבצע חסם על מספר המלים באורך ‪ n‬בחבורה כללית — ‪.l (n) ≤ 2d · (2d − 1)n−1‬‬ ‫)‪SG (n‬‬ ‫מספר האיברים באורך ‪ n‬בתור ‪ .an‬מספר האיברים באורך קטן או שווה ל־‪n‬‬ ‫הגדרה ‪ :5‬אנחנו מגדירים את ‪P‬‬ ‫מסומן בתור ‪ sn‬ומתקיים ‪ sn = ni=0 ai‬וגם ‪ .an = sn − sn−1‬כשהחבורה לא ברורה נכתוב )‪ aG (n‬ו־)‪.SG (n‬‬ ‫מה שמעניין אותנו הוא לבדוק אסימפטוטית‪ ,‬איך שתי הפונקציות )‪ a (n‬ו־)‪ s (n‬מתנהגות כאשר הולכים לאינסוף‪.‬‬ ‫יש לנו שתי קצוות‪ ,‬גידול פולינומיאלי שהוא הקטן ביותר )חסום מלמטה על ידי גידול ליניארי( וגידול מעריכי‬ ‫)החסום מלמעלה על ידי החבורה החופשית(‪ .‬אחת השאלות היא מקרי ביניים‪ .‬השאלות האלה עלו במקור‬ ‫על ידי גיאומטריקנים ולא אלגבריקנים‪ .‬בגיאומטריה זה הופיע באופן טבעי כשעוסקים בבעיות גיאומטריות על‬ ‫יריעות רימאניות חשוב לדעת מה הגידול של החבורה היסודית )אנחנו לא ניגע בזה‪ .‬בספר של פרופ' מן אין‬ ‫נגיעה כלל בצד הגיאומטריה‪ .‬בספר של דה לה הארפ יש עיסוק אינטנסיבי בזה(‪ .‬הראשון שהעתסק בתחום‬ ‫הזה היה שוורץ במוסקבה בשנות החמישים ובמערב לא ממש התייחסו לזה‪ .‬בסוף שנות ה־‪ 60‬מילנור האמריקאי‬ ‫התייחס לבעיות האלה‪ ,‬ומילנור הוא בעל שם גדול וזה גרם להתעניינות‪ .‬אחת השאלות שמילנור העלה האם‬ ‫כל פונקציות גידול מנהגת אסימפטוטית כפולינום או כפונקציה מעריכית‪.‬‬ ‫הערה ‪ :6‬השאלה לא שואלת אם הם בדיוק פונקציה פולינומית אם מעריכית‪ ,‬אנחנו מדברים על מקרה‬ ‫אסימפטוטי — ‪ cn ≤ an ≤ M cn‬החל מ־‪ n‬מסויים‪.‬‬ ‫התשובה ניתנה עשר שנים מאוחר על ידי גריגורצ'וק שהראה שכן‪ ,‬גידול שגדל יותר מכל פולינום ונמוך יותר‬ ‫מכל מעריך‪ .‬הקיום של חבורות כאלה והמדידה שלה הוא יהיה מוקד הקורס שלנו‪ .‬משפט חשוב אחר ומוקדם‬ ‫יותר שלא ניגע בו בקורס )אבל ניתן בשנה שעברה‪ ,‬ואולי יינתן בשנה הבאה( הוא משפט גרומוב שמאפיין באופן‬ ‫מלא את כל החבורות עם גידול פולינומיאלי‪.‬‬ ‫בקורס נתחיל עם שני הפרקים הראשונים בספר ‪ How Groups Grow‬של פרופ' אבינועם מן שיהיו מבוא‪.‬‬ ‫אח"כ נקרא את הפרקים המאוחרים יותר‪ ,‬בעיקר ‪ ,10‬שיעסקו בגידול ביניים‪.‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪3.1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫מכפלה חופשית‬ ‫גידול של חבורות מכפלה‬ ‫דוגמה ‪ :7‬תהא ‪) C2 ∗ C2‬מכפלה חופשית של חבורות מעגליות מסדר ‪ (2‬והיא תוסמן ∞‪ D‬והיא נקראת חבורה‬ ‫דיהדרית אינסופית‪ ,‬שכן היא מעיין סימטריות של מצולע אינסופי‪ .‬תזכורת‪ :‬לכל חבורה דיהדרית יש תת־חבורה‬ ‫מסדר ‪ .2‬החבורה הדיהדרית האינסופית היא האיזומטריות שמעבירות את "הישר השלם" לעצמו )לדוגמה‪,‬‬ ‫להזיז ימינה או שמאלה במספר שלם(‪ ,‬וזו חבורה צקלית אינסופית‪ .‬ויש שיקוף סביב כל נקודה ולהחליף את‬ ‫כיוון הישר‪ ,‬ואלו האפשרויות היחידות‪ .‬אז איך נראה איבר ב־ ‪ ?C2 ∗ C2‬עבור ‪ x‬הקואורדינטה הראשונה ו־ ‪y‬‬ ‫בקואורדינטה השנייה מתקיים ‪ .x2 = y2 = 1‬הוא מתחיל ב־‪ x‬או ב־‪ ,y‬ולאחריו חייב להגיע איבר אחר )אחרת‬ ‫צריך לצמצם(‪ .‬לכן מכל אורך יש בדיוק שני איברים‪ .an = 2 .‬נשים לב שזה בדיוק המקרה עבור ‪.Z‬‬ ‫מסקנה ‪ :8‬לשתי חבורות שונות יכולות להיות אותה פונקציית גידול‪ .‬המסקנה מולידה לנו שאלה פתוחה גדולה‬ ‫— מה נובע מכך שלשתי חבורות ישנה אותה פונקציית גידול?‬ ‫הערה ‪ :9‬פונקציית הגידול תלויה ביוצרים‪ .‬נשים לב של־ ∞‪ D‬יש שני יוצרים שאחד מסדר אינסופי ואחד מסדר‬ ‫שניים )הזזה ושיקוף(‪ ,‬ואז נקבל פונקציית גידול שונה‪ .‬כנ"ל לגבי ‪ Z‬שאז ניתן לבחור את }‪ {2, 3‬בתור יוצרים‬ ‫בכתיב החיבורי‪.‬‬ ‫לא תמיד זה אפשרי לבדוק ממש כמה איברים יש לכל אורך‪ .‬נסתכל לדוגמה במכפלה ישרה ‪,G = H × K‬‬ ‫כאשר קבוצת היוצרים של ‪ H‬היא } ‪ {x1 , . . . , xd‬ושל ‪ K‬היא } ‪ .{y1 , . . . , yc‬נסתכל על ‪ G‬לא כאל זוגות‬ ‫סדורים‪ ,‬אלא על ‪ H, K‬בתור תת־חבורות נורמליות של ‪ G‬שמכפלתן היא כל ‪ G‬וחיתוכן הוא ‪ .1G‬לכן כל איבר‬ ‫איבר מ־ ‪ H‬עם איבר ב־ ‪ K‬ולכן איבר כללי ‪ .g = hk‬מתקיים )‪ l (g) = l (h) + l (k‬ומכאן‬ ‫ב־‪ G‬הוא מכפלה של ‪P‬‬ ‫)‪ .aG (n) = i+j=n aH (i) + aK (j‬זה מזכיר לנו פונקציה יוצרת של פולינומים‪.‬‬ ‫הגדרה ‪ :10‬נגדיר את הפונקציה היוצרת ‪a (m) z m‬‬ ‫∞‪P‬‬ ‫‪m=0‬‬ ‫= )‪.A (z‬‬ ‫טענה ‪ :11‬אם נסתכל על הנוסחה בשורות הקודמות נקבל )‪.AG (z) = AH (z) · AK (z‬‬ ‫הגדרנו את )‪ A (z‬בתור טור פורמלי‪ ,‬אבל האם ניתן להסתכל על זה בתור פונקציה? התשובה שכן‪ .‬לטור חזקות‬ ‫יש רדיוס התכנסות‪ .‬נחשב‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2d − 1‬‬ ‫√‬ ‫‪−1‬‬ ‫≥ ) ‪lim ( m am‬‬ ‫∞→‪n‬‬ ‫זאת בשל החסם שהוכחנו על החבורה החופשית‪ .an ≤ 2d · (2d − 1)n−1 .‬עדיין אין מספיק שימושים‬ ‫להצגה של הטור הפורמלי כפונקציה‪.‬‬ ‫דיברנו על פונקציות גידול אפשריות‪ .‬כאשר מדובר בגידול מעריכי אזי ‪ am ≥ cm‬כאשר ‪ c > 1‬אזי קיבלנו‬ ‫חלק מעיגול היחידה‪ .R ≤ 1c < 1 ,‬בגידול פולינומיאלי ‪ an ≤ Cmα‬ולכן השורש ה־‪ n‬שואף ל־‪) 1‬מאינפי(‪.‬‬ ‫במקרה של גידול ביניים יש תכונות מעניינות‪ .‬טור חזקות עם מקדמים שלמים שרדיוס ההתכנסות הוא בדיוק‬ ‫‪ 1‬גורר תכונות מעניינות‪.‬‬ ‫תרגיל ‪) √am+n ≤ an · am :12‬אפשר לחלק את המלה לשתי מלים קצרות יותר‪ ,‬ולכן קטן או שווה(‪ .‬צ"ל‬ ‫√‬ ‫‪ lim n an‬קיים ושווה ל־ ‪ .inf n an‬עובדה זו קרויה "הלמה של פקטה"‪ ,‬שהיה אחד המרצים הראשונים‬ ‫למתמטיקה במכון איינשטיין‪.‬‬ ‫∼ ‪ .Hi‬נכנה את היוצרים שלנו ‪ .x1 , . . . , xk‬נעשה חשבון של‬ ‫נסתכל על ‪ G = H1 ∗ · · · ∗ Hk‬כאשר כל ‪= C2‬‬ ‫פונקציית הגידול‪ .an = an−1 · (k − 1) = k · (k − 1)n−1 .a1 = k .‬אם במקרה ‪ k = 2d‬אזי זו אותה פונקציית‬ ‫גידול כמו לחבורה החופשית‪.‬‬ ‫∼ ‪.a1 = d + 2e .Kj‬‬ ‫נסתכל על ‪ G = H1 ∗ · · · ∗ Hk ∗ K1 ∗ · · · ∗ Ke‬כאשר ‪ Hi‬כמו קודם ו־‪= Z‬‬ ‫‪ .an = an−1 · (d + 2e − 1) = (d + 2e) · (d + 2e − 1)n−1‬באופן דומה לפונקציית הגידול של החבורה‬ ‫החופשית ‪.F d+2e‬‬ ‫השערה ‪ :13‬האם קיימות אינסוף חבורות עם אותה פונקציית גידול? התשובה )עדיין לא בספר( היא שכן וניתן‬ ‫לבנות ‪ 2ℵ0‬חבורות עם אותה פונקציית גידול‪ .‬זו כמות טובה‪ ,‬כי מספר החבורות הנוצרות סופית בהקשר שלנו‬ ‫הוא ‪.2ℵ0‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫שיעור שני‬ ‫‪3.1‬‬ ‫גידול של חבורות מכפלה‬ ‫גידול של חבורות מכפלה‬ ‫מכפלה חופשית‬ ‫נסתכל על דוגמה נוספת‪ ,C2 ∗ C3 .‬היחסים הם ‪ .x2 = y3 = 1‬האיברים הם מהצורה ‪ .xy±1 xy±1 . . .‬מה‬ ‫הגידול? לרוב לקחנו מלה באורך ‪ n‬ובדקנו כמה אפשרויות יש לעבור למלה הבאה‪ .‬במקרה שלנו‪ ,‬אם המלה‬ ‫נגמרת ב־‪ x‬אז יש שתי אפשרויות לעבור הלאה‪ .‬אם זה נגמר ב־‪ y‬אפשר לכתוב ‪ ,x‬אי אפשר לכתוב ‪ y−1‬ואם‬ ‫כותבים ‪ y‬אז המלה נשארת באותו אורך‪ .‬לכן צריך להבדיל‪ .‬בהינתן מלה באורך ‪ n‬נבדוק כמה מלים יש באורך‬ ‫‪ .n + 2‬אם המלה נגמרת ב־‪ x‬יש ‪ 2‬אפשרויות להמשיך‪ .‬אם נגמר ב־‪ y‬אז גם כן יש ‪ 2‬אפשרויות‪ .‬לכן ‪,a0 = 1‬‬ ‫‪) a2 = 4 .a1 = 3‬על ידי חישוב(‪ .‬ומהנוסחה של ההתקדמות נקבל ‪ .an+2 = 2 · an‬נשלב את נוסחת הנסיגה‬ ‫עם הערכים המקוריים ונקבל ‪ a2n = 2n+1‬ו־ ‪) a2n+1 = 3 · 2n‬עבור ‪ .(n > 0‬קיבלנו לא פונקציית גידול אחת‬ ‫אלא שתי פונקציות גידול‪ ,‬שגדלים אסימפטוטית זהה‪:‬‬ ‫‪n+1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪a2n = 2‬‬ ‫√‬ ‫‪2n‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪a2n+1 = 3 2n+1 2 2n+1‬‬ ‫√‬ ‫√‬ ‫ולכן כאשר ∞ → ‪ n‬הגבול קיים ומתקיים ‪.lim n an = 2‬‬ ‫√‬ ‫‪2n+1‬‬ ‫נרחיב בדיבור על החבורה הזו‪ ,‬שכן היא מעניינת מאוד‪ .‬יש לה שם אחר — )‪.C2 ∗ C3 = P SL (2, Z‬‬ ‫נסביר את הסימונים‪ R .‬חוג עם יחידה‪ ,‬ו־)‪ GLm (R‬מטריצות הפיכות מסדר ‪ .m × m‬אם החוג קומוטטיבי‬ ‫אפשר להגדיר דטרמיננטה‪ ,‬והתכונות המוכרות מתקיימות‪ ,‬בפרט כפליות הדטרמיננטה מתקיימת‪ .‬הדטרמיננטה‬ ‫כזכור היא הומומורפיזם — ×‪ .det : GLm (R) → R‬מהו הגרעין? זהו )‪ ,SLm (R‬הן כל המטריצות עם‬ ‫∼ )‪ .GLm (R)/SLm (R‬יש עוד טיפוס של חבורות נורמליות‪,‬‬ ‫דטרמיננטה ‪ ,1‬ולפי משפט האיזומורפיזם ×‪= R‬‬ ‫לדוגמה — המטריצות הסקלריות ־ ‪ ,Z‬שהן מהוות את המרכז של החוג‪ .‬לכן )‪GLm (R)/Z = P GL (R‬‬ ‫‪m‬‬ ‫ו־‪ .P SLm (R) = SLm (R)/SLm (R)∩Z‬אז מה יש לנו ב־)‪ ,P SL2 (Z‬יש לנו שני איברים הפיכים בשלמים שהם‬ ‫‪ .±1‬במקרה הזוגי היא כאמור שווה לפירוק של ‪ C2 ∗ C3‬ויש הפניה להוכחה בספר‪ .‬מעלה שדה מתקיים‬ ‫)‪ P SLn (F‬זו חבורה פשוטה )אין לה תת־חבורות נורמליות(‪.‬‬ ‫‪ :14‬בהינתן ‪ ,G = H ∗ K‬כאשר ‪ ,an ∈ G, bn ∈ H, cn ∈ K‬אזי יש לנו פונקציות יוצרות = )‪A (z‬‬ ‫טענה ‪P‬‬ ‫הפונקציות היוצרות‪ .‬הנוסחה‬ ‫מכפלת‬ ‫היא‬ ‫היוצרת‬ ‫שהפונקציה‬ ‫הוכחנו‬ ‫כזכור‬ ‫ישרה‬ ‫במכפלה‬ ‫וכו'‪.‬‬ ‫‪an z m‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫במקרה הזה היא ‪ . A = B + C − 1‬דרך אחרת וסימטריות יותר לכתיבה היא ‪. A − 1 = B − 1 + C − 1‬‬ ‫הוכחה‪ :‬איבר ‪ g‬במכפלה חופשית ‪ G‬הוא מהצורה ‪ h1 k1 . . . hr kr‬כאשר ‪ ,∀i>1 hi 6= 1‬ובאופן דומה עבור ‪.kj‬‬ ‫נגדיר ‪H = hXi‬ו־‪ K = hY i‬ו־‪ ,G = hX ∪ Y i‬ויש הצגה יחידה שכן זו ההגדרה של מכפלה חופשית‪ .‬אם רוצים‬ ‫לדאוג שההצגה המקורית היחידה של כל ‪ hi , ki‬יהיה מינימלי לפי ההצגה המקורית‪.‬‬ ‫מינימלי צריך ‪P‬‬ ‫לקבל אורך ‪P‬‬ ‫לכן ) ‪ , l (g) = i lX (hi ) + i lY (ki‬כאשר אנחנו קובעים את ‪ .r‬נבדוק מתי הסכום הזה שווה ל־‪ .n‬זה‬ ‫‪X∪Y‬‬ ‫כמו לקחת את הפונקציה היוצרת )‪ B (z) · C (z) · B (z) C (z) . . . B (z) · C (z‬כאשר יש ‪ r‬זוגות כאלה‪ .‬ואנחנו‬ ‫מחפשים את המקדם של ‪ .z n‬לא דייקנו עד הסוף‪ ,‬כי צריך לזכור שהאיברים פרט לראשון ולאחרון — אסר‬ ‫להיות להיות ‪ .1‬לכן הביטוי המדויק הוא )‪B (z) · (C (z) − 1) · (B (z) − 1) (C (z) − 1) . . . (B (z) − 1) · C (z‬‬ ‫וזה שווה ‪ B (z) · C (z) · (B (z) − 1)n−1 · (C (z) − 1)n−1‬ועכשיו נכתוב ‪ .BC [(B − 1) (C − 1)]n−1‬נראה‬ ‫מה קורה כשזה הולך לאינסוף‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫)‪1 − (B − 1) (C − 1‬‬ ‫‪Geometric series‬‬ ‫=‬ ‫‪BC‬‬ ‫‪BC‬‬ ‫‪B + C − BC‬‬ ‫‪A‬‬ ‫ועתה ניקח‬ ‫‪1‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪n−1‬‬ ‫])‪BC [(B − 1) (C − 1‬‬ ‫∞‬ ‫‪X‬‬ ‫‪n=1‬‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫ונקבל את הנדרש‪.‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3.2‬‬ ‫שיעור שלישי‬ ‫גרף קיילי‬ ‫‪3.2‬‬ ‫גידול של חבורות מכפלה‬ ‫גרף קיילי‬ ‫גרף קיילי‬ ‫הגדרה ‪ :15‬בהינתן חבורה ‪ G = hSi‬כאשר ‪ S‬קבוצת יוצרים‪ .‬גרף קיילי של החבורה הוא גרף שקדקודיו‬ ‫הם איברי ‪ G‬ובין שני איברים יש צלע אם ניתן להגיע מאחד לשני ע"י כפל באיבר ‪ S‬בימין )או משמאל‪ ,‬תלוי‬ ‫בהגדרה(‪ .‬זהו גרף מכוון‪ .‬אם קבוצת היוצרים היא סימטרית‪ ,‬קרי ‪ -‬מכילה את ההופכיים של היוצרים‪ ,‬אזי‬ ‫הגרף לא מכוון‪ .‬לרוב אנו שוכחים שהגרף מכוון‪.‬‬ ‫טענה ‪ :16‬הגרף קשיר‪ ,‬רגולרי והומוגני‪.‬‬ ‫הוכחה‪ :‬נובע מכך שהקבוצה יוצרת את החבורה‪ .‬אם ‪ ,x = s1 · s2 · · · · sn‬אזי זהו מסלול מוגדר מ־ ‪ 1G‬לאיבר‬ ‫‪ x‬שאורכו ‪ .n‬כל האיברים מחוברים ל־‪ 1‬ולכן קשיר‪ .‬מכל קדקוד יוצאות אותו מספר צלעות‪ ,‬שהוא מספר‬ ‫האיברים ב־ ‪.S ∪ S −1‬‬ ‫נשים לב‪ :‬הגרף הזה מושרה ממטריקה ‪ dS‬שנותנת את המרחק בין שני איברים להיות המספר המינימלי של‬ ‫איברי יוצרים שצריך להכפיל כדי להגיע מאחד לשני‪ .‬זו מטריקה מאוד משעממת‪ ,‬היא נותנת רק מספרים‬ ‫שלמים‪ ,‬ובסימונים שלנו )‪.dS (1, x) = l (x‬‬ ‫הגרף תלוי בקבוצתה יוצרים‪ .‬חבורה עם שתי קבוצות יוצרים שונה‪ ,‬עשויה לקבל שני גרפי־קיילי שונים‪.‬‬ ‫‬ ‫פונקציות הגדרה ‪ :17‬עבור שתי פונקציות ‪ .f, g‬אם מתקיים ‪ f ≤ g‬וקיים ‪ A > 0‬כך ש־)‪ f (x) ≤ g (Ax‬ולהפך‪ ,‬אזי‬ ‫נאמר שהפונקציות שקולות ונסמן ‪.f ∼ g‬‬ ‫שקולות‬ ‫טענה ‪ :18‬שני פולינומים שקולים אם ורק אם הם בעלי אותה מעלה‪ .‬כל הפונקציות המעריכיות שקולות‪.‬‬ ‫נסמן }‪ an = ± {x ∈ G|d (1, x) = n‬ו־}‪ .sn = ± {x ∈ G|d (1, x) ≤ n‬ו־ ‪an z n‬‬ ‫‬ ‫‪P‬‬ ‫‪n‬‬ ‫∞ ‪ .‬אפשר גם לכתוב ‪.S (z) = A (z) 1 + z + z 2 + . . .‬‬ ‫‪n=0 sn z‬‬ ‫∞‪P‬‬ ‫‪n=0‬‬ ‫= )‪ A (z‬ו־= )‪S (z‬‬ ‫• נסתכל על הגרף קיילי של ‪ Z‬עם היוצר }‪ .{1‬נקבל את ציר ה־‪ Z‬ויש צל בין כל שתי נקודות‬ ‫דוגמה ‪:19‬‬ ‫שההפרש ביניהן ‪.1‬‬ ‫• עבור ‪ Z ⊕ Z‬עם )‪ (0, 1) , (1, 0‬כיוצרים‪ .‬קיבלנו את שריג השלמים‪.‬‬ ‫• עבור ‪ F 2 = hx, yi‬נקבל עץ אינסופי‪ ,‬שמכל איבר יוצרים ארבע צלעות‪ ,‬אחת לכפל בכל אחד מהיוצרים‪.‬‬ ‫הערה ‪ :20‬בחבורה שאינה חופשית לא בהכרח מתקבל עץ‪ .‬עם חריג של מצב בו אחד היוצרים ‪ s ∈ S‬שמקיים‬ ‫‪ ,s2 = 1‬ואז מתקבל מעגל מנוון בן צלע אחת‪.‬‬ ‫• עבור ‪ Z ∗ Z ∗ · · · ∗ Z ∗ C2 ∗ C2 ∗ · · · ∗ C2‬הגרף ייראה בדיוק כמו גרף קיילי של חבורה חופשית‪ .‬לא‬ ‫ניתן להבדיל בין הגרפים‪ .‬זו גם הסיבה שפונקציית הגידול זהה‪ ,‬שכן פונקציית הגידול מודדת התפשטות‬ ‫של הגרפים‪.‬‬ ‫נחזור לפונקציות שקולות‪ .‬הטורים שכתבנו מעלה ‪ - A (z) , S (z) -‬אמנם פורמליים‪ ,‬אבל הם מתכנסים‪.‬‬ ‫אם נסתכל על ‪ ,T = S 2‬אזי )‪ .sG,T (n) ≤ sG,T (2n) .lS (x) ≤ 2lT (x‬בכיוון ההפוך ≥ )‪aG,T (n‬‬ ‫)‪.aG,S (2n‬‬ ‫לחבורה יש גידול מעריכי אם ‪ an ≥ C n‬עבור ‪ C > 1‬ו־‪) n ∈ N‬כמו שהגדרנו קודם(‪ .‬עבור‬ ‫גידול מעריכי‪ ,‬הגדרה ‪:21‬‬ ‫√‬ ‫הפונקציה ‪ .ω (G, S) = n an‬נוכל באופן דומה לומר שלחבורה יש גידול מעריכי אם ורק אם ‪ ,ωG,S > 1‬וזה‬ ‫תת־מעריכי‬ ‫נשמר ללא תלות בקבוצת היוצרים‪ .‬נאמר שלחבורה יש גידול תת־מעריכי אם ורק אם ‪.ωG = 1‬‬ ‫מסקנה ‪ :22‬גידול מעריכי אינווריאנטי לשינוי קבוצת היוצרים‪.‬‬ ‫נסמן )‪ .Ω (G) = inf S ω (G, S‬שאלה שהייתה פתוחה זמן רב ונשאלה לראשונה ע"י גרומוב‪ ,‬זה האם ייתכן‬ ‫שעבור חבורה עם גידול מעריכי ‪ ?Ω = 1‬שהרי מדובר באינפימום ולא במינימום‪ .‬היום אנחנו יודעים שהתשובה‬ ‫לשאלה חיובית‪ .‬אם ‪ Ω > 1‬נאמר שלחבורה יש גידול מעריכי אחיד‪ .‬שאלה נוספת היא אילו ערכים ‪ Ω‬יכול‬ ‫לקבל? פרופ' מן טוען שנדמה לו שלכל מספר ממשי גדול מ־‪ 1‬צריך להתקבל עבור חבורה כלשהי‪ .‬זו השערה‬ ‫פתוחה‪ .‬יש הרבה שאלות פתוחות בנושא‪.‬‬ ‫√‬ ‫עובדה ‪ :23‬ניתן להסתכל גם על הגבול של ‪ , n sn‬והוא קיים‪ .‬אם החבורה סופית אזי הגבול שואף ל־‪.1‬‬ ‫טענה ‪ :24‬בחבורה אינסופית מתקיים‪:‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪3.3‬‬ ‫‪4‬‬ ‫מכפלה ממוזגת‬ ‫‪sn‬‬ ‫√‬ ‫‪n‬‬ ‫‪an = lim‬‬ ‫√‬ ‫‪n‬‬ ‫‪lim‬‬ ‫√‬ ‫הוכחה‪ :‬כיוון אחד ברור‪ .ω (G, S) ≤ lim n sn ,‬בכיוון השני‪.‬‬ ‫‪ an ≤ C · (ω + )n‬עבור קבוע ‪ .C‬אבל מהגדרה‪:‬‬ ‫‪n‬‬ ‫) ‪ai ≤ nC (ω +‬‬ ‫חישוב מדויק של פונקציות גידול‬ ‫‪X‬‬ ‫ ‪an ≤ ω +‬‬ ‫√‬ ‫‪n‬‬ ‫לכל ‪ . > 0‬לכן‬ ‫≤ ‪sn‬‬ ‫ולכן לאחר לקיחת גבול‪:‬‬ ‫ ‪sn ≤ ω +‬‬ ‫√‬ ‫‪n‬‬ ‫‪lim‬‬ ‫∞→‪n‬‬ ‫אבל זה לכל ולכן שוויון‪.‬‬ ‫)‪A(z‬‬ ‫‪1−z‬‬ ‫= )‪ S (z‬כאשר אנחנו מסתכלים‬ ‫כפי שראינו בשיעור הקודם‪ ,A (z) = S (z) · (1 − z) ,‬וניתן לחלק ולקבל‬ ‫על הטורים כעל פונקציות המרוכבות‪ .‬נסתכל על הנקודות הסינגולריות של )‪ .S (z‬אלו הנקודות הסינגולריות‬ ‫של )‪ A (z‬ואולי גם ‪ ,z = 1‬כאשר אנחנו מחפשים את הנקודה הסינגולרית הקרובה ביותר לראשית‪.‬‬ ‫‪3.3‬‬ ‫מכפלה ממוזגת‬ ‫‪S‬‬ ‫= ‪.x ∈ H‬‬ ‫במכפלה ממוזגת ‪ K = hT i ,H = hSi ,G = H ∗L K‬ו־‪ L = hRi‬ו־ ‪Laα .R ≤ S ∧ R ≤ T‬‬ ‫עבור ‪ x = laα‬אזי ) ‪.lS (x) = lR (l) + lS (aα‬‬ ‫נסמן ‪ A‬פונקציית הגידול של ‪ B ,G‬פונקציית הגידול של ‪ C ,H‬פונקציית הגידול של ‪ K‬ו־‪ D‬פונקציית‬ ‫הגידול של ‪ L‬אזי מתקיים‪:‬‬ ‫‪α‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫=‬ ‫‪+ −‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪D‬‬ ‫נוסחה זו מכלילה את הנוסחה הקודמת שלמדנו על מכפלות חופשיות‪ ,‬שם המיזוג הוא טריוויאלי ולכן ‪.D = 1‬‬ ‫חישוב מדויק של פונקציות גידול‬ ‫‪4‬‬ ‫‪4.1‬‬ ‫פונקציות רקורסיבית‬ ‫לא ניכנס ונרחיב פה‪ .‬פונקציות רקורסיביות בשבילנו הן כל הפונקציות הניתנות לחישוב‪ ,‬בהתאם לתזה של‬ ‫צ'רץ'‪ .‬בנוסף‪ ,‬ישנן קבוצות שניתנות למנייה רקורסיבית‪ ,‬שעבורן לא ניתן להכריע אם איבר לא נמצא בקבוצה‪,‬‬ ‫אבל כן ניתן אם כן אם מחכים מספיק זמן‪.‬‬ ‫שיעור רביעי‬ ‫משפט ‪ :25‬תהי ‪ G‬חבורה נוצרת־סופית‪ .‬התנאים הבאים שקולים‪:‬‬ ‫‪ .1‬בעיית המלה כריעה ב־‪.G‬‬ ‫‪ .2‬פונקציית הגידול של ‪ G‬רקורסיבית‪.‬‬ ‫אחד משלושת התנאים הבאים )ולכן כולם(‪:‬‬ ‫‪ G .3‬מיוצגת רקורסיבית‪.‬‬ ‫‪ G .4‬מיוצגת קו־רקורסיבית‪.‬‬ ‫‪ G .5‬איזומורפית לחבורות הנוצרת על־ידי מספר סופי של תמורות רקורסיביות‪.‬‬ ‫מיוצגת הגדרה ‪ :26‬חבורה מיוצגת רקורסיבית אם קבוצת היחסים המגדירים אותה היא נל"ר‪.‬‬ ‫רקורסיבית‬ ‫הגדרה ‪ :27‬חבורה מיוצגת קו־רקורסיבית אם קבוצת המלים שאינם ‪ 1‬היא נל"ר‪.‬‬ ‫מיוצגת‬ ‫קו־רקורסיבית‬ ‫‪8‬‬ ‫‪5‬‬ ‫חבורות עם גידול ביניים‬ ‫הוכחה‪ :‬טריוויאלי כמעט בכל כיוון‪.‬‬ ‫נניח שתנאי ‪ 5‬מתקיים‪ ,‬אזי תהא ‪ σi : x → xsi‬כאשר ‪ .G = hs1 , . . . , sn i‬עבור מלה ‪ x‬באורך ‪ ,k‬נרשום‬ ‫את כל המלים באורך ‪ k‬ומלים באורך ‪ ,k + 1‬שכן הפעלת ‪ σi‬תתן לנו )ברוב המקרים( מלה באורך ‪.k + 1‬‬ ‫נניח תנאי ‪ .3‬נניח שיש לנו מלה ) ‪ w (si‬ורוצים לדעת אם הם שווים ל־‪) 1‬או אם מכפלה של שתי מלים היא‬ ‫‪ .(1‬למלה הזו יש איזשהו אורך‪ .l (w) = n ,‬נחשב את ‪) Sn‬כמה מלים באורך קטן או שווה ל־‪ n‬יש(‪ .‬מכיוון‬ ‫שהחבורה מיוצגת רקורסיבית‪ ,‬ניתן לכתוב את כל המלים ששוות ל־‪ 1‬בזו אחר זו )נניח ע"י תכנת מחשב(‪ .‬אם‬ ‫מלה שווה ל־‪ ,1‬סימן שבכתיבה שלה ע"י יוצרים‪ ,‬ניתן לחלק את המכפלה באמצע ולקבל שצד אחד שווה להפכי‬ ‫של הצד השני‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫=‬ ‫‪si11 · · · · · sinn‬‬ ‫⇓‬ ‫‪sill · · · · · sinn‬‬ ‫=‬ ‫‪si11 · · · · · sikk‬‬ ‫כעת יש בידינו את כל המלים המפורקות באורך קטן או שווה ל־‪ ,n‬וניתן לחפש את המלה שלנו שם‪.‬‬ ‫תנאי ‪ 4‬גורר באופן דומה‪.‬‬ ‫נניח תנאי ‪ .5‬עבור קבוצה של תמורות ‪ ,{σi }ni=1‬כל המלים השונות מ־‪ 1‬ניתן לכתוב בזו אחר זו‪ .‬זאת שכן‬ ‫מכפלה של תמורות רקורסיביות גם היא רקורסיבית‪ ,‬והפכי של תמורה רקורסיבית אף הוא רקורסיבי‪.‬‬ ‫שיעור חמישי‬ ‫לא חייבת להיות נוצרת סופית‪ .‬לדוגמה‪ ,‬החבורה החופשית‬ ‫עובדה ‪ :28‬תת־חבורה של חבורה נוצרת סופית ‬ ‫‪ F 2 = hx, yi‬נוצרת סופית‪ ,‬אבל אם נקח ‪ y−i xyi‬היא כבר לא נוצרת סופית‪.‬‬ ‫טענה ‪ G :29‬חבורה נוצרת־סופית אם ורק אם ‪ H‬תת־חבורה מאינדקס סופי‪ ,‬אזי גם ‪ H‬נוצרת־סופית‪.‬‬ ‫הוכחה‪ :‬בכיוון האחד‪ ,‬נוכל לכתוב את ‪Hai‬‬ ‫‪Sm‬‬ ‫‪i=1‬‬ ‫= ‪ G‬ואם כל אחת מה־ ‪ H‬נוצרת־סופית אזי ניתן פשוט לכתוב‬ ‫את היוצרים‪.‬‬ ‫בכיוון השני‪ ,‬אם ‪ .G = hs1 , . . . , st i‬נכתוב את ‪ G‬כמו קודם‪ ,‬ולכן ‪ s1‬איבר באחת המחלקות למעלה‪ ,‬נכתוב‬ ‫‪−1‬‬ ‫‪ a−1‬ושוב קיבלנו‬ ‫‪ s1 ai‬ונקבל איבר ב־ ‪ .H‬כדי לצמצם נכפול שוב ב־ ‪ a1‬ונכפול ב־ ‪ ,s2‬ושוב כדי לייצב נכפול ב־ ‪2‬‬ ‫איבר ב־ ‪ .H‬לאחר ‪ t‬שלבים קיבלנו‬ ‫‪−1‬‬ ‫‪−1‬‬ ‫‪s1 · · · · · st = s1 a−1‬‬ ‫‪1 a1 s2 a2 . . . st at‬‬ ‫‪ H = ai si a−1‬ולכן נוצר סופית‪.‬‬ ‫ולכן‬ ‫‪i‬‬ ‫‬ ‫ ‬ ‫)‪d (H) − 1 ≤ |G : H| · (d (G) − 1‬‬ ‫‪5‬‬ ‫חבורות עם גידול ביניים‬ ‫חבורת נגדיר את חבורת גריגורצ'וק ‪ .R.I. Grigorchuk‬נסתכל על עץ בינארי אינסופי עם שורש‪ .‬כל קדקוד פרט‬ ‫לשורש הוא עם דרגה ‪ .3‬נרצה להסתכל על חבורת האוטומורפיזם של העץ‪ ,‬וזוהי חבורה גדולה‪ .‬מרגע שאנחנו‬ ‫גריגורצ'וק‬ ‫קובעים קדקוד‪ ,‬אנחנו קובעים באופן ישיר לאן הולכים הבנים שלו‪ ,‬שכן המרחק מהשורש נקבע‪ .‬השורש בהכרח‬ ‫עובר לשורש )בגלל הדרגה(‪ .‬אח"כ עובר לשני הקדקודים הכי קרובים לשורש‪ ,‬או שהם נשמרים במקומם או‬ ‫שמתחלפים‪ ,‬וכך הלאה כאשר בכל שלב מספר האפשרויות גדל פי ‪ .2‬סה"כ יש לנו ‪ 2ℵ0‬אפשרויות‪.‬‬ ‫החבורה הזו היא מובחנת סופית )‪(Residually finite‬‬ ‫סופית )‪ (Residualy finite‬אם החיתוך של כל התת־חבורות מאינדקס‬ ‫חבורה הגדרה ‪ :30‬חבורה ‪ G‬תיקרא מובחנת ‪T‬‬ ‫מובחנת־ סופי הוא היחידה ‪. [G:H]<∞ H = {1} -‬‬ ‫סופית‬ ‫∗‬ ‫∼ ‪ ,V‬יש‬ ‫נסתכל על עץ בינארי ‪ T‬אינסופי עם שורש ‪ .r‬נסמן ב־ ‪ V‬את הקדקודים שלו‪ ,‬ומתקיים }‪= {0, 1‬‬ ‫התאמה חח"ע ועל בין כל הסדרות הסופיות באותיות ‪ .0, 1‬כל קדקוד פרט לשורש הוא עם דרגה ‪ .3‬נסמן ב־ ‪E‬‬ ‫את קבוצת הצלעות שלו‪ ,‬אזי ‪ (v, w) ∈ E‬אם ורק אם ‪ .w = v0 ∨ w = v1‬בנוסף‪ ,‬נסמן ב־ ‪ Tv‬את תת העץ‬ ‫‪9‬‬ ‫‪5‬‬ ‫חבורות עם גידול ביניים‬ ‫∼ ‪ .T‬נרצה להסתכל על חבורת האוטומורפיזם של העץ‪ ,‬וזוהי חבורה‬ ‫שהשורש שלו הוא ‪ ,v‬ונשים לב ש־ ‪= Tv‬‬ ‫גדולה‪ .‬מרגע שאנחנו קובעים קדקוד‪ ,‬אנחנו קובעים באופן ישיר לאן הולכים הבנים שלו‪ ,‬שכן המרחק מהשורש‬ ‫נקבע‪ .‬השורש בהכרח עובר לשורש )בגלל הדרגה(‪ .‬אח"כ עובר לשני הקדקודים הכי קרובים לשורש‪ ,‬או שהם‬ ‫נשמרים במקומם או שמתחלפים‪ ,‬וכך הלאה כאשר בכל שלב מספר האפשרויות גדל פי ‪ .2‬סה"כ יש לנו ‪2ℵ0‬‬ ‫אפשרויות‪.‬‬ ‫איור ‪ :1‬העץ ‪ T‬עם שמות הקדקודים‪.‬‬ ‫נציין שני אוטומורפיזמים פשוטים ב־) ‪:Aut (T‬‬ ‫• אוטומורפיזם הזהות — ) ‪ e ∈ Aut (T‬השומר על כל קדקוד במקומו‪.‬‬ ‫• האוטומורפיזם המחליף את תת־העץ השמאלי בתת־העץ הימני — ) ‪ .a ∈ Aut (T‬לאחר הפעלת ) ‪a (T‬‬ ‫נקבל ‪ .T0 ←→ T1‬באופן דומה אפשר להגדיר את ) ‪ av ∈ Aut (T‬לכל ‪ ,v ∈ V‬על ידי ‪.Tv0 ←→ Tv1‬‬ ‫‬ ‫איור ‪ :2‬פעולת האוטומורפיזם ‪ ,a‬כמחליף בין תת־עצים ברמה מסויימת‪ ,‬וזהות על השאר‪.‬‬ ‫כעת נבנה תת־חבורה של החבורה הזו שתהיה עם גידול ביניים‪ .‬נסמנה ‪) Γ = ha, b, c, di‬זוהי הגדרה‬ ‫רקורסיבית(‪:‬‬ ‫• האיבר ‪ a‬כמו קודם‪ ,‬מחליף את תת־העץ הימני בתת־העץ השמאל‪ ,‬קרי את שני הקדקודים בשכבה‬ ‫הראשונה אחד בשני‪ ,‬השאר נשארים כמות שהם‪.‬‬ ‫• האיבר ‪ b‬פועל על תת־העץ השמאלי כמו ‪ ,a‬ועל תת־העץ הימני כמו ‪.c‬‬ ‫• האיבר ‪ c‬פועל על תת־העץ השמאלי כמו ‪ ,a‬ועל תת־העץ הימני כמו ‪.d‬‬ ‫• האיבר ‪ d‬פועל על תת־העץ השמאלי כמו ‪ ,1‬ועל תת־העץ הימני כמו ‪.b‬‬ ‫נכתוב טענה שהיינו צריכים לציין קודם‪:‬‬ ‫טענה ‪ :31‬אם ‪ H ≤ G‬ו־∞ < ]‪ [G : H‬אזי פונקציות הגידול של ‪ G‬ושל ‪ H‬שקולות‪.‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪5‬‬ ‫חבורות עם גידול ביניים‬ ‫נחזור להסתכל על העץ‪ .‬במקום לדבר על קדקוד אנחנו יכולים לדבר על קבוצת הסדרות הסופיות המכילות‬ ‫את ‪ ,0, 1‬כאשר ‪ 0‬הוא תזוזה שמאלה‪ ,‬ו־‪ 1‬ימינה‪ a .‬מחליף את הספרה השנייה בסדרה‪ b, c .‬עובדים על החלק‬ ‫השמאלי כמו ‪ ,a‬ועל החלק הימני הם עובדים באופן מחזורי‪.‬‬ ‫) ‪b = (a, a, 1, a, a, 1, . . .‬‬ ‫) ‪c = (a, 1, a, a, 1, a, . . .‬‬ ‫) ‪d = (1, a, a, 1, a, a, . . .‬‬ ‫איור ‪ :3‬פעולותם הסדרתית של ‪ b, c, d‬על העץ ‪ .T‬משולש שחור מסמן החלפת תת־העץ השמאלי בימני‪.‬‬ ‫גריגורצ'וק עבד במקור על קטע היחידה ועל פונקציות מדידות‪ .‬המוטיבציה הייתה עיסוק בתורת המידה‬ ‫ותורה ארגודית‪.‬‬ ‫נשים לב כעת שכל היוצרים הם מסדר ‪ .a2 = b2 = c2 = d2 = 1 — 2‬עבור ‪ a‬זה ברור‪ ,‬ועבור השאר זה‬ ‫נובע בדיוק מהאופן שבו כתבנו אותם כסדרה‪ .‬בנוסף מתקיים כי‪:‬‬ ‫‪bc = cb = d‬‬ ‫‪cd = dc = b‬‬ ‫‪db = bd = c‬‬ ‫מהיחסים האלה נובע לנו כי ‪ .hb, c, di = C2 × C2‬כעת‪ ,‬כפל של ‪ b, c, d‬יגרום לנו שנוכל לצמצם ולכתוב את‬ ‫השלישי‪ .‬ולכן איבר כללי ‪ x ∈ Γ‬ניתן לכתיבה כ‪:‬‬ ‫‪x = au1 au2 . . . auk‬‬ ‫לאו דווקא באופן יחיד‪.‬‬ ‫נסתכל על התת־חבורה ‪ ,H ≤ Γ‬איברי ‪ Γ‬הקובעים את שני החצאים‪ H .‬מכילה את האיברים מהצורה‬ ‫‪ au1 . . . auk‬עם מספר זוגי של ‪a‬־ים‪ .‬זו תת־חבורה עם אינדקס ‪ .2‬ונכתוב‬ ‫‪H = hb, c, d, aba, aca, adai‬‬ ‫נכתוב את טבלת הפעולה‪:‬‬ ‫‪ada‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪aca‬‬ ‫‪d‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪d aba‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪c‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪c‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪d‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪c‬‬ ‫‪11‬‬ ‫‪L‬‬ ‫‪R‬‬ ‫‪5‬‬ ‫חבורות עם גידול ביניים‬ ‫∼ ‪.HR‬‬ ‫∼ ‪ HL‬וגם ‪= Γ‬‬ ‫כל האיברים מופיעים בכל אחת מהשורות‪ ,‬לכן ‪= Γ‬‬ ‫מסקנה ‪ Γ :32‬אינסופית‪ .‬לא ייתכן שלחבורה סופית יש תת־חבורה מסדר ‪ 2‬שאיזומורפית אליה‪ ,‬ממשפט‬ ‫לגראנז'‪.‬‬ ‫∼ ‪ ,ha, di‬כל שני איברים מסדר ‪ 2‬יוצרים חבורה דיהדרית‪.‬‬ ‫טענה ‪= D8 :33‬‬ ‫‪Γ‬‬ ‫של ‪ b‬בתוך ‪) |Γ/B| ≤ 8 .(Γ‬אפשר לבדוק(‪ .‬נשים לב שמלוח הכפל‬ ‫טענה ‪) B = hbi :34‬הסגור הנורמלי ‬ ‫שלנו אפשר לכתוב ‪ ,Γ = ha, b, di‬ולכן ‪ .Γ/B = a, d‬נכתוב ‪ ϕL : HL → Γ‬וגם ‪ .ϕR : HR → Γ‬נסמן‬ ‫))‪ ϕ (x) = (ϕL (x) , ϕR (x‬ונקבל כי ‪.ϕ (H) ≥ B × B‬‬ ‫הוכחה‪ :‬אם נחשב נקבל‪ :‬הוכחה‪:‬‬ ‫)‪ϕ (ada) = (b, 1‬‬ ‫)‪ϕ (d) = (1, b‬‬ ‫)‪∀x∈Γ ∃y∈Γ ϕ (y) = (x, z‬‬ ‫מסקנה ‪.|Γ × Γ : B × B| ≤ 64 :35‬‬ ‫כעת ‪ sΓ ∼ sH sϕ(H) sB×B ∼ sΓ‬כאשר ‪ s‬היא פונקציית הגידול‪ .‬לכן הגידול של החבורה אינו‬ ‫פולינומיאלי‪ ,‬שכן ‪ ,sΓ ∼ sΓ×Γ‬שכן אז החזקה של הפולינום צריכה להיות כפולה‪ ,‬בסתירה‪.‬‬ ‫שיעור שישי‬ ‫‪1‬‬ ‫)‪(l (x) + 1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫≤ ))‪l (ϕL (x‬‬ ‫‪1‬‬ ‫)‪(l (x) + 1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫≤ ))‪l (ϕR (x‬‬ ‫ההוכחה עצמה פשוטה‪ ,‬כל איבר ב־ ‪ H‬הוא בערך מהצורה ‪ ,au1 au2 a . . .‬ולכן כל רביעיית איברים הופכת לזוג‬ ‫איברים‪ ,‬אחד מהם הוא ‪ ,au1 a‬ואילו השני הוא ‪ ,u2‬כאשר }‪.u1 ∈ {b, c, d‬‬ ‫משפט ‪ :36‬בעיית המלה פתירה ב־‪.Γ‬‬ ‫∈ ‪ x‬וממילא ‪ .x 6= 1‬נניח ‪x ∈ H‬‬ ‫הוכחה‪ :‬נבחר ‪ ,x ∈ Γ‬אזי ‪ .x = au1 au2 . . .‬אם מספר ה־‪ a‬אי־זוגי‪ ,‬אזי ‪/ H‬‬ ‫ונניח ‪ .l (x) > 1‬אזי‪:‬‬ ‫)‪l (ϕL (x)) , l (ϕR (x)) < l (x‬‬ ‫ובאינדוקציה קובעים אם )‪ ϕL (x‬ו־)‪ ϕR (x‬הם ‪.1‬‬ ‫משפט ‪ Γ :37‬היא חבורת ‪ ,2‬כלומר לכל איבר יש סדר סופי שהוא חזקה של ‪.2‬‬ ‫הוכחה‪ :‬אינדוקציה על )‪.l (x‬‬ ‫‪ .1‬עבור אורך ‪ 1‬הוכחנו כבר שהסדר הוא ‪.2‬‬ ‫‪ .2‬עבור אורך ‪ ,2‬יש לנו }‪ ,{ab, ac, ad, ba, ca, da‬מספיק לבדוק את שלושת הראשונים‪ ,‬שכן הם צמודים‪,‬‬ ‫מסוג ‪ 1‬או ‪ ,(2‬שכן‬ ‫ולכן יש להם אותו סדר‪ .‬מעתה נניח ש־‪ x‬מיוצג בצורה המתחילה ב־‪) a‬קרי‪ ,‬הוא ‬ ‫הוא צמוד למלה הכתובה כך‪ (ac)2 = (aca) c .(ab)4 = 1 .‬ולכן )‪ ϕ (ac)2 = (da, ad‬מטבלת הכפל‬ ‫בחבורה‪ ,‬ולזה אנחנו יודעים שיש סדר ‪ ,4‬שכן נעלה את זה בריבוע ונקבל ‪ .1‬ולכן ‪ .|ac| = 8‬באופן‬ ‫דומה‪.|ab| = 16 ,‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪5‬‬ ‫חבורות עם גידול ביניים‬ ‫‪ .3‬עבור ‪l (x) ≥ 3‬‬ ‫)א( אם ‪ x‬נגמר ב־‪ — a‬הוא מסוג ‪ — 1‬אזי הוא צמוד לאיבר קצר יותר מסדר ‪ 4‬על ידי הצמדה ב־‪a‬‬ ‫ומכאן משתמשים בהנחת האינדוקציה‪.‬‬ ‫)ב( אחרת‪ x ,‬לא נגמר ב־‪ — a‬הוא מסוג ‪ — 2‬ולכן הוא מאורך זוגי של ‪.2k‬‬ ‫‪ .i‬אם ‪ k‬גם כן זוגי‪ ,‬אזי ‪ x ∈ H‬ונוכל לכתוב ) ‪ ,ϕ (x) = (xl , xr‬האורך של ‪ xl , xr‬הוא לכל‬ ‫היותר )‪ , 21 l (x‬והוכחנו שהאורך של ‪ x‬הוא המקסימום של אורכי ‪ ,xl , xr‬נוכל להשתמש בהנחת‬ ‫האינדוקציה‪.‬‬ ‫‪2‬‬ ‫זוגי‪ ,‬אזי ‪ l (x) = 4r + 2‬עבור איזשהו ‪ .r ∈ N‬במקרה הזה‪ x ∈ H ,‬ונוכל לכתוב‬ ‫‪ .ii‬אם ‪ k‬אי ‬ ‫) ‪ ϕ x2 = (yl , yr‬וגם )‪ .l (yl ) , l (yr ) ≤ l (x‬נניח כעת ש־‪ x‬מכיל את ‪ d‬לפחות פעם אחת‪,‬‬ ‫אזי ‪ x2‬באורך לפחות )‪ 2l (x‬עם מחזור של )‪ l (x‬והאות ‪ d‬בו מופיעה לפחות מפעמיים במיקום‬ ‫ששונה ב־)‪ .l (x‬לכן‪ ,‬אם נכתוב אם ‪ x2‬כמכפלה של היוצרים }‪ {b, c, d, aba, aca, ada‬של ‪,H‬‬ ‫גם ‪ d‬וגם ‪ ada‬מופיעים מתישהו‪ .‬לכן ב־ ‪ yl‬היוצר ‪ d‬נספר כ־‪ 1‬וב־ ‪ yr‬היוצר ‪ ada‬נספר כ־‪.1‬‬ ‫ולכן גם ‪ yl‬וגם ‪ yr‬הם באורך קצר יותר מ־‪ ,x‬ומאינדוקציה ‪ x2‬הוא מסדר של ‪ 2‬בחזקת‪ ,‬ולכן‬ ‫‪ x‬בחזקה כפולה מזה‪ .‬אם ‪ x‬לא מכיל את ‪ d‬אבל כן את ‪ c‬אז נוכל לפעול בדיוק כמו קודם‪.‬‬ ‫אם גם ‪ c‬וגם ‪ d‬לא מופיעים‪ ,‬אזי ‪ x‬הוא חזקה של ‪ ,ab‬איבר עם סדר ‪ ,16‬ולכן גם ל־‪ x‬יש סדר‬ ‫מחזקה של ‪ 16‬שהיא חזקה של ‪.2‬‬ ‫הנקודה שהגידול לא מעריכי תנבע מכך שאם מפעילים כמה פעמים את ‪ ϕ‬האורך יורד‪ .‬נסתכל על החבורה‬ ‫‪ κ ≤ Γ‬שעליה נפעיל את ‪ ,ϕ3‬כל אחת מה־ ‪ H‬עוברת ל־‪ ,Γ × Γ‬ולכן הפעלה של ‪ ϕ2‬תניב לנו‪:‬‬ ‫))‪ϕ3 (x) = (ϕ1 (x) , . . . , ϕ8 (x‬‬ ‫מה שנוכיח הוא הדבר הבא — ‪. 8i=1 l (ϕi (x)) ≤ 34 l (x) + 7‬‬ ‫הוכחנו כי ‪ Γ‬היא חבורת ‪ ,2‬קרי כל איבר הוא מסדר של חזקה של ‪ .2‬לכן היא גם מובחנת סופית‪ .‬לכן‪Γ/N ,‬‬ ‫היא חבורת ‪ .2‬נקרא לחבורה כזו היא מובחנת ‪.2‬‬ ‫‪P‬‬ ‫שיעור שביעי‬ ‫חבורה הגדרה ‪ :38‬חבורה תיקרא מובחנת־‪ p‬אם חיתוך של כל התת־חבורות הנורמליות מסדר שהוא חזקה של ‪ p‬הוא‬ ‫איבר היחידה‪.‬‬ ‫מובחנת־‪p‬‬ ‫נחזור לעסוק ב־ ‪ .H‬עבור ‪ ,x ∈ H‬הגדרנו ))‪ ϕ (x) = (ϕL (x) , ϕR (x‬על ‪ .Γ × Γ‬האורך נמדד לפי קבוצת‬ ‫היוצרים הסטנדרטיים }‪ .{a, b, c, d‬מכאן אפשר לראות כי‬ ‫‪ϕL (x) + ϕR (x) ≤ ϕ (x) + 1‬‬ ‫כעת נלך מ־‪ Γ × Γ‬לתוך ‪ .H × H‬מתקיים כי ‪ .[Γ × Γ : H × H] = 4‬נבחר תת־חבורה ‪ K ≤ H‬כך‬ ‫ש־‪ [H : K] = 4‬שתישלח על ידי ‪ ϕ‬ל־ ‪.H × H‬‬ ‫כעת נלך עוד שלב‪ ,‬ונקבל‪:‬‬ ‫‪ϕ‬‬ ‫‪ϕ×ϕ‬‬ ‫‪K →H ×H → Γ×Γ×Γ×Γ‬‬ ‫‪ϕ‬‬ ‫ולכן נוכל לבחור תת־חבורה ‪ L ≤ K‬שמקיימת ‪ [K : L] = 16‬כך ש־ ‪ ,L → H × H × H × H‬ומתקיים כמובן‬ ‫‪.[Γ : K] ≤ 128‬‬ ‫טענה ‪ :39‬אם ‪ x ∈ L‬נשלח ל־ ‪) H × · · · × H‬שמונה פעמים(‪ ,‬על ידי ))‪ .ϕ (x) = (ϕ1 (x) , . . . , ϕ8 (x‬מתקיים‪:‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪ϕ (x) + 8‬‬ ‫‪4‬‬ ‫≤ ))‪l (ϕi (x‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪X‬‬ ‫‪i=1‬‬ ‫‪13‬‬ ‫‪5‬‬ ‫חבורות עם גידול ביניים‬ ‫הטענה הזו תאפשר לנו לקבל גידול תת־מעריכי‪ ,‬שכן אנחנו מכפילים בקבוע שקטן ממש מ־‪ .1‬הוכחה‪:‬‬ ‫הנקודה היא שוב‪ ,‬כמו בהוכחות קודמות‪ ,‬ש־‪ d‬הופך ל־‪ .1‬כל איבר ניתן לכתוב ‪ x = au1 au2 . . . auk‬כאשר‬ ‫}‪ .ui ∈ {b, c, d‬ייתכן שה־‪ a‬הראשון לא מופיע‪ ,‬ייתכן שה־ ‪ uk‬לא מופיע‪ ,‬אבל זוהי בגדול הצורה הכללית‪.‬‬ ‫נגדיר )‪ la (x‬להיות מספר הפעמים ש־‪ a‬מופיע ב־‪ .x‬באופן דומה עם )‪ .lb (x) , lc (x) , ld (x‬על )‪ la (x‬אפשר‬ ‫להגיד שזה כמעט ‪ 21‬מהאורך‪ .‬עבור ‪ b, c, d‬אנחנו לא בטוחים‪ ,‬אבל אנחנו בטוחים לגבי הסכום שלהם‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫)‪(l (x) − 1) ≤ lb (x) + lc (x) + ld (x) ≤ (l (x) + 1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫אם אורך המלה זוגי‪ ,‬אזי זה יהיה שווה בדיוק ל־)‪ . 21 l (x‬נסתכל מה קורה ל־‪ u‬בהומומורפיזמים‪ .‬ניזכר כי‬ ‫)‪ .ϕL (x) , ϕR (x) ≤ 21 (l (x) + 1‬אזי‪:‬‬ ‫‪li (x) ≤ l (x) + 7‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪X‬‬ ‫‪i=1‬‬ ‫איך ספרנו? כל איבר רשמנו כמכפלה של האיברים בטבלה‪ ,‬ניתן להסתכל על }‪ .{aba, aca, ada‬כשאנחנו‬ ‫מחשבים‪ d ,‬לא מאריך בשמאל אלא רק בימין‪ ,‬ו־‪ ada‬תורם רק בשמאל ולא מאריך בימין )שכן הוא פועל כיחידה‬ ‫ולכן לא נספר באורך(‪ .‬החשבונאות הזו לא מספיק טובה לנו‪ ,‬כי אולי יש לנו מלה ש־‪ d‬מופיעה בה מעט פעמים‪,‬‬ ‫ולכן לא מוריד הרבה‪ .‬בשל זה מפעילים את זה עוד פעם‪ ,‬וכך ‪ c‬הופך ל־‪ d‬ואז ייעלם‪ .‬ה־‪ c‬שמופיעים פעם‬ ‫אחת הוא הפך ל־‪) d‬באופן דומה ‪ ,(aca‬וכשנפעיל פעם שנייה את ‪ ϕ‬הוא ייעלם‪ .‬לאחר לאחר פעמיים יירד‬ ‫ה־)‪ .lc (x) + ld (x‬כמובן ייתכן שיש שהרוב הוא ‪ ,b‬ולכן נפעיל שלוש פעמים‪.‬‬ ‫במלה המקורית ‪ b, c‬לא יכולים להופיע אחד ליד השני‪ ,‬שכן יש ‪ a‬ביניהם‪ ,‬אבל לאחר הפעלת ‪ ϕ‬ייתכן‬ ‫שזה כבר כן ייקרה‪ .‬אבל זה גם כן טוב‪ ,‬כי יש לנו שתי אותיות שהפכו לאחת‪ ,‬שכן ‪ .b · c = d‬לכן אי אפשר‬ ‫להיות לגמרי בטוח שלאחר הפעלת שלוש פעמים נוכל להוריד )‪ ,lb (x) + lc (x) + ld (x‬אבל כן יכולים להגיד‬ ‫כי )‪ lb (x) + ld (x‬ירד באחד מהם‪ ,‬ולכן לוקחים את })‪ .max {lb (x) + ld (x) , lc (x) + ld (x‬בספר מופיעה‬ ‫דוגמה טובה ללמה צריך להיזהר כש־‪ b‬הופך במקרה הזה ל־‪ c‬או להפך‪ .‬המקסימום הוא לפחות חצי הסכום של‬ ‫השלושה‪ .‬ולכן‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫)‪(lb (x) + lc (x) + ld (x)) > l (x‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪4‬‬ ‫> })‪max {lb (x) + ld (x) , lc (x) + ld (x‬‬ ‫ולכן נקבל )‪. 34 l (x‬‬ ‫משפט ‪) 40‬גריגורצ'וק(‪ :‬ל־‪ Γ‬יש גידול תת־מעריכי‪.‬‬ ‫האסטרטגיה שלנו בהוכחת גידול תת־מעריכי תהיה הפעלה חוזרת של ‪ ϕ‬כדי להוריד את האורך‪ .‬נמצוא חבורה‬ ‫‪ H3 ≤ Γ‬שעליה נפעיל את ‪ ,ϕ3‬כל אחת מה־ ‪ H‬עוברת ל־‪ ,Γ × Γ‬ולכן הפעלה של ‪ ϕ2‬תניב לנו‪:‬‬ ‫))‪ϕ3 (x) = (ϕ1 (x) , . . . , ϕ8 (x‬‬ ‫‪P‬‬ ‫מה שנוכיח הוא הדבר הבא — ‪. 8i=1 l (ϕi (x)) ≤ 43 l (x) + 7‬‬ ‫נחזור לעסוק ב־ ‪ .H‬עבור ‪ ,x ∈ H‬הגדרנו ))‪ ϕ (x) = (ϕL (x) , ϕR (x‬על ‪ .Γ × Γ‬האורך נמדד לפי קבוצת‬ ‫היוצרים הסטנדרטיים }‪ .{a, b, c, d‬מכאן אפשר לראות כי‬ ‫‪ϕL (x) + ϕR (x) ≤ ϕ (x) + 1‬‬ ‫כעת נלך מ־‪ Γ × Γ‬לתוך ‪ .H × H‬מתקיים כי ‪ .[Γ × Γ : H × H] = 4‬נבחר תת־חבורה ‪ H2 ≤ H‬כך‬ ‫ש־‪ [H : H2 ] = 4‬שתישלח על ידי ‪ ϕ‬ל־ ‪.H × H‬‬ ‫כעת נלך עוד שלב‪ ,‬ונקבל‪:‬‬ ‫‪ϕ‬‬ ‫‪ϕ×ϕ‬‬ ‫‪H2 → H × H → Γ × Γ × Γ × Γ‬‬ ‫‪ϕ‬‬ ‫ולכן נוכל לבחור תת־חבורה ‪ H3 ≤ H2‬שמקיימת ‪ [H2 : H3 ] = 16‬כך ש־ ‪ ,H3 → H × H × H × H‬ומתקיים‬ ‫כמובן ‪.[Γ : H3 ] ≤ 128‬‬ ‫‪14‬‬ ‫‪5‬‬ ‫חבורות עם גידול ביניים‬ ‫‪ ,H‬על ידי ))‪ .ϕ (x) = (ϕ1 (x) , . . . , ϕ8 (x‬מתקיים‪:‬‬ ‫למה ‪ :41‬אם ‪ x ∈ H3‬נשלח ל־ ‪× · · · × H‬‬ ‫|‬ ‫‪{z‬‬ ‫}‬ ‫‪times‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪l (x) + 8‬‬ ‫‪4‬‬ ‫≤ ))‪l (ϕi (x‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪X‬‬ ‫‪i=1‬‬ ‫הערה ‪ :42‬הטענה הזו תאפשר לנו לקבל גידול תת־מעריכי‪ ,‬שכן אנחנו מכפילים בקבוע שקטן ממש מ־‪.1‬‬ ‫הוכחה‪ :‬הנקודה המרכזית בהוכחה שלנו היא ש־היא ש־‪ d‬הופך ל־‪ .1‬כל איבר ניתן לכתוב )‪x = (a) u1 au2 . . . auk (a‬‬ ‫כאשר }‪ .ui ∈ {b, c, d‬ייתכן שה־‪ a‬הראשון או האחרון לא מופיעים‪ .‬נגדיר )‪ la (x‬להיות מספר הפעמים ש־‪a‬‬ ‫מופיע ב־‪ .x‬באופן דומה עם )‪ .lb (x) , lc (x) , ld (x‬על )‪ la (x‬אפשר להגיד שזה כמעט ‪ 12‬מהאורך‪ .‬עבור ‪b, c, d‬‬ ‫אין ביטחון עבור כל אחד בנפרד‪ ,‬אבל כן לגבי הסכום שלהם‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫)‪(l (x) − 1) ≤ lb (x) + lc (x) + ld (x) ≤ (l (x) + 1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫אם אורך המלה זוגי‪ ,‬אזי זה יהיה שווה בדיוק ל־)‪ . 21 l (x‬נסתכל מה קורה ל־ ‪ ui‬בהומומורפיזמים‪ .‬ניזכר כי‬ ‫)‪ .ϕL (x) , ϕR (x) ≤ 21 (l (x) + 1‬אזי‪:‬‬ ‫‪li (x) ≤ l (x) + 7‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪X‬‬ ‫‪i=1‬‬ ‫איך ספרנו? כל איבר רשמנו כמכפלה של האיברים בטבלה‪ ,‬ניתן להסתכל על }‪ .{aba, aca, ada‬כשאנחנו‬ ‫מחשבים‪ d ,‬לא מאריך בשמאל אלא רק בימין‪ ,‬ו־‪ ada‬תורם רק בשמאל ולא מאריך בימין )שכן הוא פועל כיחידה‬ ‫ולכן לא נספר באורך(‪ .‬החשבונאות הזו לא מספיק טובה לנו‪ ,‬כי אולי יש לנו מלה ש־‪ d‬מופיעה בה מעט פעמים‪,‬‬ ‫ולכן לא מוריד הרבה‪ .‬בשל זה מפעילים את זה עוד פעם‪ ,‬וכך ‪ c‬הופך ל־‪ d‬ואז ייעלם‪ .‬ה־‪ c‬שמופיעים פעם‬ ‫אחת הוא הפך ל־‪) d‬באופן דומה ‪ ,(aca‬וכשנפעיל פעם שנייה את ‪ ϕ‬הוא ייעלם‪ .‬לאחר לאחר פעמיים יירד‬ ‫ה־)‪ .lc (x) + ld (x‬כמובן ייתכן שהרוב הוא ‪ ,b‬ולכן נפעיל שלוש פעמים‪.‬‬ ‫במלה המקורית ‪ b, c‬לא יכולים להופיע אחד ליד השני‪ ,‬שכן יש ‪ a‬ביניהם‪ ,‬אבל לאחר הפעלת ‪ ϕ‬ייתכן‬ ‫שזה כבר כן ייקרה‪ .‬אבל זה גם כן טוב‪ ,‬כי יש לנו שתי אותיות שהפכו לאחת‪ ,‬שכן ‪ .b · c = d‬לכן אי אפשר‬ ‫להיות לגמרי בטוח שלאחר הפעלת שלוש פעמים נוכל להוריד )‪ ,lb (x) + lc (x) + ld (x‬אבל כן יכולים להגיד‬ ‫כי )‪ lb (x) + ld (x‬ירד באחד מהם‪ ,‬ולכן לוקחים את })‪ .max {lb (x) + ld (x) , lc (x) + ld (x‬המקסימום הוא‬ ‫לפחות חצי הסכום של השלושה‪ .‬ולכן‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫)‪(lb (x) + lc (x) + ld (x)) > l (x‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪4‬‬ ‫> })‪max {lb (x) + ld (x) , lc (x) + ld (x‬‬ ‫ולכן נקבל )‪. 43 l (x‬‬ ‫משפט ‪ :43‬ל־‪ Γ‬יש גידול תת־מעריכי‪.‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪n‬‬ ‫הערה ‪ :44‬מה שנראה זה ש־‪ limn→∞ SΓ (n) = ω (Γ) = 1‬כאשר )‪ SΓ (n‬הוא מספר המילים שאורכם קטן‬ ‫או שווה מ־‪.n‬‬ ‫הוכחה‪ :‬לא נספור איברים ב־‪ Γ‬עצמה‪ ,‬אלא ב־ ‪S,H3‬ביחס ליוצרים של ‪ .Γ‬כפי שראינו‪ ,‬זה לא משנה כי היא‬ ‫מאינדקס סופי ולכן הגידול זהה‪ .‬נכתוב ‪ ,Γ = i[Γ:H3 ] H3 ti‬כאשר נחסום ‪ ,l (ti ) ≤ k ∈ N‬ניתן לבחור ‪ k‬שהוא‬ ‫לכל היותר ‪ ,127‬שכן כל הרישא של פירוק מצומצמם מסוגים ‪ 2/3 ,1‬או ‪ 4‬יכול לשכון רק בקוסט יחיד‪ .‬עבור‬ ‫‪ y = xt−1‬ולכן ‪ .l (y) ≤ l (x) + k ≤ l (x) + 127‬מכאן‬ ‫‪ x ∈ Γ‬ניתן לכתוב אותו בתור ‪ yti‬עבור ‪ y ∈ H3‬ואז‬ ‫‪i‬‬ ‫נקבל כי‪:‬‬ ‫)‪SΓ (n) ≤ SH3 (n + k‬‬ ‫‪15‬‬ ‫‪5‬‬ ‫חבורות עם גידול ביניים‬ ‫נסמן )‪ SHΓ 3 (n‬להיות מספר האיברים ב־ ‪ H3‬באורך ‪ ,n‬כאשר האורך נספר ב־‪ .Γ‬אזי מהשורה הקודמת מתקיים‬ ‫‪Γ‬‬ ‫‪SΓ (n) ≤ SH‬‬ ‫] ‪(n + k) [Γ : H3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪ϕ3‬‬ ‫עבור ‪ x ∈ H3‬נפעיל עליו את ‪ ϕ3‬ונקבל ) ‪ ,x 7→ (x1 , . . . , x8‬וזו העתקה חד־חד־ערכית‪ .‬עבור ‪l (x) ≤ n‬‬ ‫שסכומם הוא ‪ n‬הוא לכל היותר ‪ .(n + 1)8‬בהינתן‬ ‫ו־ ‪ .l (xi ) = ni‬מספר האפשרויות לשמיניות ) ‪ (n1 , . . . , n8‬כך ‪Q‬‬ ‫שמינייה כזו‪ ,‬מספר האפשרויות ל־) ‪(x1 , . . . , x8‬הוא ) ‪ . SΓ (ni‬לכל ‪ ε > 0‬מתקיים עבור ‪ n ∈ N‬גדול מספיק‬ ‫כי‪:‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪n‬‬ ‫)‪ω (Γ) ≤ sΓ (n) ≤ (ω (Γ) + ε‬‬ ‫ולכן קיים קבוע ‪ A‬שלכל ‪ n ∈ N‬מתקיים‬ ‫‪n‬‬ ‫)‪sΓ (n) ≤ A (ω (Γ) + ε‬‬ ‫ולכן‪ ,‬בהינתן שמינייה ) ‪ (n1 , . . . , n8‬מספר האפשרויות לשמינייה ) ‪ (x1 , . . . , x8‬הוא לכל היותר‪ ,‬מהלמה הקודמת‪:‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪≤ C (ω (Γ) + ε) 4‬‬ ‫‪n+8‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪≤ A8 (ω (Γ) + ε) 4‬‬ ‫‪ni‬‬ ‫‪P‬‬ ‫)‪≤ A8 (ω (Γ) + ε‬‬ ‫‪ni‬‬ ‫)‪A (ω (Γ) + ε‬‬ ‫‪Y‬‬ ‫עבור איזשהו קבוע ‪ .C‬ולכן‪:‬‬ ‫)‪(n+k‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪ω (Γ) ≤ sΓ (n) ≤ [Γ : H3 ] sΓH3 (n + k) ≤ [Γ : H3 ] C (n + k + 1) (ω (Γ) + ε) 4‬‬ ‫נוציא שורש ‪ n‬ונשאיף את ‪ n‬לאינסוף ואת ‪ ε‬ל־‪ 0‬ונקבל‬ ‫‪3‬‬ ‫‪ω (Γ) ≤ ω (Γ) 4‬‬ ‫ולכן ‪.ω (Γ) = 1‬‬ ‫‪α‬‬ ‫‪β‬‬ ‫משפט ‪ :45‬יש מספרים חיוביים ‪ A, B > 1‬ו־‪ 0 < α, β < 1‬כך ש־ ‪.An ≤ SΓ (n) ≤ B n‬‬ ‫הוכחה‪ :‬לשם החסם התחתון נשתמש בעובדה היסודית שבאמצעותה הוכחנו שהגידול אינו פולינומיאלי‪ ,‬והיא —‬ ‫‪) .Γ ∼ Γ × Γ‬נעיר כי קיימות חבורות נוצרות סופית שאיזומורפיות למכפלה ישרה של עצמן‪ Γ ,‬אינה כזאת‪,‬‬ ‫שכן היא מובחנת סופית(‪ .‬נוכל אם כן להסתכל על הגידול ‪ S (n)2‬ומתקיים ‪.S (n) ≤ S (n)2 ≤ C · S (Dn)2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫לכן מהצד השני )‪ , C1 S Dn ≤ S (n‬נצטרך כמובן להרחיב את הגדרת ‪ S‬גם למספרים שאינם שלמים‪ ,‬על ידי‬ ‫כך שכמו קודם אלו יהיו כל המילים שאורכם עד השלם הקטן הקרוב ביותר למספר‪ .‬ומתקיים‪:‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫ ‪ n‬‬ ‫‪1 n 2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1 n 4‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪S‬‬ ‫≥‬ ‫‪S‬‬ ‫‪≥ · · · ≥ Pr 2i S‬‬ ‫‪2r‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪D‬‬ ‫‪C C‬‬ ‫‪D‬‬ ‫‪D2r‬‬ ‫‪C i=1‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫‪n‬‬ ‫)‪ .E = S(m‬נסמן‬ ‫נבחר ‪ m ∈ N‬כך ש ‪ S (m) > C‬ונגדיר ‪> 1‬‬ ‫‪) r = logD m‬זהו מספר הפעמים שבהם‬ ‫‪C‬‬ ‫≥ )‪S (n‬‬ ‫אנו מפעילים את האי־שוויון הזה(‪ .‬נקבל‪:‬‬ ‫ ‪ n‬‬ ‫‪r‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2r‬‬ ‫‪2r ≥ 2r S (n) = E 2‬‬ ‫‪D 2r‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪S‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2i‬‬ ‫‪Pr‬‬ ‫‪i=1‬‬ ‫‪C‬‬ ‫וגם‬ ‫‪1‬‬ ‫‪= F · n log2 D‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪log2 D‬‬ ‫‪1 n‬‬ ‫·‬ ‫‪2‬‬ ‫‪m‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫‪log2 D‬‬ ‫‬ ‫‪n‬‬ ‫‪1 log( m‬‬ ‫)‬ ‫‪· 2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫) (‬ ‫=‬ ‫‪16‬‬ ‫‪log2 n‬‬ ‫‪m‬‬ ‫)‪log2 (d‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪= ·2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫· ) ‪2r ≥ 2logD ( m‬‬ ‫‪n‬‬ ‫חבורות עם גידול ביניים‬ ‫‪5‬‬ ‫‪n log12 D‬‬ ‫‪ s (n) > E F‬וזהו החסם התחתון‪.‬‬ ‫עבור איזשהו ‪ ,F‬לכן מתקיים‬ ‫‪1‬‬ ‫נוכיח כעת את החסם העליון‪ .‬הוכחנו כי ) ‪ ,ϕ (x) = (xL , xR‬וגם )‪ l (xR ) , l (xL ) ≤ 2 (l (x) + 1‬ולכן‬ ‫‪P‬‬ ‫כפי שהוכחנו )‪ l (xi ) ≤ 81 (l (x) + 7‬עבור ‪ x ∈ H3‬והפעלת ‪ .ϕ3‬וגם הוכחנו ‪. 8i=1 l (xi ) ≤ 43 l (z) + 8‬‬ ‫איזשהו ]‪ j ∈ [8‬מתקיים כי ‪ .l (xj ) ≤ 323 l (x) + 1‬אם היינו יודעים איזשהו ה־ ‪ j‬הזה‪ ,‬אזי היו‬ ‫לכן קיים‬ ‫‬ ‫‪3‬‬ ‫‪1‬‬ ‫לכל היותר ‪ sΓ 32 l (x) + 1‬אפשרויות בשבילו‪ ,‬ולכל היותר ‪ sΓ 8 l (x) + 1‬לכל השאר‪ .‬ניזכר שמתקיים‬ ‫‬ ‫‪4‬‬ ‫)‪ sΓ (n + m) ≤ sΓ (n) · sΓ (m‬ונקבל כי ‪ sΓ 81 l (x) + 1 ≤ sΓ 321 l (x) + 1‬ולכן מספר האפשרויות‬ ‫‪31‬‬ ‫לשמינייה ) ‪ (x1 , . . . , x8‬הוא לכל היותר ‪ sΓ 321 l (x) + 1‬והיות שאיננו יודעים איזה ‪ xj‬הוא הקצר ביותר‪,‬‬ ‫נכפיל את מספר האפשרויות ב־‪ .8‬לכן‪:‬‬ ‫‪Γ‬‬ ‫‪SΓ (n) ≤ [Γ : H3 ] SH‬‬ ‫)‪(n + k‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‬ ‫‪31‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪≤ [Γ : H3 ] · 8 · sΓ‬‬ ‫‪(n + k) + 1‬‬ ‫‪32‬‬ ‫‬ ‫‪31‬‬ ‫‪n+k‬‬ ‫‪≤ C · SΓ‬‬ ‫‪32‬‬ ‫‪322‬‬ ‫‬ ‫‪n+k‬‬ ‫‪≤ C 1+31 SΓ‬‬ ‫‪322‬‬ ‫‪≤ ...‬‬ ‫‬ ‫‪31t‬‬ ‫‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪n+k‬‬ ‫‪1+31+···+31t−1‬‬ ‫‪+k t+‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪≤ C‬‬ ‫‪SΓ‬‬ ‫‪32t‬‬ ‫‪32 32t‬‬ ‫ולכן אם נבחר ])‪ t = [log32 (n + k‬נקבל כי ‪ ,n + k ≤ 32t+1‬ואחרי העברת־אגפים ‪≤ 32‬‬ ‫הקודם שהוכחנו מראה כי עבור איזשהם קבועים ‪ B, C‬מתקיים‬ ‫‪n+k‬‬ ‫‪32t‬‬ ‫‪ .‬אך האי־שוויון‬ ‫‬ ‫‬ ‫‪t‬‬ ‫)‪log32 (n+k‬‬ ‫‪log32 31‬‬ ‫‪log31 31‬‬ ‫‪31t‬‬ ‫‪31t‬‬ ‫] ‪sΓ (n) ≤ 8 · [Γ : H3‬‬ ‫‪sΓ (k + 33) = C 31 ≤ C 31‬‬ ‫)‪= C (n+k‬‬ ‫‪= Bn‬‬ ‫חבורות גריגורצ'וק הכלליות‬ ‫נסתכל על ‪ Λ‬להיות כל הסדרות של ‪ ,0, 1, 2‬ומספר הסדרות הוא ‪ .2ℵ0‬נגדיר‪:‬‬ ‫• ‪ — Λ0‬הסדרות שבהן כל ספרה מופיעה אינסוף פעמים‪.‬‬ ‫• ‪ — Λ1‬הסדרות שבהן רק שתי ספרות מופיעות אינסוף פעמים‪.‬‬ ‫• ‪ — Λ2‬הסדרות שבהן רק ספרה אחת מופיעה אינסוף פעמים‪.‬‬ ‫ומתקיים ‪.Λ = Λ0 ∪ Λ1 ∪ Λ2‬‬ ‫יהי איזשהו עץ בינארי אינסופי‪ .‬לעץ הזה יש כמה אוטומורפיזם — ‪ E‬שהוא הזהות‪ P ,‬שהוא חילוף על‬ ‫שני חצאי העץ‪ .‬נסתכל על החבורה ‪ .Gλ = ha, bλ , cλ , dλ i‬נגדיר את פעולת החבורה באופן דומה לחבורת‬ ‫נגדיר ‪bλ ,cλ , dλ‬כך ששתיים תפעלנה על תת־העץ השמאלי על ידי חילוף ואחת כזהות‪.‬‬ ‫גריגורצ'וק‪‬הבסיסית‪ .‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪E‬‬ ‫‪P‬‬ ‫‪P‬‬ ‫נסמן ‪ .0 = P  , 1 = E  , 2 = P ‬נגדיר ‪ σ : Λ → Λ‬שהיא הזזה שמאלה של איברי הסדרה‬ ‫‪P‬‬ ‫‪P‬‬ ‫‪E‬‬ ‫) ‪ ,λ = (n0 , n1 , n2 , . . .‬אזי ) ‪.σ (λ) = (n1 , n2 , . . .‬‬ ‫• ‪ e ∈ Gλ‬היא הזהות‪.‬‬ ‫• ‪ a ∈ Gλ‬היא החילוף‪.‬‬ ‫‪17‬‬ ‫‪5‬‬ ‫חבורות עם גידול ביניים‬ ‫נניח רגע לצורך הדיון שהסדרה שאנחנו מתחילים איתה מתחילה בספרה ‪.0‬‬ ‫‪adλ a‬‬ ‫‪dσλ‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪acλ a‬‬ ‫‪cσλ‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪dλ‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪dσλ‬‬ ‫‪abλ a‬‬ ‫‪bσλ‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪cλ‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪cσλ‬‬ ‫‪bλ‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪bσλ‬‬ ‫‪L‬‬ ‫‪R‬‬ ‫∼ ‪hbλ , cλ , dλ i‬‬ ‫נשים לב שמתקיים כי ‪ .a2 = b2λ = c2λ = d2λ = 1‬בנוסף ‪ bλ cλ = cλ dλ = dλ bλ‬ומתקיים =‬ ‫‪.C2 × C2‬‬ ‫נגדיר ‪ — Hλ ≤ Gλ‬האיברים השומרים על שני החצאים‪ .[Gλ : Hλ ] = 2 .‬נוכל להגדיר בעצם‬ ‫‪ .H = hbλ , cλ , dλ , abλ a, acλ a, adλ ai‬נוכל להגדיר הומומורפיזם ‪ .ϕλ : Hλ → Gσλ × Gσλ‬מתקיים‬ ‫‪ ,ϕλL : Hλ Gσλ ≥ Hσλ Gσ2 λ . . .‬אפשר להמשיך עד אינסו ולכן החבורה שלנו היא בהכרח אינסוף‪.‬‬ ‫נראה שלחבורות ב־ ‪ Λ0 , Λ1‬יש גידול ביניים‪ .‬זה לא נכון עבור ‪ ,Λ2‬שהיא קבוצה מאוד קטנה של חבורות‪.‬‬ ‫טענה ‪ :46‬אם ‪ λ ∈ Λ2‬אז ‪ Gλ‬מכילה תת־חבורה אבלית מאינדקס סופי‪.‬‬ ‫מסקנה ‪ :47‬לחבורה ולתת־חבורה מאינדקס סופי ישנו אותו הגידול‪ ,‬ולכל חבורה אבלית יש גידול פולינומיאלי‪,‬‬ ‫מכאן ינבע של־ ‪ Gλ‬יש גידול פולינומיאלי‪.‬‬ ‫הוכחה‪ :‬נניח בה"כ החל ממקום מסויים הסדרה היא קבועה ‪ .0‬במקרה זה ‪ Gλ = ha, bλ i‬והחבורה היא אינסופית‪.‬‬ ‫נראה לאן האיבר הזה עובר בהעתקה ‪.(abλ )2 = abλ abλ → (bσλ a, abσλ ) — ϕλ : Hλ → Gσλ × Gσλ‬‬ ‫אם נפעיל את ‪ ϕσλ‬נקבל )‪ abλ abλ → (abσ2 λ , bσ2 λ a‬וכולי וכולי‪ .‬על ידי חלוקה ב־ ‪ B = hbiGλ‬נקבל‬ ‫שלחבורת־המנה יש אינדקס סופי‪.‬‬ ‫עבור ‪ ,λ ∈ Λ0 ∪ Λ1‬נגדיר כמו קודם ‪ Bλ = hbλ iGλ‬וכנ"ל ‪ .Cλ , Dλ‬לתת־חבורות האלה יש אינדקס סופי ב־ ‪.Gλ‬‬ ‫‪ϕλ (Hλ ) ⊇ Dσλ × Dσλ‬‬ ‫‪ϕλ‬‬ ‫) ‪dλ → (1, dσλ‬‬ ‫‪ϕλ‬‬ ‫)‪adλ a → (dσλ , 1‬‬ ‫ניתן לקבל את כל הצמודים של ‪ dσλ‬ולכן ניתן לקבל את הסגור הנורמלי שלו‪ .‬כעת מתקיים‬ ‫∞ < |) ‪|Gσλ × Gσλ : ϕλ (Hλ‬‬ ‫ולכן ל־ ‪ Gλ‬ול־ ‪ Gσλ × Gσλ‬יש פונקציות גידול שקולות‪ .‬נוכל להמשיך כך כמובן עד אינסוף‪ .‬אם נניח בשלילה‬ ‫שהמעלה סופי‪ ,‬נקבל שכל פעם אנחנו מחלקים את המעלה בחצי‪ ,‬ולכן נקבל סתירה‪.‬‬ ‫הוכחנו שלחבורות אין גידול פולינומיאלי‪ ,‬נראה שאין גם גידול מעריכי‪ .‬ההוכחה דומה להוכחה של החבורה‬ ‫הרגילה של גריגורצ'וק‪.‬‬ ‫טענה ‪ :48‬אם ‪ λ ∈ Λ0‬אז הגידול של ‪ Gλ‬אינו מעריכי‪.‬‬ ‫הוכחה‪ :‬ישנו ‪ ϕλ‬על ידי ) ‪ ϕλ (x) = (xL, xR‬ומתקיים כמו תמיד )‪.l (xL ) , l (xR ) ≤ 21 (l (x) + 1‬‬ ‫‪ϕλ‬‬ ‫‪2‬‬ ‫) ‪(adλ ) = adλ adλ −→ (dσλ , dσλ‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪(adλ ) = 1‬‬ ‫‪18‬‬ ‫‪8‬‬ ‫אוטומטים סופיים‬ ‫למה ‪ :49‬אם ‪ l (x) ≥ 5 ,x ∈ Gλ‬אז מלה בעלת אורך מינימלי המייצגת את ‪ x‬אינה מכילה את המחרוזת ‪.dad‬‬ ‫‪2‬‬ ‫הוכחה‪ :‬נניח ש־‪ dad‬מופיע לא בסוף המלה‪ .‬המלה ‪ .dadau‬עבור ‪ u 6= 1‬ל־ )‪ (da‬יש סדר ‪ ,2‬ולכן — ‪dada‬‬ ‫שווה להפכי שלו‪ ,‬ולכן הוא מסדר ‪ .2‬ולכן ‪ dada = adad‬ולכן ‪ dadau = adadu‬וזה מצטמצם‪ .‬אם ‪ u = 1‬אזי‬ ‫כמו קודם ‪ adada = aadad‬ושוב הצטמצמנו‪ .‬אם זה בסוף המלה משיקול דומה ל־‪ u = 1‬וסיימנו‪.‬‬ ‫הוכחה‪ :‬עתה‪ ,‬נסמן )‪ ,k = 21 l (x‬ולפי עקרון שובך היונים מספר ההופעות של ‪ d‬הוא קטן או שווה מ־‬ ‫)‪ b, c . k1 l (x‬מופיעים לפחות )‪ 18 l (x‬פעמים‪ .‬כמו בהוכחה על חבורת גריגורצ'וק הרגילה‪ ,‬נעתיק את ‪— x‬‬ ‫‪P‬‬ ‫) ‪ x −→ (x1 , . . . , x2k‬ומתקיים )‪ . l (xi ) ≤ 98 l (x‬נסמן ) ‪ ,ωλ = ω (Gλ‬אנחנו רוצים להסתכל על ‪:ωσk λ‬‬ ‫‬ ‫‪n‬‬ ‫ ‪SGσk λ (n) ≤ A ω σ k λ +‬‬ ‫תהא ‪ Lλ‬תת־חבורה מאינדקס סופי של ‪ Gλ‬כך שה־ ‪ ϕλ‬מוגדרת בה‪.‬‬ ‫‬ ‫‪8n‬‬ ‫‪ω σk λ + 9‬‬ ‫‪k‬‬ ‫‪SLGλλ (n) ≤ 2k A2‬‬ ‫‬ ‫‪8‬‬ ‫‪ω (λ) ≤ ω σ k λ + ε 9‬‬ ‫וזה לכל ‪ ε > 0‬ולכן‬ ‫‪8‬‬ ‫‪( 8 )2‬‬ ‫‪8 t‬‬ ‫) ‪ω (λ) ≤ ω σ k λ 9 ≤ ω σ k+m λ 9 ≤ · · · ≤ ω (σ r λ)( 9‬‬ ‫‪6‬‬ ‫חבורת גריגורצ'וק לא נוצרת סופית‬ ‫נסתכל על עץ לא בינארי‪ ,‬אלא שלכל קודקוד יש ‪ k‬בנים‪ .‬החבורה נוצרת על ידי ‪ ,a, b, c, d‬כאשר ‪ a‬היא סיבוב‬ ‫ציקלי של העלים בדרגה השנייה‪ ,‬ו־‪ b, c, d‬לא יפעלו כלל על התת־עצים האמצעיים )אלא רק על ‪ (1, k‬ואז‬ ‫יפעלו כמו עם חבורת גריגורצ'וק‪.‬‬ ‫חבורה דומה‬ ‫לעצמה‬ ‫הגדרה ‪ :50‬קבוצת איזומורפיזם ‪ S‬של העץ ‪ T‬דומה לעצמה )‪ (Self similar‬אם לכל ‪ σ ∈ S‬ולכל קודקד ‪u ∈ T‬‬ ‫הצמצום )‪ σ|T (u‬אף הוא ב־ ‪.S‬‬ ‫‪7‬‬ ‫מכפלות שזורות‬ ‫‪ N C G ,G = HN‬ו־}‪ .H ∩ N = {1‬אם נדע מהו ‪ ,H‬מהו ‪ N‬ומהי ההעתקה ) ‪ H → Aut (N‬אזי נוכל לדעת‬ ‫במפורש מהי ‪.G‬‬ ‫נניח שיש לנו שתי חבורות‪ ,A, B ,‬ויש לנו העתקה ‪) B → SΩ‬תמורות על הקבוצת ‪ .(Ω‬נסתכל על המכפלה‬ ‫∼ ‪ .Aω‬ואז החבורה ‪ B‬פועלת באופן טבעי על ‪ .C‬לכל ‪ ,σ ∈ B‬אם‬ ‫הישרה ) ‪ C = (×ω∈Ω Aω‬כך ש־‪= A‬‬ ‫‪ ,σ (ω1 ) = v1‬אזי איפה שכתוב בסדרה )שכן כל איבר ב־ ‪ C‬הוא סדרה באורך |‪ ,(|Ω‬אם כתוב ‪ ω1‬נכתוב‬ ‫במקום זה ‪ .v1‬לכן )‪ B → Aut (C‬באופן טבעי‪ .‬נקבל מבנה של מכפלה חצי־ישרה‪ .‬נסמן את המבנה הזה‬ ‫) ‪.Aω1Ω B = B (×Aω‬‬ ‫‪8‬‬ ‫אוטומטים סופיים‬ ‫‬ ‫נדבר בפרק זה על חבורות המוגדרות על ידי אוטמטיים סופיים‪.‬‬ ‫יש חבורות הנקראות "חבורות אוטומטיות"‪ ,‬ולא על זה נדבר!‬ ‫‪19‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪8.1‬‬ ‫חסמים משופרים לחבורת גריגורצ'וק‬ ‫חבורת גופטה־סידקי‬ ‫הערה ‪ :51‬היו עם הנושא הזה תקוות גדולות‪ ,‬אבל בסוף לא נראה שכרגע זה משיג את התקוות שתלו בזה‪.‬‬ ‫הגדרה ‪ :52‬אוטומט סופי מדרגה ‪ k‬הוא גרף סופי מכוון ומתוייג ושמכל קדקוד יוצאות ‪ k‬צלעות‪ .‬הצלעות‬ ‫מתויגות על ידי כל הספרות }‪ .{1, . . . , k‬ולכל קדקוד יש תיוג שהוא איבר בחבורה הסימטרית ‪.Sk‬‬ ‫אוטומט סופי ממעלה ‪ k‬מגדיר תת־חבורה נ"ס ל חבורת האוטומורפיזם של עץ ‪k‬־רגולרי עם שורש‪ .‬איך הוא‬ ‫פועל? כל קדקוד בעץ ‪k‬־רגולרי ניתן לתיוג על ידי הספרות }‪ ,{1, . . . , k‬אם הוא במרחק ‪ n‬מהשורש‪ ,‬אזי התיוג‬ ‫יהיה באורך ‪ ,n‬וכל צלע תהיה בהתאם למסלול שלו מהשורש‪ ,‬ובהתאם לתיוג קבוע של הצלעות בעץ‪.‬‬ ‫כעת אנחנו יכולים ללכת במסלול המוגדר על ידי התיוג באורך ‪ n‬ולפי הצלעות בחבורה‪ ,‬ובכל קדקוד נקבל‬ ‫איבר של ‪ .Sk‬זו ההעתקה ששומרת על המבנה של העץ‪.‬‬ ‫‪8.1‬‬ ‫חבורת גופטה־סידקי‬ ‫בנייה מעט מאוחרת לבנייה של גריגורצ'וק בשיטה דומה‪.‬‬ ‫ בונים עץ ‪p‬־ארי‪ ,‬כאשר ‪ p‬ראשוני אי־זוגי‪ .‬בונים חבורה ‪ G = ha, bi‬כאשר )‪ a = (1, 2, . . . , p‬ו־‬ ‫‪ .b = a, a−1 , 1, 1, . . . , 1, b‬עבור כל ‪ p‬ראשוני אי־זוגי זו חבורת ‪ p‬אינסופית‪ .‬נשים לב שזו לא חבורה הדומה‬ ‫לעצמה‪ ,‬שכן צריך את הזהות וצריך את ‪.a−1‬‬ ‫עבודה להוכיח שזו חבורת ‪ p‬אינסופית‪.‬‬ ‫‪8.2‬‬ ‫חבורת פבריגורסקי־גופטה‬ ‫זו חבורה שכן יודעים שיש לה גידול ביניים‪ .‬עץ מדרגה ‪.3‬‬ ‫ו־)‪.b = (a, 1, b‬‬ ‫הם הוכיחו שמתקיים‬ ‫‪n(log log n)2‬‬ ‫‪log n‬‬ ‫‪< Sn < e‬‬ ‫‪log 3‬‬ ‫‪log 6‬‬ ‫מגדירים ‪ ,G = ha, bi‬כאשר )‪a = (123‬‬ ‫‪en‬‬ ‫העבודה של קוסטה היא לעבוד על החבורה הזו‪.‬‬ ‫‪9‬‬ ‫מערכות דינמיות‬ ‫יהי מרחב ‪ S‬והעתקה ‪ f : S → S‬ומסתכלים מה קורה כאשר מפעילים אותה כמה פעמים — ) ‪.(f (x) , . . . , f n (x) . . .‬‬ ‫‪ S‬יכול להיות מרחב טופולוגי או מרחב מידה‪ ,‬ו־ ‪ f‬רציפה או פונקציה מדידה‪ .‬זה יכול להיות גם מערכת‬ ‫אלגברית‪ ,‬חבורה ואנדומורפיזם‪.‬‬ ‫דוגמה‪ :‬השדה ‪ C‬עם הפונקציה ‪ f (z) = z 2 + c‬כאשר ‪ .c ∈ C‬ככה נראים רוב הפרקטלים‪ ,‬מנדלברוט‬ ‫∞))‪ (f n (x‬מחזורית? או מתקבעת? לדוג'‪,‬‬ ‫וכו'‪ .‬יש הרבה שאלות שניתן לשאול‪ .‬לדוגמה‪ ,‬ממתי הסדרה ‪n=1‬‬ ‫עבור ‪ f (z) = z 2 − 1‬נקבל כי ‪ f (0) = −1‬ו־‪ f (−1) = 0‬וקיבלנו מחזור באורך ‪ .2‬אפשרות אחרת היא‬ ‫‪ ,f2 (x) = z 2 + i‬נקבל ‪ f2 (−i) = −1 + i ,f2 (−1 + i) = −i ,f2 (i) = −1 + i ,f2 (0) = i‬וקיבלנו מחזור‬ ‫באורך ‪ .4‬נשים לב כי כדי למצוא מחזור נכתוב )‪ — fcn (0) = fcm (0‬נקבל משוואה פולינומיאלית ב־‪ C‬ולכן‬ ‫יש לה מספר סופי של פתרונות‪ ,‬ואלו המקומות בהם יש מחזור‪ .‬נוריד את המישור בלי הנקודות האלה‪ ,‬זהו‬ ‫מישור עם חורים‪ ,‬ונסתכל על החבורה היסודית שלו — )‪) Π1 (C\ {f n (0)} , z‬אין זה משנה איזה ‪ z‬לוקחים‪ ,‬כי‬ ‫המרחב עדיין קשיר־מסילתית(‪.‬‬ ‫‪10‬‬ ‫חסמים משופרים לחבורת גריגורצ'וק‬ ‫נחזור לחבורת גריגורצ'וק המקורית ונחסום אותה טוב יותר ‪ .Γ = ha, b, c, di‬לפני מספר שיעורים הוכחנו‬ ‫‪β‬‬ ‫‪α‬‬ ‫‪Aen ≤ SΓ (n) ≤ Ben‬‬ ‫עבור ‪ A, B ≥ 0‬ו־‪ .0 < α < β < 1‬נמצא את היחסים הכי טובים הידועים כיום )‪ .(2015‬אנחנו לא באמת‬ ‫יודעים כרגע אם החבורה של גריגורצ'וק אסימפטוטית לפונקציות כאלה‪ ,‬או שהוא מתנדנד‪.‬‬ ‫‪20‬‬ ‫‪10‬‬ ‫חסמים משופרים לחבורת גריגורצ'וק‬ ‫נסתכל על הפולינום‬ ‫‪x3 + x2 + x − 2 = 0‬‬ ‫זהו פולינום ממעלה אי־זוגית ולכן יש לו לפחות שורש ממשי אחד‪ .‬נגזור ונקבל‬ ‫‪2‬‬ ‫)‪3x2 + 2x + 1 = 2x2 + (x + 1‬‬ ‫הנגזרת חיובית ולכן הפולינום מונוטוני עולה ממש תמיד‪ ,‬ולכן יש בדיוק שורש ממשי יחיד‪ .‬נסמן את השורש‬ ‫‪ η0 = 0.811 . . .‬מספר אי־רציונאלי )כמובן(‪ .‬בנוסף‪ ,‬נסמן‬ ‫‪log 2‬‬ ‫‪= 0.767‬‬ ‫‪log 2 − log η0‬‬ ‫= ‪β0‬‬ ‫היות ש־ ‪ η0‬מספר אלגברי‪ ,‬נובע ש־ ‪ β0‬מספר טרנסנדנטי‪ .‬זאת לפי משפט על לוגריתם של מספר אלגברי בבסיס‬ ‫רציונאלי‪ ,‬אזי הלוגריתם יהיה טרנסנדנטי‪.‬‬ ‫‪β‬‬ ‫משפט ‪ :53‬אם ‪ β0 < β‬אזי קיים מספר ‪ B‬כך ש־ ‪.SΓ (n) ≤ Ben‬‬ ‫עובדה ‪ :54‬ניתן לקחת את ‪ ,β = β0‬אבל לא נתייחס לזה‪ .‬כל המספרים נובעים באופן ישיר מההוכחה‪.‬‬ ‫‪ .G = hSi‬ניתן‪P‬לכל איבר משקל ‪ .w (si ) = wi > 0‬קודם משקל‬ ‫תהא } ‪ S = {s1 , . . . , sd‬קבוצה סופית‪ ,‬ו־ ‬ ‫ליוצרים‪ ,‬ואז עבור ‪ x = si1 · · · · · sin‬נגדיר ‪ ,w (x) = nj=1 w sij‬כאשר אם יש יותר מהצגה אחת לוקחים‬ ‫את המשקל המינימלי‪ .‬אם נותנים לכל איבר משקל ‪ ,1‬מקבלים את האורך‪ .‬נרצה להשתמש בפונקציה הזו כאשר‬ ‫לדעתנו איברי קבוצת היוצרים לא סימטריים ממש‪ ,‬כמו במקרה שלנו בו ‪ a‬מתנהג אחרת מ־‪ .b, c, d‬נסמן‪:‬‬ ‫‪w (a) = x, w (b) = y, w (c) = z, w (d) = t‬‬ ‫‪y ≤ z + t, z ≤ y + t, t ≤ z + y‬‬ ‫ונקבל ש־‪ y, z, t‬הם בעצם שלושה קדקודים של משולש‪ .‬בנוסף‪ ,‬נסמן‬ ‫‪m = min wi , M = max wi‬‬ ‫)‪ml (n) ≤ w (n) ≤ M l (n‬‬ ‫ומתקיים‬ ‫‪C‬‬ ‫‪n‬‬ ‫≤ )‪w (x) ≤ C, l (n‬‬ ‫נגדיר באמצעות זאת פונקציית אורך חדשה‪:‬‬ ‫}‪Sn,w = # {x ∈ Γ|w (x) ≤ n‬‬ ‫ומתקיים שפונקציות האורך האלה שקולות — ‪.Sn ∼ Sn,w‬‬ ‫כעת נעבור לחבורת גריגורצ'וק‪ .‬נרצה להוכיח שקיים ‪ η < 1‬ו־‪ A > 0‬כך שמתקיים‪:‬‬ ‫)‪w (xl ) + w (xr ) ≤ η (w (x) + A‬‬ ‫‪21‬‬ ‫‪10‬‬ ‫חסמים משופרים לחבורת גריגורצ'וק‬ ‫נגדיר )‪ .A = w (a‬ניזכר בפונקציה ‪ ϕ : H → Γ × Γ‬ומתקיים‬ ‫)‪ϕ (b) = (a, c) , ϕ (c) = (a, d) , ϕ (d) = (1, b‬‬ ‫מתקיים‬ ‫)‪x + z ≤ η (x + y) , x + t ≤ η (x + z) , y ≤ η (x + t‬‬ ‫יש לנו סה"כ ‪ 6‬מערכות של אי־שוויונות ב־‪ 5‬נעלמים‪ .‬נרצה למצוא פיתרון עם ‪ η‬קטן ביותר‪ .‬נרצה להגיד‬ ‫ששלושת האי־שוויונות האחרונים צריכים להיות שוויונות‪ .‬מתקיים‬ ‫))‪x + z = η (x + η (x + t‬‬ ‫))‪x + t = η 2 (x + η (x + t‬‬ ‫ונקבל‬ ‫‬ ‫‬ ‫‪x η3 + η2 − 1 = t 1 − η3‬‬ ‫‪t = η3 + η2 − 1‬‬ ‫‪x = 1 − η3‬‬ ‫ולכן הכל נקבע לפי ‪ .η‬היות ש־‪ η < 1‬נקבל‬ ‫‪0<t<z<y‬‬ ‫ולכן‬ ‫‪y ≤z+t‬‬ ‫‪η 3 ≤ 2η 3 + η 2 + η − 2‬‬ ‫ולכן לאחר העברת אגפית ומזעור‪ ,‬נקבל את ‪.η = η0‬‬ ‫‪22‬‬