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IFBA/Processamento Digital de Sinais/Prof. Fabr´ıcio Sim˜
oes
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1
Objetivos
• Verificar o efeito da frequˆencia de amostragem sobre o sinal cont´ınuo recuperado;
• Compreender o efeito da ordem do filtro de recupera¸c˜ao.
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Sample and Hold
Na pr´atica, a convers˜
ao anal´
ogico-digital, Figura 1, usa um bloco chamado Sample and Hold que executa a etapa de
amostragem. O circuito S/H amostra e ret´em um n´ıvel de tens˜ao durante o intervalo T (tempo de amostragem), ver
Figura 1. Nesse per´ıodo, o bloco Quantiza¸c˜
ao/Codifica¸c˜ao discretiza a amplitude e atribui uma palavra bin´aria (bits)
`a tens˜ao amostrada.
Sample and
x(t)
Quantização /
xo(t)
bits
Codificação
Hold (S / H)
x(t)
xo(t)
T
Fig. 1: Convers˜
ao Anal´ogico - Digital com destaque ao S / H.
O circuito Sample and Hold pode ser modelado segundo o diagrama abaixo.
x(t)
X
ho(t)
xs(t)
1
xo(t)
T
r(t)
Fig. 2: Sample and Hold - Modelo Te´orico.
O sinal r(t) ´e um trem de impulsos dado por
r(t) =
∞
X
δ(t − nT ).
(1)
x(nT )h(t − nT ).
(2)
n=−∞
O sinal de sa´ıda xo (t) ´e dado por
∞
X
xo (t) =
n=−∞
A Transformada de Fourier de xo (t) ´e dada por
Xo (ω) =
1X
(X(ω − kωa )) AT sinc(ωT /2)e−jωT /2 ,
T
(3)
k
onde X(ω) ´e a Transformada de Fourier de x(t).
Segundo a Figura 3 (a), o processo de recupera¸c˜ao do sinal consiste em um bloco decodificador, onde os bits de
entrada s˜ao convertidos, segundo a regra de quantiza¸c˜ao do conversor A/D, em n´ıveis de tens˜ao. E por u
´ltimo, um
´ importante ressaltar que devido a
filtro recupera a forma de onda original do sinal, aqui representada por xr (t). E
quantiza¸c˜ao, xr (t) ´e ligeiramente diferente de x(t) devido ao ru´ıdo de quantiza¸c˜ao.
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bits
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xo(t)
Decodificador
xr(t)
hr(t)
Filtro de recuperação
(a)
x(t)
xs(t)
xo(t)
ho(t)
X
hr(t)
xr(t)
r(t)
(b)
Sample and Hold
Fig. 3: Recupera¸c˜ao do sinal cont´ınuo x(t).
O sinal de sa´ıda do decodificador ´e similar ao sinal de sa´ıda do sample and hold. Por isso, para facilitar a an´alise,
pode-se considerar que a sa´ıda do decodificador ´e xo (t) portanto, segundo a Figura 3 (b), ´e poss´ıvel usar o modelo
te´orico do Sample and Hold para estudar a recupera¸c˜ao do sinal anal´ogico.
O sinal xs (t) na entrada do sistema ho (t) ´e obtido a partir do produto entre x(t) e o sinal r(t), Equa¸c˜ao 1. A
Transformada de Fourier do sinal xs (t) ´e dada por
Xs (ω) =
1X
X(ω − kωa ),
T
k
ilustrada na Figura 4.
Os blocos ho (t) e hr (t) podem ser combinados formando um bloco u
´nico com resposta ao impulso h(t) com sinal
de entrada xs (t).
Xs(w)
X(w)
x(t)
X
Filtro h(t)
xs(t)
T
...
...
r(t)
w
(a)
−wc
wc
w
(b)
Fig. 4: Amostragem no dom´ınio da frequˆencia: Modelo Cl´assico.
Segundo a Figura 4, para recuperar o sinal ´e proposto um filtro ideal com resposta em frequˆencia H(ω) dada por
T, para |ω| < ωc
H(ω) =
0, para ωc < |ω| ≤ π/T.
Combinando o modelo cl´
assico de amostragem com o da Figura 3 (b), o filtro H(ω) ´e dado por Ho (ω)Hr (ω), ent˜ao
Hr (ω)
=
=
T
H(ω)
=
Ho (ω)
AT sinc(ωT /2)e−jωT /2
1
Asinc(ωT /2)e−jωT /2
(4)
(5)
Conv´em lembrar que a equa¸c˜
ao acima ´e resultado de uma idealiza¸c˜ao do filtro h(t). Por isso, o filtro de recupera¸c˜ao
Hr (ω) tal como est´a escrito acima n˜
ao ´e realiz´
avel. Na pr´atica, esse filtro ´e aproximado.
3
Atividades
1. Deduza as equa¸c˜
oes 2 e 3.
2. O sistema da Figura 5 representa um processo de amostragem (bloco Sample and Hold) e recupera¸c˜ao do sinal
(filtro passa-baixa). Monte o sistema no Simulink.
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Fig. 5: Amostragem e Recupera¸c˜ao do Sinal
O sinal de entrada est´
a armazenado no arquivo sinal3.mat. Carregue no MatLab o sinal a partir do comando
load sinal3.mat. O sinal ilustrado na Figura 6 ´e produzido por plot(dados(1,:),dados(2,:)).
Fig. 6: Sinal x(t)
Execute os passos a seguir:
(a) Determine a frequˆencia m´
axima do sinal;
(b) Estabele¸ca a frequˆencia de corte (passband edge frequency) do filtro passa baixa. O filtro ´e de primeira
ordem.
(c) Execute a simula¸c˜
ao para as frequˆencias de amostragem iguais a 80kHz, 60kHz e 30kHz e verifique os
gr´aficos.
(d) Considere a frequˆencia de amostragem igual a 60kHz e configure a ordem (order) do filtro para 10. Verifique
os resultados.
3. O aluno deve entregar o trabalho em formato de artigo segundo o modelo apresentado no site:
www.ifba.edu.br/professores/fsimoes