1. No category

3
26
STATIKA
3 statika
3.1
sile
1. S kolik²no silo privla£i² k sebi Zemljo?
Rp: Po 3.Newtonovem zakonu je sila s katero privla£im Zemljo nasprotno enaka sili s katero
Zemlja privla£i mene - to je teºo!
Torej:
F~ = −F~g
Velikosti obeh sil sta enaki:
F = Fg = mg = 100 kg · 10 m/s2 = 1000 N
2. S kolik²no silo privla£i kamen z maso 2 kg Zemljo?
Rp: Po 3.Newtonovem zakonu je sila s katero kamen privla£i Zemljo nasprotno enaka sili s
katero Zemlja privla£i kamen - to je teºo!
Torej:
F~ = −F~g
Velikosti obeh sil sta enaki:
F = Fg = mg = 2 kg · 10m/s2 = 20 N
in to je to ;)
3. ƒe na vzmet obesi² 0,3 kg, se raztegne za 1,5 cm.
Izra£unaj koecient vzmeti!
Za koliko se
vzmet raztegne, £e nanjo obesi² 0,5 kg?
Rp: Hookov zakon
m1 = 0.3 kg
x1 = 1.5 cm = 0.015 m
m2 = 0.5 kg
F = k · x0
F
x0
k=
k=
k=
g·m
x0
10 m/s2 · 0.3 kg
0.015 m
k = 200 kg/s2
x2 =
x2 =
x2 =
F
k
m·a
k
0.5 kg · 10 m/s2
200 kg/s2
x2 = 0.025 m = 2.5 cm
4. Vzmet se raztegne 2,5 cm, £e nanjo obesi² 0,5 kg. Izra£unaj koecient vzmeti! Koliko moramo
obesiti na vzmet, da bo raztezek 3 cm?
Rp: Ali vidite kak²ne vzporednice z prej²njo nalogo???
3
27
STATIKA
Slika 9: To je za fazane.
5. Razstavi silo
F
na komponenti
glede na vodoravnico za
30◦ .
Fx
in
Fy
ter izra£unaj njuni vrednosti! Sila
F = 4 N je nagnjena
Nalogo re²i ra£unsko in gra£no!
Rp: Predpostavljam da je vodoravnica pravzaprav
Fx .
F~x + F~y = F~
Hmm to se fazani u£ijo. . . ²koda da ne znajo kotnih funkcij.
No fazani mate tm eno lepo slikco.. pa se znajdte.
sin 30◦ =
Fy
F
Fy = F · sin 30◦
Fy = 4 N ·
1
2
Fy = 2 N
cos 30◦ =
Fx
F
Fx = cos 30◦ · F
Fx =
√
3
· 4N
2
√
Fx = 2 3 N
6. Razstavi silo F na komponenti
glede na vodoravnico za
Rp: kot zgoraj
7. Razstavi silo
F
in
Fy
ter izra£unaj njuni vrednosti! Sila
F = 5 N je nagnjena
na komponenti
70◦ .
Fx
in
Fy
ter izra£unaj njuni vrednosti! Sila
F = 4 N je nagnjena
in
Fy
ter izra£unaj njuni vrednosti! Sila
F = 8 N je nagnjena
Fx = 1, 37 N, Fy = 3, 76 N
8. Razstavi silo
F
na komponenti
glede na vodoravnico za
Rp:
Fx
Nalogo re²i ra£unsko in gra£no!
Fx = F cos ϕ Fy = F sin ϕ
glede na vodoravnico za
Rp:
60◦ .
20◦ .
Fx
Fx = 7, 52 N, Fy = 2, 74 N
3
28
STATIKA
9. Fotografski aparat z maso 1,5 kg stoji na stativu, ki ima tri noge. Kot med nogami stativa je
120◦ ,
kot med posamezno nogo stativa in navpi£nico pa
30◦ .
S kolik²no silo pritiska fotoaparat
na vsako nogo stativa?
10. Cestna svetilka visi na sredi 10 m dolge ºice, ki je napeta preko ceste. Zaradi teºe svetilke 50 N
se ºica na sredini povesi za 50 cm. S kolik²no silo je napeta ºica?
11. Sliko, ki tehta 60 N, bi radi obesili na steno. Imamo vrvico, ki se strga pri sili, ve£ji od 60 N.
Koliko najve£ sta lahko narazen pritrdi²£i vrvice, £e je le-ta dolga 50 cm?
12. Lok ima tetivo z dolºino 1,5 m. S kolik²no silo moramo napeti lok, £e je tetiva napeta s silo
200 N, kadar jo potegnemo za 20 cm k sebi?
13. Na dva dinamometra pritrdi² uteº z maso
pa pod kotom
30◦
500 g.
En dinamometer vle£e² vodoravno, drugega
stopinj glede na vodoravnico. Koliko pokaºeta dinamometra?
14. Na dva dinamometra pritrdi² uteº z maso
pa je nagnjen za kot
45◦
400 g.
Prvi dinamometer vle£e uteº vodoravno, drugi
stopinj glede na vodoravnico. Kolik²no silo pokaºeta dinamometra?
Za kolik²en kot moramo nagniti drugi dinamometer, da bo pokazal trikrat toliko, kot pokaºe
prvi dinamometer?
15. Na dva dinamometra je pritrjena uteº z maso
45◦
200 g.
Oba dinamometra sta nagnjena za kot
glede na navpi£nico. Kolik²no silo pokaºeta dinamometra? Kolik²en mora biti ta kot, da
vsak dinamometer pokaºe enako vrednost, kot je sila teºe?
Rp: ravnovesje sil:
F =
F
√g
2
pri kotu
=
2
√N
2
= 1, 41 N
ϕ = 60◦ ,
kajti tedaj leºijo sile na stranicah enakostrani£nega trikotnika
16. Na dva dinamometra je pritrjena uteº z maso
30◦
200 g.
Oba dinamometra sta nagnjena za kot
glede na navpi£nico. Kolik²no silo pokaºeta dinamometra? Kolik²en mora biti ta kot, da
vsak dinamometer pokaºe enako vrednost, kot je sila teºe?
Rp:
F = 1, 155 N
17. Na dva dinamometra je pritrjena uteº z maso 200 g. Oba dinamometra sta nagnjena za enak
kot glede na navpi£nico. Kolik²en mora biti ta kot, da dinamometra pokaºeta enako vrednost
kot je sila teºe?
18. Na dva dinamometra je pritrjena uteº z maso 200 g. Oba dinamometra sta nagnjena za enak
kot glede na navpi£nico. Kolik²en mora biti ta kot, da dinamometra pokaºeta dvakrat ve£jo
vrednost kot je sila teºe?
19. Na telo delujeta sili F =8 N in F =12 N tako da je med njima kot
30◦ .
Koliko je velikost
rezultante? Nalogo re²i ra£unsko in gra£no!
20. Na telo delujeta sili F = 15 N in F = 10 N tako da je med njima kot
60◦ .
Koliko je velikost
rezultante? Nalogo re²i ra£unsko in gra£no!
21. V sredi²£u kvadratne plo²£e delujejo v ravnini sile 2 N proti ogli²£u A, 4 N proti ogli²£u B, 6 N
proti ogli²£u C in 8 N proti ogli²£u D. Dolo£i smer in velikost rezultante! Nalogo re²i ra£unsko
in gra£no!
22. Na telo delujeta sili 5 N in 7 N tako da je med njima kot
30◦ .
Koliko je velikost rezultante?
60◦ .
Koliko je velikost rezultante?
Nalogo re²i ra£unsko in gra£no!
23. Na telo delujeta sili 5 N in 10 N tako da je med njima kot
Nalogo re²i ra£unsko in gra£no!
24. Izra£unaj rezultanto sil 20 N in 15 N, £e
(a) imata sili enako smer
(b) imata sili nasprotno smer
(c) imata skupno prijemali²£e in oklepata kot
90◦ !
3
29
STATIKA
Nalogo re²i ra£unsko in gra£no!
Rp: primer se²tevanja vektorjev:
Fa = 20 N + 15 N = 35 N
Fb = 20 N − 15 N = 5 N
p
Fc = (20 N)2 + (15 N)2 = 25 N
25. Izra£unaj rezultanto sil 20 N in 15 N, £e
(a) imata sili enako smer
(b) imata sili nasprotno smer
(c) je med silama pravi kot!
Rp: primer se²tevanja vektorjev kot zgoraj:
Fa = 28 N
Fb = 4 N
Fc = 20 N
26. Izra£unaj rezultanto sil 4 N in 5 N, £e
(a) imata sili enako smer
(b) imata sili nasprotno smer
(c) imata skupno prijemali²£e in oklepata kot
90◦ !
(d) imata skupno prijemali²£e in oklepata kot
60◦ !
Nalogo re²i ra£unsko in gra£no!
27. Izra£unaj rezultanto sil 4 N in 3 N, £e
(a) imata sili enako smer
(b) imata sili nasprotno smer
(c) imata skupno prijemali²£e in oklepata kot
90◦ !
(d) imata skupno prijemali²£e in oklepata kot
60◦ !
Nalogo re²i ra£unsko in gra£no!
28. Izra£unaj maso svetilke, £e je sila v vrvi AC enako 140 N, v drogu AB pa 100 N! Nalogo re²i
ra£unsko in gra£no! Glej sliko 10!
1111
0000
0000
1111
0000
1111
0000C
1111
0000
1111
0000
1111
0000
1111
0000
1111
0000
1111
0000
1111
0000
1111
0000
1111
0000
1111
0000B
1111
0000
1111
A
Slika 10: Svetilka na steni.
29. Izra£unaj maso svetilke, £e je sila v vrvi CB enaka 8 N, v drogu AB pa 6 N! Nalogo re²i ra£unsko
in gra£no! Glej sliko 11!
30. Napi²i vse 3 Newtonove zakone s simboli in besedami!!! Napi²i vse zaviralne sile. Posebej silo
upora (skupina b=trenja)
3
30
STATIKA
1111
0000
0000
1111
C
0000
1111
0000
1111
0000
1111
0000
1111
0000
1111
0000
1111
0000
1111
0000
1111
0000
1111
0000
1111
0000
1111
0000
1111
0000A
1111
B
Slika 11: Svetilka na steni.
Rp: 1.Inercija ali vztrajnost : telo vztraja v svojem gibanju , £e ga ne zmoti nobena zunanja
sila. ƒe in samo £e je vsota vseh sil na telo enaka 0, potem telo miruje ali pa se giblje
premo-enakomerno.
2.: vsota zunanjih sil na opazovano telo je produktu med maso telesa in njegovim pospe-
²kom.
3.reakcija : ƒe 1. telo deluje na 2. telo z neko silo, potem tudi 2. telo deluje na 1. telo z
nasprotno enako silo.
Zaviralne sile : LEPENJE, TRENJE, UPOR.
TRENJE: deluje med nekim telesom in neko stvarjo (tla, drugo telo. . . ).
Telo se pri trenju GIBLJE.
LEPENJE: deluje med nekim telesom in neko stvarjo (tla, drugo telo. . . ).
Telo se pri lepenju NE GIBLJE.
UPOR: (npr.zraka):ko neko telo npr. pada s stolpnice ima manj²i pospe²ek od
9, 81 m/s2 ,
ker ga upor zraka zaustavlja. Tako telo pade na tla z manj²o hitrostjo, kot pa bi pri padu
brez upora zraka (prosti pad).
NE POZABI NAPISATI NEWTONOVE ZAKONE ’E S SIMBOLI!!!!!
31. Dva silomera sta nagnjena za 45 stopinj glede na navpi£nico. Na silomera je pritrjena kroglica
z maso 400 g.
Koliko pokaºeta silomera?
Za kolik²en kot glede na navpi£nico morata biti
nagnjena silomera, da pokaºeta 2 krat ve£jo silo, kot je pa teºa kroglice?
Rp: Nari²emo in sile sestavimo v trikotnik.
−Fg
Fsilomera
Fsilomera
Fg
Slika 12: Dva dinamometra.
Fkroglice = 4 N
RAZBEREMO Z SLIKE 12:
Fsilomera =
Fg
2
·
√
2 = 2 N · 1, 41 = 2, 8 N
£e naj silomera pokaºeta 2 krat ve£jo silo, potem mora vsak kazati 8 N, ne pa 4 N in zato
trikotnik ni ve£ enakostrani£ni - je pa naloga teºja;)
velja:
cos α =
Fg
2
Fsilomera
3
31
STATIKA
ker je:
Fsilomera = 2Fg
sledi:
cos α =
in
1
4
α = 75, 6◦
32. Gostota bakra je
8, 9 g/cm3 .
Kako dolgo ºico s premerom
Rp: polmer ºice je samo polovica premera
2 mm
lahko naredi² iz
3 kg
bakra?
r = 1 mm
m = ̺V = ̺Sl = ̺πr2 l
l=
33. Gostota aluminija je
plo²£e
2, 7 g/cm3 .
m
= 107, 3 m
̺πr2 l
Koliko je vi²ina Al plo²£e s stranicama
3m
in
4 m,
£e je masa
6 kg?
Rp:
m = ̺V = ̺Sh = ̺abh
m
= 0, 185 mm
h=
̺ab
34. Boja s polmerom 1,11 dm je pritrjena z ºico na dno morja, tako da je boja tik pod gladino.
Teºa boje je 30 N. Predpostavi, da ima morska voda enako gostoto kot sladka voda.
(a) sila vzgona
(b) sila ºice
(c) koliko % boje je pod vodo, £e se ºica strga in boja splava na povr²je
Rp:
V =
gostota
H2 O
je
4
· π · r3 = 5, 7 dm3
3
1 kg/dm3
a)
Fv = ̺tekoc”ine · V · g = 1 kg/dm3 · 5, 7 dm3 · 10 m/s2 = 57 N
b)
Fz = Fv − Fg = 57 N − 30 N = 27 N
c)
̺boje =
3 kg
m
=
= 0, 53 kg/dm3
V
5, 7 dm3
⇒ 53%
53% boje je pod vodo
35. Okrogla boja s polmerom
0, 91 dm,
ki je teºka
20 N,
je pritrjena na morsko dno s kovinsko ºico
tako, da je popolnoma potopljena. V ra£unih predpostavi, da je gostota morske vode enaka
gostoti sladke vode!
(a) Kolik²na je sila vzgona na bojo?
(b) S kolik²no silo je napeta ºica?
(c) šica se strga in boja priplava na gladino. Kolik²en del njene prostornine ostane pod vodo?
V = 34 πr3 = 3, 14 dm3
sila vzgona: Fv = ̺v gV = 31, 4 N
sila, s katero je napeta ºica: F = Fv − Fg = 11, 4 N
Rp: prostornina boje:
del ºoge pod vodo:
V′
V
=
̺v gV ′
̺v gV
=
Fg
Fv
= 0, 635
36. Okrogla boja s polmerom 1,11 dm, ki je teºka 30 N, je pritrjena na morsko dno s kovinsko ºico
tako, da je popolnoma potopljena. V ra£unih predpostavi, da je gostota morske vode enaka
gostoti sladke vode!
3
32
STATIKA
(a) Kolik²na je sila vzgona na bojo?
(b) S kolik²no silo je napeta ºica?
(c) šica se strga in boja priplava na gladino. Kolik²en del njene prostornine ostane pod vodo?
37. Pri merjenju mase kovanca smo kovance polagali v valjasto posodo in merili, koliko je vi²ina
potopljenega dela posode. Peter je nameril naslednje podatke.
Premer posode je
d = 2, 257 cm in zato
N , vi²ino
je presek valjaste posode
kovancev v posodi je ozna£il z
S = πr2 = 4 cm2 . ’tevilo
h. Izmerjene podatke
potopljenega dela posode pa s
je zapisal v tabelo.
N
h [cm]
4
5
6
7
8
9
10
9,4
10,3
12
13,49
15
16,9
17,6
Nari²i graf prostornine potopljenega dela posode v odvisnosti od ²tevila kovancev! Koliko je
masa enega kovanca? Koliko je masa valjaste posode?
Vsˇ
Rp: Vnesemo to£ke v graf, kjer od£itamo
in
V1 .
To£ke naj bodo jasno vidne, premico
nari²emo tako, da se kar najbolj prilega to£kam.
.
.
.
.
h1 = 1, 5 cm, V1 = 6 cm3 , m1 = 6 g, msˇ = 12 g
38. Pri merjenju mase kovanca smo kovance polagali v valjasto posodo in merili, koliko je vi²ina
potopljenega dela posode. Peter je nameril naslednje podatke.
Premer posode je
d = 2, 257 cm in zato
N , vi²ino
kovancev v posodi je ozna£il z
je presek valjaste posode
S = πr2 = 4 cm2 . ’tevilo
h. Izmerjene podatke
potopljenega dela posode pa s
je zapisal v tabelo.
N
h [cm]
4
5
6
7
8
9
10
8,2
10,05
11
12,25
13,5
14,45
16,3
Nari²i graf prostornine potopljenega dela posode v odvisnosti od ²tevila kovancev! Koliko je
masa enega kovanca? Koliko je masa valjaste posode?
Rp:
.
.
.
.
h1 = 1, 25 cm, V1 = 5 cm3 , m1 = 5 g, msˇ = 14 g
39. šoga ima maso
400 g
in £e plava na vodi, je
20%
njene prostornine potopljene.
(a) Katere sile delujejo na ºogo, kadar plava in kako velike so?
(b) S kolik²no silo je potrebno potisniti ºogo, da jo popolnoma potopimo pod vodo?
(c) S kolik²nim pospe²kom se za£ne ºoga dvigovati, £e jo spustimo iz globine enega metra. V
za£etnem trenutku lahko zanemarimo silo upora!
Rp: grremo po vrsti:
(a)
(b)
(c)
Fg = Fv′ = 4 N
F = Fv − Fg = 16 N
a = F/m = 40 m/s2
40. šoga ima maso
s silo
F = 15 N,
400 g.
ƒe jo potopimo en meter pod vodno gladino, jo moramo ti²£ati navzdol
da se ne dvigne.
(a) S kolik²nim pospe²kom se za£ne ºoga dvigovati, £e jo spustimo iz globine enega metra. V
za£etnem trenutku lahko zanemarimo silo upora!
(b) Katere sile delujejo na ºogo, kadar plava in kako velike so?
(c) Kolik²en del (koliko procentov) ºoge ostane potopljen pod vodo, ko ºoga priplava na
povr²je?
Rp: grremo po vrsti:
(a) pospe²ek
a=
F
m
=
15 N
0,4 kg
= 37, 5 m/s2
(b) kadar telo plava nanj delujeta teºa
teºa velika
F g = 4 N,
Fg
in vzgon
Fv′ ;
sili sta nasprotno enaki ker je
je velikost sile vzgona prav tolik²na
deluje le na tisti del ºoge, ki je potopljen
Fv′ = 4 N
seveda, vzgon
3
33
STATIKA
(c) razmerje med potopljeno prostornino ºoge, ko plava
V′
in celotno prostornino
V
je
enako razmerju med vzgonom na ºogo, ko plava, in vzgonom na ºogo, ko je popolnoma
potopljena:
4N
̺v gV ′
F′
V′
=
= v =
= 0, 21 = 21%
V
̺v gV
Fv
15 N + 4 N
saj je sila vzgona na ºogo, ko je popolnoma potopljena enaka vsoti sile teºe in sile, s
katero moramo ti²£ati ºogo pod vodo.
41. Koliko je gostota Zemlje, ki ima maso
42. Koliko je gostota Sonca, ki ima maso
6 · 1024 kg
2 · 1030 kg
in radij
in radij
6400 km?
700000 km?
43. Izra£unaj, koliko kg lahko nosi balon, ki je napolnjen s
0, 08 kg/m
3
, gostota zraka pa
1, 2 kg/m
3
b.
vodika! Gostota vodika je
!
44. Ko na vzmet obesimo uteº, se vzmet raztegne za
tedaj raztegne
1000 m3
a.
Nato uteº potopimo v vodo. Vzmet se
Maso uteºi smo pozabili stehtati, vemo pa, da je
a > b.
Koliko je gostota
uteºi? Rezultat izrazi z gostoto vode in obema raztezkoma!
45. Ko na vzmet obesimo uteº, se vzmet raztegne za
tedaj raztegne
y.
x.
Nato uteº potopimo v vodo. Vzmet se
Maso uteºi smo pozabili stehtati, vemo pa, da je
x > y.
Koliko je gostota
uteºi? Rezultat izrazi z gostoto vode in obema raztezkoma!
46. Ko na vzmet obesimo uteº z maso
Vzmet se tedaj raztegne
5 cm.
200 g,
se vzmet raztegne
7 cm.
Nato uteº potopimo v vodo.
Koliko je gostota uteºi?
Rp: kombiniramo Hookov zakon in Arhimedov zakon
po varianti a) izra£unamo koecient proºnosti
k=
Fg
x1
(= 2/4 N/cm = 0, 286 N/cm);
no
saj nam ra£una ni treba kon£ati!
nato silo vzgona:
Fv = k(x1 − x2 ) =
Fg
x1 (x1
− x2 )
4N
7 )
(=
nato pa iz razmerja med teºo in vzgonom izra£unamo gostoto uteºi:
̺V g
̺
Fg
=
=
Fv
̺v V g
̺v
⇒
̺ = ̺v
Fg
̺v x 1
kg
=
= 3, 5
Fv
x1 − x2
dm3
po varianti b) ravno tako izra£unamo koecent proºnosti
k
ter silo vzgona
x 2 ) = ̺v V g
Fv = k(x1 −
nadaljujemo malo druga£e:
̺=
m
=
V
m
k(x1 −x2 )
̺v g
=
kx1 ̺v
̺v x 1
kg
mg̺v
=
=
= 3, 5
k(x1 − x2 )
k(x1 − x2 )
x1 − x2
dm3
in zanimivo rezultat sploh ni odvisen od koecienta proºnosti vzmeti!
47. Kocka iz stiropora plava na vodi.
stranice,
7 cm
Stranica kocke je dolga
8 cm.
V vodo je potopljen
1 cm
pa so zunaj.
(a) Koliko je gostota stiropora?
(b) Koliko je sila vzgona, ki deluje na kocko?
(c) Koliko je teºa kocke?
(d) Kolik²no breme ²e lahko poloºimo na kocko, ne da potone?
Rp:
̺s
Fv
Fg
Fg′
= 0, 125 kg/dm3
= 64 mN
= 64 mN
= 448 mN
48. Kocka iz lesa plava na vodi. Stranica kocke je dolga
5 cm
pa so zunaj.
12 cm.
V vodo je potopljeno
7 cm stranice,
3
34
STATIKA
(a) Koliko je gostota lesa?
(b) Koliko je sila vzgona, ki deluje na kocko?
(c) Koliko je teºa kocke?
(d) Kolik²no breme ²e lahko poloºimo na kocko, ne da potone?
Rp: Arhimedov zakon!
̺l = ̺v ha = 0, 583 kg/dm3
Fv = ̺v gV = ̺v ga2 h = 10, 08 N
Fg = 10, 08 N
h
Fg′ = Fv0 − Fg = ̺v ga3 − ̺l ga3 = ̺v ga3 − ̺v ga3
a
a
−
h
5
cm
Fg′ = ̺v ga2 (a − h) = Fv
= Fv
= 7, 2 N
h
7 cm
49. Na telo delujeta v isti to£ki dve sili:
F1 = 10 N
in
F2 = 20 N.
Izra£unaj velikost in smer
rezultante, £e:
(a) sili delujeta vodoravno proti desni?
(b) prva deluje vodoravno proti levi, druga pa vodoravno proti desni?
(c) prva deluje navpi£no navzgor, druga pa vodoravno proti levi?
50. Enaki sili oklepata pravi kot, imata velikost
10 N
in prijemljeta v isti to£ki. Poi²£i silo z istim
prijemali²£em, ki je z njima v ravnovesju! Nalogo re²i ra£unsko in gra£no! Ne pozabi napisati
merilo za gra£no re²itev!
51. Sili
5N
in
12 N
oklepata pravi kot in prijemljeta v isti to£ki. Poi²£i silo z istim prijemali²£em,
ki je z njima v ravnovesju!
Nalogo re²i ra£unsko in gra£no!
Ne pozabi napisati merilo za
gra£no re²itev!
52. Sraka sede na vodoravno napeto telegrafsko ºico. Obkroºi!
(a) napetost ºice se ne spremeni
(b) napetost ºice se pove£a za teºo ptice
(c) napetost ºice se zmanj²a za teºo ptice
(d) napetost ºice se pove£a ve£ kot za teºo ptice
(e) napetost ºice se zmanj²a za ve£ kot za teºo ptice
53. V roki drºimo vzmetno tehtnico, na kateri visi uteº z maso
250 g.
Koliko kaºe tehtnica:
(a) ko roka miruje?
(b) ko se roka giblje navzgor s pospe²kom
1, 5 m/s2 ?
(c) ko se roka giblje enakomerno navzgor s hitrostjo
(d) ko se roka giblje navzdol s pospe²kom
54. Na vrv pod dvigalom je obe²eno breme
1, 5 m/s
150 kg.
2
0, 2 m/s?
?
S kolik²no silo breme napenja vrv,
(a) £e dvigalo miruje?
(b) £e se dvigalo giblje navzdol s pospe²kom
1, 5 m/s2 ?
(c) £e se dvigalo giblje enakomerno navzdol s hitrostjo
(d) £e se dvigalo giblje navzgor s pospe²kom
55. Teºa telesa A je
dolºine
2 cm.
1 N, teºa telesa B pa 2 N.
1 m/s?
1, 5 m/s2 ?
Sile ri²i kot usmerjene daljice;
Glej sliko 13!
(a) Na sliko 13(a) nari²i vse sile, ki delujejo na telo A!
1 N predstavi z daljico
3
35
STATIKA
A
A
B
B
(a) sile na telo A
(b) sile na telo B
Slika 13: Sile na telo A in B.
(b) Na sliko 13(b) nari²i vse sile, ki delujejo na telo B!
(c) Koliko je sila telesa A na telo B?
(d) Koliko je sila telesa B na telo A?
(e) S kolik²no silo deluje podlaga na telo B?
(f ) S kolik²no silo deluje telo B na podlago?
(g) Kolik²na je rezultanta vseh sil na telo A?
(h) Kolik²na je rezultanta vseh sil na telo B?
56. Teºa telesa A je
dolºine
1 cm.
3 N, teºa telesa B pa 1 N.
Sile ri²i kot usmerjene daljice;
1 N predstavi z daljico
Glej sliko 14!
111111111111111
000000000000000
000000000000000
111111111111111
000000000000000
111111111111111
111111111111111
000000000000000
000000000000000
111111111111111
000000000000000
111111111111111
B
B
A
A
(a) sile na telo A
(b) sile na telo B
Slika 14: Sile na telo A in B.
(a) Na sliko 14(a) nari²i vse sile, ki delujejo na telo A!
(b) Na sliko 14(b) nari²i vse sile, ki delujejo na telo B!
(c) Koliko je sila telesa A na telo B?
(d) Koliko je sila telesa B na telo A?
(e) S kolik²no silo deluje strop na telo B?
(f ) S kolik²no silo deluje telo B na strop?
(g) Kolik²na je rezultanta vseh sil na telo A?
(h) Kolik²na je rezultanta vseh sil na telo B?
3
36
STATIKA
57. Telo vle£emo s stalno hitrostjo po podlagah z razli£nimi koecienti trenja. Razmerje koecientov je
k1 : k2 : k3 = 0, 2 : 0, 04 : 0, 8.
Kolik²no je razmerje sil, s katerimi vle£emo?
F1 : F2 : F3 =
(Obkroºi! )
(a)
1:1:1
(b)
0, 8 : 0, 04 : 0, 2
(c)
10 : 2 : 40
(d)
1 : 0, 2 : 4
(e)
0, 1 : 0, 5 : 0, 025
58. Pri merjenju razteznosti vzmeti, smo namerili raztezke in sile, ki so v tabeli:
x [cm]
0,991
3,14
4,98
6,56
8,51
10,6
12,1
F [N]
0,769
2,07
3,64
4,60
6,90
7,93
8,78
Nari²i graf sile v odvisnosti od raztezka!
Koliko je koecient proºnosti?
Koliko je relativna
napaka tako dolo£enega koecienta?
59. Pri merjenju koecienta trenja, smo namerili vle£ne sile in sile teºe, ki so v tabeli:
Fg [N]
Fvl [N]
3,14
5,46
7,15
9,00
11,8
11,7
15,5
0,61
0,90
1,45
1,62
2,10
2,50
2,74
Nari²i graf sile trenja v odvisnosti od sile podlage!
Koliko je koecient trenja?
Koliko je
relativna napaka tako dolo£enega koecienta?
3.2
na klancu
1. Kolik²en je naklonski kot klanca, £e moram voz z maso 20 kg vle£i po klancu navzgor s silo
100 N, da miruje? Nalogo re²i ra£unsko in gra£no!
2. Kolik²en je naklonski kot klanca, £e moram voz z maso 20 kg vle£i po klancu navzgor s silo
100 N, da miruje? Nalogo re²i ra£unsko in gra£no!
3. Na klancu s strmino 100% leºi zaboj z maso 30 kg. Kolik²na je sila lepenja med zabojem in
podlago, £e zaboj miruje?
4. Kolik²en je naklonski kot klanca, £e klada z maso 20 kg pritiska na podlago s silo 173 N? Nalogo
re²i ra£unsko in gra£no!
◦
5. Na tiru, ki je nagnjen 10 glede na vodoravnico stoji vagon z maso
2 t.
S kolik²no silo mora²
drºati vagon, da ne zdrvi po klancu navzdol, £e je sila trenja zanemarljiva ?
6. Na klanec z naklonskim kotom
30◦
poloºimo telo z maso 40 kg. Najmanj s kolik²no silo moramo
pritiskati na telo pravokotno na klanec, da ne bo drselo po klancu navzdol? Koecient lepenja
med telesom in podlago je 0,1.
7. Na klancu z naklonskim kotom
45◦
leºi zaboj z maso 30 kg.
Kolik²na je sila lepenja med
zabojem in podlago, £e zaboj miruje?
◦
8. Na tiru, ki je nagnjen 10 glede na vodoravnico stoji vagon z maso 2 t. S kolik²no silo mora²
drºati vagon, da ne zdrvi po klancu navzdol, £e je koecient trenja
kt = 0, 01
?
9. Na klancu, ki je dolg 10 km in visok 100 m stoji vagon z maso 5 t. S kolik²no silo mora² drºati
vagon, da ne zdrvi po klancu navzdol, £e je trenje zanemarljivo majhno? Kaj pa £e je koecient
trenja 0,1?
10. Po klancu, ki je nagnjen
30◦
glede na vodoravnico, se pelje smu£ar s hitrostjo 15 m/s. Masa
smu£arja z opremo je 90 kg. Kolik²en je koecient trenja med smu£mi in snegom, £e je hitrost
smu£arja stalna?
11. S sanmi se pelje² po klancu, ki je nagnjen
30◦
glede na vodoravnico. Tvoja masa s sanmi je
70 kg. Kolik²en je koecient trenja med sanmi in snegom, £e je tvoja hitrost stalna?
3
37
STATIKA
12. Lokomotiva vle£e vrsto vagonov s skupno maso 500 ton navkreber po klancu s strmino 1,5% in
sicer s hitrostjo 30 km/h. Kolik²na sila je za to potrebna, £e ne upo²tevamo trenja in zra£nega
upora? Kolik²na pa je sila, £e upo²tevamo koecient trenja 0,05? Kolik²na je rezultanta vseh
zunanjih sil, ki delujejo na ves vlak v obeh primerih?
13. Po klancu, ki je dolg 10 km in visok 100 m pelje vlak z maso 250 t s konstantno hitrostjo 20 m/s.
Kolik²na sila je potrebna za to, £e je trenje zanemarljivo majhno? Kaj pa £e je koecient trenja
0,1? S kolik²no silo vle£e 15 t lokomotiva vagone?
14. Po klancu, ki je visok 10 m, pelje navzdol kolesar s stalno hitrostjo
pri vznoºju klanca. Sila trenja
F = 15 N
v = 12 m/s, tako da je v 40 s
zavira kolesarja. Koliko je masa kolesarja s kolesom
in kolik²en je koecient trenja?
v = 108 km/h. V £asu
F = 120 N zavira kolesarja.
15. Avtomobil pelje navzdol po klancu s stalno hitrostjo
vznoºja klanca, ki je visok 100 m.
Sila trenja
30 s pripelje do
Koliko je masa
avtomobila in kolik²en je koecient trenja?
16. Delavec se posluºi 2,4 m dolgih rant, da dvigne 3200 N teºak sod na 80 cm visok voz. S koliko
silo mora pehati sod vzporedno s klancem?
17. Lokomotiva vle£e 400-tonski vlak s stalno silo 45 kN po klancu navzgor. Koliko £asa potrebuje
vlak, da pripelje na vrh 1 km dolgega klanca, £e pelje s stalno hitrostjo 10 m/s? Koliko je vi²ina
klanca, £e trenje zanemari²? Kaj pa £e upo²teva² koecient trenja 0,002? Sod z maso 98 kg
valimo na vagon po 1,2 m visokem in 5 m dolgem klancu. Kolik²na sila je za to potrebna, £e ne
upo²tevamo trenja, in kolik²na, £e upo²tevamo koecient trenja 0,2?
18. Klin zabijemo v les s silo 160 N. S kolik²no silo pritiska klin na les, £e je £elo klina ²iroko 4,2 cm
in stranica dolga 20,5 cm? Kaj pa £e upo²tevamo ²e trenje? (k
= 0, 25)
19. Kolik²na sila mora delovati na £elo klina, ki ga zabijamo v les, £e les deluje na stranice klina
s silo 500 N? ’irina £ela je 5,4 cm in dolºina stranice klina 45 cm.
trenje? (kt
= 0, 25
Kaj pa £e upo²tevamo ²e
)
20. Vijak z radijem 1 cm ima pet navojev na enem centimetru dolºine in je postavljen tako, da je
njegova os navpi£na. Kolik²no silo v navpi£ni smeri navzdol lahko premaguje vijak, ne da bi
se za£el odvijati, £e je koecient lepenja med vijakom in podlago 0,05? Kaj pa £e upo²teva² ²e
maso vijaka 500 g?
◦
21. Na klancu, ki je nagnjen 30 glede na vodoravnico stoji voz z maso 50 kg. Koecient lepenja med
vozom in podlago je 0,2. Kako velika dodatna sila zadrºuje voz na klancu, £e vle£e vzporedno
s klancem? Kako velika sila pa mora ti²£ati voz pravokotno na klanec, da ne zdrsne?
22. Na klancu miruje telo s teºo
5 N.
Klanec je dolg
5m
in visok
3 m.
(a) Nari²i sliko v ustreznem merilu ter vse sile na telo ter jih ozna£i!
(b) Koliko je sila lepenja (to je sila trenja v mirovanju)?
(c) Najmanj koliko je koecient lepenja, da telo lahko miruje na tak²nem klancu?
(d) ƒe telo potegnemo po klancu navzdol s silo
1 N,
se premakne. Koliko je sedaj koecient
lepenja?
(e) S kolik²no silo bi morali to telo vle£i po klancu navzgor, da bi se za£elo premikati?
23. Na klancu miruje telo s teºo
10 N.
Klanec je dolg
10 m
in visok
6 m.
(a) Nari²i sliko v ustreznem merilu ter vse sile na telo ter jih ozna£i!
(b) Koliko je sila lepenja (to je sila trenja v mirovanju)?
(c) Najmanj koliko je koecient lepenja, da telo lahko miruje na tak²nem klancu?
(d) ƒe telo potegnemo po klancu navzdol s silo
1 N,
se premakne. Koliko je sedaj koecient
lepenja?
(e) S kolik²no silo bi morali to telo vle£i po klancu navzgor, da bi se za£elo premikati?
3
38
STATIKA
3.3
navor
1. Pri kolik²ni ro£ici povzro£i sila
5N
navor
3 Nm,£e
je kot med silo in ro£ico
45◦ ?
2. S kolik²no silo ²£ipljejo kle²£e ºico, kadar stiskamo ro£aje kle²£ na razdalji 15 cm od osi s silo
500 N in so £eljusti kle²£ oddaljene od osi 2,1 cm?
3. Pri kolesu na vreteno je polmer vretena 20 cm, polmer kolesa pa 60 cm. Kolik²na sila je potrebna, da dvignemo iz vodnjaka £eber z 20 l vode?
4. šelezen drog uporabimo kot vzvod za dvigovanje 800 N teºke skale.
S kolik²no silo moramo
pritisniti na drog, £e vzvod podpremo tako, da je konec s katerim dvigujemo skalo dolg 1,5 m,
konec na katerem pritiskamo pa je dolg 3 m?
5. S 4 m dolgim ºeleznim vzvodom ho£emo dvigniti 4200 N teºak voz s silo 500 N. Kje moramo
vzvod podstaviti?
6. Rimska tehtnica je sestavljena iz ºelezne palice z maso 3 kg in dolºino 70 cm. Podprta je na
£etrtini dolºine. Koliko sta najve£ja in najmanj²a masa, ki jo lahko stehtamo, £e je na dalj²em
koncu palice premi£na uteº z maso 10 kg? (namig: Kje mora stati premi£na uteº, £e tehtamo
najmanj²o maso, in kje, £e tehtamo najve£jo maso?)
7. Rimska tehtnica je sestavljena iz ºelezne palice z maso 5 kg je dolºino 50 cm. Podprta je na
£etrtini dolºine. Koliko je najve£ja in najmanj²a masa, ki jo lahko stehtamo, £e je na dalj²em
koncu palice premi£na uteº z maso 10 kg? Kje mora stati premi£na uteº, £e tehtamo najmanj²o
maso, in kje, £e tehtamo najve£jo maso?
8. Tudi z ravnilom lahko tehtamo. 30 cm ravnilo podpremo na oznaki 5 cm. Na dalj²em koncu
lahko premikamo uteº z maso 100 g. Koliko je najve£ja in koliko najmanj²a masa, ki jo lahko
stehtamo s tak²nim ravnilom, £e je breme obe²eno na koncu kraj²ega dela ravnila?
9. Na dveh stebrih sloni 6 m dolg drog. Na razdalji 2 m od levega konca je obe²eno breme 300 N.
Poi²£i sili, ki delujeta na stebra?
10. Letev z dolºino 65 cm je podprta na konceh. S kolik²no silo pritiska na vsako podporo, £e je v
razdalji 25 cm od enega konca obe²eno breme s teºo 65 N?
11. Preko 5 m ²irokega potoka je napeta brv in na njej stoji 2 m od brega 750 N teºak £lovek. S
kolik²nima silama pritiska brv na bregova?
12. 100 N teºak drog je v vodoravni legi podprt na tretjini svoje dolºine.
Z dalj²im koncem se
naslanja na tehtnico. Koliko pokaºe tehtnica?
13. Tram z dolºino 7 m je teºak 500 N. Podprt je na konceh. S kolik²no silo pritiska na vsako oporo,
£e je na razdalji 3 m od enega konca obe²eno 1000 N teºko breme?
14. Delavca nosita na kovinskem drogu 50 litersko vedro polno vode. Drog je dolg 1,5 m, vedro pa
je obe²eno en meter stran od prvega delavca. Kolik²no silo morata premagovati nosa£a?
15. Na enem koncu trama z dolºino 10 m in z maso 20 kg je obe²ena uteº za 9 kg. V kateri to£ki
moramo tram podpreti, da bo v ravnovesju?
16. Stojalo za obleke sestavlja okrogla kovinska plo²£a z maso 6 kg in polmerom 15 cm in zanemarljivo lahek nosilec v obliki £rke T z vi²ino 180 cm in celotno dolºino 100 cm v vodoravni
smeri. Kako teºak je najve£ lahko pla²£, ki ga obesimo prav na konec, da se stojalo ravno ²e
ne prevrne? Najprej dolo£i os, okrog katere se stojalo zavrti, £e je preobremenjeno!
◦
17. Traktor vozi pre£no po klancu z nagibom 30 . Kako visoko sme biti njegovo teºi²£e, da se ravno
²e ne prevrne? Razdalja med zadnjima kolesoma je 120 cm. Premisli, okoli katere premice se
traktor prevrne!
18. Lahka metrska palica je na konceh vodoravno obe²ena na vzmeteh s koecientoma 5 N/cm in
8 N/cm. Kam moramo obesiti breme, da ostane palica vodoravna?
3
39
STATIKA
Rp: ƒe smemo zanemariti maso palice, potem ugotovimo, da je rezultat neodvisen od mase
uteºi, ki jo obesimo na palico.
Za£nemo pri ravnovesju navorov.
Navor na levi strani
pritrdi²£a (obesi²£a) uteºi mora biti enak navoru na desni strani:
k1 xr1 = k2 x(r − r1 )
Uporabljene oznake:
k1 in k2 sta koecienta vzmeti, r1 in r2 sta razdalji od pritrdi²£a uteºi
r1 + r2 = r, x pa je raztezek
do posamezne vzmeti in njuna vsota je enaka dolºini palice
obeh vzmeti, ki mora biti enak, £e naj bo palica vodoravna pri tem predpostavimo, da
je bila v za£etku, preden smo nanjo obesili uteº, tudi vodoravna!
Izrazimo recimo razdaljo
r1
r1 =
in izra£unamo:
k1
k2
2m
r
=
+1
Ugotovimo, da moramo uteº pritrditi
8 N/cm
5 N/cm
+1
= 0, 77 m = 77 cm
77 cm od konca, kjer je vzmet s koecientom 8 N/cm.
19. Lahka, 2 m dolga palica je na konceh vodoravno obe²ena na vzmeteh s koecientoma 16 N/cm
in 4 N/cm.
Kam moramo obesiti breme, da ostane palica vodoravna?
upo²teva² maso palice
Rp:
Kaj se spremeni, £e
m = 600 g?
r1 = 40 cm
ƒe upo²tevamo ²e maso palice, potem imamo teºave, saj se vzmeti ºe na za£etku raztegneta. Vsekakor je rezultat odvisen od mase palice!
20. Na ravnem, homogenem drogu s teºo 50 N so tri uteºi. Prva z maso 10 kg je obe²ena na levem
koncu, druga z maso 5 kg visi pol metra levo od sredine in tretja z maso 4 kg na desnem koncu.
Kje je teºi²£e sistema? Dolºina droga je 4 m.
21. Na ravnem, homogenem drogu z dolºino 3 m so obe²ene 3 uteºi: 4 kg na levem koncu, 60 cm
proti desni je uteº za 5 kg in 10 kg na desnem koncu. Drog je teºak 60 N. Kje je teºi²£e sistema?
22. Lahka plo²£a ima obliko kvadrata s stranico
2 N, 3 N, 5 N, 10 N.
20 cm.
Na ogli²£ih plo²£e so pritrjene uteºi s teºami
Kje je teºi²£e sistema?
Rp: Ko kvader pojeciramo na eno stranico, recimo vzdolº osi X, potem dobimo daljico, ki ima
na konceh teºi
2 N + 10 N
in
3 N + 5 N,
teºi²£e:
xt =
ki sta razmaknjeni za
a
, zato je vzdolº te daljice
2
a · 8N
= a = 8 cm
20 N
5
Ko kvader projeciramo na drugo stranico, recimo vzdolº osi Y, potem dobimo daljico, ki
ima na konceh teºi
2N + 3N
in
10 N + 5 N,
daljice teºi²£e:
yt =
ki sta razmaknjeni za
2 N, 3 N
in
5 N.
, zato je vzdolº te
a · 15 N
3
= a = 15 cm
20 N
4
23. Lahka plo²£a ima obliko enakostrani£nega trikotnika s stranico
pritrjene uteºi s teºami
a
20 cm.
Na ogli²£ih plo²£e so
Kje je teºi²£e sistema?
Rp: Malo zapleteneje kot zgoraj, saj imamo v enem primeru na daljici tri masne to£ke.
xt = 11 cm, yt = 8, 6 cm.
20 cm, sestavimo v trikotnik.
30 g. Kje je teºi²£e trikotnika?
24. Tri zelo lahke letvice, dolge po
kroglice z masami
10 g, 20 g
in
V ogli²£a trikotnika pritrdimo
25. Na drog, podprt v sredini, obesimo na levi strani breme 9 kg v razdalji 60 cm in breme 8 kg v
razdalji 15 cm od osi. Na desni strani pa breme 11 kg v razdalji 40 cm od osi. Koliko moramo
obesiti na desni strani v razdalji 30 cm od osi, da bo sistem v ravnovesju?
26. Jeklena palica ima dolºino
Na palici je
30 cm
1 m in maso 1, 2 kg.
Na eni strani je s te£ajem pritrjena na omarico.
od te£aja (kjer je os) pritrjeno breme z maso
(a) Koliko je navor teºe palice?
4 kg.
3
40
STATIKA
(b) Koliko je navor teºe bremena?
(c) Koliko je vsota vseh navorov na palico, £e le-ta miruje??
(d) Kolik²ne navor je potreben, da palico obdrºi v ravnovesju?
(e) S kolik²no silo je treba drºati palico na drugi strani te£aja, da bo mirovala?
Rp:
~ = 0, M = Mb + Mt = 18 Nm, F =
Mt = mg 2l = 6 Nm, Mb = mgl = 12 Nm, ΣM
18 N
27. Jeklena palica ima dolºino
Na palici je
70 cm
2 m in maso 1, 5 kg.
M
l
=
Na eni strani je s te£ajem pritrjena na omarico.
od te£aja (kjer je os) pritrjeno breme z maso
4 kg.
(a) Koliko je navor teºe palice?
(b) Koliko je navor teºe bremena?
(c) Koliko je vsota vseh navorov na palico, £e le-ta miruje??
(d) Kolik²en navor je potreben, da palico obdrºi v ravnovesju?
(e) S kolik²no silo je treba drºati palico na drugi strani te£aja, da bo mirovala?
28. Kvader ima stranice
5 cm × 4 cm × 10 cm.
Na vodoravni podlagi stoji na najmanj²i ploskvi.
Koecient trenja med kvadrom in podlago je
0, 75.
Gostota kvadra je
10, 2 kg/dm3 .
V kateri
smeri in s kolik²no silo ga je potrebno potisniti, da se zvrne na najve£jo ploskev?
Rp: Zanimivo, da naloga zahteva re²itev, ki ni ena sama o£itno si lahko re²evalec sam izbere,
v kateri to£ki bo potisnil kvader, v kateri smeri ga bo potisnil in potem mora samo ²e
izra£unati kolik²na je ta sila! Edino trenje med kvadrom in podlago nam omejuje izbiro
to£ke ter smeri v kateri deluje sila. Na izbiro ima tudi os vrtenja, ki je lahko rob kvadra
ali njegovo ogli²£e.
e.g:.
Na sliki 15 smo se odlo£ili, da bomo potisnili kvader v to£ki levo zgoraj in sicer
tako, da se bo zavrtel okoli roba. In ²e vedno imamo precej moºnosti, da si izberemo smer
delovanja sile. Od obojega je odvisna velikost sile. V vsakem primeru moramo delovati s
tolik²no silo, da bo njen navor vsaj tolik²en, kot je navor teºe kvadra:
ƒe si izberemo smer navpi£no navzgor (sila
F
M ≥ Mg !
na sliki 15), kakor bi dvigovali kvader, £e
bi stal na najve£ji ploskvi, potem lahko ra£unamo takole:
F d sin ϕ = Fg
d
d
sin ϕ
2
⇒
F =
Fg
2
je pre£na diagonala kvadra torej diagonala pravokotnika, ki je prerez kvadra.
Ker je prostornina kvadra
V = abc = 200 cm3
in masa kvadra
m = ̺V = 2, 04 kg,
je sila
F = 10, 2 N.
ƒe si izberemo smer sile
F1 ,
F1 d sin(
ki je vzporedna s podlago:
π
d
− ϕ) = Fg sin ϕ
2
2
⇒
F1 =
1
Fg tan ϕ
2
V tem primeru bo sila najmanj²a, £e zavrtimo kvader okoli stranice, ki je dolga
5 cm, tako
4 cm
tan ϕ = 10
cm = 0, 4, tedaj je sila F1 = 4, 08 N.
smer sile F2 , ki je pravokotna na diagonalo:
da je tangens kota:
ƒe si izberemo
F2 d = Fg
d
sin ϕ
2
⇒
F2 ≥
Fg
sin ϕ
2
Tudi v tem primeru bo sila najmanj²a, £e zavrtimo kvader okoli stranice, ki je dolga
5 cm,
tako da je sinus kota:
sin ϕ = √
4 cm
(10 cm)2 +(4 cm)2
= 0, 37,
tedaj je sila
F2 = 3, 79 N.
Uganemo lahko, da bo v tem primeru sila najmanj²a!
To je le nekaj primerov, kako lahko tak²no nalogo re²imo.
S tem pa ni konec teºav in zapletov!
Hitro ugotovimo, da se bo sila s katero moramo
delovati na kvader zmanj²evala, ko ga bomo prevra£ali. Ostane ²e vpra²anje, ali je trenje
dovolj veliko, da kvader ne bo zdrsnil . . .
Na za£etku se mi je zdelo, da je tak²na naloga, pri kateri ni ene same re²itve, nekako
manjvredna.
Med re²evanjem sem mnenje spremenil.
Naloga pu²£a dovolj moºnosti,
nekatere re²itve so enostavne, kot te, ki sem jih zapisal, druge bolj zapletene.
3
41
STATIKA
F
F2
F1
ϕ
ϕ
Fg
Ft
Slika 15: Prekucnimo kvader! Kje bomo pritisnili na kvader, v kateri smeri in s kolik²no silo?
29. Kvader ima stranice
5 cm × 4 cm × 10 cm.
Na vodoravni podlagi stoji na najve£ji ploskvi.
Koecient trenja med kvadrom in podlago je
1, 75.
Gostota kvadra je
8, 2 kg/dm3 .
V kateri
smeri in s kolik²no silo ga je potrebno potisniti, da se zvrne na najmanj²o ploskev?
Rp: Glej prej²njo nalogo!
30. Jeklena palica ima dolºino
2 m in
4 kg.
maso
1, 5 kg.
Na eni strani je obe²ena uteº z maso
2 kg,
na
drugi strani pa uteº z maso
(a) Kaj je to teºi²£e?
(b) Kje je teºi²£e palice z uteºema vred?
31. ƒe je kolo dobro centrirano in £e odstranimo ventil, je teºi²£e kolesa na njegovi osi.
kolesa je
2, 5 kg,
masa ventil£ka pa
16 g.
Ventil£ek leºi
30 cm
Masa
stran od osi. Kako dale£ od osi je
teºi²£e zdaj?
32. V katerih primerih je sistem v ravnovesju? Glej sliko 16! Vse sile so enako velike. Obkroºi!
a)
c)
b)
d)
Slika 16: Ravnovesje I.
e)
42
STATIKA
33. Katere od naslednjih £etveric enako velikih sil bi lahko obdrºale telo v ravnovesju? Glej sliko 17!
Obkroºi!
(a)
F1 = F2 = F3 = F4
(b)
F1 = F2 = F3 = F4
(c)
F1 = F2 = F3 = F4
(d)
√
Fg = 4N ; F1 = F2 = 2 2N
(e)
F2 = F3 =
a)
ϕ
F1
2
F1
F2
F1
ϕ
F4
c)
ϕ
F2
F3
ϕ
3
b)
F1
F3
F3
F4
d)
F2
F4
F1
F2
e)
F2
F3
Fg
F1
Slika 17: Ravnovesje II.
34. O£e in sin neseta na ramah
ki moli
1m
4m
sin, je obe²ena na drogu uteº za
Rp:
dolg in
100 N teºak homogen drog. Na prvem kraji²£u droga,
300 N. 1 m pred zadnjim kraji²£em, ki ga podpira
pred o£eta, je obe²ena uteº za
600 N.
Koliko nosi o£e in koliko sin?
F2 = 600 N, F1 = 300 N, l = 4 m, a = 1 m, Fg = 100 N
ravnovesje sil:
F1 + F2 + Fg = F + F ′
ravnovesje navorov (gledamo v legi, kjer nosi sin):
F1 l +
Fg l
+ F2 a − F (l − a) = 0
2
3
43
STATIKA
F =
F1 l +
Fg l
2
+ F2 a
= 670 N
l−a
F ′ = F1 + F2 + Fg − F = 330 N
35. Trinoºno stojalo ima enako dolge noge, katerih podnoºi²£a tvorijo enakostrani£ni trikotnik.
Noge so nagnjene
30◦
proti navpi£nici in so ob tleh povezane z vrvicami. S kolik²nimi silami
so obremenjene noge stojala in s kolik²nimi silami so napete vrvice, £e stoji stojalo na gladkih
vodoravnih tleh in je na vrh stojala obe²ena 300 kilogramska uteº?
Rp:
F = 3000 N ϕ = 30◦ α = 60◦
F
Fg
= 1154 N
3 cos ϕ
2F ′ cos
α
= F sin ϕ
2
F ′ = 333 N
36. Kozarec vode na klancu! Kaj se prej zgodi: ali zdrsne, ali se prekucne ali se razlije? Glej ²e
teºi²£e trapeza! Ali je teºi²£e kvadraste posode ravno tam, kot teºi²£e valjaste posode?
4 cm, 4 cm in 10 cm. Koecient trenja med kvadrom in podlago je 0, 75.
10, 2 kg/dm3 . Koliko je najve£ja strmina klanca, na katerega ²e lahko po-
37. Kvader ima stranice
Gostota kvadra je
stavimo kvader na najmanj²o stranico, da se ne zvrne (lahko izra£una² tudi kot, £e ti je laºje)?
Rp: Hmmm. . . znova dvojni problem, saj se v nalogi skriva ²e drugo vpra²anje.
Kvader bo
stal na klancu, dokler bo teºi²£e kvadra nad osnovno ploskvijo, na kateri stoji kvader.
Tedaj je kot za katerega je klanec nagnjen proti vodoravnici
ϕo .
ϕ
manj²i od mejnega kota
Kadar je klanec nagnjen za menjni kot, je teºi²£e kvadra natanko nad robom kvadra,
okoli katerega se kvader prekucne. Velja da navor teºe
ϕ ≤ ϕo .
Ko pa je
ϕ > ϕo , Mg
Mg
drºi kvader na klancu, dokler
prekucne kvader. Kot vidimo iz geometrije problema, sta
strmina pri mejnem kotu in mejni kot:
tan ϕo =
4 cm
= 0, 4
10 cm
⇒
ϕo = 21, 8◦
Ampak kaj pa, £e kvader ºe prej zdrsne? Kvader zdrsne po klancu, kadar je strmina klanca
ve£ja od koecienta trenja
kt .
Pogoj za zdrs je:
kt < tan ϕo
V na²em primeru se bo kvader prekucnil!
5 cm, 10 cm in 10 cm. Koecient trenja med kvadrom in podlago je 1, 75.
8, 2 kg/dm3 . Koliko je najve£ja strmina klanca, na katerega ²e lahko posta-
38. Kvader ima stranice
Gostota kvadra je
vimo kvader na najve£jo stranico, da se ne zvrne (lahko izra£una² tudi kot, £e ti je laºje)?
Rp: Podoben problem kot zgoraj, le da je izpolnjen pogoj za zdrs. To pomeni, da se kvader
ne bo prekucnil, ampak zdrsnil po klancu navzdol.
1, 75 = kt < tan ϕo =
10 cm
=2
5 cm
1 m dolge jeklene palice z maso 0, 3 kg, ki
1 kg in s premerom 10 cm. Kje je teºi²£e
koncem palice in je celotna dolºina 1, 1 m?
39. Nihalo v uri je narejeno iz
ima na koncu pritrjeno
medeninasto le£o z maso
nihala, £e je rob le£e
poravnan s skrajnim
Rp: ƒe z
xl
in
xp
ozna£im razdalji teºi²£a le£e do teºi²£a sistema in teºi²£a palice do teºi²£a
sistema, potem lahko zapi²em ravnovesje navorov:
ml gxl = mp gxp
4
44
DINAMIKA
Teºni pospe²ek lahko `pokraj²am', razdaljo
palice l :
xp =
l
2
+ r − xp .
xp pa izrazim s pomo£jo radija le£e r in dolºine
Vstavim v ravnovesje navorov in po kraj²em ra£unu ugotovim:
¢
¡
mp 2l + r
= 12, 7 cm
xl =
ml + mp
xl oddaljeno od teºi²£a le£e, je potem od skrajnega roba le£e
xl + r = 17, 7 cm, po drugi strani pa je od skrajnega roba palice
l + r − xp = 92, 3 cm.
Ker je teºi²£e sistema za
odaljeno za radij le£e ve£:
oddaljeno
40. Metrska palica je sestavljena iz enako dolgega medeninastega in aliminkastega dela.
teºi²£e palice, £e je gostota medenine
8400 kg/m3 ,
gostota aluminija pa
Kje je
2700 kg/m3 ?
Rp: Uporabim ena£bo za ra£unanje teºi²£a in ugotovim, da je teºi²£e kombinirane palice odda-
ljeno
37, 6 cm od skrajnega roba medeninastega dela in 62, 4 cm od skrajnega aluminjastega
dela palice.
4 dinamika
4.1
sile
1. Branjevka vle£e voz z maso 80 kg s silo 30 N. Koliko £asa rabi, da se ji spremeni hitrost s 0 km/h
na 5 km/h? Kolik²no pot pri tem naredi?
(a) Trenje zanemarimo
(b) Upo²tevaj trenje (koef.=0,03)
kt = 0, 03
(c) koliko je najve£ja strmina klanca, po kateri lahko branjevka ²e potiska svoj voz?
Rp: opomba: v testu je bila hitrost
v = 5 m/s
na primer takole:
a) Po 2.Newtonovem zakonu je pospe²ek razmerje med vsoto vseh zunanjih sil in maso
opazovanega telesa:
a=
F
30 N
=
= 0, 375 m/s2
m
80 kg
pospe²ek je razli£en od 0, zato je gibanje premo enakomerno pospe²eno:
t=
v
5 km/h
1, 39 m/s
=
=
= 3, 7 s
a
0, 375 m/s2
0, 375 m/s2
s = v¯ · t =
v
1
· t = · 1, 39 m/s · 3, 7 s = 2, 57 m
2
2
b) ƒe upo²tevamo ²e trenje
Ftr = kt · Fp = 0, 03 · 800 N = 24 N
se spremeni vsota vseh zunanjih sil na voz-potem je vsota vseh zunanjih sil:
F = Fb − F( tr) = 30 N − 24 N = 6 N
a=
t=
6N
= 0, 075 m/s2
80 kg
v
1, 39 m/s
=
= 18, 5 s
a
0, 075 m/s2
s=
v
· t = 12, 9 m
2
c) NARI’EMO SLIKO (glej glej slika manjka!)
4
45
DINAMIKA
Razberemo:
Fg = 800 N, Fb = 30 N, Fp =
q
Fg2 − Fb2 = 799, 4 N ≃ 800 N
branjevka lahko potiska voz s stalno hitrostjo v klanec tedaj, ko je
vektorska vsota
Fg
in
Fb
tako velika kot
Fp ;
ali zapisano malo druga£e:
F~g + F~p + F~b = 0
sile lahko nari²emo v pravokotni trikotnik!
strmina klanca je enaka razmerju sile s katero branjevka potiska voz in silo podlage:
strmina
to pomeni, da se na
100 m
=
30 N
Fb
=
= 0, 0375
Fp
800 N
vodoravne razdalje lahko klanec dvigne za
3.75 m
2. Tri telesa z enako maso smo vrgli navzgor. V nekem trenutku so vsa tri telesa na isti vi²ini, le
da imajo razli£ne hitrosti. Prvo je doseglo najve£jo vi²ino, drugo se giblje navzgor s hitrostjo
5 m/s,
tretje pa se giblje navzdol s hitrostjo
Rp:
3 m/s.
Na katero telo deluje ve£ja sila in zakaj?
F~1 = F~2 = F~3 = F~g
3. Kroglico, ki ima maso
200 g
smo zalu£ali navpi£no navzgor v to£ki
A,
kot kaºe slika. ƒrtkana
£rta na sliki shemati£no predstavlja trajektorijo. Za£etna hitrost kroglice je bila
vektorje sil, ki delujejo na ºogo v legi
B,
15 m/s.
Nari²i
ki je pribliºno na polovici najve£je vi²ine, ki jo doseºe
telo. Dolºina vektorja sile naj pokaºe, ali so sile enake ali razli£ne.
B
A
4. Kroglico, ki ima maso
100 g
smo zalu£ali vodoravno v to£ki
vektorje sil, ki delujejo na ºogo v legi
B
kot kaºe slika. ƒrtkana £rta
Za£etna hitrost kroglice je bila
Dolºina vektorja sile naj pokaºe, ali so sile enake ali razli£ne.
A
A,
15m/s. Nari²i
B , ki je pribliºno na polovici vi²ine, s katere smo ga vrgli.
na sliki shemati£no predstavlja trajektorijo.
4
46
DINAMIKA
5. Na telo z maso
4 kg
delujemo s silo
8 N.
Koliko je pospe²ek? Kolik²no pot opravi telo v
je spo£etka mirovalo? Koliko je hitrost po poti
Rp:
m = 4 kg, F = 8 N
pot v £asu
pospe²ek:
a=
F
= 2 m/s2
m
s=
at2
= 16 m
2
t = 4 s:
hitrost po poti
s = 6 m:
v=
6. Na telo z maso
8 kg
delujemo s silo
4 N.
√
m = 8 kg, F = 4 N
Koliko je pospe²ek? Kolik²no pot opravi telo v
pospe²ek:
a=
pot v £asu
s=
s = 5 m:
v=
8 s,
£e
5 m?
F
= 0, 5 m/s2
m
t = 8 s:
hitrost po poti
£e
2as = 4, 9 m/s
je spo£etka mirovalo? Koliko je hitrost po poti
Rp:
4 s,
6 m?
√
at2
= 16 m
2
2as = 2, 4 m/s
7. Padalec z maso 70 kg sko£i s padalom. Ko se padalo odpre, se mu hitrost v 3 sekundah zmanj²a
od 20 m/s na 5 m/s. S kolik²no silo deluje padalo na padalca v teh treh sekundah?
Rp: uporabimo 2.Newtonov zakon in upo²tevamo, da na padalca delujeta sila padala in sila
teºe
a=
∆v
∆t
= −5 m/s2
F = ma = −350 N
Fp = Fg − F = 1050 N, £e
vsota zunanjih sil na padalca:
sila padala na padalca:
Fp = Fg + |F | = 1050 N,
smeri sil upo²tevamo s predznaki, ali
£e ra£unamo samo z velikostmi sil.
8. Padalec z maso 80 kg sko£i s padalom. Ko se padalo odpre, se mu hitrost v 4 sekundah zmanj²a
od 22 m/s na 6 m/s. S kolik²no silo deluje padalo na padalca v teh treh sekundah?
Rp:
a = 4 m/s2 , Fp = 1120 N
9. Na vodoravnih tleh potiskamo kolo z maso 10 kg s silo 100 N. Kolik²en je pospe²ek kolesa, £e
trenje zanemarimo?
Kolik²en pa je pospe²ek kolesa, £e je koecient trenja med kolesom in
tlemi 0,2 ?
10. Kolik²na sila potiska telo z maso 50 kg, da v £asu 10 s opravi pot 100 m? Trenje zanemari!
11. Kolik²na sila potiska telo z maso 50 kg, da opravi pot 200 m v £asu 5 s? Trenje zanemarimo,
za£etna hitrost pa je 2 m/s!
12. Kolik²na je masa uteºi, ki bi jo na Luni dvignil dvigovalec uteºi, £e le-ta na Zemlji dvigne uteº
z maso 550 kg? Teºni pospe²ek na Luni je
1, 62 m/s2 .
13. Dvigalo neboti£nika. ki ima z ljudmi vred maso 280 kg se spu²£a enakomerno pospe²eno. V
prvih 10 s opravi pot 35 m. Kolik²na je napetost vrvi, na kateri visi dvigalo?
14. Dvigalo se dviguje enakomerno pospe²eno. V prvih 10 s opravi pot 24 m. Koliko pokaºe v tem
dvigalu tehtnica, na kateri stoji £lovek z maso 70 kg?
15. Na vozi£ek z maso 20 kg delujeta v nasprotnih smereh dve sili: 30 N in 20 N. V kateri smeri in
s kolik²nim pospe²kom se telo giblje, £e trenje zanemarimo? Kolik²en bi moral biti koecient
lepenja, da bi vozi£ek miroval?
16. Da lahko vesoljska ladja zapusti Zemljo, mora imeti za£etno hitrost 12 km/s. Kolik²na mora
biti potisna sila motorja, da raketa z maso 4600 kg doseºe to hitrost v 400 s?
4
47
DINAMIKA
17. Za izstrelitev Space Shuttla v vesolje je potrebna za£etna hitrost 12 km/s. Kolik²na mora biti
potisna sila motorja, da bo raketa z maso 5800 kg dosegla to hitrost v 600 s?
18. Vozi£ek z maso 13 kg vle£emo po vodoravni podlagi s silo 50 N. Kolik²na je sila trenja med
vozi£kom in podlago, £e se vozu pove£a hitrost od 10 m/s na 20 m/s v £asu 7 s? Kolik²en je
koecient trenja?
19. Dvigalo z maso 700 kg se za£ne spu²£ati s pospe²kom
1 m/s2 .
S kolik²no silo vle£e vrv?
20. Dvigalo neboti£nika, ki ima z ljudmi vred maso 840 kg, se dviga pospe²eno in pride v prvih 10 s
35 m visoko. S kolik²no silo ga vle£e vrv, na kateri visi?
21. S kolik²no silo pritiska £lovek z maso 70 kg na tla dvigala, £e dvigalo: a) miruje, b) vozi navzdol
enakomerno s hitrostjo 3 m/s, c) vozi navzgor enakomerno pospe²eno s pospe²kom
2 m/s2 ?
22. Telo z maso 2 kg je obe²eno na vzmetni tehtnici, ki je pripeta na strop dvigala.
Kolik²no
silo pokaºe vzmetna tehtnica, ko dvigalo: a) miruje, b) vozi navzdol enakomerno pospe²eno s
pospe²kom
0, 1 m/s2 ,
c) vozi navzgor enakomerno s hitrostjo
0, 2 m/s
?
23. Breme z maso 20 kg je obe²eno na vrvi, ki vodi preko pritrjenega ²kripca. ’kripec spremeni
smer sile. Spu²£amo ga z vi²ine 30 m nad tlemi. S kolik²no stalno silo moramo zavirati padanje
bremena, da pade na tla s hitrostjo 10 m/s?
24. Tramvaj se za£ne gibati s pospe²kom
0, 5 m/s2 .
12 s po za£etku gibanja izklju£i motor in
tramvaj se enakomerno pojemajo£e giblje do naslednje postaje. Na celotni poti tramvaja je
koecient trenja enak 0,01. Poi²£i: najve£jo hitrost tramvaja, celotni £as potovanja od ene do
druge postaje, pojemek pri ustavljanju, razdaljo med postajama!
25. Z vrvico poveºemo dve enaki uteºi z masama 300 g. Vrvico obesimo preko ²kripca, tako da uteºi
prosto visita. Ko na eno izmed uteºi obesimo dodatno uteº z maso 25 g, dobimo Atwoodovo
padalo. Kolik²en je pospe²ek Atwoodovega padala in s kolik²no hitrostjo pade padalo na tla,
£e sta uteºi na za£etku 1 m visoko? Trenje zanemari! Izra£unaj koecient trenja za primer, ko
nameri², da padalo pade na tla v 2,5 s!
26. Na mizi stoji vozi£ek z maso 400 g. Z vrvico je preko ²kripca povezan z uteºjo, ki prosto visi nad
tlemi in ima maso 100 g. S kolik²nim pospe²kom se za£ne gibati vozi£ek, ko sistem spustimo?
S kolik²no hitrostjo pripelje vozi£ek do ²kripca, £e je ta oddaljen 60 cm?
Trenje zanemari!
Izra£unaj koecient trenja za primer, ko nameri², da vozi£ek prepelje isto pot v 1,5 s!
27. Vozi£ek, ki ima maso
0, 03.
20 kg,
vle£e² s stalno silo
10 N.
V kolik²nem £asu se ti hitrost pove£a od ni£ do
Rp: ra£unamo po 2.Newtonovem zakonu
a=
Med kolesi in tlemi je koecient trenja
5 m/s?
Kolik²no pot pri tem prepelje²?
Ft = 6 N
F − Ft
= 0, 2 m/s2
m
t = av = 25 s
s = vt
2 = 62, 5 m
28. Samokolnico, ki ima maso
trenja
0, 03.
50 kg,
potiska² s stalno silo
20 N.
Med kolesom in tlemi je koecient
V kolik²nem £asu se ti hitrost pove£a od ni£ do
3 m/s?
Kolik²no pot pri tem
prepelje²?
Rp: ra£unamo po 2.Newtonovem zakonu
a=
Ft = 15 N
F − Ft
= 0, 1 m/s2
m
t = av = 30 s
s = vt
2 = 45 m
29. Atwoodovo padalo ima na levi strani obe²eno uteº z maso
200 g.
V kolik²nem £asu se spusti
2 m?
250 g, na desni strani pa uteº z maso
4
48
DINAMIKA
Rp: upo²etvamo 2.Newtonov zakon in izra£unamo pope²ek
a=
g(m1 −m2
m1 +m2
in tako je £as:
10
9
m/s2 = 1, 11 m/s2
q
t = 2s
g = 1, 9 s
=
30. Atwoodovo padalo ima na levi strani obe²eno uteº z maso
210 g.
Rp:
V kolik²nem £asu se spusti
200 g, na desni strani pa uteº z maso
2 m?
a = 0, 244 m/s2 , t = 4, 05 s
31. Atwoodovo padalo se v
2s
spusti
2 m.
Skupna masa uteºi na obeh straneh padala je
300 g.
Koliko je masa uteºi na levi in koliko na desni strani padala?
6 kg
32. Na vodoravni mizi je vozi£ek z maso
2 kg
in je preko ²kripca povezan z uteºjo, ki ima maso
in prosto visi. Koliko je koecient trenja, £e vozi£ek prepelje v
4s
pot
32 m?
m1
Ft
m2
mg
Slika 18: Vozi£ek na vodoravni mizi.
Rp:
m1 = 6 kg, m2 = 2 kg, t = 4 s, s = 32 m;
glej sliko 18!
drugi Newtonov zakon, £e upo²tevamo silo trenja
Ft = µFp ,
µ
kjer je
koecient trenja:
(m1 + m2 )a = m2 g − Ft = m2 g − µm1 g
izra£unamo pospe²ek:
vstavim v zgornjo ena£bo in
at2
2
2s
= 4 m/s2
t2
izrazim koecient trenja µ:
¶
µ
m2
2s
m2
− 2 1+
µ=
m1
gt
m1
s=
⇒
a=
ko izra£unamo:
µ<0
kar je zelo nenavadno, saj koecient trenja ne more biti negativen. Zato primerjam pospe²ek izra£unan iz poti in £asa s pope²kom, ki ga dobim brez upo²tevanja trenja
drugi Newtonov zakon, £e ne upo²tevamo trenja:
(m1 + m2 )a = m2 g − Ft
a=
⇒
a=g
m2
m1 + m2
g
< 4 m/s2
4
Podatki niso pravi kaj takega se ne bi moglo zgoditi! Pri isti poti
£as vsaj:
t≥
r
2s
=
a
s
2s
g
4
=
r
8s
= 5, 05 s
g
s = 32 m bi moral biti
4
49
DINAMIKA
33. Na vodoravni mizi je vozi£ek z maso
2 kg
6 kg
in je preko ²kripca povezan z uteºjo, ki ima maso
in prosto visi. Koliko je koecient trenja, £e vozi£ek prepelje v
8s
pot
32 m?
34. Koliko je pospe²ek vozi£ka, ki je na vodoravni podlagi in je z vrvico povezan preko ²kripca z
uteºjo, ki prosto visi? Masa vozi£ka je
spusti v
Rp:
4 kg,
masa pa
1 kg.
Trenje zanemari! Koliko se uteº
8 s?
m1 = 4 kg, m2 = 4 kg;
glej sliko 18!
drugi Newtonov zakon, £e ne upo²tevamo trenja:
(m1 + m2 )a = m2 g − Ft
in zato se v
t = 8s
⇒
a=g
1
m2
= g = 2 m/s2
m1 + m2
5
uteº spusti za:
h=
at2
= 64 m
2
35. Zna²el si se na otoku ljudoºercev, ki so zelo velikodu²ni. Predno te pojedo, so ti dali moºnost,
da se re²i².
Pripeljali so te pred dvoja vrata in vsaka straºi en straºar.
Ena vrata peljejo
v svobodo, druga v lonec. Eden izmed straºarjev vedno laºe, drugi pa vedno govori resnico.
Z enim vpra²anjem, ki ga lahko zastavi², mora² ugotoviti, skozi katera vrata lahko gre² na
prostost!
Rp:
4.2
na klancu
1. Kolik²na sila je potrebna, da se
z nagibom
30◦ ?
8000 N teºak avtomobil pomika enakomerno navzgor po klancu
Trenje zanemari!
2. Na klanec z naklonskim kotom
45◦
poloºimo telo z maso
40 kg.
S kolik²no silo pritiska na
podlago? S kolik²nim pospe²kom se za£ne gibati, £e trenje zanemarimo?
3. Na poledenelem klancu z naklonskim kotom
30◦
avtomobilu z maso
1050 kg
odpove motor. S
kolik²nim pospe²kom zdrsi navzdol? S kolik²no silo deluje na podlago?
4. Na klancu stoji kvader lesa z maso 2 kg.
Koecient trenja med kvadrom in podlago je 0,5.
Koliko je lahko najve£ naklonski kot klanca, da kvader lesa ne zdrsne po njem?
5. Po klancu z naklonskim kotom
kosa ledu, £e je
kt = 0, 01.
30◦
spustimo kos ledu z maso
100 g. Kolik²en je pospe²ek
2 m dolgega klanca?
tega
V kolik²nem £asu pride led do konca
◦
6. Po klancu z naklonskim kotom 10 spustimo kos ledu z maso 200 g. Kolik²en je pospe²ek tega
kosa ledu? V kolik²nem £asu pride led do konca 5 m dolgega klanca? In v kolik²nem £asu, £e
upo²teva² koecient trenja k = 0,2?
7. Po klancu z naklonskim kotom
20◦
spustimo vozi£ek z maso
vozi£ka? V kolik²nem £asu pride vozi£ek do konca
£e upo²teva² koecient trenja
5m
200 g.
Kolik²en je pospe²ek tega
dolgega klanca? In v kolik²nem £asu,
k = 0, 42?
8. S kolik²no hitrostjo moramo pognati kos ledu po klancu navzgor, da bo imel na vrhu klanca
hitrost 4 m/s?
Masa ledu je 6 kg, dolºina klanca 10 m in koecient trenja 0,25.
nagnjen proti vodoravnici pod kotom
Klanec je
ϕ = 45◦ .
9. Kolik²na je strmina klanca, £e moramo zaboj z maso
100 kg
zadrºevati s silo
200 N,
vzporedno
s klancem? S kolik²nim pospe²kom se zaºne gibati zaboj, £e ta sila preneha delovati? Kolik²en
je koecient trenja med zabojem in podlago, £e se telo po prenehanju delovanja vle£ne sile
giblje s pospe²kom
2 m/s2 ?
30◦ , drsi vozi£ek. Masa vozi£ka je 5 kg. Kolik²en
ko prepelje pot 2 m, £e trenje zanemari²?
10. Po klancu, ki je nagnjen glede na vodoravnico
je njegov pospe²ek in koliko njegova hitrost,
4
50
DINAMIKA
Ft
Fp
Fg
ϕ
Slika 19: Na klancu.
ϕ = 30◦ , m = 5 kg;
Rp:
glej sliko 19!
pospe²ek:
a=
hitrost po poti
F
mg sin ϕ
=
= g sin ϕ = 5 m/s2
m
m
s = 2 m:
v=
11. Na klancu je klada z maso
2 kg.
√
2as = 4, 5 m/s
Klanec je nagnjen glede na vodoravnico
klancu. Koliko je koecient trenja, £e klada v
ϕ = 45◦ , m = 2 kg, t = 2 s, s = 8 m;
Rp:
2s
prepelje pot
45◦ .
Klada drsi po
8 m?
glej sliko 19!
drugi Newtonov zakon, £e upo²tevamo silo trenja
Ft = µFp ,
kjer je
µ
koecient trenja:
mg sin ϕ − mgµ cos ϕ = ma
izra£unam pospe²ek:
2s
= 4 m/s2
t2
trenja µ:
a=
po malo ra£unanja izrazim koecient
µ = tan ϕ −
12. Kolesar ima s kolesom vred maso
nagnjen proti vodoravnici
0, 03.
10◦
110 kg.
a
= 0, 43
g cos ϕ
Spusti se po klancu (kolesa ne poganja ve£), ki je
15 m/s. Koecient trenja je
5 m/s? Ko pripelje do vznoºja
in na koncu klanca doseºe hitrost
Koliko je dolºina klanca, £e je imel na vrhu klanca hitrost
klanca, ne za£ne poganjati kolesa, ampak malo po£iva. Kako dolgo pot prepelje po vodoravni
podlagi dokler se ne ustavi?
Fg razstavim na klancu vzporedno
Fk = Fg sin ϕ = 191 N in na klanec pravokotno komponento F⊥ = Fg cos ϕ =
1100 N cos 10◦ = 1083 N. Potem lahko ²e dolo£im silo trenja Ft = kt F⊥ = 32, 5 N.
Rp: V prvem delu se kolesar spusti po klancu. Silo teºe
komponento
Sedaj se spomnim prvega Newtonovega zakona: vsota zunanjih sil na kolesarja je enaka
masi kolesarja pomnoºeni z njegovim pospe²kom. Ker pravokotno komponento teºe
uravnovesi podlaga, je zato vsota zunanjih sil:
ko se spusti po klancu:
a=
F = Fk − Ft = 32, 5 N.
F⊥
Pospe²ek kolesarja,
Fk − Ft
= 1, 44 m/s2
m
Ko enkrat poznam pospe²ek, lahko s pomo£jo ena£be, ki povezuje pospe²ek, pot in hitrost
izra£unam dolºino klanca.
v 2 = vo2 + 2al
⇒
l=
v 2 − vo2
= 69, 4 m
2a
V drugem delu naloge se kolesar pelje po ravnini.
Ker je vsota zunanjih sil naj enaka
trenju, se mu hitrost zmanj²uje. Ra£unam podobno kot prej, le da moram upo²tevati, da
4
51
DINAMIKA
je sedaj sila trenja malenkost ve£ja kot prej, saj je sedaj sila, ki je pravokotna na podlago
enaka teºi. Trenje na vodoravni podlagi je:
Pospe²ek (pojemek):
pot, ki jo prepelje:
−Ft
m
v 2 −vo2
2a
a=
s=
13. Kolesar ima s kolesom vred maso
nagnjen proti vodoravnici
0, 03.
5◦
Ft = kt Fg = 33 N.
= −0, 3 m/s2
=
0−vo2
2a
80 kg.
= 41, 7 m
Spusti se po klancu (kolesa ne poganja ve£), ki je
15 m/s. Koecient trenja je
5 m/s? Ko pripelje do vznoºja
in na koncu klanca doseºe hitrost
Koliko je dolºina klanca, £e je imel na vrhu klanca hitrost
klanca, ne za£ne poganjati kolesa, ampak malo po£iva. Kako dolgo pot prepelje po vodoravni
podlagi dokler se ne ustavi?
Rp: dolºina klanca je
4.3
174, 6 m,
po vodoravni podlagi prepelje ²e
41, 7 m
pri kroºenju
1. Z vodo napolnjen kozarec vihtimo v navpi£ni ravnini po krogu s polmerom 40 cm.
S koliko
vrtljaji na sekundo moramo vrteti, da voda ne bo iztekla?
2. S kolik²no natan£nostjo moramo meriti raztezek vija£ne vzmeti, da ugotovimo razliko teºnih
pospe²kov v Ljubljani in na Triglavu?
3. S kolik²no silo in v kateri smeri moramo delovati na telo z maso 500 g, da bo kroºilo z radijem 1
m s stalno kotno hitrostjo 120 /min? Kaj moramo storiti, da se bo kroºenje telesa enakomerno
zaviralo in da se bo po 10 s od za£etka zaviranja ustavilo?
4. Na 30 cm dolgi vrvici, ki se strga pri sili 60 N, je obe²en kamen z maso 2 kg. Pri kolik²ni kotni
hitrosti vrtenja se vrvica pretrga, £e vrtimo v navpi£ni ravnini? Kaj pa £e vrtimo v vodoravni
ravnini?
5. Na
30 cm
dolgi vrvici, ki se strga pri sili
60 N,
je obe²en kamen z maso
4 kg.
Pri kolik²ni kotni
hitrosti vrtenja se vrvica pretrga, £e kamen vrtimo v vodoravni ravnini? Kaj pa £e ga vrtimo v
navpi£ni ravnini? Koliko je tedaj, ko se vrvica strga gibalna koli£ina kamna in koliko kineti£na
energija?
6. Na
60 cm
dolgi vrvici, ki se strga pri sili
30 N,
je obe²en kamen z maso
2 kg.
Pri kolik²ni kotni
hitrosti vrtenja se vrvica pretrga, £e kamen vrtimo v vodoravni ravnini? Kaj pa £e ga vrtimo v
navpi£ni ravnini? Koliko je tedaj, ko se vrvica strga gibalna koli£ina kamna in koliko kineti£na
energija?
100 g je pritrjen na 0, 5 m dolgi vrvi. V vodoravni ravnini enakomerno kroºi s
4 Hz. Kolik²na sila je potrebna za to in v kateri smeri deluje? Kaj se zgodi s klju£em,
7. Klju£ z maso
frekvenco
£e se vrvica pretrga?
Rp: sila pri kroºenju
a = ω 2 r = (2πν)2 r = 4π 2 ν 2 r = 320 m/s2
sila F = ma = 32 N ima smer proti sredi²£u
kroºenja
£e se vrvica strga, odleti klju£ tangentno na kroºnico, to je v trenutni smeri vektorja
hitrosti
8. Klju£ z maso
300 g
je pritrjen na
Proti sredi²£u ga vle£e stalna sila
0, 75 m dolgi vrvi. V vodoravni ravnini enakomerno kroºi.
800 N. S kolik²no frekvenco kroºi klju£? Kaj se zgodi s
klju£em, £e se vrvica pretrga?
Rp: pospe²ek je kot sila usmerjen proti sredi²£u. Njegova velikost je:
a=
F
800N
=
= 2667 m/s2
m
300g
Vmesni ra£un za kotno hitrost pravzaprav ni potreben:
59, 6 s
−1
in zato je frekvenca:
ν=
ω
2π
= 9, 5 s
−1
ω2 =
a
r
= 3556 s−2
⇒
ω=
4
52
DINAMIKA
Lahko pa izra£unamo frekvenco v enem koraku:
ν=
qF
pa
m
ω
r
r
=
=
=
2π
2π
2π
q 800 N
300 g
75 cm
2π
= 9, 49 s−1
Ko se vrvica strga, klju£ odleti v smeri trenutne hitrosti.
Ker je vektor hitrosti vedno
usmerjen tangentno na kroºnico v to£ki, kjer se telo trenutno nahaja, klju£ odleti tangentno na kroºnico v to£ki, kjer je bil klju£, ko se je vrvica strgala.
9. Klju£ z maso
100 g
2 m dolgi vrvi.
800 N. S kolik²nim
je pritrjen na
sredi²£u ga vle£e stalna sila
V vodoravni ravnini enakomerno kroºi. Proti
obhodnim £asom kroºi klju£? Kaj se zgodi s
klju£em, £e se vrvica pretrga?
Rp:
a = 8000 m/s2 , ω = 63, 2 s−1 , to =
2π
ω
= 0, 099 s
tangentno na kroºnico
100 g je pritrjen na 2 m dolgi vrvi. V vodoravni ravnini enakomerno kroºi
2 Hz. Kolik²na sila je potrebna za to in v kateri smeri deluje? Kaj se zgodi
10. Klju£ z maso
s
frekvenco
s
klju£em, £e se vrvica pretrga?
11. Avto vozi skozi vodoravni ovinek blizu Cela. Masa avtomobila je
med gumami in cesto je
0, 7.
Radij ovinka je
20 m.
1709 kg.
Koecient trenja
Nari²i sile, ki delujejo na avto! Kolik²na je
lahko najve£ja hitrost avtomobila skozi ovinek?
12. Telo z maso
150 g
se giblje enakomerno po kroºnici s polmerom
15 cm
in napravi
120
obhodov
na minuto. Izra£unaj:
(a) obhodni £as
(b) kotno hitrost
(c) kroºilno hitrost
(d) centripetalni pospe²ek
(e) kotni pospe²ek
(f ) tangentni pospe²ek
(g) centripetalno silo
(h) tangentno silo
4.4
gravitacija
1. S kolik²no silo se privla£ita ladji z masama 50 000 t, £e sta njuni teºi²£i med seboj oddaljeni
1 km?
2. Koliko je obhodni £as satelita, ki kroºi na vi²ini 600 km okoli ekvatorja?
Masa Zemlje je
6 · 1024 kg.
3. Na kateri vi²ini nad zemeljsko povr²ino se teºni pospe²ek zmanj²a na £etrtino?
4. Koliko je natan£na razlika med teºnima pospe²koma na ekvatorju in na polu? Upo²tevaj razliko
v radiju in vrtenje Zemlje! (re
= 6378 km, rp = 6357 km, to = 23 h 56 m 4, 1 s)
5. Koliko je razlika med teºnim pospe²kom v Portoroºu in na vrhu Mt. Everesta? Radij Zemlje
je 6400 km.
6. Kolik²na je nadmorska vi²ina Skopja, kjer je teºni pospe²ek enak
9, 803 m/s2 ?
7. Izra£unaj maso Zemlje!
9, 81 m/s2 ,
Teºni pospe²ek na povr²ini Zemlje je
radij Zemlje pa
6400 km.
8. Koliko je vi²ina satelita nad Zemljo, £e kroºi okrog Zemlje s hitrostjo 5 km/s? Radij Zemlje je
6400 km?
9. Luna je Zemljin edini naravni satelit. Okrog Zemlje kroºi na oddaljenosti 384 000 km, njena
masa pa je
7, 4 · 1022 kg.
V kolik²nem £asu naredi en obhod? Masa Zemlje je
6 · 1024 kg.
4
53
DINAMIKA
Rp: Gravitacijski zakon
LUNA:r
= 380000 km
m = 7, 4 · 1022 kg
24
ZEMLJA:M = 6 · 10
kg
−11
(gravitacijska konstanta G = 6, 6 · 10
Nm2 /kg2 )
Fg = mg = G ·
Fg =
a=
2, 9304 · 1037 Nm2
1, 475 · 1017 m2
mM
r2
⇒ a = 0.00274 m/s2
v2
→ v 2 = ar = 0.00274 m/s2 · 380000000 m → v = 3675 km/h
r
v=
to =
obsegkroga
2πr
=
to
to
2πr
= 649, 7 h = 27 dni
v
Pri tem ra£unu je povpre£na razdalja med Luno in Zemljo mal premajhna, prav tako pa
tudi gravitacijska konstanta. Ra£un lahko ponovi² ²e z bolj natan£nima vrednostima.
Bolj elegantno bi bilo takole:
Iz ena£b
ma = G ·
mM
r2
in
a = ω2 r
in
ω=
2π
to
izrazimo obhodni £as
to = 2π
vstavimo podatke in izra£unamo:
r
r3
GM
to = 2.363 Ms = 27.3 dni
10. Kolik²en je teºni pospe²ek na Marsu, ki ima maso 10 krat manj²o kot je Zemljina in je njegov
polmer 3380 km?
11. Polmer Marsa je 0,53 polmera Zemlje, njegova masa pa je 0,11 mase Zemlje. Kolik²en je teºni
pospe²ek na povr²ju Marsa?
12. Venera je drugi planet po oddaljenosti od Sonca, ki meri
Venera obkroºi Sonce? Masa Sonca je
2 · 10
30
kg.
1, 08 · 108 km.
V kolik²nem £asu
13. Kolik²en je teºni pospe²ek na Jupitru, ki ima 318 krat ve£jo maso kot Zemlja in polmer
71350 km?
14. Kolik²en je teºni pospe²ek na povr²ju Sonca, £e je njegova masa
polmer pa 109 polmerov Zemlje?
3, 33 · 105
mas Zemlje, njegov
15. Na kateri vi²ini nad Zemljo kroºi umetni satelit okrog Zemlje, tako da je ves £as nad istim
krajem?
16. Kolik²no hitrost mora imeti umetni satelit v vodoravni smeri, da ne pade na Zemljo, £e je na
vi²ini 100 km?
17. Merkur kroºi na oddaljenosti 58 milijonov km od Sonca.
S kolik²no hitrostjo potuje okoli
Sonca?
18. Marsov satelit Deimos ima obhodni £as 1,26 dneva in je oddaljen od Marsa 23000 km. Koliko
je gravitacijski pospe²ek na Marsu, £e je njegov radij 3380 km?
19. Marsova luna Fobos kroºi v razdalji 9380 km okrog Marsa z obhodno dobo 7h 39m. Polmer
Marsa je 3380 km. Koliko je obhodna hitrost in koliko kotna hitrost Fobosa?
4
54
DINAMIKA
20. Jupitrov satelit Evropa ima obhodni £as 3,55 dneva in je oddaljen od Jupitra 671000 km. Koliko
je gravitacijski pospe²ek na Jupitru, £e je njegov radij 71350 km?
21. Izra£unaj maso Sonca, £e ve², da ga Zemlja obkroºi v 365 dneh na razdalji 150 milijonov
kilometrov!
22. Koliko £as potrebuje Lunin modul, da obkroºi Luno na vi²ini 2000 m? Polmer Lune je 1600 km,
njena masa pa
7, 4 · 1022 kg.
23. Obhodni £as Zemlje okoli Sonca je 1 leto. Masa Sonca je
je
′
32 .
2 · 1030 kg.
Zorni kot Sonca z Zemlje
Koliko je Zemlja oddaljena od Sonca, £e upo²teva², da kroºi? Koliko je obhodni £as
Neptuna, ki je od Sonca oddaljen 4,5 milijarde kilometrov? Koliko je njegova obodna hitrost?
Koliko je zorni kot Sonca z Neptuna?
24. V oddaljeni galaksiji, nekje dale£, kamor ²e ni seglo £love²ko oko, obstajajo nenavadne zvezdne
kopice. Skoraj v sredi²£u tak²ne kopice obstaja orja²ka hladna zvezda, ki ºe dolgo ve£ ne greje
hrbtne strune skoraj ve£no ºive£ega Meduzalema, lignju podobnega bitja s sluzastimi o£mi.
Ta `ligenj' je ²e poslednji predstavnik ljudem neznane vrste superteºkih meduzokrakov. Njihov
ºivljenjski prostor je okolica orja²kih teºkih zvezd, kjer se izleºejo iz vakuuma.
(a) Kolik²en je obhodni £as Meduzalema, £e se je izlegel na razdalji
6 m
orja²ke zvezde in kroºi z hitrostjo 10
s ?
3, 8 · 108 m
od teºi²£a
(b) Kolik²na je masa zvezde?
(c) Meduzokraki imajo glavo obrnjeno vedno vstran od zvezde. S kak²no silo je napet Meduzalem, £e ima polovico mase zbrane v repu in polovico mase zbrane v glavi in je njegova
dolºina
1800 km?
Meduzokraki so teºki kot na²a luna (10
23
kg).
Razliko sil zaradi gravi-
tacije in razli£nih razdalj glave in repa do zvezde zanemari!!!
25. Ena£be preuredimo v nami²ljene brezdimenzijske ekvivalente in pi²emo: elektron in jedro £utita
v2
1
r 2 , elektron kroºi okoli jedra in njegova centrifugalna sila je FC = r .
1
Valovna dolºina elektrona je λ =
v in pogoj za stabilno (moºno) orbito je, da je obseg kroga
po katerem kroºi elektron celo²tevilski ve£kratnik njegove valovne dolºine (2πr = nλ, n =
privla£no silo
1, 2, 3 . . .).
FE =
Ta zahteva pomeni, da je elektron v svoji valovni, nelokalizirani sliki povsod zvezen
En v odvisnosti od n = 1, 2, 3.., £e ve²,
1
v2
−
? Na podoben na£in je Danski zik in lozof Niels
r
r
Bohr izpeljal prvi triumfalen rezultat nove zik - kvantne mehanike in napovedal energijsko
in gladek. Kak²na je energija moºnih stabilnih orbit
da se celotna energija zapi²e kot
E=
lestvico za vodikov atom. Ne prestra²ite se teksta, naloga je lahka, potrebno je samo zdruºiti
ena£be.
26. Koliko je razdalja od Sonca do planeta, ki ima obhodni £as 11 let?
Rp: po 3.Keplerjevem zakonu je
r3
= konst.
t2o
sµ ¶
s
2
2
t
to
3
⇒ r = rz 3 2o = rz
= 4, 95 a.e.
toz
toz
sµ
¶2
11let
3
r = 1 ae
= 4, 95 a.e.
1leto
27. Koliko je razdalja od Sonca do planeta, ki ima obhodni £as 32 let?
28. Koliko je razdalja od Sonca do planeta, ki ima obhodni £as 89 let?
Rp: po 3.Keplerjevem zakonu je
r3
= konst.
t2o
sµ ¶
s
2
2
to
t
3
⇒ r = rz 3 2o = rz
toz
toz
4
55
DINAMIKA
r = 1 ae
sµ
3
89let
1leto
¶2
= 20 a.e.
29. Koliko je razdalja od Sonca do planeta, ki ima obhodni £as 162 let?
30. Koliko je obhodni £as planeta, ki je od Sonca oddaljen
3/4
31. Koliko je obhodni £as planeta, ki je od Sonca oddaljen
7/10
32. Koliko je obhodni £as planeta, ki je od Sonca oddaljen
20
krat toliko kot Zemlja?
33. Koliko je obhodni £as planeta, ki je od Sonca oddaljen
30
krat toliko kot Zemlja?
Zemljine razdalje od Sonca?
Zemljine razdalje od Sonca?
34. Kolikokrat se zmanj²a teºa telesa z maso 1 kg, £e ga raketa dvigne v vi²ino 6400 km?
Rp: ker je gravitacijska sila obratno sorazmerna s kvadratom razdalje
Fg ∝
in ker je vi²ina enaka dvema radijema zemlje
1
r2
h = ro
in je torej razdalja od sredi²£a Zemlje
r = 2ro
je potemtakem
Fg =
Fgo
= 2, 5 N
22
35. Kolikokrat se zmanj²a teºa telesa z maso 1 kg, £e ga raketa dvigne v vi²ino 12800 km?
Rp: ker je gravitacijska sila obratno sorazmerna s kvadratom razdalje
Fg ∝
1
r2
in ker je vi²ina enaka dvema radijema zemlje
Zemlje
h = 2ro
in je torej razdalja od sredi²£a
r = 3ro
je potemtakem
Fg =
Fgo
32
= 1, 11 N
36. Koliko je vi²ina satelita nad Zemljo, £e kroºi okrog Zemlje s hitrostjo 4 km/s? Radij Zemlje je
6400 km.
Rp: Iz gravitacijskega zakona izpeljemo:
v=
r=
q
GM
r in odtod izrazimo r
GM
7
v 2 = 2, 5 · 10 m = 25000 km
torej je vi²ina
h = r − ro = 18600 km
37. Koliko je vi²ina satelita nad Zemljo, £e kroºi okrog Zemlje s hitrostjo 2 km/s? Radij Zemlje je
6400 km.
Rp: Iz gravitacijskega zakona izpeljemo:
v=
r=
q
GM
r in odtod izrazimo r
GM
8
v 2 = 1 · 10 m = 100000 km
torej je vi²ina
h = r − ro = 93650 km
38. Izpelji, kako je hitrost planetov odvisna od razdalje planeta od sredi²£a Sonca! Nari²i in ozna£i
graf !
39. Nari²i graf, ki prikazuje, kako se gravitacijski pospe²ek spreminja v odvisnosti od razdalje od
sredi²£a Zemlje!
Bodi pozoren na to, da je radij Zemlje 6400 km.
Na kateri vi²ini se teºni
pospe²ek zmanj²a na petino vrednosti, ki jo ima na zemeljskem povr²ju?
pozna², ve² pa, da je teºni pospe²ek na povr²ju
Mase Zemlje ne
10 sm2 .
40. Nari²i graf, ki prikazuje, kako se gravitacijski pospe²ek spreminja v odvisnosti od razdalje od
sredi²£a Sonca (masa Sonca je
2·1030 kg)!
Bodi pozoren na to, da je radij Sonca
700000 km.
Na
kateri vi²ini se teºni pospe²ek zmanj²a na polovico vrednosti, ki jo ima na son£evem povr²ju?
4
56
DINAMIKA
41. Nari²i graf, ki prikazuje, kako se gravitacijski pospe²ek spreminja v odvisnosti od razdalje od
sredi²£a Zemlje!
Bodi pozoren na to, da je radij Zemlje 6400 km.
Na kateri vi²ini se teºni
pospe²ek zmanj²a na tretjino vrednosti, ki jo ima na zemeljskem povr²ju?
pozna², ve² pa, da je teºni pospe²ek na povr²ju
42. Kolikokrat se zmanj²a teºa telesa z maso
4 kg,
Mase Zemlje ne
10 sm2 .
£e ga raketa dvigne v vi²ino
6400 km?
Nari²i
graf teºe v odvisnosti od vi²ine! Mase Zemlje ne pozna², ve² pa, da je teºni pospe²ek na povr²ju
10 sm2
in radij Zemlje
6400 km
43. Kolikokrat se zmanj²a teºa telesa z maso
3 kg,
£e ga raketa dvigne v vi²ino
12800 km?
Nari²i
graf teºe v odvisnosti od vi²ine! Mase Zemlje ne pozna², ve² pa, da je teºni pospe²ek na povr²ju
10 sm2
in radij Zemlje
44. Telo ima maso
6400 km.
4 kg.
Nari²i graf, ki prikazuje, kako se teºa telesa spreminja v odvisnosti od
razdalje od sredi²£a Zemlje! Bodi pozoren na to, da je radij Zemlje
pozna², ve² pa, da je teºni pospe²ek na povr²ju
10 sm2 .
6400 km.
Mase Zemlje ne
Na kateri vi²ini se teºa telesa zmanj²a na
tretjino vrednosti, ki jo ima na zemeljskem povr²ju? Koliko je masa telesa na vi²ini
21000 km?
(+) Ali bi lahko iz podatkov izra£unal maso Zemlje? (ƒe da, kako, £e ne, razloºi!)
45. Telo ima maso
7 kg.
Nari²i graf, ki prikazuje, kako se teºa telesa spreminja v odvisnosti od
razdalje od sredi²£a Zemlje! Bodi pozoren na to, da je radij Zemlje
pozna², ve² pa, da je teºni pospe²ek na povr²ju
10 sm2 .
6400 km.
Mase Zemlje ne
Na kateri vi²ini se teºa telesa zmanj²a na
petino vrednosti, ki jo ima na zemeljskem povr²ju? Koliko je masa telesa na vi²ini
31000 km?
(+) Ali bi lahko iz podatkov izra£unal maso Zemlje? (ƒe da, kako, £e ne, razloºi!)
46. Okoli zvezde kroºi planet na razdalji
nomska enota
1 a.e. = 150 · 106 km
in
20 a.e. z obhodnim
1 leto = 365, 24 dni,
£asom
50 let.
ƒe vemo, da je astro-
lahko izra£unamo maso zvezde.
(a) opi²i postopek, s katerim, bi to lahko storili!
(b) izpelji ena£bo s katero lahko izra£unamo maso zvezde in izpeljavo komentiraj oziroma
utemelji!
(c) izra£unaj maso zvezde!
47. Okoli zvezde kroºi planet na razdalji
nomska enota
1 a.e. = 150 · 106 km
in
50 a.e. z obhodnim
1 leto = 365, 24 dni,
£asom
20 let.
ƒe vemo, da je astro-
lahko izra£unamo maso zvezde.
(a) opi²i postopek, s katerim, bi to lahko storili!
(b) izpelji ena£bo s katero lahko izra£unamo maso zvezde in izpeljavo komentiraj oziroma
utemelji!
(c) izra£unaj maso zvezde!
120 a.e. z obhodnim £asom 30 let. Maso zvezde lahko
1 a.e. = 150 · 106 km in 1 leto = 365, 24 dni, lahko izra£unamo maso
−11 Nm2
konstanta G = 6, 67 · 10
kg2 .
48. Okoli zvezde kroºi planet na razdalji
izra£unamo, £e vemo, da je
zvezde. Gravitacijska
(a) natan£no in jasno opi²i postopek, s katerim, bi to lahko storili!
(b) izpelji ena£bo s katero lahko izra£unamo maso zvezde in izpeljavo komentiraj oziroma
utemelji!
(c) izra£unaj maso zvezde!
49. S pomo£jo podatkov, ki jih imamo o gibanju Zemlje (oddaljenost od Sonca je 150 milijonov
km, obhodni £as Zemlje pa je 1 leto), lahko izra£unamo maso Sonca.
(a) opi²i postopek, s katerim, bi to lahko storili!
(b) izpelji ena£bo s katero lahko izra£unamo maso Sonca in izpeljavo komentiraj oziroma
utemelji!
(c) izra£unaj maso Sonca!
50. S pomo£jo podatkov, ki jih imamo o gibanju Lune (razdalja od Lune do Zemlje je 380000 km,
obhodni £as Lune je 27 dni), lahko izra£unamo maso Zemlje.
4
57
DINAMIKA
(a) opi²i postopek, s katerim, bi to lahko storili!
(b) izpelji ena£bo s katero lahko izra£unamo maso Zemlje in izpeljavo komentiraj oziroma
utemelji!
(c) izra£unaj maso Zemlje!
51. Iz danih podatkov izra£unaj maso Sonca! (razdalja od Zemlje do Sonca je 150 milijonov km,
obhodni £as Zemlje okoli Sonca je 1 leto)
4.5
gibalna koli£ina
1. Na telo z maso 200 g, ki v za£etku miruje, za£ne delovati stalna sila 10 N. Kolik²na sta sunek
sile in hitrost telesa po £asu 0,03 s?
2. ƒoln mase 150 kg miruje na gladini morja. Po krovu £olna za£ne hoditi potnik z maso 80 kg
od krme proti premcu, s hitrostjo 2 m/s. S kolik²no hitrostjo in v kateri smeri se pomika £oln
glede na obalo?
Rp: vem:
~ sistema = ~0;
∆G
Naj bo:
m =masa £love£ka in M =masa
~ zacetna = G
~ koncna
G
£olni£ka, ter
v1 =
hitrost £love£ka;
torej:
~0 = m · ~v1 + M · ~v2 ;
izrazimo v2 , re£emo,
da ima vektor
v1
pozitiven predznak, torej ima
~v2
negativnega in se
zategadelj giblje v nasprotni smeri :)
v2 = −
m
· v1 = 1, 07 m/s;
M
3. Granata, ki se giblje s hitrostjo 10 m/s se razleti na dva dela.
Teºji del, katerega masa je
60% mase cele granate, se giblje naprej v prvotni smeri s hitrostjo 25 m/s. V kateri smeri in s
kolik²no hitrostjo odleti laºji del granate? Masa granate je 30 kg.
Rp: vem:
~ sistema = ~0;
∆G
iz tega sledi:
~ zacetna = G
~ koncna
G
torej lahko zapi²em tudi brez vektorjev zaenkrat:
mgranate · vzacetna =
iz te ena£be lahko izrazim
v2 =
v2 ,
mgranate · 40
mgranate · 60
· v1 +
· v2 ;
100
100
zaenkrat pa ra£unam samo velikost:
mgranate · vzacetna −
mgranate ·60
100
mgranate ·40
100
ali pa kraj²e
v2 =
vem tudi da je smer vektorja
~v2
· v1
vzacetna − 0, 6v1
0, 4
nasprotno enaka smeri vektorja
predznak, privzeli pa smo, da ima za£etna hitrost
~vzacetna
4. Tovornjaka z masama 30 t in 50 t isto£asno zapu²£ata trajekt.
hitrostjo 2 m/s glede na obalo.
= −12, 5 m/s;
~v1 ,
ker ima
v2
negativen
pozitiven predznak;
Gibljeta se v²tric in z enako
S kolik²no hitrostjo se trajekt premakne, ko ga tovornjaka
zapustita? Masa trajekta je 1000 t.
5. Raketno oroºje na mirujo£em ºelezni²kem vagonu izstreli raketo z maso 200 kg s hitrostjo 1 km/s
v vodoravni smeri. S kolik²no hitrost se vagon premakne ob izstrelitvi? Masa vagona z oroºjem
vred je 20 t.
4
58
DINAMIKA
6. 10-tonski vagon tr£i s hitrostjo 1 m/s v mirujo£i 15-tonski vagon. Kolik²na je skupna kon£na
hitrost, £e se po trku gibljeta skupno?
Kolik²na pa je ob enakih za£etnih pogojih hitrost
drugega vagona po trku, £e vagona tr£ita proºno?
7. Popolnoma proºna krogla z maso 3 kg zadene ob drugo proºno kroglo z maso 2,5 kg. Hitrost
prve krogle je 1,7 m/s, druge pa 0,8 m/s. Kolika je hitrost obeh krogel po trku?
8. Biljardna krogla z maso 500 g zadene drugo kroglo z maso 450 g. Prva krogla se pred trkom
giblje s hitrostjo 2 m/s, druga pa s hitrostjo 1 m/s v nasprotni smeri. Kolik²na je hitrost obeh
krogel po idealno proºnem trku?
9. Vozi£ek z maso
15 kg
se giblje po vodoravnem tiru s hitrostjo
navzdol svin£eno kepo z mase
5 kg,
20 m/s.
Z vi²ine
15 m
spustimo
tako da pade na vozi£ek in se naj prilepi. Kolik²na je nova
hitrost vozi£ka? Kje mora biti vozi£ek, ko spustimo kepo, da le-ta pade nanj?
Rp: Pozor! V vodoravni smeri se gibalna koli£ina ohranja, tako da je
Gpred = Gpo ,
medtem
ko se v navpi£ni smeri ne ohranja, saj tra£nice prestreºejo sunek sile svin£ene kepe in jo
zaustavijo. V vodoravni smeri tako velja:
mv vv = (mv + mk )v
⇒
v=
mv vv
= 15 m/s
mv + mk
Ker kepa pada
t=
s
2h
= 1, 73 s
g
, vozi£ek v tem £asu prepelje pot
sv = vv t= 34, 6m
Vozi£ek mora biti toliko
sv
oddaljen v vodoravni smeri od mesta, kjer bo pristala kepa.
10. Curek s 5 litri vode na sekundo in hitrostjo 20 m/s zadeva pravokotno ob steno in odteka po
steni. S kolik²no silo deluje curek na steno?
11. Na lopatico Peltonove turbine brizga curek vode s hitrostjo
lopatico
30 kg
20 m/s. Vsako
15 m/s. S
vode. Voda se od lopatice odbije nazaj s hitrostjo
sekundo pade na
kolik²no silo ti²£i
curek na lopatico?
Rp: Sila je seveda enaka spremembi gibalne koli£ine v £asovni enoti. Edino na kar moramo
paziti je, da ima voda po odboju od turbine nasprotno smer, torej imamo namesto razlike velikosti gibalnih koli£in, kot marsikdo pri£akuje, pravzaprav vsoto velikosti gibalnih
koli£in.
F =
m
(vpo + vpred ) = 1050 N
t
12. Na lopatico Peltonove turbine brizga curek vode s hitrostjo
lopatico
30 kg
20 m/s. Vsake 3 sekunde pade na
15 m/s. S kolik²no silo ti²£i
vode. Voda se od lopatice odbije nazaj s hitrostjo
curek na lopatico?
13. Na lopatico Peltonove turbine brizga curek vode s hitrostjo 30 m/s in masnim tokom 20 kg/s.
Voda se od lopatice odbije nazaj s hitrostjo 25 m/s. S kolik²no silo ti²£i curek na lopatico?
14. Vodni curek s pretokom 10 l/s pada z vi²ine 20 m na lopatice turbine in se od njih odbija s
pribliºno enako hitrostjo. Kolik²na sila deluje na lopatice?
15. S kolik²no hitrostjo mora curek vode zadevati ob pladenj s polmerom 15 cm in maso 2 kg, da
pladenj lebdi na curku?
16. Kroºnik z maso 100 g in polmerom 10 cm poloºimo na navpi£ni curek vode, ki iz ²obe priteka
s hitrostjo 2 m/s. Na kateri vi²ini kroºnik obmiruje?
17. Helikopter z maso 3 t lahko lebdi v zraku, £e z vodoravnim propelerjem potiska zrak navzdol. S
kolik²no hitrostjo mora potiskati zrak, £e je polmer propelerja 4 m, gostota zraka pa
1, 2 kg/m3 ?
4
59
DINAMIKA
18. Kolo z maso 1,5 kg in polmerom 0,5 m se vrti s kotno hitrostjo 15 /s okrog navpi£ne osi. Na
isti osi je ²e kolo z maso 1 kg in polmerom 0,3 m, ki se vrti s kotno hitrostjo 10 /s v nasprotni
smeri. Prvo kolo spustimo na drugo, da se dotakneta. Zaradi trenja se njuni hitrosti izravnata.
Kolik²na je njuna skupna hitrost?
19. Palica z maso 1 kg in dolºino 40 cm se lahko vrti okrog vodoravne osi, ki je pravokotna na palico
in gre skozi njeno teºi²£e. Kroglica z maso 10 g se zapi£i v konec palice s hitrostjo 200 m/s pod
◦
kotom 30 glede na smer palice pravokotno na os. Kolik²na je kotna hitrost palice po zadetku,
£e je v za£etku mirovala?
20. Z 20 m visokega mostu pade vre£a peska z maso 20 kg na vagon z maso 100 kg, ki pelje s
hitrostjo 6 m/s. Koliko je gibalna koli£ina vagona, preden pade vre£a nanj? koliko je gibalna
koli£ina vagona in vre£e po trku? Koliko je hitrost vagona in vre£e po trku? Koliko je kineti£na
energija vagona preden pade vre£a nanj? Koliko je kineti£na energija vagona in vre£e po trku?
Na vagonu je loputa, ki se £ez £as odpre, tako da pade vre£a z vagona. Koliko je hitrost vagona,
ko vre£a pade z njega?
21. Drsalec in njegova partnerka se drºita in drsita po ledu s hitrostjo
njena pa
40 kg.
4 m/s.
Njegova masa je
70 kg,
V nekem trenutku se odrineta drug od drugega v smeri, ki je pravokotna na
prvotno smer gibanja. Drsalec se od partnerke oddaljuje s hitrostjo
3 m/s.
Kako se spremeni
njuna skupna gibalna koli£ina ( Utemelji!!!)? S kolik²no hitrostjo se gibljeta glede na trenerja,
ki stoji ob drsali²£u?
Rp: Pri ra£unih bomo upo²tevali indeks
1
za drsalca in
2
za drsalko.
Skupna gibalna koli£ina obeh drsalcev se pri tak²nem odrivu ohrani, tako da v smeri, ki
je pravokotna na prvotno smer gibanja, skupna gibalna koli£ina ostane
0,
toliko kot je
bila pred odrivom. V smeri gibanja drsalcev pa gibalna koli£ina tudi ostane tolik²na kot
je bila prej, saj ni nobene zunanje sile, ki bi skupno gibalno koli£ino spremenila.
V smeri, ki je pravokotna na prvotno smer gibnja obeh drsalcev lahko zapi²emo izrek o
ohranitvi gibalne koli£ine:
∆G = 0 ali m1 v1 = m2 v2 .
Pri tem upo²tevamo ²e, da je hitrost
s katero se drsalca oddaljujeta drug od drugega enaka vsoti hitrosti posameznega drsalca
v = v1 + v2 .
Eno hitrost izrazimo z drugo in vstavimo v izrek o ihranitvi gibalne koli£ine.
Po kraj²em ra£unu, ki ga naj bralec za vajo naredi sam, ugotovimo, koliko sta hitrosti
drsalcev v smeri, ki je pravokotna na prvotno smer gibanja:
v1 =
v
m1 = 1, 09 m/s
1+ m
2
in
v2 =
v
= 1, 91 m/s
2
1+ m
m1
Za kon£en rezultat moramo uporabiti ²e pitagorov izrek, saj se drsalca gibljeta s hitrostjo
vo = 4 m/s, ki
vd :
je pravokotna na hitrosti
v1
v2 .
in
Tako dobimo kon£no hitrost drsalca
vD
in drsalke
vD =
22. Drsalec z maso
60 kg,
q
vo2 + v12 = 4, 15 m/s
in
ki ima v roki ºogo z maso
vd =
5 kg,
q
vo2 + vd2 = 4, 43 m/s
se s hitrostjo
1 m/s premika po ledeni
10 m/s v smeri voºnje.
ploskvi vzporedno z robom drsali²£a. Nenadoma vrºe ºogo s hitrostjo
Kolik²na je hitrost drsalca po metu? S kolik²no hitrostjo bi moral vre£i ºogo, da bi se ustavil?
Vse hitrosti so dane za opazovalca, ki stoji ob robu drsali²£a!
23. Tovornjak z maso
10 ton
in neproºno tr£ita.
ki oklepa kot
60◦
in osebni avto z maso
1, 5 tone
peljeta pravokotno drug na drugega
Razbitine v prvem trenutku po trku drsijo s hitrostjo
10 km/h
v smeri,
s prvotno smerjo osebnega avtomobila. Koliko je hitrost avtomobilov pred
trkom?
Rp: Upo²tevamo, da sta gibalni koli£ini obeh teles vendarle vendarle vektorja.Izra£unamo
najprej skupno gibalno koli£ino po trku
G = (ma +mt )v , nato pa z nekaj geometrije gibalni
va = 38, 3 km/h, vt = 9, 96 km/h.
koli£ini obeh vozil pred trkom ter nato ²e njuni hitrosti:
24. Limuzina z maso
neproºno tr£ita.
oklepa kot
30◦
3 tone
in kabriolet z maso
1, 2 tone
peljeta pravokotno drug na drugega in
Razbitine v prvem trenutku po trku drsijo s hitrostjo
15 km/h
v smeri, ki
s prvotno smerjo limuzine. Koliko je hitrost avtomobilov pred trkom?
4
60
DINAMIKA
Rp:
vl = 5, 05 m/s, vk = 7, 3 m/s
25. šogo z maso
200 g
vrºemo s
5m
visokega okna v vodoravni smeri s hitrostjo
10 m/s.
(a) Koliko je sprememba gibalne koli£ine ºoge?
(b) Koliko je sunek sile na ºogo?
(c) Koliko je rezultanta zunanjih sil, ki delujejo na ºogo?
26. šogo z maso
100 g
vrºemo z
10 m
visokega okna v vodoravni smeri s hitrostjo
5 m/s.
(a) Koliko je sprememba gibalne koli£ine ºoge?
(b) Koliko je sunek sile na ºogo?
(c) Koliko je rezultanta zunanjih sil, ki delujejo na ºogo?
27. šoga z maso
500 g
je priletela v navpi£ni zid pod kotom
30◦
s hitrostjo
20 m/s
in se od zidu
odbila pod enakim kotom in z isto hitrostjo. Nari²i sliko!
(a) Kolik²na je gibalna koli£ina ºoge pred trkom?
(b) Kolik²na je gibalna koli£ina ºoge po trku?
(c) Kolik²na je sprememba gibalne koli£ine ºoge?
(d) Izra£unaj sunek sile na ºogo!
(e) S kolik²no silo se odbije od zidu, £e traja stik s steno
0, 1 s?
(f ) Kolik²en kot oklepa smer sile s steno?
Rp:
G1 = mv1 = 10 Ns, G2 = mv2 = 10 Ns,
~ =G
~2 − G
~ 1 ⇒ ∆G = 2G2 cos ϕ = 17, 3 Ns,
∆G
F ∆t = ∆G = 17, 3 Ns, F = ∆G
∆t = 173 N, kot med smerjo
28. šoga z maso
300 g
je priletela v navpi£ni zid pod kotom
60◦
sile in steno je
s hitrostjo
90◦ .
20 m/s
in se od zidu
20 m/s
in se od zidu
odbila pod enakim kotom in z isto hitrostjo. Nari²i sliko!
(a) Kolik²na je gibalna koli£ina ºoge pred trkom?
(b) Kolik²na je gibalna koli£ina ºoge po trku?
(c) Kolik²na je sprememba gibalne koli£ine ºoge?
(d) Izra£unaj sunek sile na ºogo!
(e) S kolik²no silo se odbije od zidu, £e traja stik s steno
0, 1 s?
(f ) Kolik²en kot oklepa smer sile s steno?
29. šoga z maso
0, 5 kg
je priletela v navpi£ni zid pod kotom
45◦
s hitrostjo
odbila pod enakim kotom in z isto hitrostjo. Nari²i sliko!
(a) Kolik²na je gibalna koli£ina ºoge pred trkom?
(b) Kolik²na je gibalna koli£ina ºoge po trku?
(c) Kolik²na je sprememba gibalne koli£ine ºoge?
(d) Izra£unaj sunek sile na ºogo!
(e) S kolik²no silo se odbije od zidu, £e traja stik s steno
0, 1 s?
(f ) Kolik²en kot oklepa smer sile s steno?
30. Telo z maso
5 kg
se giblje enakomerno s hitrostjo
20 m/s. Nenadoma za£ne na telo delovati
6 s v nasprotni smeri kot prej s hitrostjo
stalna zunanja sila, zaradi katere se telo giblje £ez
4 m/s.
Izra£unaj:
(a) gibalno koli£ino pred delovanjem sile,
(b) gibalno koli£ino po delovanju sile,
(c) spremembo gibalne koli£ine,
(d) sunek sile na telo,
4
61
DINAMIKA
(e) velikost sile, ki deluje na telo!
Rp:
G1 = 100 Ns, G2 = −20 Ns, ∆G = −120 Ns, F ∆t = −120 Ns,F = −20 N
500 kg se pelje enakomerno premo s hitrostjo 10 m/s.V nekem trenutku za£ne nanj
30 s gibati v nasprotno smer s
2 m/s. Izra£unaj:
31. Avto z maso
delovati stalna zunanja sila, ki povzro£i, da se avto za£ne po
hitrostjo
(a) gibalno koli£ino pred delovanjem sile,
(b) gibalno koli£ino po delovanju sile,
(c) spremembo gibalne koli£ine,
(d) sunek sile na avto,
(e) velikost sile!
3 kg
32. Plo²£ica z maso
5 m/s.
Po
50 m
drsi po enakomerno nagnjenem klancu navzdol in ima v to£ki A hitrost
poti v to£ki B, ki leºi
10 m
niºe od to£ke A, ima plo²£ica hitrost
10 m/s.
(a) Kolik²na je gibalna koli£ina plo²£ice v to£ki A?
(b) Kolik²na je gibalna koli£ina plo²£ice v to£ki B?
(c) Koliko je sunek sil na plo²£ico?
(d) Koliko je vsota zunanjih sil na plo²£ico?
(e) Koliko je sila trenja?
Rp:
GA = mvA = 15 Ns, GB = mvB = 30 Ns, F ∆t = ∆G = GB − GA = 15 Ns,
∆G
t = vA2s
+vB = 6, 67 s in zato F = ∆t = 2, 25 N
Ft = Fg hs − F = 3, 75 N
33. Plo²£ica z maso
10 m/s.
Po
40 m
5 kg
drsi po enakomerno nagnjenem klancu navzdol in ima v to£ki A hitrost
poti v to£ki B, ki leºi
10 m
niºe od to£ke A, ima plo²£ica hitrost
15 m/s.
(a) Kolik²na je gibalna koli£ina plo²£ice v to£ki A?
(b) Kolik²na je gibalna koli£ina plo²£ice v to£ki B?
(c) Koliko je sunek sil na plo²£ico?
(d) Koliko je vsota zunanjih sil na plo²£ico?
(e) Koliko je sila trenja?
Rp:
4.6
GA = 50 Ns, GB = 75 Ns, F ∆t = 25 Ns,
t = 3, 2 s in zato F = 7, 81 N
Ft = 4, 69 N
energijski zakon
1. Telo, ki v za£etku miruje, se giblje pod vplivom stalne sile. Kako se spreminja kineti£na energija
telesa v odvisnosti od £asa?
2. Telo, ki v za£etku miruje, se giblje pod vplivom stalne sile. Kako se spreminja kineti£na energija
telesa v odvisnosti od poti?
3. Na telo deluje stalna sila
na poti
100 m
100 N
v smeri gibanja na poti
100 m.
Sila trenja je
40 N.
Za koliko se
pove£a kineti£na energija telesa?
4. Kamen z maso
3 kg
pade z vi²ine
2m
na vzmet. Koliko se vzmet skr£i, £e je koecient vzmeti
8 N/mm?
5. Kroglica z maso
proºnosti vzmeti
0, 3 kg pade
20 N/cm?
z vi²ine
75 cm
na vzmet. Koliko se vzmet skr£i, £e je koecient
4
62
DINAMIKA
6. Kolesar pripelje do
5◦ .
100 m dolgega klanca s hitrostjo 6 m/s.
upo²teva² koecient trenja
1 km
in nagnjen
1◦
mora pripeljati do klanca, da bo imel na vrhu hitrost
trenja
Kaj pa £e
0, 05?
7. Vagon pripelje do klanca, ki je dolg
proti vodoravnici. S kolik²no hitrostjo
1 m/s?
Kaj pa £e upo²teva² koecient
0, 005?
8. Kolik²no delo opravi avtomobil z maso
80 km/h?
Pri tem prepelje avto
500 m
1, 5 t,
ko se pove£a njegova hitrost od
dale£. Koecient trenja pa je
9. Kolik²no delo opravi konj, ki vle£e voz z maso
8 km/h?
Pri tem prepelje voz
500 m
5 km/h?
Pri tem prepelje voz
11. Letalo z maso
2, 5 t
1500 m
se dvigne v £asu
1, 5 t,
3, 5 t,
na
2 km/h
na
1 km/h
na
0, 05!
£e pospe²i voz od hitrosti
dale£. Koecient trenja pa je
5, 4 minut 1, 5 km
20 km/h
0, 05!
£e pospe²i voz od hitrosti
dale£. Koecient trenja pa je
10. Kolik²no delo opravi konj, ki vle£e voz z maso
36%
Klanec je nagnjen proti vodoravnici
S kolik²no hitrostjo pripelje kolesar na konec klanca, £e se spusti po njem?
0, 05!
visoko. šene ga motor, ki rabi pri tem
svoje mo£i. Izra£unaj mo£ motorja!
12. Motor z mo£jo
6 kW
20 m vi²e leºe£i
3 minutah?
poganja pumpo, ki dvigne vodo v
energijski izkoristek, £e pumpa dvigne
3400 kg
vode v
rezervoar. Kolik²en je
13. Najmanj koliko mo£ mora imeti motor, ki poganja premi£ne stopnice, £e ºelimo, da v 2 urah
prepelje 4000 oseb v nadstropje, ki je 7 m vi²e? Popre£na masa osebe je 70 kg, mo£ za premikanje praznih stopnic pa 3 kW?
14. Motor z mo£jo 10 kW poganja vitel, ki dviguje breme z maso 100 kg 20 m visoko. V kolik²nem
£asu dvigne breme na to vi²ino, £e je izkoristek motorja 80%?
15. Lokomotiva z maso 30 t doseºe v 1,5 min hitrost 36 km/h. Kolik²na je tedaj njena mo£, £e dela
motor z izkoristkom 70%?
16. ƒrpalka dvigne vsako minuto 400 litrov vode v deset metrov vi²e leºe£i zbiralnik. Koliko dela
se nekoristno izgubi, £e je mo£ motorja £rpalke 3 kW?
17. ƒrpalka dvigne vsako minuto
2400 litrov
vode v deset metrov vi²e leºe£i zbiralnik. Koliko dela
se nekoristno izgubi, £e je mo£ motorja £rpalke
5 kW?
18. Elektri£na centrala izkori²£a energijo vode. Vsako minuto pade 1,2 t vode 4,2 m globoko. Koliko
dela lahko centrala odda v omreºje vsako sekundo, £e se polovica energije vode nekoristno
izgubi?
19. Vodovodna pumpa potiska vodo v 30 m vi²e leºe£i rezervoar. Koliko dela najmanj opravi, £e
potisne
100 m3
vode? S kolik²no mo£jo dela, £e vsako minuto potisne v rezervoar
100 m3
vode?
20. Voda odteka s strehe po 10 m dolgem navpi£nem ºlebu. Kako dale£ od vznoºja stavbe moramo
v tla izkopati odto£ni ja²ek, £e je izto£na ²oba ºleba vodoravna in je 20 cm nad tlemi?
21. Gumijasto ºogo z maso 200 g spustimo z vi²ine 2 m.
Do katere vi²ine se dvigne po petem
odskoku, £e se ºogi pri vsakem odboju kineti£na energija zmanj²a za £etrtino?
Kolik²na je
notranja energija v tem trenutku?
22. Gumijasto ºogo z maso 200 g spustimo z vi²ine 2 m.
Do katere vi²ine se dvigne po petem
odskoku, £e se ºogi pri vsakem odboju kineti£na energija zmanj²a za tretjino?
Kolik²na je
notranja energija v tem trenutku?
23. 1 m dolga palica z maso 500 g se vrti v navpi£ni s frekvenco 200 /s v ravnini okrog osi, ki gre
skozi njeno teºi²£e.Kolik²na je energija palice zaradi vrtenja?
24. Kroglica z maso 0,5 kg je pritrjena na koncu 1 m dolge palice. Palica se vrti s frekvenco 300 /s
v navpi£ni ravnini okrog osi, ki gre skozi drug konec palice.
kroglice?
Kolik²na je kineti£na energija
4
63
DINAMIKA
25. Kolik²na je rotacijska energija dnevnega vrtenja Zemlje in kolik²na je kineti£na energija letnega
kroºenja Zemlje okrog Sonca? Polmer Zemlje je 6400 km, povpre£na gostota je
povpre£na oddaljenost od Sonca pa
5, 6 kg/dm3 ,
6
150 · 10 km.
26. Na vodoravni ledeni ploskvi leºi okrogla plo²£a z maso 50 kg in polmerom 0,6 m. Na robu plo²£e
stoji otrok z maso 40 kg in v nekem trenutku sko£i s plo²£e v tangentni smeri s hitrostjo 4 m/s.
Kako se plo²£a giblje po odskoku?
27. Avtomobil ima mo£ motorja 75 kW. Izkoristek motorja pa je 25%. Masa avtomobila je 1000 kg.
Koliko je vsota sile upora in sile trenja, £a avto pelje s stalno hitrostjo 156 km/h? Koliko je
kineti£na energija avtomobila? Kako dale£ se pripelje, £e motor preneha delovati? (Pomisli,
kako je z zaviralnimi silami!)
28. Plo²£ica z maso
5 m/s.
Po
50 m
3 kg
drsi po enakomerno nagnjenem klancu navzdol in ima v to£ki A hitrost
poti v to£ki B, ki leºi
10 m
niºe od to£ke A, ima plo²£ica hitrost
10 m/s.
(a) Kolik²na je gibalna koli£ina plo²£ice v to£ki A?
(b) Kolik²na je gibalna koli£ina plo²£ice v to£ki B?
(c) Koliko je sunek sil na plo²£ico?
(d) Koliko je kineti£na energija v to£ki A?
(e) Koliko je kineti£na energija v to£ki B?
(f ) Koliko je potencialna energija v to£ki A?
(g) Koliko je sprememba potencialne energije med to£kama A in B?
(h) Koliko je vsota zunanjih sil na plo²£ico?
Rp:
GA = mvA = 15 Ns, GB = mvB = 30 Ns, F ∆t = ∆G = GB − GA = 15 Ns, WkA
1
1
2
2
2 mvA = 37, 5 J, WkB = 2 mvB = 150 J, WpA = mgh = 300 J + konst., ∆Wp = 300 J
∆Wk
∆G
A
t = vA2s
= 2, 25 N
+vB = 6, 67 s in zato F = ∆t = 2, 25 N ali pa F = s =
s
F =
29. Plo²£ica z maso
¢ ∆Wk
m¡ 2
∆G
mvB − mvA
2
=
=
vB − vA
=
2s
∆t
2s
s
vA +vB
3 kg in polmerom 3 cm
5 m/s. Po 50 m poti
v to£ki A hitrost
hitrost
=
drsi po enakomerno nagnjenem klancu navzdol in ima
v to£ki B, ki leºi
10 m
niºe od to£ke A, ima plo²£ica
10 m/s.
(a) Kolik²na je gibalna koli£ina plo²£ice v to£ki A?
(b) Kolik²na je gibalna koli£ina plo²£ice v to£ki B?
(c) Koliko je sunek sil na plo²£ico?
(d) Koliko je kineti£na energija v to£ki A?
(e) Koliko je kineti£na energija v to£ki B?
(f ) Koliko je sprememba kineti£ne energije med to£kama A in B?
(g) Koliko je potencialna energija v to£ki A?
(h) Koliko je potencialna energija v to£ki B?
(i) Koliko je sprememba potencialne energije med to£kama A in B?
(j) Koliko je vsota zunanjih sil na plo²£ico?
(k) Koliko je sprememba gibalne koli£ine plo²£ice?
(l) Koliko je delo teºe?
Pri naslednjih nalogah, kjer se po klancu kotali krogla naletimo na teºavo.
Glede na prej²njo nalogo se zdi, da vrtenje krogle okoli lastne osi in s tem rotacijske energije
ni potrebno upo²tevati. V primeru, da kotaljenja ne upo²tevamo, re²ujemo naloge kot zgoraj
pri plo²£ici; vendar je v tak²nem primeru re²itev zikalno nekorektna, je pa tak²no re²evanje
priro£no za vajo!
ƒe pa rotacijo upo²tevamo, so re²itve bolj pravilne, ampak teºje, zato pa bolj zabavne.
4
64
DINAMIKA
30. Kroglo z maso
hitrost
10 m/s.
3 kg smo zakotalili po enakomerno nagnjenem klancu navzgor. V to£ki A ima
Po 50 m poti v to£ki B, ki leºi 10 m vi²e od to£ke A, ima plo²£ica hitrost 5 m/s.
(a) Kolik²na je gibalna koli£ina krogle v to£ki A?
(b) Kolik²na je gibalna koli£ina krogle v to£ki B?
(c) Koliko je sunek zunanjih sil na kroglo?
(d) Koliko je kineti£na energija v to£ki A?
(e) Koliko je kineti£na energija v to£ki B?
(f ) Koliko je potencialna energija v to£ki B?
(g) Koliko je sprememba potencialne energije med to£kama A in B?
(h) Koliko je vsota zunanjih sil na kroglo?
3 kg in polmerom 3 cm se kotali po klancu navzdol. Hitrost 10 m/s
40 m poti v to£ki B, ki leºi 5 m niºe od to£ke A, ima hitrost 15 m/s.
31. Krogla z maso
to£ki A. Po
doseºe v
(a) Kolik²na je gibalna koli£ina krogle v to£ki A?
(b) Kolik²na je gibalna koli£ina krogle v to£ki B?
(c) Koliko je sunek sil na kroglo?
(d) Koliko je kineti£na energija v to£ki A?
(e) Koliko je kineti£na energija v to£ki B?
(f ) Koliko je sprememba kineti£ne energije med to£kama A in B?
(g) Koliko je potencialna energija v to£ki A?
(h) Koliko je potencialna energija v to£ki B?
(i) Koliko je sprememba potencialne energije med to£kama A in B?
(j) Ali ima krogla zaradi rotacije energijo?
(k) Koliko je vsota zunanjih sil na kroglo?
(l) Koliko je sprememba gibalne koli£ine krogle?
(m) Koliko je delo teºe?
3 kg in polmerom 13 cm zakotalimo po klancu navzgor. Hitrost 12 m/s
40 m poti v to£ki B, ki leºi 5 m vi²e od to£ke A, ima hitrost 4 m/s.
32. Kroglo z maso
to£ki A. Po
doseºe v
(a) Kolik²na je gibalna koli£ina krogle v to£ki A?
(b) Kolik²na je gibalna koli£ina krogle v to£ki B?
(c) Koliko je sunek sil na kroglo?
(d) Koliko je kineti£na energija v to£ki A?
(e) Koliko je kineti£na energija v to£ki B?
(f ) Koliko je sprememba kineti£ne energije med to£kama A in B?
(g) Koliko je potencialna energija v to£ki A?
(h) Koliko je potencialna energija v to£ki B?
(i) Koliko je sprememba potencialne energije med to£kama A in B?
(j) Koliko je vsota zunanjih sil na kroglo?
(k) Koliko je sprememba gibalne koli£ine krogle?
(l) Koliko je delo teºe?
33. Kroglo z maso
3 kg
in polmerom
prileti v to£ki B, ki leºi
10 m
3 cm
vrºemo vodoravno s hitrostjo
niºe od to£ke s hitrostjo
(a) Kolika je gibalna koli£ina krogle v to£ki A?
(b) Kolik²na je gibalna koli£ina krogle v to£ki B?
17, 3 m/s.
10 m/s
v to£ki A. Na tla
4
65
DINAMIKA
(c) Koliko je kineti£na energija v to£ki A?
(d) Koliko je kineti£na energija v to£ki B?
(e) Koliko je potencialna energija v to£ki A?
(f ) Koliko je potencialna energija v to£ki B?
(g) Koliko je gostota krogle?
34. šogo z maso
100 g
vrºemo z vi²ine
15 m
v vodoravni smeri s hitrostjo
10 m/s.
Zaviralne sile
zanemari!
(a) Koliko je sprememba gibalne koli£ine ºoge?
(b) Koliko je sprememba kineti£ne energije ºoge?
(c) Koliko je sprememba potencialne energije ºoge?
(d) Koliko je sprememba celotne energije ºoge?
(e) S kolik²no hitrostjo prileti ºoga na tla?
35. Gasilci re²ujejo ljudi iz vi²jih nadstropij zgradb tako, da uporabijo posebno ponjavo, po kateri
jih spu²£ajo navzdol. Trenje omogo£a, da ljudje med spu²£anjem ne doseºejo prevelike hitrosti.
Predpostavimo, da se med spustom po tak²ni ponjavi
trenja. Mo²ki z maso
80 kg
75%
potencialne energije izgubi zaradi
se spusti po ponjavi iz drugega nadstropja, ki je
9m
nad tlemi;
12 m.
ponjava je dolga
(a) S kolik²no hitrostjo bi priletel na tla, £e bi sko£il?
(b) Kolik²na je sprememba potencialne energije moºa med spustom?
(c) S kolik²no hitrostjo mo²ki pristane na tleh?
(d) Kolik²na je povpre£na sila trenja?
36. Kroglica z maso
0, 3 kg je 75 cm nad vzmetjo.
2 N/cm? Upo²tevaj, da
£e je koecient vzmeti
37. Kamen z maso
Koliko se vzmet skr£i, ko kroglica pade nanjo,
je vzmet dovolj dolga.
3 kg je 2 m nad vzmetjo. Koliko se vzmet skr£i,
8 N/cm? Upo²tevaj, da je vzmet dovolj dolga.
ko kamen pade nanjo, £e je
koecient vzmeti
38. Telo z maso
5 kg
se giblje enakomerno s hitrostjo
20 m/s. Nenadoma za£ne na telo delovati
6 s v nasprotni smeri kot prej s hitrostjo
stalna zunanja sila, zaradi katere se telo giblje £ez
4 m/s.
(a) Koliko je sunek sile na telo?
(b) Koliko je velikost sile, ki deluje na telo!
39. šogo z maso
300 g
vrºemo z vi²ine
10 m
v vodoravni smeri s hitrostjo
15 m/s.
Zaviralne sile
zanemari!
(a) Koliko je sprememba gibalne koli£ine ºoge?
(b) Koliko je sprememba kineti£ne energije ºoge?
(c) Koliko je sprememba potencialne energije ºoge?
(d) Koliko je sprememba celotne energije ºoge?
(e) S kolik²no hitrostjo prileti ºoga na tla?
40. šogico, ki ima maso
26 g,
spustimo z vi²ine
1, 2 m.
Odbije se do vi²ine
1 m.
(a) Kvalitativno opi²i energijske spremembe pri odskoku!
(b) S kolik²no hitrostjo pade ºogica na tla?
(c) S kolik²no hitrostjo se ºogica odbije?
(d) S kolik²no hitrostjo bi jo morali vre£i navpi£no navzdol, da bi se dvignila do za£etne vi²ine,
£e bi se pri tem izgubil enak deleº za£etne energije a)?
4
66
DINAMIKA
41. šogo, ki ima maso
50 g
vrºemo vodoravno s hitrostjo
5 m/s
z vi²ine
3 m.
5 m/s
z vi²ine
3 m.
(a) Opi²i energijske spremembe!
(b) Koliko je sunek sil na ºogo med letom?
(c) Koliko je sprememba kineti£ne energije ºoge?
(d) Koliko je sprememba potencialne energije ºoge?
(e) Koliko je sprememba gibalne koli£ine ºoge?
(f ) Kako se spremeni skupna energija ºoge?
42. šogo, ki ima maso
50 g
vrºemo vodoravno s hitrostjo
(a) Opi²i energijske spremembe!
(b) Koliko je sunek sil na ºogo med letom?
(c) Koliko je sprememba kineti£ne energije ºoge?
(d) Koliko je sprememba potencialne energije ºoge?
(e) Koliko je sprememba gibalne koli£ine ºoge?
(f ) Kako se spremeni skupna energija ºoge?
43. Gasilci re²ujejo ljudi iz vi²jih nadstropij zgradb tako, da uporabijo posebno ponjavo, po kateri
jih spu²£ajo navzdol. Trenje omogo£a, da ljudje med spu²£anjem ne doseºejo prevelike hitrosti.
Predpostavimo, da se med spustom po tak²ni ponjavi
trenja. šenska z maso
Ponjava je dolga
60 kg
67%
potencialne energije izgubi zaradi
se spusti po ponjavi iz drugega nadstropja, ki je
11 m
nad tlemi.
15 m.
(a) S kolik²no hitrostjo bi priletela na tla, £e bi sko£ila?
(b) Kolik²na je sprememba potencialne energije ºenske med spustom?
(c) S kolik²no hitrostjo ºenska pristane na tleh?
(d) Kolik²na je povpre£na sila trenja?
44. Atlet z maso
70 kg
te£e s stalno hitrostjo
1 m/s
navkreber po strmini, nagnjeni za
30◦ .
(a) Kolik²na je njegova kineti£na energija?
(b) Koliko je njegova gibalna koli£ina?
(c) Za koliko se vsako sekundo spremeni njegova gibalna koli£ina?
(d) Za koliko se vsako sekundo spremeni njegova kineti£na energija?
(e) Za koliko se vsako sekundo spremeni njegova potencialna energija?
(f ) Koliko dela opravi v eni sekundi?
(g) Kolik²na je mo£, ki je ta tak tek potrebna?
(h) Koliko dela opravi, £e tako te£e pet minut?
(i) Koliko dela opravi, ko se vzpne za 5 m?
(j) Koliko dela opravi, ko prete£e 5 m?
(k) Koliko je njegova hitrost po 3 minutah?
(l) Koliko je njegova gibalna koli£ina po 2 minutah?
45. Atlet z maso
70 kg
te£e s stalno hitrostjo
0, 5 m/s
navkreber po strmini, nagnjeni za
(a) Kolik²na je njegova kineti£na energija?
(b) Koliko je njegova gibalna koli£ina?
(c) Za koliko se vsako sekundo spremeni njegova gibalna koli£ina?
(d) Za koliko se vsako sekundo spremeni njegova kineti£na energija?
(e) Za koliko se vsako sekundo spremeni njegova potencialna energija?
(f ) Koliko dela opravi v eni sekundi?
45◦ .
4
67
DINAMIKA
(g) Kolik²na je mo£, ki je ta tak tek potrebna?
(h) Koliko dela opravi, £e tako te£e pet minut?
(i) Koliko dela opravi, ko se vzpne za 10 m?
(j) Koliko dela opravi, ko prete£e 10 m?
(k) Koliko je njegova hitrost po 2 minutah?
(l) Koliko je njegova gibalna koli£ina po 3 minutah?
46. Avto z maso
1300 kg in dolºino 413 cm pelje po enakomerno nagnjenem klancu navzgor in ima
15 m/s. Po 50 m poti v to£ki B, ki leºi 10 m vi²e od to£ke A, ima avto hitrost
v to£ki A hitrost
10 m/s.
(a) Kolik²na je gibalna koli£ina avta v to£ki A?
(b) Kolik²na je gibalna koli£ina avta v to£ki B?
(c) Koliko je sunek sil na avto?
(d) Koliko je kineti£na energija v to£ki A?
(e) Koliko je kineti£na energija v to£ki B?
(f ) Koliko je sprememba kineti£ne energije med to£kama A in B?
(g) Koliko je potencialna energija v to£ki A?
(h) Koliko je potencialna energija v to£ki B?
(i) Koliko je sprememba potencialne energije med to£kama A in B?
(j) Koliko je vsota zunanjih sil na avto?
(k) Koliko je sprememba gibalne koli£ine avta?
(l) Koliko je delo teºe?
47. šogico, ki ima maso
33 g,
spustimo z vi²ine
1, 5 m,
da prosto poskakuje na mestu. Po vsakem
odskoku se vi²ina, do katere se ºogica dvigne, zmanj²a za
40%.
(a) Kvalitativno opi²i energijske spremembe pri poskakovanju!
(b) S kolik²no hitrostjo pade ºogica prvi£ na tla?
(c) S kolik²no hitrostjo se ºogica prvi£ odbije?
(d) Do katere vi²ine se dvigne po dvanajstem odskoku?
48. šogico, ki ima maso
3 g,
spustimo z vi²ine
1, 5 m,
da prosto poskakuje na mestu. Po vsakem
odskoku se vi²ina, do katere se ºogica dvigne, zmanj²a za
33%.
(a) Kvalitativno opi²i energijske spremembe pri poskakovanju!
(b) S kolik²no hitrostjo pade ºogica prvi£ na tla?
(c) S kolik²no hitrostjo se ºogica prvi£ odbije?
(d) Do katere vi²ine se dvigne po sedmem odskoku?
49. Kamen ima maso
m.
Vrºemo ga vodoravno s hitrostjo
vo
le s podanimi koli£inami
50. Kamen ima maso
m.
m, h
in
vo !
Vrºemo ga vodoravno s hitrostjo
vo
h. Koliko je hitrost kamna,
= Wp )? Rezultat lahko izrazi²
z vi²ine
ko je polovica kineti£ne energije enaka potencialni energiji (
1
2 Wk
z vi²ine
h.
Koliko je vi²ina kamna,
ko je kineti£na energija enaka dvema tretjinama potencialne energije (Wk
lahko izrazi² le s podanimi koli£inami
51. Vagon pripelje do klanca, ki je dolg
s
m, h
in
vo !
in nagnjen
ϕ
= 32 Wp )?
Rezultat
proti vodoravnici. S kolik²no hitrostjo
mora pripeljati do klanca, da bo imel na vrhu hitrost
v?
vo
Kaj pa £e upo²teva² koecient trenja
kt ?
s dolgega klanca s hitrostjo vo . Klanec je nagnjen proti vodoravnici ϕ. S
v pripelje kolesar na konec klanca, £e se spusti po njem? Kaj pa £e upo²teva²
kt ?
52. Kolesar pripelje do
kolik²no hitrostjo
koecient trenja
4
68
DINAMIKA
53. šogo spustimo, da prosto pade. Tik pred tlemi ima hitrost
vo .
Odbije se s hitrostjo
manj²a od hitrosti pred odskokom. Rezultat lahko izrazi² le s podanima koli£inama
vo
v,
ki je
in
v!
(a) Za kolik²en deleº za£etne energije, se je zmanj²ala kineti£na energija (za koliko procentov)?
(b) S kolik²no hitrostjo bi jo morali vre£i navpi£no navzdol, da bi se dvignila do za£etne vi²ine,
£e bi se pri tem izgubil enak deleº za£etne energije kot v primeru a)?
ho .
54. šogo spustimo z vi²ine
h,
Po odskoku se dvigne do vi²ine
Rezultat lahko izrazi² le s podanima koli£inama
ho
ki je manj²a od za£etne vi²ine.
h!
in
(a) Za kolik²en deleº za£etne energije, se je zmanj²ala potencialna energija (za koliko procentov)?
(b) S kolik²no hitrostjo bi jo morali vre£i navpi£no navzdol, da bi se dvignila do za£etne vi²ine,
£e bi se pri tem izgubil enak deleº za£etne energije kot v primeru a)?
55. Kamen ima maso
m.
Vrºemo ga navzgor s hitrostjo
vo .
Koliko je hitrost kamna, ko je kineti£na
energija enaka trem £etrtinam potencialne energije (Wk
m
podanima koli£inama
m.
56. Kamen ima maso
in
vo !
Rezultat lahko izrazi² le s
vo . Koliko je vi²ina kamna, ko so tri
3
4 Wk = Wp )? Rezultat lahko izrazi² le s
Vrºemo ga navzgor s hitrostjo
£etrtine kineti£ne energije enaka potencialni energiji (
m
podanima koli£inama
57. Kamen ima maso
= 43 Wp )?
m.
in
vo !
Vrºemo ga vodoravno s hitrostjo
vo .
Koliko je vi²ina kamna, ko je
kineti£na energija enaka dvema tretjinama potencialne energije (Wk
izrazi² le s podanima koli£inama
58. Kamen ima maso
m.
m
in
vo !
Vrºemo ga vodoravno s hitrostjo
polovica kineti£ne energije enaka potencialni energiji (
m
podanima koli£inama
59. Kamen ima maso
m.
in
vo !
vo . Koliko je hitrost kamna, ko je
= Wp )? Rezultat lahko izrazi² le s
Vrºemo ga po²evno navzgor s hitrostjo
60. Kamen ima maso
m.
m
in
Rezultat lahko
1
2 Wk
vo .
Koliko je vi²ina kamna, ko je
kineti£na energija enaka dvema tretjinama potencialne energije (Wk
izrazi² le s podanima koli£inama
= 23 Wp )?
vo !
= 23 Wp )?
Rezultat lahko
vo . Koliko je hitrost kamna, ko je
= Wp )? Rezultat lahko izrazi² le s
Vrºemo ga po²evno navzgor s hitrostjo
polovica kineti£ne energije enaka potencialni energiji (
podanima koli£inama
m
in
vo !
1
2 Wk
61. Obravnavaj energijske spremembe pri gibanju Lune okoli Zemlje! (katere energije se spreminjajo, kako in zakaj)
62. Obravnavaj energijske spremembe pri gibanju Zemlje okoli Sonca! (katere energije se spreminjajo, kako in zakaj)
63. Luna se giblje okoli Zemlje po elipsi.
Kdaj je kineti£na energija Lune najve£ja, ko je Luna
najbliºje ali najdlje od Zemlje? Odgovor utemelji!
64. Mars se giblje okoli Sonca po elipsi. Kdaj je kineti£na energija Marsa najve£ja, ko je najbliºje
ali najdlje od Sonca? Odgovor utemelji!
65. Umetni satelit z maso
1000 kg
kroºi okoli Zemlje nad ekvatorjem tako, da je za opazovalca ne
Zemlji ves £as nad istim krajem. Na kolik²ni vi²ini nad Zemljo kroºi satelit? Kolik²no energijo
smo porabili, da smo spravili satelit s povr²ja Zemlje na ta tir? Radij Zemlje je
pospe²ek na povr²ju Zemlje je
66. Rolkar ima maso
75 kg.
6400 km,
teºni
10 m/s2 .
Spusti se po klancu z vi²ine
v to£ki A obrnjen na glavo. Premer ovinka
d
je
5 m.
h,
nato pa skozi ovinek smrti, tako da je
Glej sliko 20 na strani 69!
(a) Kolik²na mora biti najmanj vi²ina od koder se spusti, da mu bo uspelo?
(b) Koliko je sprememba potencialne energije med za£etno to£ko in to£ko A?
(c) Koliko je kineti£na energija v to£ki A?
4
69
DINAMIKA
Slika 20: Akrobatski zavoj.
(d) Koliko mora biti najmanj²a hitrost v to£ki A, da kolesar ne pade?
67. Kolesar ima maso
103 kg.
Spusti se po klancu z vi²ine
d
je v to£ki A obrnjen na glavo. Premer ovinka
je
5 m.
h,
nato pa skozi ovinek smrti, tako da
Glej sliko 20 na strani 69!
(a) Kolik²na mora biti najmanj vi²ina od koder se spusti, da mu bo uspelo?
(b) Koliko je sprememba potencialne energije med za£etno to£ko in to£ko A?
(c) Koliko je kineti£na energija v to£ki A?
(d) Koliko mora biti najmanj²a hitrost v to£ki A, da kolesar ne pade?
68. Kepo plastelina z maso
50 g
spustimo z vi²ine
1, 5 m,
da pade na skodelico vzmetne tehtnice z
zanemarljivo maso. Za koliko se skr£i vzmet, £e je njen koecient
N
150 m
?
69. Kadar velika zvezda eksplodira, ve£ina snovi odleti v vesolje, jedro zvezde pa postane tako
gosto, da je ubeºna hitrost na povr²ju enaka svetlobni hitrosti.
takega jedra zvezde, £e je njegova masa enaka masi Sonca (2
3 · 108
m
s .
70. Na telo deluje stalna sila
na poti
200 m
200 N
v smeri gibanja na poti
200 m.
Izra£unaj, kolik²en je radij
· 1030 kg),
hitrost svetlobe je
Sila trenja je
80 N.
Za koliko se
pove£a kineti£na energija telesa?
71. Ja²ek je globok
3m
in ²irok
2 m.
Na njegovem dnu je
0, 5 m
od desne stene luknja. S kolik²no
hitrostjo moramo vre£i ºogo v vodoravni smeri z levega zgornjega roba, da bo po natanko
enem odboju od stene zadela luknjo. Trk ºoge s steno je idealno proºen! Kolik²na pa mora biti
hitrost, £e naj se ºoga od sten odbije 2 krat, 3 krat . . . ?
72. Molekula kisika
O2
555 m/s in
333 m/s. Koliko
leti s hitrostjo
v nasprotni smeri s hitrostjo
idealno proºno tr£i z molekulo vode
kineti£ne energije obeh molekul? (atomska enota mase ima maso
73. Molekula kisika
O2
222 m/s in
888 m/s. Koliko
leti s hitrostjo
v nasprotni smeri s hitrostjo
maso
200 g
in je obe²ena na vrvici z dolºino
ki leti
1, 66 · 10−27 kg)
idealno proºno tr£i z molekulo du²ika
N2 ,
ki leti
je sprememba skupne gibalne koli£ine in skupne
kineti£ne energije obeh molekul? (atomska enota mase ima maso
74. Iz zra£ne pi²tole izstrelimo izstrelek z maso
H2 O ,
je sprememba skupne gibalne koli£ine in skupne
1, 66 · 10−27 kg )
3 g v vodoravni smeri proti mehki tar£i,
1 m. Izstrelek obti£i v tar£i. Za kolik²en
ki ima
kot od
navpi£nice se tar£a odkloni?
75. Izstrelek z maso
200 g.
3g
prileti v vodoravni smeri v mehko tar£o in v njej obti£i.
Pritrjena je na
1m
dolgi vrvici. Tar£a se od navpi£nice odkloni za kot
Masa tar£e je
5◦ .
S kolik²no
hitrostjo je priletel izstrelek?
76. Na homogeno prizmo A z maso
2 kg
je postavljena homogena prizma B z maso
preseka prizem sta pravokotna trikotniki s stranicama
a = 15 cm
in
b = 7 cm.
1, 5 kg.
Pre£na
Glej sliko 21! Za
koliko se premakne prizma A, ko se prizma B, ki jo spustimo po prizmi A, dotakne tal? Trenja
med prizmama ni, ravno tako ni trenja med prizmo A in tlemi.
4
70
DINAMIKA
b
B
A
a
Slika 21: Prizmi v gibanju.
Rp: ohranitev gibalne koli£ine:
mA vAx = mB vBx
vt
s=
2
mA sA = mB sB
sB = (a − b) − sA
mB
sB
mA
mB
mB
sA =
(a − b)
sA +
mA
mA
sA =
sa =
77. Dva enaka vozi£ka z maso po
mB
mA (a
1+
0, 2 kg,
− b)
mB
mA
=
6 cm
= 3, 4 cm
1 + 1,5
2
med katerima je stisnjena vzmet, poveºemo z vrvico in
ju poºenemo po vodoravnem tiru s hitrostjo
3 m/s.
Nenadoma popusti vrvica in vzmet poºene
vozi£ka narazen. Kolik²na je potem hitrost vozi£kov, £e je koecient vzmeti
vzmet stisnjena za
10 cm?
160 N/m
in je bila
Trenje med vozi£koma in tirom je zanemarljivo.
78. ƒez lahek, pritrjen ²kripec je speljana zelo lahko, neraztegljiva vrv, ki se pretrga, £e jo obremenimo z ve£ kot
700 N.
Na eno kraji²£e obesimo uteº za
60 kg.
Kolik²no najve£jo uteº smemo
obesiti na drugo kraji²£e vrvi, ne da bi se vrv pretrgala takoj, ko uteº spustimo?
79. Elektromotor dviga tovor z maso
100 kg
s hitrostjo
5 m/s.
Kolik²na je najmanj njegova mo£?
Kako visoko se ²e dvigne breme, £e se vle£na vrv strga?
80. Sidro vle£nice vle£e smu£arja z maso
hitrostjo
6 m/s.
80 kg
navzgor po strmini, ki je nagnjena za kot
30◦ ?,
s
Kolik²na mo£ je za to potrebna? Kako dale£ v klanec se ²e zapelje smu£ar, £e
se vle£na vrv strga?
4.7
vrtenje
1. Pri kolik²ni ro£ici povzro£i sila
2. šelezna palica z maso
5 kg
5N
je dolga
navor
3 Nm,
50 cm.
£e je kot med silo in ro£ico
45◦ ?
Podprta je na £etrtini dolºine. Koliko je najve£ja
in najmanj²a masa, ki jo lahko stehtamo, £e je na dalj²em koncu palice premi£na uteº z maso
10 kg?
Kje mora stati premi£na uteº, £e tehtamo najmanj²o maso, in kje, £e tehtamo najve£jo
maso?
3. Z vretena s polmerom
treh sekundah za
4 m.
4. Na dveh stebrih sloni
40 cm se odvija vrv, na kateri visi 10 kg
teºko vedro. Vedro pade v prvih
Kolik²en je vztrajnostni moment vretena? Maso vrvi zanemarimo!
6m
dolg drog. Na razdalji
2m
od levega konca je obe²eno breme
300 N.
Poi²£i sili, ki delujeta na stebra?
5. Na enem koncu trama z dolºino
10 m
in z maso
moramo tram podpreti, da bo v ravnovesju?
20 kg
je obe²ena uteº za
9 kg.
V kateri to£ki
4
71
DINAMIKA
6. Traktor vozi pre£no po klancu z nagibom
30◦
stopinj. Kako visoko sme biti njegovo teºi²£e,
da se ravno ²e ne prevrne? Razdalja med zadnjima kolesoma je
120 cm.
Premisli, okoli katere
premice se traktor prevrne!
7. Lahka metrska palica je na konceh vodoravno obe²ena na vzmeteh s koecientoma
8 N/cm.
5 N/cm
in
Kam moramo obesiti breme, da ostane palica vodoravna?
8. Delavca nosita na kovinskem drogu
50 l
vedro polno vode.
Drog je dolg
1, 5 m,
vedro pa je
obe²eno en meter stran od prvega delavca. Kolik²no silo morata premagovati nosa£a?
9. Voda izteka s pretokom
kraka je
25 cm.
5 l/s
iz ²obe s presekom
2 cm2
reakcijskega vrtiljaka. Dolºina vsakega
S kolik²nim navorom moramo zadrºevati vrtiljak, da se zaradi iztekajo£e vode
ne bo vrtel?
10. Kolik²en je vztrajnostni moment soda z maso
50 kg
in polmerom
50 cm,
£e se vrti okrog glavne
osi? Kaj pa £e se vrti okrog osi, ki je vzporedna z glavno osjo in od nje oddaljena
11. Izra£unaj vztrajnostni moment
1m
dolge palice z maso
200 g
30 cm?
glede na glavno os, ki je pravo-
kotna na palico? Kaj pa £e je os pravkotna na palico in leºi tik ob koncu palice?
12. Izra£unaj vztrajnostni moment krogle s polmerom
20 cm
in maso
2 kg
Koliko pa je vztrajnostni moment krogle okoli osi, ki je tik ob krogli?
glede na glavno os?