1. No category

vektorji - naloge
Gimnazija Krˇ
sko
Vektorji
Naloge
1.
V koordinatnem sistemu so podane toˇcke A(3, 4), B(0, −2), C(−3, 2).
a) Izraˇcunaj dolˇzino krajevnega vektorja toˇcke A.
b) Izraˇcunaj kot med vektorjema −
r→ in −
r→.
C
(4)
K
rˇs
ko
A
(2)
−
→
c) Izrazi vektor rA z linearno kombinacijo −
r→
A in rB .
5
A
4
3
C
2
−3
−2
−1
0
−1
B
2
3
4
na
−2
1
zij
−4
a
1
G
im
−3
Matej Mlakar, prof.
1
(4)
vektorji - naloge
Gimnazija Krˇ
sko
2.
(2)
−
−
b) dolˇzino vektorja 2→
a +→
e.
(4)
G
im
na
zij
a
K
rˇs
ko
−
−
Med enotskim vektorjem →
e in vektorjem →
a z dolˇzino 3, je kot 60◦ . Izraˇcunaj:
−
−
a) skalarni produkt →
e ·→
a,
Matej Mlakar, prof.
2
vektorji - naloge
Gimnazija Krˇ
sko
3.
(4)
G
im
na
zij
a
K
rˇs
ko
Doloˇci D, da bo ABCD paralelogram, ˇce je A(4, 2, −5), B(1, 5, −2), C(4, −4, 1).
Matej Mlakar, prof.
3
vektorji - naloge
Gimnazija Krˇ
sko
4.
(4)
G
im
na
zij
a
K
rˇs
ko
→
−
−
Doloˇci x, da bosta vektorja →
a = (4x, −2, 5) in b = (x, 3, 1) pravokotna.
Matej Mlakar, prof.
4
vektorji - naloge
Gimnazija Krˇ
sko
5.
−
−→ →
−−→ −
−→
−
V kvadru ABCDEF GH (E nad A) so bazni vektorji →
a = AB, b = AD ,→
c = AE. Zapiˇsi z
(1)
(1)
(2)
(2)
G
im
na
zij
a
K
rˇs
ko
baznimi vektorji:
−→
a) AG,
−−→
b) BE,
−−→
c) M N , kjer je M razpoloviˇsˇce AB, N pa srediˇsˇce ploskovne diagonale BCGF.
−−→
−→
d) Ali je M N vzporeden vektorju AG?
Matej Mlakar, prof.
5
vektorji - naloge
Gimnazija Krˇ
sko
6.
V kocki ABCDEF GH je toˇcka M razpoloviˇsˇce AB, N preseˇciˇsˇce diagonal ploskve EF GH,
−
−→ →
−−→ −
−→
−
O pa razdeli CG v razmerju 1 : 2. Z vektorji →
a = AB, b = AD, →
c = AE izrazi vektorje
−→ −−→ −−→ −−→ −−→
CA, BH − F H, M G, N O.
(7)
G
K
rˇs
ko
H
F
E
C
a
D
B
G
im
na
zij
A
Matej Mlakar, prof.
6
vektorji - naloge
Gimnazija Krˇ
sko
7.
Naj bosta A(4, −3), B(−2, 0).
3
2
1
B
−5
−4
−3
−2
−1
0
1
2
3
−1
−2
a
zij
−4
4
A
−3
G
im
na
−5
Matej Mlakar, prof.
7
(3)
(3)
(3)
K
rˇs
ko
a) Na daljici AB izraˇcunaj toˇc
ko M, da bo veljalo razmerje |AM | : |M B| = 1 : 5.
−→
1
1
−
,−
kolinearen z vektorjem AB?
b) Ali je vektor →
a =
5 10
c) Trikotnik ABC je pravokoten s pravim kotom v A. Izraˇcunaj toˇcko C(3, y).
5
vektorji - naloge
Gimnazija Krˇ
sko
8.
→
−
−
Naj bo |→
a | = 4,| b | = 5, kot med vektorjema 60◦ .
→
−
−
−
a) Izraˇcunaj skalarni produkt →
a · (→
a + b ).
→
−
−
b) Izraˇcunaj dolˇzino vektorja 3→
a + b . Nariˇsi.
(3)
K
rˇs
ko
(5)
~b
G
im
na
zij
a
~a
Matej Mlakar, prof.
8
vektorji - naloge
Gimnazija Krˇ
sko
9.
(4)
−
b) Izraˇcunaj koordinate teˇziˇsˇca T in premakni toˇcko A za krajevni vektor teˇziˇsˇca →
rT .
(3)
c) Doloˇci D, da bo ABCD paralelogram.
(3)
G
im
na
zij
a
K
rˇs
ko
V ravnini so podane toˇcke A(−3, 4, −1), B(5, −2, 1) in C(−2, 1, 0).
−→ −→
a) Izraˇcunaj dolˇzini vektorjev AB in AC ter izraˇcunaj kot ]BAC.
Matej Mlakar, prof.
9
vektorji - naloge
Gimnazija Krˇ
sko
10.
V kocki ABCDEF GH je toˇcka M razpoloviˇsˇce AB, N preseˇciˇsˇce diagonal ploskve EF GH,
−
−→ →
−−→ −
−→
−
O pa razdeli CG v razmerju 1 : 2. Z vektorji →
a = AB, b = AD, →
c = AE izrazi vektorje
−→ −−→ −−→ −−→ −−→
CA, BH − F H, M G, N O.
(7)
G
K
rˇs
ko
H
F
E
C
a
D
B
G
im
na
zij
A
Matej Mlakar, prof.
10
vektorji - naloge
Gimnazija Krˇ
sko
11.
Naj bosta A(4, −3), B(−2, 0).
3
2
1
B
−5
−4
−3
−2
−1
0
1
2
3
−1
−2
a
zij
−4
4
A
−3
G
im
na
−5
Matej Mlakar, prof.
11
(3)
(3)
(3)
K
rˇs
ko
a) Na daljici AB izraˇcunaj toˇc
ko M, da bo veljalo razmerje |AM | : |M B| = 1 : 5.
−→
1
1
−
,−
kolinearen z vektorjem AB?
b) Ali je vektor →
a =
5 10
c) Trikotnik ABC je pravokoten s pravim kotom v A. Izraˇcunaj toˇcko C(3, y).
5
vektorji - naloge
Gimnazija Krˇ
sko
12.
→
−
−
Naj bo |→
a | = 4,| b | = 5, kot med vektorjema 60◦ .
→
−
−
−
a) Izraˇcunaj skalarni produkt →
a · (→
a + b ).
→
−
−
b) Izraˇcunaj dolˇzino vektorja 3→
a + b . Nariˇsi.
(3)
K
rˇs
ko
(5)
~b
G
im
na
zij
a
~a
Matej Mlakar, prof.
12
vektorji - naloge
Gimnazija Krˇ
sko
13.
(4)
−
b) Izraˇcunaj koordinate teˇziˇsˇca T in premakni toˇcko A za krajevni vektor teˇziˇsˇca →
rT .
(3)
c) Doloˇci D, da bo ABCD paralelogram.
(3)
G
im
na
zij
a
K
rˇs
ko
V ravnini so podane toˇcke A(−3, 4, −1), B(5, −2, 1) in C(−2, 1, 0).
−→ −→
a) Izraˇcunaj dolˇzini vektorjev AB in AC ter izraˇcunaj kot ]BAC.
Matej Mlakar, prof.
13
vektorji - naloge
Gimnazija Krˇ
sko
14.
(4)
G
im
na
zij
a
K
rˇs
ko
Izraˇcunaj diagomali v paralelogramu s stranicama a = 6 cm, b = 3 cm, α = 120◦ .
Matej Mlakar, prof.
14
vektorji - naloge
Gimnazija Krˇ
sko
15.
G
im
na
zij
a
K
rˇs
ko
→
−
−
−
−c = 3~i − 6~j + 2~k, →
Podani so vektorji →
a = (−2, 1, 6), b = (6, 2, z), →
d = (9, y, −6).
−
−c .
a) Pokaˇzi,da je →
a ⊥→
→
−
→
−
b) Doloˇci y in z, da bosta vektorja b in d kolinearna.
−
c) Izraˇcunaj dolˇzino projekcije vektorja →
a na ravnino xy.
Matej Mlakar, prof.
15
vektorji - naloge
Gimnazija Krˇ
sko
16.
−→
−−→
V pravilnem ˇsestkotniku ABCDEF s stranico dolˇzine 1 je podana baza ~a = AB, ~b = BC,
G
im
na
zij
a
K
rˇs
ko
toˇcka S je enako oddaljena od vseh ogliˇsˇc. Zapiˇsi z baznimi vektorji:
−→ −−
→ −→
a) BS, EC, AE,
−→ −→
b) Izraˇcunaj skalarni produkt AB · AE,
−−→ −→
c) Izraˇcunaj skalarni produkt AD · AE
Matej Mlakar, prof.
16
vektorji - naloge
Gimnazija Krˇ
sko
17.
Med enotskim vektorjem ~a in vektorjem ~b z dolˇzino 2 meri kot 60◦ .
a) Nariˇsi vektorja ~c = ~a + 2~b in d~ = −2~a + ~b.
~
b) Izraˇcunaj skalarni produkt ~c · d.
G
im
na
zij
a
K
rˇs
ko
~
c) Izraˇcunaj dolˇzino projekcije vektorja ~c na vektor d.
Matej Mlakar, prof.
17
vektorji - naloge
Gimnazija Krˇ
sko
18.
G
im
na
zij
a
K
rˇs
ko
Doloˇci toˇcko M na daljici AB s krajiˇsˇci A(−2, 5, −1), B(12, −2, 6), da bo |AM | : |M B| = 2 : 5.
Matej Mlakar, prof.
18
vektorji - naloge
Gimnazija Krˇ
sko
19.
V paralelogramu ABCD je toˇcka E na CD tako, da je |CE| : |ED| = 4 : 1. Toˇcka F je
G
im
na
zij
a
K
rˇs
ko
preseˇciˇsˇce daljic BE in AC. Dokaˇzi, da je EF : F B = 4 : 5.
Matej Mlakar, prof.
19
vektorji - naloge
Gimnazija Krˇ
sko
20.
G
im
na
zij
a
K
rˇs
ko
Izraˇcunaj najveˇcji notranji kot v trikotniku a = 4 cm, b = 5 cm, c = 6 cm.
Matej Mlakar, prof.
20
vektorji - naloge
Gimnazija Krˇ
sko
21.
G
im
na
zij
a
K
rˇs
ko
Izrazi vektor ~c = (9, −13) z vektorjema ~a = (6, −2) in ~b = (3, 1).
Matej Mlakar, prof.
21
vektorji - naloge
Gimnazija Krˇ
sko
22.
−→
−−→
−→
V kvadru ABCDEF GH (E nad A) je podana baza ~a = AB, ~b = AD, ~c = AE. Zapiˇsi z baznimi
G
im
na
zij
a
K
rˇs
ko
vektorji:
−→
a) AC,
−−→
b) HB,
−−→
c) M N , ˇce je M razpoloviˇsˇce AB in N srediˇsˇce ploskve EF GH.
Matej Mlakar, prof.
22
vektorji - naloge
Gimnazija Krˇ
sko
23.
Podane so toˇcke A(−3, 2, 1), B(5, 4, 0), C(1, 0, 3).
a) Izraˇcunaj razpoloviˇsˇce daljice AC.
b) Izraˇcunaj teˇziˇsˇce trikotnika ABC.
c) V trikotniku ABC izraˇcunaj dolˇzino teˇziˇsˇcnice na stranico b.
d) Izraˇcunaj kot α = ]BAC.
G
im
na
zij
a
K
rˇs
ko
−→
e) Doloˇci ~v = (1, x, x2 ), da bo ~v ⊥ AB.
Matej Mlakar, prof.
23
vektorji - naloge
Gimnazija Krˇ
sko
24.
Med enotskim vektorjem ~a in vektorjem ~b z dolˇzino 2 meri kot 60◦ .
a) Nariˇsi vektorja ~c = ~a + 2~b in d~ = −2~a + ~b.
~
b) Izraˇcunaj skalarni produkt ~c · d.
G
im
na
zij
a
K
rˇs
ko
~
c) Izraˇcunaj dolˇzino projekcije vektorja ~c na vektor d.
Matej Mlakar, prof.
24
vektorji - naloge
Gimnazija Krˇ
sko
25.
G
im
na
zij
a
K
rˇs
ko
Doloˇci toˇcko M na daljici AB s krajiˇsˇci A(−2, 5, −1), B(12, −2, 6), da bo |AM | : |M B| = 2 : 5.
Matej Mlakar, prof.
25
vektorji - naloge
Gimnazija Krˇ
sko
26.
V paralelogramu ABCD je toˇcka E na CD tako, da je |CE| : |ED| = 4 : 1. Toˇcka F je
G
im
na
zij
a
K
rˇs
ko
preseˇciˇsˇce daljic BE in AC. Dokaˇzi, da je EF : F B = 4 : 5.
Matej Mlakar, prof.
26
vektorji - naloge
Gimnazija Krˇ
sko
27.
Podan je trikotnik ABC z ogliˇsˇci A(−3, 2, 5), B(−1, 3, 3), C(2, −1, 3).
(a) Doloˇci toˇcko D, da bo ABCD paralelogram.
G
im
na
zij
a
K
rˇs
ko
(b) Doloˇci razpoloviˇsˇce daljice AB in teˇziˇsˇce trikotnika ABC.
−→ −−→
(c) Izraˇcunaj skalarni produkt BA · BC in kot ]ABC.
Matej Mlakar, prof.
27
vektorji - naloge
Gimnazija Krˇ
sko
28.
G
im
na
zij
a
K
rˇs
ko
→
−
−
Doloˇci vrednost parametra k, da bosta vektorja →
a = (1, 2) in b = (1 − k, 4) pravokotna.
Matej Mlakar, prof.
28
vektorji - naloge
Gimnazija Krˇ
sko
29.
G
im
na
zij
a
K
rˇs
ko
Doloˇci enotski vektor v smeri vektorja ~a = (0, 5, −12).
Matej Mlakar, prof.
29
vektorji - naloge
Gimnazija Krˇ
sko
30.
−
→
V koordinatnem sistemu naj krajevna vektorja −
r→
cata toˇcki A(3, 1), B(−2, 6).
A in rB doloˇ
→
−
−
→
−
→
→
−
−
→
−
→
(a) Nariˇsi vektorja v = 3r − r , u = −2r + r .
A
B
A
B
G
im
na
zij
a
K
rˇs
ko
−
−
(b)Izraˇcunaj kot med →
v in →
u.
Matej Mlakar, prof.
30
vektorji - naloge
Gimnazija Krˇ
sko
31.
−
V kvadru ABCDEF GH (E nad A) je doloˇcena vektorska baza z baznimi vektorji →
a =
−
−→ →
−−→ →
−→
−
AB, b = AD, c = AE, dolˇzine robov merijo |AB| = 2, |AD| = 3, |AE| = 5. Naj bo M
srediˇsˇce ploskve ABCD, N razpoloviˇsˇce roba AD, toˇcka P pa naj razdeli GH v razmerju
G
im
na
zij
a
K
rˇs
ko
GP : P H = 2 : 3.
−−→
(a)Zapiˇsi vektor M P z baznimi vektorji.
−−→
(b)Izraˇcunaj dolˇzino vektorja M N .
Matej Mlakar, prof.
31
vektorji - naloge
Gimnazija Krˇ
sko
32.
−
→
V koordinatnem sistemu naj krajevna vektorja −
r→
cata toˇcki A(−3, 2), B(−1, 2).
A in rB doloˇ
→
−
−
→
−
→
→
−
−
→
−
→
(a) Nariˇsi vektorja v = 3r − r , u = −2r + r .
A
B
A
B
G
im
na
zij
a
K
rˇs
ko
−
−
(b) Izraˇcunaj kot med →
v in →
u.
Matej Mlakar, prof.
32
vektorji - naloge
Gimnazija Krˇ
sko
33.
Podan je trikotnik ABC z ogliˇsˇci A(−1, 3, 3), B(−3, 2, 5), C(2, −1, 3).
(a) Doloˇci toˇcko D, da bo ABCD paralelogram.
G
im
na
zij
a
K
rˇs
ko
(b) Doloˇci razpoloviˇsˇce daljice AB in teˇziˇsˇce trikotnika ABC.
−→ −→
(c) Izraˇcunaj skalarni produkt AB · AC in kot ]BAC,
Matej Mlakar, prof.
33
vektorji - naloge
Gimnazija Krˇ
sko
34.
−
V kvadru ABCDEF GH (E nad A) je doloˇcena vektorska baza z baznimi vektorji →
a =
−
−→ →
−−→ →
−→
−
AB, b = AD, c = AE, dolˇzine robov merijo |AB| = 1, |AD| = 3, |AE| = 4. Naj bo M
srediˇsˇce ploskve EF GH, N razpoloviˇsˇce roba AD, toˇcka P pa naj razdeli AB v razmerju
AP : P B = 2 : 3.
G
im
na
zij
a
K
rˇs
ko
−−→
(a) Zapiˇsi vektor M P z baznimi vektorji.
−−→
(b) Izraˇcunaj dolˇzino vektorja M N .
Matej Mlakar, prof.
34