1. No category

2013/2014
G - 4
1.
Doloˇci definicijsko obmoˇcje in ekstreme funkcije
f (x) =
p
4x3 − 12x.
Kje na definicijskem obmoˇcju funkcija naraˇsˇca?
2.
Pokaˇzi, da ima funkcija
f (x) = 3x4 − x3 − 9x
natanko en lokalni ekstrem, ki je tudi globalni.
3.
Nariˇsi grafa funkcij f (x) =
√
x − 2 in g(x) = x2 − 6 ter izraˇcunaj njuno preseˇciˇsˇce. Pod kakˇsnim kotom se
sekata krivulji?
4.
Doloˇci niˇcle in ekstreme ter nariˇsi graf funkcije
p(x) = x3 − 3x2 .
5.
Doloˇci niˇcle, pole, asimptoto in ekstreme funkcije
f (x) =
(x + 4)2
(x − 1)(x + 2)
ter jo nariˇsi.
6.
Pokaˇzi, da funkcija
r(x) = ln(x2 − 2x)
nima ekstremov.
7.
Zapiˇsi tangento in normalo na graf funkcije
(x − 3)2 + (y + 2)2 = 25
v toˇcki T (6, y > 0).
Doloˇci kot, pod katerim se sekata tangenti na krivuljo v preseˇciˇsˇcih z ordinatno osjo.
8.
Doloˇci ekstreme funkcije
f (x) = x − sin 2x
na intervalu [0, 2π].
9.
V kateri toˇcki ima tangenta na graf funkcije
f (x) = 2x−3
smerni koeficient ln 16?
Prosinec 2014
2013/2014
G - 4
10.
Odvajaj in poenostavi:
a) f (x) = ln(x + 4) − arctan
x
b) f (x) = x2 (2 ln x − 1)
2
c) f (x) = ex (sin x − cos x)
d) f (x) = ex (x − 1)2
11.
Doloˇci kot, pod katerim se sekata krivulji y = cos x in y = tan x na intervalu [0,
π
].
2
12.
Doloˇci interval, na katerem imajo normale na graf funkcije
f (x) =
ln x
x2
negativni smerni koeficient.
Zapiˇsi enaˇcbo normale v toˇcki x = 1.
13.
Funkcija
f (x) = 3x5 − 5ax3 + 60x
ima ekstrem v x = 2. Poiˇsˇci ˇse preostale ekstreme funkcije.
14.
Doloˇci a, da bo imela funkcija
f (x) =
da bo f 0 (2) = −
x+a
,
x2 − 1
13
. Doloˇci ekstreme te funkcije.
9
15.
Doloˇci a, da bo imela funkcija
f (x) =
da bo f 0 (2) = −
x+a
,
x2 − 1
13
. Doloˇci ekstreme te funkcije.
9
16.
Funkcija
f (x) =
1
a
+
x + 2 (x + 2)2
ima stacionarno toˇcko v x = 6. Ali je tam ekstrem?
17.
Funkcija
√
f (x) = x 2x + a
ima stacionarno toˇcko v x = −2. Doloˇci a in z drugim odvodom preveri, da je tam globalni minimum.
Prosinec 2014
2013/2014
G - 4
18.
Funkcija
f (x) =
1
a
+
x + 2 (x + 2)2
ima stacionarno toˇcko v x = 6. Ali je tam ekstrem?
19.
Z uporabo diferenciala izraˇcunaj pribliˇzek za vrednosti:
√
a) 4, 01
b) 2, 985
c) ln 1, 02
d) e−0,02
c) cos 59◦
20.
Pokaˇzi, da kroˇznica (x + 1)2 + (y + 2)2 = 2 seka ordinatno os v dveh toˇckah, kjer tangenti medsebojno oklepata
pravi kot.
21.
Izraˇcunaj kot med naraˇsˇcajoˇco asimptoto hiperbole 16x2 − 9y 2 − 144 = 0 in tangento na hiperbolo v toˇcki
√
T (3 2, y > 0).
b) Pod kakˇsnim kotom se sekata hiperbola in kroˇznica x2 + y 2 − 34 = 0 v preseˇciˇsˇcu P (x < 0, y > 0)?
22.
Toˇcka T (8, y0 > 0) leˇzi na paraboli y 2 = 2x.
Pokaˇzi, da je kot med premico y = y0 in tangento na graf parabole v toˇcki T enak kotu med tangento in premico
goriˇsˇce parabole in toˇcko T.
23.
Pokaˇzi z raˇcunom, da se normali na kroˇznico (x − 1)2 + (y + 1)2 = 26 v preseˇciˇsˇcih z abscisno osjo sekata v
srediˇsˇcu kroˇznice.
Prosinec 2014