1. No category

Kotne funkcije - vaje
1. Nariˇsi graf funkcije f (x) = 3 sin 2(x + π4 ) + 1 in zapiˇsi njeno zalogo vrednosti.
2. Nariˇsi graf funkcije f (x) = 2 cos(2x − π2 ) − 1. Zapiˇsi definicijsko obmoˇcje funkcije in zalogo
).
vrednosti. Izraˇcunaj ˇse f ( 3π
2
3. Poenostavi izraze:
a)
(1 + tg 2 x)−1 − cos 2x
3 sin 2x sin x
+
6 cos2 x + 6 cos x sin2 x + cos2 x − cos x
) + sin( π2 + x)
sin( 3π
2
sin( π2 − x) + sin2 (π − x) − cos 6π
tg x sin3 x
(1 + ctg 2 x)−1
c)
−
sin3 x + sin x cos2 x (cos−2 x − 1) cos(π + x) sin−1 x
(cos 2x − 1) ctg (−x) cos−1 x 4 sin−1 x − sin x cos (−x)
d)
+
(1 + ctg 2 x) sin (x + 6π)
sin 2x (1 + ctg 2 x)
b)
e) cos (90◦ + x) cos (90◦ − x) + sin2 (x + 360◦ )
−1
(1 − cos 2x) sin (x + 2π) (cos x − cos−1 x) · cos x − (1 + tg 2 x)
f)
+
sin 2x
cos (−x)
4. Dokaˇzi, da je izraz
sin2 (α + x) + sin2 (α − x) + 2 sin (α + x) sin (α − x) cos 2α
neodvisen od x.
5. Izraˇcunaj natanˇcno vrednost izraza
3tg 750◦ − ctg 420◦
. Rezultat racionaliziraj.
sin 1500◦ − cos(−780◦ )
6. Izraˇcunaj natanˇcno vrednost izraza
6tg 570◦ − ctg 600◦
. Rezultat racionaliziraj.
sin 1140◦ − cos(−420◦ )
7. Izraˇcunaj cos x + 3tg x, ˇce je sin x = − 14 in
3π
2
≤ x ≤ 2π.
8. Izraˇcunaj cos(2x − π4 ), ˇce je sin x = − 31 in π ≤ x ≤
3π
.
2
9. Izraˇcunaj cos 2x, sin(x − 60◦ ) in cos x2 , ˇce je cos x = − 23 in 180◦ < x < 270◦ .
10. Izraˇcunaj sin 2x, cos(2x − 60◦ ) in sin x2 , ˇce je sin x = − 31 in 180◦ < x < 270◦ .
11. Preveri, ali je dana funkcija soda ali liha:
x3 cos x − 2ctg x
a) f (x) =
x3 sin x − 3
b) f (x) =
x2 sin x + 2tg x
x3 cos x − tg x
c) f (x) = cos x − tg x + 2x2 sin x
12. Dana je funkcija f (x) = 2 cos(x + π6 ).
a) Izraˇcunaj f ( π3 ).
b) Poenostavi f (x) + f (−x).
c) Izraˇcunaj, za katere x ima funkcija niˇcle, maksimum in minimum.
d) Nariˇsi graf funkcije g(x) = −2f (x) + 1.
13. Dana je funkcija f (x) = 3 sin(x − π3 ).
a) Izraˇcunaj f ( π6 ).
b) Poenostavi f (x) + f (−x).
c) Izraˇcunaj, za katere x ima funkcija minimum, maksimum in niˇcle.
d) Nariˇsi graf funkcije |f (x)|.
14. Dana je funkcija f (x) = tg (x − π4 ).
a) Izraˇcunaj f ( π2 ).
b) Izraˇcunaj, kje ima funkcija niˇcle.
c) Izraˇcunaj, kje ima funkcija pole.
d) Nariˇsi graf funkcije f (x).
e) Izraˇcunaj, kje funkcija seka premico y = 1.
15. Okrajˇsaj ulomek:
sin 4x − sin 8x
a)
cos 7x + cos
√ 5x
2 sin x − 2
b) √
.
2 − 2 cos x
√
3 + 2 sin x
c)
2 cos x − 1
1 − 2 cos x
√
d)
2 sin x − 3
16. Reˇsi enaˇcbe:
a) sin x = − 12
√
b) cos x = 22
√
c) tg x = 3
√
d) 2 cos(2x − π3 ) = 3
e) tg ( π6 − x) =
√
3
3
17. Reˇsi enaˇcbe:
a) 2 cos2 x + 11 sin x = 7
b) sin2 x + 4 cos x + 4 = 0
c) sin 2x = cos x
d) 4 cos3 x − 3 cos x + 1 = 0
e) 5 sin x − 4 cos x = 0
f ) sin 5x − sin 3x = 0
g) cos 3x − cos 7x = 0
2
18. Reˇsi enaˇcbe:
a) 2 cos2 x + sin 2x = 2
b) 14 sin2 x + 3 sin 2x − 4 = 0
c) sin x − 5 cos x = 1
d) cos x · cos 3x = cos 5x · cos 7x
e) sin 9x · sin 7x = sin 4x · sin 2x
f ) sin 3x + sin 2x = sin x + sin 4x
g) cos3 x + 2 sin2 x = cos x
h) tg x + tg 2x = tg 3x
i) cos x − 3 sin x = 3
19. V isti koordinatni sistem nariˇsi grafa funkcij f (x) = sin x in g(x) = cos x. Izraˇcunaj abscise
njunih preseˇciˇsˇc.
√
2 − 2 sin x
√ vrednost 1?
20. Za katere vrednosti x ima izraz
2 cos x + 2
21. Zapiˇsi definicijsko obmoˇcje funkcije f (x) =
3 cos x
.
1 + 2 sin x
22. Doloˇci interval, na katerem je funkcija f (x) = 2 sin(x − π4 ) negativna. Pomagaj si s sliko.
23. Reˇsi neenaˇcbo sin x > 12 . Pomagaj si s sliko.
24. Dana je premica p z enaˇcbo 4x − 3y + 12 = 0.
a) Izraˇcunaj kot, pod katerim premica p seka premico, ki gre skozi toˇcki A(3, −1) in
B(2, 4).
b) Izraˇcunaj x tako, da bo toˇcka A(x, −4) oddaljena od premice p za 2 enoti.
25. a) Izraˇcunaj a, da bo premica ax + 2y − 4 = 0 oklepala s premico y = 2x − 1 kot 45◦ .
b) Izraˇcunaj oddaljenost preseˇciˇsˇca premic 2x − 5y + 3 = 0 in x + 4y − 5 = 0 od premice
4x − 3y + 12 = 0.
Reˇ
sitve
Preveri pravilnost reˇsitev:
1. Zf = [−2, 4]
3
2. Df = R, Zf = [−3, 1], f ( 3π
) = −1
2
3. a)
2
,
sin x
b) − cos1 x , c) tg x, d) 2, e) 0, f) − cos x
4. 4 sin2 α cos2 α = sin2 2α
5.
6.
7.
8.
√
6+2 3
3
√
15+5 3
3
√
15
20
√
8+7 2
18
9. cos 2x = − 91 , sin(x − 60◦ ) =
√ √
2 3− 5
,
6
√
cos x2 = − 66
q √
√
√
7+4 6
4 2
x
◦
10. sin 2x = 9 , cos(2x − 60 ) = 18 , sin 2 = 3+26 2
11. a) liha
b) soda
c) niti liha niti soda
√
12. a) 0, b) 3 cos x, c) niˇcle: x =
k ∈ Z, d)
π
3
+ πk,
√
13. a) − 23 , b) −3 3 cos x, c) min.: x =
k ∈ Z, d)
11π
6
maks.: x = − π6 + 2πk, min.: x =
+ 2πk, maks.: x =
4
5π
6
5π
6
+ 2πk, niˇcle: x =
+ 2πk,
π
3
+ πk,
14. a) 1, b) x =
e) x =
π
2
π
4
+ πk, k ∈ Z, c) x =
3π
4
+ πk, k ∈ Z, d)
+ πk, k ∈ Z
15. a) −2 sin x, b) ctg ( x2 + π8 ), c) ctg ( x2 − π6 ), d) tg ( x2 + π6 )
16. a)
b)
c)
d)
e)
17. a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
18. a)
b)
c)
d)
e)
f)
x1 = π6 + 2πk, x2 = 5π
+ 2πk, k ∈ Z
6
π
π
x1 = 4 + 2πk, x2 = − 4 + 2πk, k ∈ Z
x = π3 + πk, k ∈ Z
π
x1 = π4 + πk, x2 = 12
+ πk, k ∈ Z
x = πk, k ∈ Z
x1 = π6 + 2πk, x2 = 5π
+ 2πk, k ∈ Z
6
x = π + 2πk, k ∈ Z
x1 = π6 + 2πk, x2 = 5π
+ 2πk, x3 = π2 + πk, k ∈ Z
6
x1 = π + 2πk, x2 = π3 + 2πk, x3 = − π3 + 2πk, k ∈ Z
x = arctg 54 + πk, k ∈ Z
x1 = π8 + πk
, x2 = πk, k ∈ Z
4
πk
x1 = 5 , x2 = πk
, k∈Z
2
π
x1 = πk, x2 = 4 + πk, k ∈ Z
x1 = 3π
+ πk, x2 = arctg 25 + πk, k ∈ Z
4
x1 = π2 + 2πk, x2 = 2arctg (− 32 ) + 2πk, k ∈ Z
x = πk
, k ∈ Z, (reˇsitve πk
so ˇze zapisane z izrazom πk
)
8
4
8
πk
πk
x1 = 11 , x2 = 5 , k ∈ Z
x1 = 2π5
, x = πk, k ∈ Z
11
5
g) x1 = 2πk, x2 = π + 2πk, k ∈ Z
h) x1 = πk
, x2 = πk
, k∈Z
3
2
πk
i) x1 = − 2 + 2πk, x2 = 2arctg (− 12 ) + 2πk, k ∈ Z
19. x =
π
4
+ πk, k ∈ Z
20. x = − π4 + 2πk, (x 6=
3π
4
+ 2πk), k ∈ Z
21. Df = R − {x; x = − π6 + 2πk ∨ x =
7π
6
+ 2πk, k ∈ Z}
+ 2πk, 9π
+ 2πk), k ∈ Z
22. ( 5π
4
4
23. ( π6 + 2πk, 5π
+ 2πk), k ∈ Z
6
24. a) ϕ = 48, 18◦ , b) x1 = − 72 , x2 = − 17
2
25. a) a1 = 2, a2 = −2, b)
13
5
6