1. No category

6 NIHANJE
105
6 nihanje
6.1
mehanska
1. Hitrost nekega nihala se spreminja po ena£bi: v(t) = 5 cm/s · cos(1, 5 s−1 · t). Nari²i in ozna£i
kako se spreminjajo odmik hitrost in pospe²ek v odvisnosti od £asa!
Rp:
Zadeve se lahko lotim takole:
(a) graf hitrosti v odvisnosti od £asa
(b) graf odmika v odvisnosti od £asa
(c) graf pospe²ka v odvisnosti od £asa
Slika 32: Graf hitrosti, odmika in pospe²ka v odvisnosti od £asa.
vem:
v(t) = v0 · cos(ω · t)
ω -kotna hitrost-kotna frekvenca
iz ena£be razberemo, da je ω = 1, 5 s−1 in najve£ja hitrost v0 = 5 cm/s
izra£unamo ²e nihajni £as:
2π
2π
t0 =
=
= 4, 2 s
ω
1, 5 s−1
torej graf v(t) lahko nari²e² brez problema. graf cosinusa je v y-osi razpotegnjen do 5, v
x-osi pa raztegnjen na 1.5. Torej so hrib£ki in dolince malo bolj skupaj.
graf x(t) = x0 · sin(ω · t)
najve£ja hitrost je: v0 = ω · x0 , kjer je x0 -amplituda
x0 =
5 cm/s
v0
=
= 3, 33 cm
ω
1, 5 s−1
pospe²ek: a(t) = −ω 2 · x(t) = −ω 2 · x0 · sin(ω · t)
a0 = ω 2 · x0 = (1, 5 s−1 )2 · 3, 33 cm = 7, 5 cms−2
2. Odmik nekega nihala se spreminja po ena£bi: x(t) = 8 cm · cos((3, 5) 1/s · t). Nari²i in ozna£i
kako se spreminjajo odmik hitrost in pospe²ek v odvisnosti od £asa !
Rp:
re²uje² podobno kot v zgornji nadlogi :)
3. Nihalo pride iz leve v desno amplitudno lego v 0, 25 s. Kolik²ni so nihajni £as, frekvenca in
dolºina tega matemati£nega nihala?
6 NIHANJE
Rp:
106
t0 - nihajni £as
t0 = 2 · 0.25 s = 0.5 s - je to jasno?
ne? to je zato, ker je nihajni £as £as, ki ga porabi nihalo da pride iz za£etne lege zopet v
to lego. :)
ν - frekvenca
ν=
1
= 2 s−1
t0
ω2 =
4 · π2
g
=
2
t0
l
=> l - dolºina nihala
l=
:)
g · t20
10 m/s2 · (0, 5 s)2
=
= 0, 0633 m = 6, 3 cm
4 · π2
4 · π2
4. Nihalo niha harmoni£no z amplitudo 5 cm in frekvenco 10 Hz. Kolik²na sta najve£ja hitrost in
pospe²ek nihala? Izra£unaj odmik po £asu 4 s, £e je nihalo v za£etku u v ravnovesni legi!
Rp:
RL. . . ravnovesna lega
νf rekvenca = 10 Hz
a = 5 cm
ω . . . kotnaf rekvenca = 2π
to
νf rekvenca = 10 Hz pomeni da v to = 0.1 s naredi nihalo en nihaj
Torej je odmik on RL po 4 s ====== 0 m.
najve£ja hitrost je v RL
vo = xo · ω
vo = xo · 2π
to
2π
vo = 0.05 m · 0.1
s
vo = 3.1 m/s
najve£ji pospe²ek pa je v SL
ao = xo · ω 2
³ ´2
ao = xo · 2π
to
¡ 2π ¢2
)
ao = 0.05m · 0.1s
2
ao = 197 m/s
5. Nihalo niha harmoni£no z amplitudo 15 cm in frekvenco 7 Hz.
(a) Kolik²na sta najve£ja hitrost in pospe²ek nihala?
(b) Izra£unaj odmik po £asu 0.07 s, £e je nihalo v za£etku v ravnovesni legi!
(c) Nari²i graf odmika v odvisnosti od £asa za prve 3 nihaje in ga ozna£i; nihalo je na za£etku
v skrajni legi!
6. Nihalo niha harmoni£no z amplitudo 35 cm in frekvenco 2 Hz.
(a) Kolik²na sta najve£ja hitrost in pospe²ek nihala?
(b) Izra£unaj odmik po £asu 0, 4 s, £e je nihalo v za£etku v ravnovesni legi!
(c) Nari²i graf odmika v odvisnosti od £asa za prve 3 nihaje in ga ozna£i; nihalo je na za£etku
v ravnovesni legi!
7. Nihalo izmaknemo iz ravnovesne lege za 20 cm in pustimo, da niha harmoni£no. Kolik²na je
najve£ja hitrost, £e je nihajni £as 2 s?
6 NIHANJE
Rp:
107
Pri harmoni£nem nihanju je najve£ja hitrost:
v0 = ω · x0
ker je kroºna hitrost ali kroºna frekvenca:
ω = (2π
t0
je tako hitrost:
v0 = ω · x0 =
2π
2π
· x0 =
· 20 cm = 62, 8 cm/s
t0
2s
8. Nihalo izmaknemo iz ravnovesne lege za 30 cm in pustimo da harmoni£no niha. Kolik²en je
nihajni £as, £e gre nihalo skozi ravnovesno lego s hitrostjo 13 m/s?
Rp:
v ravnovesni legi je hitrost nihala najve£ja in je povezana z amplitudo takole:
vo = ω · xo ,kjer je xo = 30 cm amplituda nihanja, kroºna frekvenca ω = 2π
to
zato lahko zapi²emo, da je hitrost:
vo =
2π
· xo
to
odtod izra£unamo nihajni £as nihala:
to =
2πxo
2π30 cm
=
= 0.145 s
vo
13 m/s
9. Kolik²na je dolºina sekundnega nihala? ( to = 1 s )
Rp:
Ker je
to = 2π
s
l
g
lahko izrazimo dolºino
l=g
µ
to
2π
¶2
2
= 10 m/s ·
µ
1s
2π
¶2
= 0, 25 m
Torej je sekundno nihalo dolgo £etrt metra.
To lahko opazimo na starih stenskih urah, ki imajo dolºino nihala ravno 25 cm.
10. Kolik²no uteº moramo obesiti na proºno vzmet s koecientom proºnosti 2 N/cm, da niha z
nihajnim £asom 0, 5 s?
Rp:
kpr = 2 N/cm = 200 kg/s2
to = 0.5 s
to = 2π
m = t2o ·
r
m
k
200 kg/s2
k
= (0.5 s)2 ·
2
4π
4π 2
m = 1 kg . . . ker so podatki na eno mesto. . . drga£ pride na kalkulator 1.2665 kg
the TOK MISLI:
zdej grem pa spat.. jutr bom ²e ene par naredu. . . tko da se prpravte da me bote popravl..
lol
sme²n.. a kdo to bere ob petkih zve£er. . . damn mi je dolgcajt
11. Kolik²na mora biti dolºina matemati£nega nihala, da bo nihal z nihajnim £asom 2, 5 s?
Rp:
l = 1, 58 m
12. Vzmetno nihalo pride iz zgornje v spodnjo amplitudno lego v 0, 25 s. Kolik²ni so frekvenca,
nihajni £as in masa tega nihala, £e ima vzmet proºnostni koecient 15 N/m?
6 NIHANJE
Rp:
108
to = 2 · 0.25 s
kpr = 15 N/m = 15 kg/s2
ν=
m=
1
1
=
= 2 Hz
to
0.50 s
r
m
to = 2π
k
t2o · k
(0.5 s)2 · 15 kg/s2
=
= 0.095 kg = 95 g
2
4π
4π 2
13. Telo z maso 50 g niha sinusno z amplitudo 20 mm in s frekvenco 2 Hz.
(a) V kateri legi je njegova hitrost najve£ja?
(b) Kolik²na je ta najve£ja hitrost?
(c) Kolik²na sila pospe²uje telo, ko je hitrost najve£ja?
(d) V kateri legi je pospe²ek najve£ji?
(e) Kolik²en je najve£ji pospe²ek?
(f) Izra£unaj pospe²ek telesa, ko je odmik 12 mm (za£etna lega je ravnovesna)!
(g) V kolik²nem £asu se telo premakne iz ravnovesne lege v to£ko, ki je za 12 mm oddaljena
od ravnovesne lege?
(h) Nari²i graf kineti£ne energije v odvisnosti od £asa, £e je nihalo na za£etku v ravnovesni
legi! Graf ozna£i!!
14. Telo z maso 100 g niha sinusno z amplitudo 40 mm in z nihajnim £asom 0, 25 s.
(a) V kateri legi je njegova hitrost najve£ja?
(b) Kolik²na je ta najve£ja hitrost?
(c) Kolik²na sila pospe²uje telo, ko je hitrost najve£ja?
(d) V kateri legi je pospe²ek najve£ji?
(e) Kolik²en je najve£ji pospe²ek?
(f) Izra£unaj pospe²ek telesa, ko je odmik 12 mm (za£etna lega je ravnovesna)!
(g) V kolik²nem £asu se telo premakne iz ravnovesne lege v to£ko, ki je za 12 mm oddaljena
od ravnovesne lege?
(h) Nari²i graf kineti£ne energije v odvisnosti od £asa, £e je nihalo na za£etku v skrajni legi!
Graf ozna£i!!
15. Nitno nihalo z dolºino l niha z nihajnim £asom to pri majhni amplitudi. Kako se spremeni
nihajni £as, £e vrvico podalj²amo na 4l (4x podalj²amo)? Nari²i graf nihajnega £asa v odvisnosti
od dolºine nihala!
√
Rp: nihajni £as se zve£a za
4 = 2.
16. Nitno nihalo z dolºino l niha z nihajnim £asom to pri majhni amplitudi. Kako se spremeni
nihajni £as, £e vrvico podalj²amo na 5l (5x podalj²amo)? Nari²i graf nihajnega £asa v odvisnosti
od dolºine nihala in ga ozna£i!
17. Nitno nihalo z dolºino l niha s frekvenco νo pri majhni amplitudi. Kako se spremeni frekvenca,
£e vrvico podalj²amo na 6l (6x podalj²amo)? Nari²i graf frekvence v odvisnosti od dolºine
nihala!
18. Vzmetno nihalo ima na vzmeti uteº z maso m in niha z nihajnim £asom to . Kako se spremeni
nihajni £as, £e maso uteºi pove£amo na 4m (4x pove£amo)? Nari²i graf nihajnega £asa v
odvisnosti od mase uteºi!
√
Rp: nihajni £as se zve£a za
4 = 2.
6 NIHANJE
109
19. Vzmetno nihalo ima na vzmeti uteº z maso m in niha z nihajnim £asom to . Kako se spremeni
nihajni £as, £e maso uteºi pove£amo na 7m (7x pove£amo)? Nari²i graf nihajnega £asa v
odvisnosti od mase uteºi in ga ozna£i!
20. Vzmetno nihalo ima na vzmeti uteº z maso m in niha z nihajnim £asom to . Kako se spremeni
frekvenca, £e maso uteºi pove£amo na 4m(4x pove£amo)? Nari²i graf frekvence v odvisnosti
od mase uteºi!
21. Vzmetno nihalo z maso uteºi m, niha z s frekvenco νo pri majhni amplitudi. Kako se spremeni frekvenca, £e maso uteºi pove£amo na 5m (5x pove£amo maso)? Nari²i graf frekvence v
odvisnosti od mase uteºi !
22. Merili smo nihajni £as vzmetnega nihala v odvisnosti od mase uteºi, ki je obe²ena nanj. Meritve
so zbrane v tabeli.
m[g] 0 200 415 604 1400 1650 1768 2052
to [s] 0 0,82 1,17 1,52 2,27 2,44 2,59 2,68
Nari²i graf nihajnega £asa nihala v odvisnosti od mase uteºi! Iz grafa dolo£i, koliko je masa
nihala, kadar je nihajni £as 2 s! Koliko je masa nihala, ko je nihajni £as 3 s? (+)Iz meritev
dolo£i koecient proºnosti vzmeti in njegovo relativno napako!
23. Merili smo nihajni £as matemati£nega nihala v odvisnosti od dolºine nihala. Meritve so zbrane
v tabeli.
l[cm] 0 20,0 38,9 60,6 145 161 182 196
to [s]
0 0,80 1,14 1,52 2,17 2,37 2,51 2,71
Nari²i graf nihajnega £asa nihala v odvisnosti od dolºine nihala! Iz grafa dolo£i, koliko je
nihajni £as nihala, kadar je dolºina 1 m! Koliko je nihjani £as nihala, ko je dolºina nihala 3 m?
(+)Iz meritev dolo£i gravitacijski pospe²ek in njegovo relativno napako!
24. Na 2 m dolgi vrvi visi lesena klada z maso 1 kg. S kolik²no hitrostjo je v klado priletel 15
gramski izstrelek, £e se klada odmakne od ravnovesne lege za 24 cm?
Rp:
l = 2 m, m1 = 1 kg, m2 = 15 g = 0.015 kg, xo = 24 cm = 0.24 m
ω . . . kroºna frekvenca
Ker vemo da se gibalna koli£ina ohranja:
Klada miruje torej je njena hitrost enaka 0.
ω=
to = 2π
s
l
g
2π
to
in
in
to =
ω=
r
2π
ω
g
= 2.2 s−1
l
vk = vo
vo = xo · ω
vo = 0.24 m · 2.2 s−1
vo = 0.53 m/s
ker se gibalna koli£na ohranja: Gz = Gk ali G1 + G2 = Gk je:
0 + v2 · m2 = vk (m1 + m2 )
v2 = vk
1 kg + 0.015 kg
m1 + m2
= 0.53 m/s
= 35 m/s
m2
0.015 kg
25. Nitno nihalo z dolºino 5 m niha tako, da zadeva ob £ep, ki je 3 m pod pritrdi²£em nitke. Koliko
je nihajni £as nihala? Kje mora biti £ep, da bo nihajni £as 3 s, in kje da bo nihajni £as 5 s?
Rp:
Za tiste ki sem jim povzro£il preglavice z prej²njim zapisom formul: Eeee se opro²£am in
bom probal tisto popraviti.
To nihanje si moramo predstavljati, kot da je sestavljeno iz dveh nihanj z razli£nima
dolºinama vrvice.
6 NIHANJE
110
Nihajni £as: l1 = 5 m, s = 3 m, → l2 = l1 − s = 2 m
t1 = 2π
s
l1
= 2π
g
s
5m
2π
= √ s = 4, 44 s
2
10 m/s
2
t2 = 2π
s
l2
= 2π
g
s
2m
2π
= √ s = 2, 81 s
10 m/s2
5
t0 =
t1
t2
+
= 2.22 s + 1.4 s = 3.62 s
2
2
nihajni £as je t0 = 3 s:
t0 = t1 /2 + t2 /2
s
d
+ 2π
g
s
r
2t0 = 2π
t0
=
π
x
=
g
x=g
Ã
t0
−
π
Ã
d
+
g
t0
−
π
r
x
g
x
g
s !2
d
g
s !2
s
!2
Ã
3s
d
5m
2
= 10 m/s
−
= 0, 614 m
g
π
10 m/s2
Torej mora biti £ep 5 m − 0, 614 m = 4, 39 m pod pritrdi²£em.
Rezultat je povsem verjeten, saj £e je £ep vi²je je nihajni £as dalj²i, £e je pa niºje je kraj²i.
Za 5 s se ponovi ena£ba. Vendar, £e ugotovite, da je maksimalni £as nihala lahko le 4.4 s.
Torej za 5 s ne gre. Nekdo se je po²alil iz vas. . . hecno
. . . druga£e je laºje zra£unat.. po moje £e ne izrazi² x ampak takoj vstavi² not ²tevilke..
samo to je kao prou. . .
ali
s !2
Ã
µ
¶2
¶2
µ
t0
d
t1
t1
g
t0
x=g
−
−
= 2 to −
=g
π
g
π
2π
π
2
26. Nitno nihalo z maso uteºi 4 kg ima dolºino 6 m. Iz ravnovesne lege se najve£ dvigne za 20 cm.
Koliko je nihajni £as? Koliko je amplituda odmika in koliko amplituda hitrosti? Koliko je
skupna energija in koliko kineti£na, ko je nihalo dvignjeno 5 cm glede na ravnovesno lego ?
m = 4 kg, l = 6 m, h = c = 0.2 m
t0 = 2π
s
l
= 2π
g
s
6m
= 4, 9 s
10 m/s2
najprej dolo£imo amplitudo (glej sliko 33!): x20 − c2 = l2 − b2
√
x0 = l2 − b2 + c2
p
x0 = (6 m)2 − (5.8 m)2 + (0.2 m)2 )
x0 = 1, 5 m
nato najve£jo hitrost:
v0 = ω · x0
v0 = 2π
t0 · x0
2π
v0 = 4.9
s · 1.5 m
v0 = 1.9 m/s
skupna energija:
6 NIHANJE
111
Rp:
Slika 33: Skica z ozna£bami uporabljenimi pri ra£unanju!
W = W( p(max)) = m · g · h
Wp = 4 kg · 10 m/s2 · 0.2 m
Wp = 8 J
in ²e kineti£na v izbrani legi:
Wk = W − Wp
Wk = W − m · g · h
Wk = 8 J − 4 kg · 10 m/s2 · 0.05 m
Wk = 6 J
27. Nihalo, ki niha du²eno, ima na za£etku energijo 2 J. Kolik²en je koecient du²enja, £e ima po
25 s energijo 100 mJ? Nari²i kako se spreminja kineti£na energija v odvisnosti od £asa, £e je
nihajni £as 5 s!
Rp:
Wk = W1 = 2 J S tem je mi²ljena maksimalna Wk , ko ima nihalo najve£jo hitrost.
W2 = 100 mJ = 0, 1 J
Ker poznamo ena£bo za du²eno nihanje
v = v0 · e−βt cos(ω · t),
Vendar pa, ko je t = 0 dobimo preprosto v0 = v0 (cos 0 = 1 in e0 = 1). Torej sledi:
m·v 2
Wk = 2 0
2 J = m · v02 /2 . . . Masa uteºi ostaja enaka. . . torej jo lahko £rtamo. Ob £rtanju mase
moramo upo²tevati, da se tudi enote kraj²ajo.Lahko jo tudi pustite, saj se v naslednji
ena£bi kraj²a.
v0 = 2 m/s
Potem pa izra£unamo ²e za energijo po 25 s. In uporabimo Wk = W2
Za nihajni £as, ki se ne spreminja ne glede na amplitudo odmika, pogojen je namre£ le s
teºnim pospe²kom in dolºino nihala(pri nitnem nihalu), vzamemo t0 = 5 s.
W2 =
m·v02
2
W2 =
¢2
1¡
m · (v0 · e−βt · cos(ωt) )
2
6 NIHANJE
112
1
0, 1 J =
2
µ
µ
¶¶
25 s
2 2
−2β25 s
2
m · 4m /s · e
· cos 2π
5s
. . . Maso ponovno £rtamo. cos pa je enak ena, saj vemo da je periodi£en na 2π .
0, 05 s = e−β50 s . . . Za tiste , ki jim logaritmi niso povsem jasni.
0, 05 s = eβ · e−50 s
s)
ln eβ = ln(0,05
e−50 s
β = 47
Kon£no rezultat.
Pol je treba pa ²e narisat. ƒe slu£ajno bere to kdo, ki ima Derive ali kak program£ek za
risanje grafov, bi ga prosil, da doda graf. Hvala!!!
ali pa:
W = Wo e−2βt
W
= e−2βt
Wo
→
→
ln
W
= −2βt = →
Wo
in za koecient du²enja:
1
Wo
1
β=
ln
= ln
2t
W
t
r
ln
Wo
= 2βt
W
Wo
W
tako je β = 0, 06 s−1
khm. . . kateri je pravi?
28. Nihalo, ki niha du²eno, ima na za£etku energijo 200 mJ. Kolik²en je koecient du²enja, £e ima
po 5 s energijo 100 mJ? Nari²i kako se spreminja kineti£na energija v odvisnosti od £asa, £e je
nihajni £as 5 s!
Rp:
jaz bi takole re²eval:
Slika 34: Graf energije v odvisnosti od £asa: rde£e - skupna oziroma najve£ja kineti£na energija
eksponentno pada modro - kineti£na energija, £e je na za£etku hitrost maximalna (po 5 s je kineti£na
energija polovica za£etne)
zikalno ozadje:
£e je hitrost na za£etku najve£ja, se v odvisnosti od £asa spreminja takole:
v = vo e−βt cos(ωt) = vo e−βt cos(
2π
t)
to
pri tem je vo za£etna hitrost, β koecient du²enja;
prvi del ena£be v = vo e−βt nam pove, kako se spreminja amplituda hitrosti, drugi del
cos(ωt) pa govori o nihanju!
potem spreminjanje kineti£ne energije opi²e ena£ba:
Wk =
=
¢2
1
1 ¡
mv 2 = m vo e−βt cos(ωt) =
2
2
1
mv 2 e−2βt cos2 (ωt) = Wo e−2βt cos2 (ωt)
2 o
6 NIHANJE
113
kjer je Wo za£etna kineti£na energija, £len e−2βt opisuje eksponentno manj²anje skupne
(in s tem tudi najve£je kineti£ne) energije, £len cos2 (ωt) pa osciliranje trenutne kineti£ne
energije.
sedaj pa k re²evanju
najve£ja kineti£na energija eksponentno pada: W( ko) = Wo e−2βt
torej je:
Wko
Wo
= e−2βt
ln
Wko
= −2βt
Wo
β=−
1
Wko
ln
2t
Wo
uporabim pravilo za logaritmiranje: − ln(1/a) = ln a)
β=
β=
nari²imo grafa
1
Wo
ln
2t Wko
200 mJ
1
ln
= 0, 0693 s− 1
2 · 5 s 100 mJ
29. Nihalo, ki niha du²eno, ima na za£etku amplitudo 20 cm. Kolik²en je koecient du²enja, £e
ima po 25 s amplitudo 1 cm? Nari²i kako se spreminja amplituda v odvisnosti od £asa in kako
odmik v odvisnosti od £asa, £e je nihajni £as 5 s!
Rp:
β = 0, 12 s−1
30. Nihalo, ki niha du²eno, ima na za£etku amplitudo 30 cm. Kolik²en je koecient du²enja, £e
ima po 25 s amplitudo 5 cm? Nari²i kako se spreminja amplituda v odvisnosti od £asa in kako
odmik v odvisnosti od £asa, £e je nihajni £as 5 s!
Rp:
β = 0, 072 s−1
31. Koliko je razmerje med kineti£no in proºnostno energijo vzmetnega nihala, ko je odmik enak
polovici najve£jega odmika? Kdaj se to zgodi?
Rp:
Wk /Wpr =?
x = xo /2
m · v 2 /2 = k · x2 /2
m · vo2 · cos(ωt) = k · x2o /4 =>
=> Wk = 4Wpr
hmmm. . . nekaj nagaja - gam neki je izginil £len cos(ωt)
m · vo2 · cos(ωt) = k · x2o /4
ker je vo2 = ω 2 x2o in ω 2 = k/m
vstavimo, pokraj²amo in ugotovimo, da je cos(ωt) = 1/4
medtem, ko ena£ba x = xo /2 pravi, da je sin(ωt) = 1/2
skratka pravilneje bi bilo:
m · vo2 · cos2 (ωt) = k · x2o /4
...
=============================
glavna teºava pa je v za£etni preambuli Wk = Wpr , ker energiji nista enaki, ampak nas
zanima, koliko je Wk /Wpr =?
imamo dve moºnosti:
1. za£nemo z energijami: ker je x = x2o ali xxo = 21 , mora biti razmerje med trenutno
proºnostno energijo in skupno energijo (najve£jo proºnostno):
Wpr
1
=
Wo
4
6 NIHANJE
114
, saj je energija sorazmerna s kvadratom odmika!
To pomeni, da je skupna energija 4 krat ve£ja kot proºnostna.
Po drugi strani pa vemo, da je vsota kineti£ne in proºnostne energije v kateremkoli trenutku enaka skupni energiji. Z drugimi besedami: ker je Wk = Wo +Wpr , lahko sklepamo,
da je razmerje med kineti£no energijo in skupno energijo:
3
Wk
=
Wo
4
!
Tako ugotovimo, da je kineti£na energija 3 krat ve£ja, £e je odmik enak polovici amplitude!
Ali:
Wk
3
=
Wpr
1
2. za£nemo s podatkom x = x2o
ker mora hkrati veljati x = xo sin(ωt) (£e nihalo za£nemo opazovati v ravnovesni legi),
hitro izra£unamo, da je
x
1
= sin(ωt) =
xo
2
oziroma
ωt =
π
6
potem pogledamo, kako je z razmerjem kineti£ne in proºnostne energije v tem trenutku:
Wk
=
Wpr
=
mv 2
2
kx2
2
=
³√ ´2
cos2 π6
mω 2 x2o cos2 (ωt)
=
=
3 =3
kx2o sin2 (ωt)
sin2 π6
32. Kolik²en del amplitude odmika je odmik v trenutku, ko je kineti£na energija vzmetnega nihala
enaka proºnostni energiji? Kdaj se to zgodi?
Rp:
To se zgodi ob £asu:
Wk = Wpr
m · v 2 /2 = k · x2 /2
Uporabim ena£be za za£etek nihanja v RL:
v = vo cos(ω · t)
x = xo sin(ω · t)
vem pa tudi da je:
vo = ω · xo
k (kg/s2 ) => to = 2π · (m/k)1/2 =>
=> k = 4π 2 · m/t2o
sledi:
m · vo2 · cos2 (ω · t) = k · x2o · sin2 (ω · t)
m · x2o · ω 2 · cos2 (ω · t) = k · x2o · sin2 (ω · t)
m · ω 2 /k = sin2 (ω · t)/ cos2 (ω · t)
m · (2π/to )2 /4π 2 · m/t2o = tg 2 (ω · t)
1 = tg(ω · t) . . . pazi ali ra£una² v radianih ali stopinjah
pi/4 = (t · 2π)/to
t = to /8
oziroma kot ste lahko sklepali brez tega ra£una na polovici £asa med RL in SL
x = xo · sin(ω · t)
x = xo · sin((2π/to ) · (to /8))
x = xo · sin(pi/4)
6 NIHANJE
115
x = 0.87 · xo . . . ali . . . x = xo · 31/2 /2
lahko bi poskusili tudi takole:
ker je: Wk = Wpr in je Wo = Wk + Wpr , sklepamo, da je:
Wo = 2Wpr , oziroma
1
Wpr
=
Wo
2
£e velja, da se odmik spreminja: x = xo sin(ω · t)
potem se proºnostna energija spreminja:
Wpr =
1
1
kx2
2
= k (xo sin(ω · t)) = kx2o sin2 (ω · t)
2
2
2
zato je razmerje energij
Wpr
=
Wo
1
2
2 kxo
sin2 (ω · t)
1
2
2 kxo
ali
sin2 (ω · t) =
korenimo:
sin(ω · t) = ±
1
2
r
1
2
negativne re²itve nas ne zanimajo, ker £as ne te£e nazaj!
√
p
ostane nam sin(ω · t) = 1/2 = 22
oziroma ω · t = π4
ker je: ω = 2π
to
poi²£emo ²e £as:
π
2π
to
=ω·t=
⇒
t=
4
to
8
mogo£e malo kraj²e ali pa tudi ne ;)
33. Izpelji diferencialno ena£bo du²enega nihanja vzmetnega nihala! Upo²tevaj, da je sila upora
sorazmerna s hitrostjo in maso!
34. (+)Vzmetno nihalo je na za£etku opazovanja v ravnovesni legi. Niha z amplitudo xo , njegova
najve£ja proºnostna energija pa je Wpr0 . Nari²i graf kineti£ne in proºnostne energije v odvisnosti od odmika! Na grafu ozna£i pri katerem odmiku x je trenutna kineti£na energija enaka
trenutni proºnostni energiji! Koliko je razmerje med tem odmikom in amplitudo? (*)Ali bi
znal ugotoviti ob katerih £asih se to zgodi?
35. (+)Nitno nihalo je na za£etku opazovanja v skrajni legi. Niha z amplitudo hitrosti vo , njegova
najve£ja kineti£na energija pa je Wk0 . Nari²i graf kineti£ne in potencialne energije v odvisnosti
od hitrosti! Na grafu ozna£i pri kateri hitrosti v je trenutna kineti£na energija enaka trenutni
proºnostni energiji! Koliko je razmerje med to hitrostjo in amplitudo hitrosti? (*)Ali bi znal
ugotoviti ob katerih £asih se to zgodi?
36. Opazovali smo vsiljeno nihanje nihala. Merili smo, kako je njegova amplituda odvisna od
vsiljene frekvence. Meritve so zbrane v tabeli.
ν [Hz]
xo [cm]
0,989
1,160
1,281
1,409
1,611
1,580
1,902
2,012
2,182
2,980
2,517
5,833
2,783
6,557
3,068
2,979
3,713
1,881
4,315
0,914
4,889
0,591
Nari²i resonan£no krivuljo nihala! Koliko je frekvenca vsiljenega nihanja, ko je amplituda
nihala, ki mu vsiljujemo nihanje, 4 cm? Na grafu jasno ozna£i in zapi²i vrednost lastne frekvence
nihala! (+)Na graf dori²i resonan£no krivuljo nihala, ki bi bilo mo£neje du²eno!
7 VALOVANJE
116
37. Opazovali smo vsiljeno nihanje nihala. Merili smo, kako je njegova amplituda odvisna od
vsiljene frekvence. Meritve so zbrane v tabeli.
ν [Hz]
xo [cm]
1,005
1,313
1,321
1,671
1,589
2,520
1,879
4,543
2,241
3,280
2,548
1,646
2,841
0,987
3,087
0,720
3,745
0,410
4,276
0,263
4,891
0,203
Nari²i resonan£no krivuljo nihala! Koliko je frekvenca vsiljenega nihanja, ko je amplituda
nihala, ki mu vsiljujemo nihanje, 3 cm? Na grafu jasno ozna£i in zapi²i vrednost lastne frekvence
nihala! (+)Na graf dori²i resonan£no krivuljo nihala, ki bi bilo ²ibkeje du²eno!
38. Nihalo niha du²eno. Koecient du²enja je 0, 02 s−1 . Po 40 s je njegova amplituda 5 cm. Koliko
je bila njegova za£etna amplituda in koliko njegova amplituda po 20 s? Nari²i in ozna£i graf
amplitude v odvisnosti od £asa! (+)V katerem trenutku je amplituda enaka polovici za£etne
amplitude?
39. Nihalo niha du²eno. Koecient du²enja je 0, 02 s−1 . Po 100 s je njegova amplituda 7 cm. Koliko
bo njegova amplituda £ez 50 sekund? Koliko je bila njegova amplituda pred 50 sekundami?
Nari²i in ozna£i graf amplitude v odvisnosti od £asa! (+)Pred koliko £asa je bila njegova
amplituda dvakrat ve£ja?
40. Nihalo niha du²eno. Koecient du²enja je 0, 05 s−1 . Po 40 s je njegova amplituda 5 cm. Koliko
bo njegova amplituda £ez 20 sekund? Koliko je bila njegova amplituda pred 20 sekundami?
Nari²i in ozna£i graf amplitude v odvisnosti od £asa! (+)ƒez koliko £asa bo njegova amplituda
trikrat manj²a?
41. Nihalo niha du²eno. Koecient du²enja je 0, 05 s−1 . Po 20 s je njegova amplituda 5 cm. Koliko
je bila njegova za£etna amplituda in koliko njegova amplituda po 10 s? Nari²i in ozna£i graf
amplitude v odvisnosti od £asa! (+)ƒez koliko £asa bo amplituda 2, 5 cm?
6.2
nihajni krog
1. Koliko je razmerje med tokom in amplitudo toka, kadar je elektri£na energija enaka magnetni
energiji elektri£nega nihajnega kroga? Kdaj se to zgodi, £e je nihajni £as 8 s?
Rp:
re²uje se pa podobno kot nadloga ?16? pri mehanskih nihalih!
2. Koliko je razmerje med tokom in amplitudo toka, kadar je elektri£na energija enaka magnetni
energiji elektri£nega nihajnega kroga? Kdaj se to zgodi, £e je nihajni £as 2 s?
3. Koliko je razmerje med elektri£no in magnetno energijo elektri£nega nihajnega kroga, kadar je
napetost enaka polovici najve£je napetosti? Kdaj se to zgodi, £e je nihajni £as 8 s?
4. Nihajni krog sestavimo iz tuljave in plo²£atega kondenzatorja. Tuljava ima 500 ovojev, premer
4 cm in dolºino 15 cm. Kondenzator ima povr²ino 100 cm2 in razmik med plo²£ama 0, 5 mm.
Na katero valovno dolºino je ugla²en nihajni krog?
5. Nihajni krog sestavimo iz tuljave in plo²£atega kondenzatorja. Tuljava ima 250 ovojev, premer
4 cm in dolºino 15 cm. Kondenzator ima povr²ino 400 cm2 in razmik med plo²£ama 0, 5 mm.
Na katero valovno dolºino je ugla²en nihajni krog?
6. Kondenzator s kapaciteto 1, 5 mF in tuljava z induktivnostjo 50 mH tvorita elektri£ni nihajni
krog. Kondenzator nabijemo z napetostjo 500 V in izklopimo vir napetosti. Kolik²ni sta amplituda toka in frekvenca nihajnega kroga?
7. Poi²£i zgornjo in spodnjo mejo za kapaciteto vrtljivega kondenzatorja v nihajnem krogu radijskega sprejemnika, da lahko poslu²amo radijske postaje na valovnih dolºinah od 500 m do
2100 m! Kapaciteta kondenzatorja pri valovni dolºino 1 km je 800 pF!
7 valovanje
7.1
valovanje
1. Zvo£nik za£ne nihati s frekvenco nu = 150 Hz in amplitudo 6 · 10−6 m. Koliko je odmik zra£nih
delov na oddaljenosti 680 m po 3 s (c = 340 m/s)?
7 VALOVANJE
117
2. Prosto kraji²£e zelo dolge ravne vrvi za£ne nihati s frekvenco 6 Hz in amplitudo 10 cm. Valovanje se ²iri po vrvi s hitrostjo 3 m/s. S kolik²no amplitudo niha 4 s po pri£etku nihanja del
vrvi, ki je 7 m stran od kraji²£a?
3. To£kast zvo£nik oddaja zvo£ni tok 80 W pri frekvenci 440 Hz. Koliko je jakost zvoka 8 m od
zvo£nika? Koliko je tam glasnost?
4. To£kast zvo£nik oddaja pri frekvenci 2 kHz zvo£ni tok 5 W. Koliko stran od zvo£nika namerimo
jakost zvoka 0, 2 Wm−2 ? Koliko je tam glasnost?
5. Globino 20 m bi radi dolo£ili na 1% natan£no z merjenjem zakasnitve odbitega podvodnega
zvoka. Kolik²no najmanj²o £asovno zakasnitev moramo biti sposobni izmeriti? Hitrost zvoka
v vodi je 1400 m/s.
6. Vijoli£na svetloba ima frekvenco 7, 5 · 1014 Hz. Koliko je razmerje med njeno valovno dolºino
v zraku in valovno dolºino v vodi? (cz = 300000 km/s, cv = 2, 2 · 108 m/s)
7. Rumeno zelena svetloba ima frekvenco 5, 5 · 1014 Hz. Koliko je razmerje med njeno valovno
dolºino v zraku in valovno dolºino v vodi? (cz = 300000 km/s, cv = 2 · 108 m/s)
Rp:
cz
3
λz
=
= = 1, 5
λv
cv
2
8. Koliko je valovna dolºina zvoka v zraku, £e je njegova frekvenca 2000 Hz?
9. Ton ima frekvenco 1500 Hz. Koliko je razmerje med njegovo valovno dolºino v vodi in v zraku
pri normalnih pogojih? (cv = 1, 4 km/s, cz = 340 m/s)
Rp:
4, 12
10. Ton ima frekvenco 500 Hz. Koliko je razmerje med njegovo valovno dolºino v vodi in v zraku
pri normalnih pogojih? (cv = 1, 4 km/s, cz = 340 m/s)
11. Na²tej spekter elektromagnetnega valovanja po nara²£ajo£i frekvenci!
12. Na²tej spekter elektromagnetnega valovanja po padajo£i valovni dolºini!
13. Elektromagnetni valovi imajo frekvenco 6 · 1014 Hz. Koliko je njihova valovna dolºina in katero
valovanje je to?
Rp:
3 · 108 m/s
c
=
= 5 · 10−7 m = 0, 5 µm = 500 nm
ν
6 · 1014 Hz
to je modro zelena svetloba
λ=
14. Koliko je valovna dolºina elektromagnetnega valovanja s frekvenco 3 GHz in katero valovanje
je to?
Rp:
ν = 3 GHz = 3·109 Hz, c = 3·108 m/s . . . hmm svetlobna hitrost, da to si je dobr zapomnt
c=ν·λ
λ=
c
3 · 108 m/s
=
= 0, 1 m
ν
3 · 109 m/s
Hmm toliko kot se jast spomnim je to elektromagnetno valovanje z malo energije, najverjetneje radijski valovi.
15. Koliko je valovna dolºina elektromagnetnega valovanja s frekvenco 91 MHz in katero valovanje
je to?
7 VALOVANJE
Rp:
118
ν = 91 MHz = 91 · 106 Hz
c = 3 · 108 m/s
λ . . . valovna dolºina (druga£e gr²ka £rka λ)
c = νλ
λ=
λ=
λ = 3.3 m
Emhm. . . sej ste ºe sli²al za radio. . .
c
ν
3 · 108 m/s
91 · 106 s−1
16. Koliko je valovna dolºina elektromagnetnega valovanja s frekvenco 9·1014 Hz in katero valovanje
je to?
17. Koliko je valovna dolºina elektromagnetnega valovanja s frekvenco 3·1014 Hz in katero valovanje
je to?
18. Elektromagnetni valovi imajo valovno dolºino 3, 1 m. Koliko je njihova frekvenca in katero
valovanje je to?
Rp:
ν = 96, 77 MHz radijski ultra kratki valovi UKV ali FM oznaka na radijskem sprejemniku
19. Rumeno zelena svetloba ima valovno dolºino 555 nm. Koliko je njena frekvenca?
20. Natrijeva svetilka sveti z oranºno svetlobo, ki ima valovno dolºino 589 nm. Koliko je njena
frekvenca?
Rp:
ν = c/λ = 5, 09 · 1014 Hz
21. He-Ne laser sveti z rde£o svetlobo, ki ima valovno dolºino 620 nm. Koliko je njena frekvenca?
22. Epruveta zapiska, ker v njej nastane stoje£e zvo£no valovanje. Globoka je 15 cm. S katero
osnovno frekvenco se oglasi? Koliko je tretja vi²je harmonska frekvenca? Hitrost zvoka v zraku
je c = 330 m/s.
Rp:
ker je en konec epruvete odprt, drugi pa zaprt, lahko vzamemo, da je dolºina epruvete
enaka £etrtini valovne dolºine, zato : λ = 4l = 60 cm
tako je osnovna frekvenca, s katero se oglasi epruveta:
νo =
c
= 550 Hz
λ
medtem ko je tretje vi²je harmonska frekvenca:
ν3 = (2n + 1)νo = 7νo = 3850 Hz
23. Odprta pi²£al zapiska, ker v njej nastane stoje£e valovanje. Pi²£al je dolga 25 cm. S katero
osnovno frekvenco se oglasi? Koliko je £etrta vi²je harmonska frekvenca? Zvo£na hitrost
c = 320 m/s.
Rp:
ker sta oba konca pi²£ali odprta, lahko vzamemo, da je dolºina epruvete enaka polovici
valovne dolºine, zato : λ = 2l = 50 cm
tako je osnovna frekvenca, s katero se oglasi pi²£al:
νo =
c
= 640 Hz
λ
medtem ko je £etrta vi²je harmonska frekvenca:
ν4 = (n + 1)νo = 5νo = 3200 Hz
7 VALOVANJE
119
24. Odprta pi²£al zapiska, ker v njej nastane stoje£e valovanje. Kako dolga je pi²£al, £e se oglasi z
osnovno frekvenco 200 Hz? Koliko je £etrta vi²je harmonska frekvenca?
25. Odprta pi²£al zapiska, ker v njej nastane stoje£e valovanje. Kako dolga je pi²£al, £e se oglasi
z osnovno frekvenco 512 Hz? Koliko je £etrta vi²je harmonska frekvenca? Zvo£na hitrost
c = 340 m/s.
26. Klju£ek z luknjo zapiska, ker v njem nastane stoje£e zvo£no valovanje. Kako globoka je luknja,
£e se oglasi z osnovno frekvenco 2 kHz? Koliko je tretja vi²je harmonska frekvenca?
27. Epruveta zapiska, ker v njej nastane stoje£e zvo£no valovanje. Kako globoka je epruveta, £e
se oglasi z osnovno frekvenco 0, 88 kHz? Koliko je tretja vi²je harmonska frekvenca? Zvo£na
hitrost c = 340 m/s.
28. Epruveta zapiska, ker v njej nastane stoje£e zvo£no valovanje. Globoka je 14 cm. S katero
osnovno frekvenco se oglasi? Koliko je tretja vi²je harmonska frekvenca? Zvo£na hitrost c =
340 m/s.
29. Odprta pi²£al (npr. avta) zapiska, ker v njej nastane stoje£e valovanje. Dolga je 60 cm. S
katero osnovno frekvenco se oglasi? Koliko je tretja vi²je harmonska frekvenca? Zvo£na hitrost
c = 340 m/s.
30. Epruveta se oglasi z osnovno frekvenco 868 Hz, £e pre£no pihnemo preko njene odprtine. Koliko
je dolºina epruvete? Koliko je £etrta vi²jeharmonska frekvenca? (hitrost zvoka v zraku c =
340 m/s)
Rp:
l = 9.8 cm, ν4 = 7810 Hz
31. Dokaºi, da je razdalja med dvema zaporednima vozloma stoje£ega valovanja res polovica valovne dolºine!
32. Iz denicije valovanja pokaºi, katera razdalja je enaka valovni dolºini!
33. Na struni vzbujamo stoje£e valovanje s frekvenco 440 Hz. Razdalja med dvema zaporednima
vozloma na struni je 30 cm. Koliko je hitrost valovanja na struni? Koliko je lahko najve£ja
dolºina strune, da ²e nastane na njej stoje£e valovanje, £e ima valovanje frekvenco 440 Hz in
hitrost 500 m/s?
34. Na struni vzbujamo stoje£e valovanje s frekvenco. Razdalja med dvema zaporednima vozloma
na struni je 40 cm, hitrost valovanja, ki se ²iri po njej pa 300 m/s. S kolik²no frekvenco se
struna oglasi? Koliko je lahko najve£ja dolºina strune, da ²e nastane na njej stoje£e valovanje
s frekvenco 100 Hz?
35. Netopir oddaja zvok s frekvenco 30 kHz. Ko se oddaljuje od mirujo£e ovire, zazna zvok s
frekvenco 26 kHz. S kolik²no hitrostjo se oddaljuje od ovire? (hitrost zvoka v zraku je 340 m/s).
(+)Nari²i graf frekvence, ki jo netopir zazna v odvisnosti od njegove hitrosti!
36. Netopir oddaja zvok s frekvenco 30 kHz. Ko se pribliºuje mirujo£i oviri, zazna zvok s frekvenco
36 kHz. S kolik²no hitrostjo se pribliºuje oviri? (hitrost zvoka v zraku je 340 m/s). (+)Nari²i
graf frekvence, ki jo netopir zazna v odvisnosti od njegove hitrosti!
37. Sirena na re²ilcu, ki vozi enakomerno s hitrostjo 111 km/h oddaja ton s frekvenco 500 Hz.
Hitrost zvoka v zraku je c = 333 m/s. Kolik²no frekvenco sli²imo, £e stojimo ob cesti, ko se
re²ilec ºe oddaljuje? Koliko bi morala biti hitrost re²ilca, da bi sli²ali za 20 % manj²o frekvenco
zvoka, kot jo le ta oddaja? (+)Nari²i graf valovne dolºine zvoka, ki ga sli²imo v odvisnosti od
hitrosti re²ilca?
38. Sirena na re²ilcu, ki vozi enakomerno s hitrostjo 100 km/h oddaja ton z valovno dolºino 77,7 cm.
Hitrost zvoka v zraku je c = 333 m/s. Kolik²na je valovna dolºina zvoka, ki ga sli²imo sli²imo,
£e stojimo ob cesti, ko se re²ilec ºe oddaljuje? Koliko bi morala biti hitrost re²ilca, da bi sli²ali
zvok z 22% ve£jo frekvenco, kot jo le-ta oddaja? Nari²i graf valovne dolºine zvoka, ki ga sli²imo
v odvisnosti od hitrosti re²ilca?
7 VALOVANJE
Rp:
120
λ = 0.842 m, v = −0.18 c = −60 m/s v tem primeru se re²ilec pribliºuje; za oddaljevanje
moramo narisati graf λ = λo (1 + vc ), ki je nara²£ajo£a premica z odsekom na ordinati pri
0.777 m in odsekom na abscisi pri −333 m/s
39. Sirena na vlaku, ki vozi enakomerno s hitrostjo 85 km/h oddaja ton s frekvenco 500 Hz. Hitrost
zvoka v zraku je c = 340 m/s Kolik²no frekvenco sli²imo, £e stojimo ob tiru pred prihodom
vlaka? Koliko bi morala biti hitrost vlaka, da bi sli²ali za 10 % ve£jo frekvenco zvoka, kot jo le
ta oddaja? (+)Nari²i graf valovne dolºine zvoka, ki ga sli²imo v odvisnosti od hitrosti vlaka?
7.2
optika
1. Svetloba pade iz stekla v zrak pod vpadnim kotom 57◦ . V kateri smeri se ²iri v zraku?
Rp:
steklo n1 = 1.5 (odvisno od vrste stekla) £e je steklo opti£no gostej²e potem ima ve£ji n.
Najve£ji n ima od naravnih snovi diamant. . . i think
zrak n2 = 1 (isto kot v vakuumu)
α = 57◦
n2
sin α
sin β = n1
β = arcsin(sin α · n1 )
β = arcsin(sin(57 · 1.5)
β == hmm hecno ne gre ker je kot ve£ji k 90 stopinj, oziroma arcsin x.. ko je x > 1 se ne
da zra£unati.
Iz tega lahko sklepamo da tukaj svetloba sploh ne pride iz stekla v zrak ampak se odbije
nazaj. Zgodi se POPOLN ODBOJ!!!!
kot pod katerim se odbije nazaj:
57◦
2. Svetloba pade iz vode v zrak pod vpadnim kotom 57◦ . V kateri smeri se ²iri v zraku?
Rp:
steklo n1 = 1.3
zrak n2 = 1 (isto kot v vakuumu)
α = 57◦
sin α
n2
=
sin β
n1
β = arcsin(sin α · n1 )
β = arcsin(sin(57 · 1.3)
β == hmm hecno ne gre ker je kot ve£ji k 90 stopinj, oziroma arcsin x .. ko je x > 1 se
ne da zra£unati.
Torej se svetloba odbije nazaj v vodo, pod istim kotom kot je zadela vodno gladino. Zgodi
se POPOLN ODBOJ.
3. Svetlobni ºarek pade iz zraka na stekleno plo²£o pod vpadnim kotom 55◦ . V kateri smeri se
giblje skozi steklo?
Rp:
n1 = 1 (zrak)
n2 = 1, 5 (odvisno od tipa stekla)
α = 55◦
n2
sin α
sin β = n1
β = arcsin(sin α · nn21 )
β = arcsin(sin(57/1.5)
β = 33◦
Pazi! Kot β mora biti manj²i od alfa ko gre ºarek iz opti£no redkej²e v opti£no gostej²o
snov.
4. Svetloba pade iz zraka v steklo pod vpadnim kotom 30◦ . Potem pa iz stekla v olje. Pod katerim
kotom se ²iri v olju?
7 VALOVANJE
Rp:
121
Najprej izra£una² koliko je kot v steklu:
n nam pove kolikokrat po£asneje se ²iri svetloba v X snovi kot v zraku.
n1 = 1 (zrak)
n2 = 1.5 (steklo)
α = 30◦
n2
sin α
sin β = n1
β = arcsin
µ
sin α
n2
¶
= arcsin
µ
sin 30◦
1.5
¶
= 19◦
Potem pa ²e v olju:
(hmm hecno za zdej se ne vem lomnega koli£nika olja bom re²il ko ga dobim. . . lahko pa
kdo drug nadaljuje. In my dreams!")
5. S snopom svetlobe posvetimo na plast pleksi stekla z debelino 1 cm. Vpadni kot snopa svetlobe
je 85◦ . Skiciraj pot snopa svetlobe skozi plast stekla! Koliko je lomni kot v steklu? Za koliko
centimetrov je snop svetlobe zamaknjen od prvotne smeri, ko pride na drugi strani iz stekla?
Lomni koli£nik pleksi stekla npleksi steklo = 1, 3.
α
β
β
y
α
x
Rp:
Slika 35: Lom svetlobe na plasti stekla.
Pot svetlobe skozi plast snovi (v tem primeru pleksi stekla) je prikazana na sliki 35. Vpadni
kot α in lomni kot β povezuje lomni ali Snellov zakon, iz katerega zlahka izra£unamo lomni
kot (pri tem privzamemo, da je lomni koli£nik za zrak enak ena, £eprav je 1,00029):
sin α
= npleksi steklo
sin β
→
sin β =
sin α
n
⇒
β = 50, 02◦
Vpra²anje o zamaknjenosti snopa svetlobe je nekoliko dvoumno. Ni mi jasno, ali je potrebno izra£unati, koliko je to£ka izstopa snopa iz stekla premaknjena glede na prvotno
smer, kar sem ozna£il z y , ali pa naj bi izra£unal, koliko je lomnljeni snop premaknjen od
prvotne smeri, kar sem ozna£il z x. V prvem primeru je o£itno:
y = d(tan α − tan β) = 10, 2 cm
V drugem primeru je malo ve£ ra£unanja. ƒe z l ozna£im dolºino poti svetlobe skozi plast,
potem velja:
d
x = l sin(α − β) in l =
cos β
eliminiram l in ugotovim:
x=
d sin(α − β)
= 0, 892 cm
cos β
6. S snopom svetlobe posvetimo na plast stekla z debelino 1 cm. Vpadni kot snopa svetlobe je
75◦ . Skiciraj pot snopa svetlobe skozi plast stekla! Koliko je lomni kot v steklu? Za koliko
centimetrov je snop svetlobe zamaknjen od prvotne smeri, ko pride na drugi strani iz stekla?
Lomni koli£nik pleksi stekla nsteklo = 1, 5.
7 VALOVANJE
Rp:
122
β = 40, 09◦ , y = 2, 89 cm, x = 0, 75 cm
7. S snopom svetlobe posvetimo na plast pleksi stekla z debelino 0, 75 cm. Svetloba se dvakrat
lomi. Vpadni kot snopa svetlobe je 57◦ . V kateri smeri se ²iri svetloba v pleksi steklu in v kateri
smeri, ko pride iz pleksi stekla? Nari²i skico! Lomni koli£nik pleksi stekla npleksisteklo = 1, 3.
8. S snopom svetlobe posvetimo na plast stekla z debelino 0, 5 cm. Svetloba se dvakrat lomi.
Vpadni kot snopa svetlobe je 57◦ . V kateri smeri se ²iri svetloba v steklu in v kateri smeri, ko
pride iz stekla? Nari²i skico! Lomni koli£nik stekla nsteklo = 1, 5.
9. Da bi dolo£ili lomni koli£nik prozorne plo²£e smo merili vpadni in lomni kot. Meritve, ki smo
jih dobili so podane v tabeli.
α[◦ ]
β[◦ ]
11,3
7,5
22,8
15,1
34,8
22,5
46,3
31,1
57,1
33,9
68,6
40,9
81,2
43,8
Nari²i graf sinusa lomnega kota v odvisnosti od sinusa vpadnega kota [ sin β(sin α) ]! Koliko
sta lomni koli£nik te snovi in mejni kot?
10. Da bi dolo£ili lomni koli£nik prozorne kapljevine smo merili vpadni in lomni kot. Meritve, ki
smo jih dobili so podane v tabeli.
α[◦ ]
β[◦ ]
11,3
9,2
22,9
18,6
34,3
27,8
45,4
36,1
56,4
44,1
68,3
46,9
79,9
53,8
Nari²i graf sinusa vpadnega kota v odvisnosti od sinusa lomnega kota [ sin α(sin β) ]! Koliko
sta lomni koli£nik te snovi in mejni kot?
11. S snopom svetlobe posvetimo na paralelno plast stekla z debelino 0, 5 cm. Svetloba se dvakrat
lomi. Vpadni kot snopa svetlobe je 57◦ . V kateri smeri se ²iri svetloba v steklu in v kateri smeri,
ko pride iz stekla? Nari²i skico in na njej ozna£i vse kote! Lomni koli£nik stekla nsteklo = 1, 5.
12. S snopom svetlobe posvetimo na paralelno plast stekla z debelino 0, 5 cm. Svetloba se dvakrat
lomi. Vpadni kot snopa svetlobe je 57◦ . V kateri smeri se ²iri svetloba v steklu in v kateri smeri,
ko pride iz stekla? Nari²i skico in na njej ozna£i vse kote! Lomni koli£nik stekla nsteklo = 1, 5.
(+)Nari²i ter ozna£i graf vpadnega kota v odvisnosti od lomnega kota! Kje na grafu se skriva
mejni kot?
13. S snopom svetlobe posvetimo na paralelno plast pleksi stekla z debelino 0, 75 cm. Svetloba se
dvakrat lomi. Vpadni kot snopa svetlobe je 57◦ . V kateri smeri se ²iri svetloba v pleksi steklu in
v kateri smeri, ko pride iz pleksi stekla? Nari²i skico in na njej ozna£i vse kote! Lomni koli£nik
pleksi stekla npleksi steklo = 1, 3. (+)Nari²i ter ozna£i graf lomnega kota v odvisnosti od
vpadnega kota! Kje na grafu se skriva mejni kot?
14. Tanek curek bele svetlobe pada na prizmo in ta ga razkloni v mavrico. Lomni koli£nik rde£e
svetlobe je 1,50 vijoli£ne pa 1,53. Kot prizme α = 10◦ . Mavrico opazujemo na d = 300 cm
oddaljenem zaslonu. Kolik²na je vi²ina mavrice y na zaslonu? Slika ni narisana v merilu!
d
α
1
0
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
y1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
7 VALOVANJE
123
15. Tanek curek bele svetlobe pada na prizmo in ta ga razkloni v mavrico. Lomni koli£nik rde£e
svetlobe je 1,50 vijoli£ne pa 1,53. Kot prizme α = 20◦ . Mavrico opazujemo na d = 200 cm
oddaljenem zaslonu. Kolik²na je vi²ina mavrice y na zaslonu? Slika ni narisana v merilu!
1
0
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
y1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
d
α
16. Tanek snop rde£e svetlobe pada na stekleno prizmo, kot kaºe slika. Prizma ima za osnovno
ploskev enakokraki trikotnik s kotom v vrhu γ = 30◦ . Lomni koli£nik rde£e svetlobe v steklu
je n = 1, 50. Za kolik²en kot δ se svetloba odkloni od prvotne smeri po prehodu skozi prizmo?
γ
δ
17. Na uklonsko mreºico z mreºno konstanto 500 reˇz/mm posvetimo z laserjem, ki oddaja svetlobo
z valovno dolºino 630 nm. V katerih smereh dobimo pasove oslabitve in koliko jih je?
Rp:
sin β =
1=
n·λ
d
n·λ
d
n=
d
λ
2 · 10−6 m
= 3, 17
630 · 10−9 m
. . . torej 7 pasov. V vsako stran 3 + sredi²£ni, pri katerem je n = 0.
Pasovi oslabitve so med pasovi oja£itve. Torej jih je 8.
Smer=?
smer dolo£i² s pogojem oslabitve: d sin β = λ(2n − 1) in izra£una² kot β
n=
18. Na uklonsko mreºico z mreºno konstanto 400 reº na milimeter posvetimo z laserjem, ki oddaja
svetlobo z valovno dolºino 450 nm. V katerih smereh dobimo pasove oja£enja in koliko jih je?
7 VALOVANJE
124
19. Na uklonsko mreºico z mreºno konstanto 470 reº na milimeter posvetimo z laserjem, ki oddaja
svetlobo z valovno dolºino 450 nm. Zaslon je od uklonske mreºice oddaljen 2 m. Koliko je na
zaslonu razdalja med obema tretjima pasovoma oja£enja?
Rp:
Iz pogoja oja£enja N λ = d sin β izrazimo kot β :
sin β =
3 · 450 nm
Nλ
=
= 0, 63
1 mm
d
470
→
β = 39, 38◦
nato izra£unamo razdaljo med ni£tim in tretjim pasom oja£enja:
a = l tan β = 1, 64 m
ugotovimo, da je razdalja med obema tretjima pasovoma oja£enja dvakrat ve£ja: 2a =
3, 28 m.
20. Na uklonsko mreºico z mreºno konstanto 570 reº na milimeter posvetimo z laserjem, ki oddaja
svetlobo z valovno dolºino 540 nm. Zaslon je od uklonske mreºice oddaljen 2 m. Koliko je na
zaslonu razdalja med obema drugima pasovoma oja£enja?
Rp:
β = 37, 996◦ , a = 1, 56 m in 2a = 3, 12 m
21. Z diaprojektorjem posvetimo na uklonsko mreºico z mreºno konstanto 300 reº na milimeter.
Rde£a barva z valovno dolºino 750 nm je 30 cm oddaljena od ni£tega pasu oja£enja. Katera
barva je 25 cm oddaljena od ni£tega pasu oja£enja?
Rp:
a1 = 25 cm, a2 = 30 cm
<a href="http://www2.arnes.si/~oskrzr2/Timko2002_03/Barve/ \
organska\%20barvila.htm">Tukaj najdete barve valovnih dolºin</a>
poznam pogoj oja£enja: nλ = d sin ϕ = a·d
l Vemo da je dolºina l od sredine dveh izvirov
na mreºici do n = 0, kjer se projicira svetloba enaka pri obeh primerih:
l1 = l2
a2 · d
a1 · d
=
n · λ1
n · λ2
λ2 =
0.25 m · 750 · 10−9 m
a2 · λ 1
=
= 625 nm
a1
0.3 m
Barva je torej ²e vedno rde£a, vendar bolj ºivo rde£a.
22. Koliko mora biti mreºna konstanta uklonske mreºice, da bosta £rti natrijevega dubleta na 1 m
oddaljenem zaslonu razmaknjeni 1 cm v prvem pasu oja£enja? (λ1 = 589, 0 nmλ2 = 589, 6 nm)
Rp:
grr.. to se pa zgodi £e prtisne² reset. A lahko kdo da stran ta smotan gumb. lol
23. Na uklonsko mreºico z mreºno konstanto 540 reº na milimeter posvetimo z belo. Zaslon je od
uklonske mreºice oddaljen 4 m. V kateri smeri nastane prvi pas oja£enja? Koliko je na zaslonu
razdalja med rde£o svetlobo z valovno dolºino 650 nm in modro svetlobo z valovno dolºino
480 nm?
24. Na uklonsko mreºico z mreºno konstanto 300 reº na milimeter posvetimo z belo. Zaslon je od
uklonske mreºice oddaljen 2 m. V kateri smeri nastane prvi pas oja£enja? Koliko je na zaslonu
razdalja med rde£o svetlobo z valovno dolºino 650 nm in modro svetlobo z valovno dolºino
480 nm?
25. Koliko mora biti mreºna konstanta uklonske mreºice, da bosta £rti cinkovega dubleta na zaslonu
razmaknjeni 3 mm v prvem pasu oja£enja? Razdalja med uklonsko mreºico in to£kama, kjer
£rti zadeneta zaslon je 2 m. (λ1 = 491, 2 nm, λ2 = 492, 5 nm)
26. Koliko mora biti mreºna konstanta uklonske mreºice, da bosta £rti natrijevega dubleta na
zaslonu razmaknjeni 1 mm v prvem pasu oja£enja? Razdalja med uklonsko mreºico in to£kama,
kjer £rti zadeneta zaslon je 2 m. (λ1 = 589, 0 nm, λ2 = 589, 6 nm)
7 VALOVANJE
125
27. Vodikova svetilka oddaja predvsem svetlobo treh valovnih dolºin. Rde£a svetloba ima valovno
dolºino λr = 656 nm, modrozelena svetloba ima valovno dolºino λmz = 486 nm in vijoli£na
svetloba ima valovno dolºino λv = 434 nm. S snopom njene svetlobe posvetimo navpi£no
navzdol proti dnu posode. Snop svetlobe prestreºemo z uklonsko mreºico, ki je od dna posode
oddaljena 1 m. Koliko je razdalja med to£kama, kjer rde£a in vijoli£na svetloba zadeneta dno
posode? V posodo nalijemo 20 cm vode. Lomni koli£nik v vodi je za rde£o svetlobo nr = 1, 331,
za modrozeleno nmz = 1, 337 in za vijoli£no nv = 1, 343. Koliko je sedaj razdalja med obema
to£kama?
11111111
00000000
00000000
11111111
uklonska mrezica
1m
20 cm
7.3
geometrijska optika
1. Pod lupo z gori²£no razdaljo 5 cm naj stoji predmet tako, da dobimo navidezno sliko v razdalji
25 cm. Kolik²na je tedaj pove£ava?
2. Dolo£i pri konveksni le£i z risanjem in z ra£unom lego in velikost slike, £e je predmet v razdalji
3,5 f od le£e!
3. Pred le£o z gori²£no razdaljo 5 cm naj stoji predmet tako, da je od nje oddaljen 25 cm. Koliko
je realna slika oddaljena od le£e? Kolik²na je tedaj pove£ava?
Rp:
£e je razdalja predmeta od temena le£e a, razdalja slike od temena le£e b in gori²£na
razdalja f , lahko zapi²emo ena£bo le£e:
1 1
1
+ =
a b
f
ena£bo uredimo:
1
1
a−f
1
= − =
b
f
a
fa
ter izrazimo b:
b=
fa
5 cm · 25 cm
=
= 6, 25 cm
a−f
25 cm − 5 cm
Pove£ava je dolo£ena kot razmerje med velikostjo slike in velikostjo predmeta, to razmerje
pa je enako razmerju med b in a. Pove£ava je torej:
b
1
= = 0, 25
a
4
4. Pred le£o z gori²£no razdaljo 15 cm naj stoji predmet tako, da je realna slika nastane 45 cm
dale£ od le£e. Koliko je predmet oddaljen od le£e? Kolik²na je tedaj pove£ava?
7 VALOVANJE
Rp:
126
Podobno kot zgoraj. a = 22, 5 cm in pove£ava je 2.
5. Pred le£o z gori²£no razdaljo 5 cm naj stoji predmet tako, da dobimo realno sliko v razdalji
45 cm. Koliko je predmet oddaljen od le£e? Kolik²na je tedaj pove£ava?
6. Pred le£o z gori²£no razdaljo 15 cm naj stoji predmet tako, da dobimo realno sliko v razdalji
20 cm. Koliko je predmet oddaljen od le£e? Kolik²na je tedaj pove£ava?
7. Predmet je od zaslona oddaljen 2 m. Kam med predmet in zaslon moramo postaviti le£o z
gori²£no razdaljo 30 cm, da bo na zaslonu nastala ostra realna slika? Koliko je tedaj pove£ava?
Rp:
O£itno bomo imeli dve re²itvi, pri eni bo slika ve£ja od predmeta, pri drugi pa obratno.
’tevilke so gotovo simetri£ne. Najbrº je potrebno re²iti kvadratno ena£bo.
prva re²itev: a = 1, 63 m, b = 0, 37 m in pove£ava 0, 225 druga re²itev: b = 1, 63 m,
a = 0, 37 m in pove£ava 4, 43
8. Predmet je od zaslona oddaljen 2 m. Kam med predmet in zaslon moramo postaviti le£o z
gori²£no razdaljo 40 cm, da bo na zaslonu nastala ostra realna slika? Koliko je tedaj pove£ava?
Rp:
prva re²itev: a = 1, 45 m, b = 0, 55 m in pove£ava 0, 38 druga re²itev: b = 1, 45 m,
a = 0, 55 m in pove£ava 2, 62
9. Dolo£ali smo gori²£no razdaljo konveksne le£e. Merili smo razdaljo realne slike od le£e v
odvisnosti od razdalje predmeta od le£e. Meritve, ki smo jih dobili so podane v tabeli.
a[cm]
b[cm]
25,1
103,5
29,7
59,7
35,7
47,2
40,0
39,3
44,8
35,5
49,3
31,9
54,4
31,4
60,1
31,4
65,2
29,5
68,8
28,0
Nari²i graf obratne vrednosti razdalje slike od le£e v odvisnosti od obratne vrednosti razdalje
predmeta od le£e [ 1b ( a1 )]! Na grafu naj bo vsaj 7 jasno vidnih merskih to£k! Kje na grafu se
skriva gori²£na razdalja le£e (jasno jo ozna£i!)? Koliko je gori²£na razdalja le£e? (+)Koliko je
relativna napaka tako dolo£ene gori²£ne razdalje?
10. Pred konveksno le£o, ki ima gori²£no razdaljo 20 cm postavimo predmet. Na drugi strani le£e
nastane realna slika, ki je trikrat ve£ja kot predmet. Koliko je od le£e oddaljen predmet in
koliko je oddaljena slika? Nari²i sliko v merilu! (+)Ugotovi, kako je pove£ava pri preslikavi s
konveksno le£o odvisna od oddaljenosti predmeta od le£e, ter nari²i graf!
11. Pred konkavno zrcalo, ki ima gori²£no razdaljo 30 cm postavimo predmet. Na isti strani zrcala
kot je predmet, nastane realna slika, ki je trikrat manj²a kot predmet. Koliko je od zrcala
oddaljen predmet in koliko je oddaljena slika? Nari²i sliko v merilu! (+)Ugotovi, kako je pove£ava pri preslikavi s konkavnim zrcalom odvisna od oddaljenosti predmeta od le£e, ter nari²i
graf!
Rp:
7.4
a = 120 cm, b = 40 cm; na sliki morajo biti razmerja med f , a, b, s in p prava
energijska optika
1. Po£rnjeno kovinsko plo²£o s povr²ino 25 cm postavimo tako, da padajo son£ni ºarki nanjo
pravokotno. Do kolik²ne temperature lahko Sonce segreje plo²£o, £e upo²tevamo, da je na
Zemljini povr²ini gostota svetlobnega toka iz Sonca j = 1 kW/m2 ? Kaj pa £e je plo²£a
nagnjena 30◦ glede na vodoravnico?
2. Koliko je temperatura zvezde, ki oddaja najve£ svetlobe pri valovni dolºini 400 nm?
3. Pri kateri valovni dolºini izseva zvezda najve£ svetlobe, £e je njena povr²inska temperatura
40000 K?
4. Koliko je izsev (svetlobni tok) Sonca, £e je son£na konstanta (gostota svetlobnega toka) na
Zemlji 1, 4 kW/m2 ? Zemlja pa je od Sonca oddaljena 150 milijonov km, premer Sonca pa je
700000 km.
5. Koliko je son£na konstanta (gostota svetlobnega toka) na Zemlji, £e je izsev (svetlobni tok)
Sonca 4 · 1027 W? Zemlja pa je od Sonca oddaljena 150 milijonov km, premer Sonca pa je
700000 km.
7 VALOVANJE
127
6. Radijska postaja oddaja elektromagnetno valovanje. To valovanje ima na nekem mestu amplitudo gostote magnetnega polja 0, 3 · 10−3 T. Kolik²ni sta amplituda jakosti elektri£nega polja
in gostota energijskega toka na tem kraju?
7. Gostota energijskega toka, ki s sonca prihaja na Zemljo, je 1, 35 kW/m2 . Izra£unaj amplitudi
jakosti elektri£nega polja in gostote magnetnega polja za son£no svetlobo?