Uvod. Zaporedja

UVOD
ZAPOREDJA
ŠTEVILSKE VRSTE
UVOD
ZAPOREDJA
ŠTEVILSKE VRSTE
Plan dela
1
Zaporedja in številske vrste:
zaporedja: de…nicija, lastnosti, stekališµce, limita,
aritmetiµcno in geometrijsko zaporedje,
številske vrste: de…nicija, geometrijska vrsta, konvergenµcni
kriteriji.
ZAPOREDJA
Matematika VS - izredni
2
Realne funkcije ene spremenljivke
de…nicija realne funkcije, de…nicijsko obmoµcje in zaloga
vrednosti realne funkcije,
funkcijski predpis funkcije, niµcla funkcije, funkcijska vrednost
funkcije, graf funkcije,
osnovne elementarne funkcije,
zveznost in limita funkcije.
izr. prof. dr. Petra Šparl
Kranj 2013/14
3
Odvod
de…nicija in geometrijski pomen odvoda (tangenta),
pravila za odvajanje,
Uporaba odvoda (monotonost, ukrivljenost, ekstremi).
izr. prof. dr. Petra Šparl
UVOD
ZAPOREDJAMatematika VS - izredni
ZAPOREDJA
izr. prof. dr. Petra Šparl
ŠTEVILSKE VRSTE
Plan dela (2. del)
UVOD
ZAPOREDJAMatematika VS - izredni
ZAPOREDJA
ŠTEVILSKE VRSTE
Literatura
Osnovna literatura
4. Integral
doloµceni in nedoloµceni integral,
zveza med doloµcenim in nedoloµcenim integralom,
pravila za integriranje,
uporaba doloµcenega integrala (plošµcine krivoµcrtnih likov,
volumen vrtenine).
M. Bren, J. Gaber: Matematika, Naloge iz linearne algebre,
Moderna organizacija, Kranj
Dodatna literatura
5. Linearna algebra
Geometrijski vektorji,
matrike,
determinante,
reševanje sistemov lineranih enaµcb.
izr. prof. dr. Petra Šparl
µ
M. Bren, S. Kapus, A. Znidarš
iµc: Matematika, Naloge iz
Analize I, Moderna organizacija, Kranj
ZAPOREDJAMatematika VS - izredni
M.Mencinger, P.Šparl, S.Gaboroviµc: Uvajalni teµcaj iz
matematike, Tehniške fakultete Maribor
Spletno gradivo E-um: http://www.e-um.si/
izr. prof. dr. Petra Šparl
ZAPOREDJAMatematika VS - izredni
UVOD
ZAPOREDJA
ŠTEVILSKE VRSTE
De…nicija
UVOD
ZAPOREDJA
ŠTEVILSKE VRSTE
Primeri zaporedij
Zaporedje s predpisom an = n sestavljajo µcleni: 1, 2, 3, 4, 5, ...
Zaporedje s predpisom bn = n1 sestavljajo µcleni:
1, 12 , 13 , 14 , 15 , 16 , ...
V zaporedju cn = ( 1)n se µcleni ponavljajo:
1, 1, 1, 1, 1, 1, ...
V zaporedju dn = 1 so vsi µcleni enaki 1
De…nicija
Zaporedje je predpis f : N ! R, ki vsakemu naravnemu številu
n 2 N priredi natanko doloµceno realno število an 2 R.
Ko n preteµce celotno mnoµzico N dobimo zaporedje realnih števil
a1 , a2 , ..., an , ...,
Vµcasih zaporedje podamo z rekurzivno formulo
ki jih imenujemo µcleni zaporedja (an ).
a1 = 1, a2 = 1, an +2 = an + an +1
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ... Fibonaccijevo zaporedje
izr. prof. dr. Petra Šparl
UVOD
ZAPOREDJAMatematika VS - izredni
ZAPOREDJA
izr. prof. dr. Petra Šparl
ŠTEVILSKE VRSTE
Monotonost (narašµcanje oz. padanje) zaporedij
UVOD
ZAPOREDJAMatematika VS - izredni
ZAPOREDJA
ŠTEVILSKE VRSTE
Omejenost
De…nicija
Število z je zgornja meja zap. (an ), µce so vsi µcleni manjši ali
enaki z :
an z
za vsak n 2 N.
De…nicija
µ za zaporedje (an ) velja:
Ce
an + 1
an (oz. an +1 > an ) za vsak n 2 N,
potem je (an ) narašµcajoµce (oz. strogo narašµcajoµce) zaporedje.
µ za zaporedje (an ) velja:
Ce
an + 1
Število s je spodnja meja zap. (an ), µce so vsi µcleni veµcji ali
kveµcjemu enaki s :
an
s
an (oz. an +1 < an ) za vsak n 2 N,
potem je (an ) padajoµce (oz. strogo padajoµce) zaporedje.
izr. prof. dr. Petra Šparl
ZAPOREDJAMatematika VS - izredni
za vsak n 2 N.
De…nicija
Zaporedje, ki je omejeno navzdol in navzgor imenujemo omejeno
zaporedje.
izr. prof. dr. Petra Šparl
ZAPOREDJAMatematika VS - izredni
UVOD
ZAPOREDJA
ŠTEVILSKE VRSTE
UVOD
ZAPOREDJA
ŠTEVILSKE VRSTE
Stekališµce in limita zaporedja
Natanµcna spodnja in natanµcna zgornja meja
De…nicija
Interval (x
µ ima zaporedje spodnjo ali zgornjo mejo, jih ima ∞.
Opomba: Ce
Zato je smiselno poiskati najmanjšo zgornjo mejo in najveµcjo
spodnjo mejo.
e, x + e) imenujemo e-okolica števila x je.
De…nicija
Stekališµce zaporedja (an ) je tako število s, da je v vsaki njegovi
okolici
(s e, s + e) za e > 0
De…nicija
Najmanjšo zgornjo mejo imenujemo natanµcna zgornja meja M.
Najveµcjo spodnjo mejo imenujemo natanµcna spodnja meja m.
neskonµcno mnogo µclenov.
De…nicija
Število L je limita zaporedja (an ), µce je v vsaki e-okolici neskonµcno
mnogo µclenov, zunaj nje pa le konµcno mnogo µclenov.
izr. prof. dr. Petra Šparl
UVOD
izr. prof. dr. Petra Šparl
ZAPOREDJAMatematika VS - izredni
ZAPOREDJA
ŠTEVILSKE VRSTE
Velja
UVOD
ZAPOREDJAMatematika VS - izredni
ZAPOREDJA
ŠTEVILSKE VRSTE
Lastnosti limit
Izrek
Vsako omejeno zaporedje ima stekališµce.
Naj bo A = lim an in B = lim bn . Potem velja:
n !∞
lim (an
De…nicija
µ ima zaporedje (an ) limito, reµcemo, da je konvergentno, sicer
Ce
je divergentno.
n !∞
bn ) = A
n !∞
B,
lim (an bn ) = A B,
n !∞
µce je bn 6= 0 za vsak n 2 N in B 6= 0, potem je
lim ( bann ) = BA .
n !∞
Za poljubno zaporedje (an ) velja:
lahko ima veµc stekališµc,
lahko ima le eno limito,
limita zaporedja je tudi stekališµce zaporedja, obratno pa ni
nujno,
µce ima zaporedje veµc stekališµc je divergentno.
izr. prof. dr. Petra Šparl
ZAPOREDJAMatematika VS - izredni
Izrek
Vsako monotono in omejeno zaporedje je konvergentno.
Limita narašµcajoµcega in navzgor omejenega zaporedja je L = M.
Limita padajoµcega in navzdol omejenega zaporedja je L = m.
izr. prof. dr. Petra Šparl
ZAPOREDJAMatematika VS - izredni
UVOD
ZAPOREDJA
ŠTEVILSKE VRSTE
Zaporedje z limito e
UVOD
ZAPOREDJA
ŠTEVILSKE VRSTE
Številske vrste
Poglejmo si zaporedje an = (1 +
Vsoti µclenov neskonµcnega zaporedja (an ) = fa1 , a2 , ..., an , ...g:
1 n
n) .
a1 + a2 + a3 + ... + an + ...
µ
Cleni
zaporedja: 2, 2.25, 2.37, 2.44, 2.49, ...
reµcemo številska vrsta. Števila a1 , a2 , ..., an , ... so µcleni vrste.
Pokaµzemo lahko, da je zaporedje an = (1 + n1 )n :
Tvorimo novo zaporedje:
strogo narašµcajoµce: an +1 > an ,
s1 = a1 ,
omejeno navzgor: (1 + n1 )n < 3
s2 = a1 + a2 ,
..
.
Torej je konvergentno. Njegova limita je
sn = a1 + a2 + ... + an =
..
.
1
lim (1 + )n = 2.71828... = e.
n !∞
n
∑ k = 1 ak
n
Dobljeno zaporedje fs1 , s2 , ..., sn , ...g imenujemo zaporedje delnih
vsot.
izr. prof. dr. Petra Šparl
UVOD
izr. prof. dr. Petra Šparl
ZAPOREDJAMatematika VS - izredni
ZAPOREDJA
ŠTEVILSKE VRSTE
Vsota vrste
UVOD
ZAPOREDJAMatematika VS - izredni
ZAPOREDJA
ŠTEVILSKE VRSTE
Geometrijska vrsta
Geometrijska vrsta je vsota µclenov geometrijskega zaporedja:
µ obstaja limita zaporedja delnih vsot
Ce
a1 + a1 q + a1 q 2 + ... + a1 q n
1
+ ... = a1 (1 + q + q 2 + ... + q n
Za delno vsoto Sn velja
S = lim sn ,
n !∞
reµcemo, da je vrsta a1 + a2 + ... + an + ... konvergentna, število
S pa imenujemo vsota vrste.
µ limn !∞ sn NE obstaja, reµcemo, da je vrsta divergentna.
Ce
Opomba. Vsoto neskonµcne geometrijske vrste dobimo kot limito
delnih vsot.
Sn =
Torej je vsota neskonµcne vrste enaka:
a1 ( q n 1 )
a
=
( lim q n
n !∞
q 1
q 1 n !∞
S = lim Sn = lim
n !∞
Upoštevaje implikacijo jq j < 1 ) lim q n = 0, velja
n !∞
S=
izr. prof. dr. Petra Šparl
ZAPOREDJAMatematika VS - izredni
a1 ( q n 1 )
.
q 1
a1
1
q
izr. prof. dr. Petra Šparl
za jq j < 1.
ZAPOREDJAMatematika VS - izredni
1).
1
+ ...).
UVOD
ZAPOREDJA
ŠTEVILSKE VRSTE
Konvergenca vrste
UVOD
ZAPOREDJA
ŠTEVILSKE VRSTE
Zgled
Preverjanje ali je številska vrsta konvergentna je zapleteno.
Potreben pogoj:
µ je vrsta a1 + a2 + ... + an + ... konvergentna (jo lahko
Ce
seštejemo), potem velja lim an = 0.
n !∞
∞
Harmoniµcna vrsta ∑
n =1
∞
1
n.
∞
Oziroma, µce lim an 6= 0, potem je vrsta ∑ an divergentna (je ne
µ naj vrsta ∑ an konvergira, morajo njeni µcleni
Opomba. Ce
moremo sešteti).
“dovolj hitro” padati proti 0.
n !∞
n =1
n =1
Zgornji pogoj NI zadosten!
Obstajajo namreµc zaporedja, za katera velja lim an = 0, pa vrsta
n !∞
∞
∑ an NI konvergentna.
n =1
izr. prof. dr. Petra Šparl
UVOD
ZAPOREDJAMatematika VS - izredni
ZAPOREDJA
izr. prof. dr. Petra Šparl
ŠTEVILSKE VRSTE
Konvergenµcni kriteriji
Obstaja veµc kriterijev, ki povedo kdaj je dana vrsta konvergentna
(uµcbenik).
Kvocientni kriterij
∞
µ za vrsto ∑ an obstaja lim
Ce
n =1
n !∞
a n +1
an
= k, potem velja:
- µce je k < 1, je vrsta konvergentna,
- µce je k > 1, potem je vrsta divergentna,
- µce je k = 1, o konvergenci ne moremo soditi (kriterij ne ustreza)
izr. prof. dr. Petra Šparl
ZAPOREDJAMatematika VS - izredni
ZAPOREDJAMatematika VS - izredni