Pogled na raziskovalne naloge iz matematike
na sreˇcanjih mladih raziskovalcev v organizaciji ZOTKS
Borut Jurˇciˇc Zlobec
Ljubljana, Slovenia, 18. oktober 2013
1 / 46
Pregled 1990–2013
Od leta 1990 do danes je komisija pregledala 210 nalog,
od tega je bilo 80 gimnazijskih in 130 osnovnoˇsolskih.
Teme in kvaliteta sta se iz leta v leto spreminjale.
Na zaˇcetku so bile srednjeˇsolske naloge ˇstevilˇcnejˇse in
relativno kvalitetnejˇse od osnovnoˇsolskih.
Nato se je tehtnica obrnila v prid osnovnoˇsolskim nalogam.
Na zaˇcetku so bile naloge zahtevnejˇse in bolj teoretiˇcne.
Z vpeljavo raˇcunalnikov v ˇsolah
so se pojavljale zanimive naloge z uporabo programja
Cabri, Mathematica in Geogebra.
Obdobje powerpointa in njegove nekritiˇcne uporabe.
Orodje TeX, za pisanje matematike, se je redko uporabljalo.
Deleˇz pravih matematiˇcnih nalog je upadal,
rastel je deleˇz tako imenovanih anketnih nalog.
2 / 46
Obravnavane teme
1
2
3
4
zgodovinske 5 %,
verjetnost 5 %,
statistiˇcna obdelava anket 35 %,
zlati rez in fraktali 20 %,
6
geometrijske naloge 15 %,
kombinatorika 15 %,
7
analiza in topologija 5 %.
5
3 / 46
Zgodovina, verjetnost, analiza in topologija
Zanimive zgodovinske naloge:
1
2
Egipˇcanski ulomki,
Quipu inkovsko knjigovodstvo.
Verjetnost:
1
Primerjava moˇznosti dobitka pri igrah na sreˇco,
kot sta loto in ˇsportna
portna napoved.
napoved.
Analiza in topologija
1
Parakompleksna ˇstevila in analiza. x + jy , j 22 = 1 in jj 6= ±1.
±1.
4 / 46
Egipˇcanski ulomki, Horusovo oko
5 / 46
Inkovski quipu
6 / 46
Parakompleksna ˇstevila
7 / 46
Statistika in ankete
1
2
Teˇzavnost in tipi matematiˇcnih nalog,
razlike med deklicami in deˇcki, letniki itd.,
4
uspeˇsnost reˇsevanja besedilnih nalog,
odnos do matematike,
5
uˇcinkovitost uˇcenja matematike itd.
3
8 / 46
Zlati rez, fraktali in filolotaksa
1
2
Merjenje in statistiˇcna obdelava razmerij
pri ˇcloveˇskem telesu, v glasbi, poeziji itd.
Zlati rez v arhitekturi,
4
Lastnosti Fibonaccijevega zaporedja,
Fraktali in fraktalna dimenzija,
5
Filotaksa.
3
9 / 46
Da Vincijev Vitruvianski moˇz
10 / 46
ˇ
Cudeˇ
zno (Boˇzje) razmerje ϕ
√
√
1+ 55 = 1.61803398874989
ϕ = 1+
22
π/4 = 0.7853981634
1
√ = 0.7861513778
ϕ
Boˇzje razmerje?
sin(666◦◦) = cos(6 · 6 · 6◦◦) = − ϕ2ϕ2
11 / 46
Zlata spirala
12 / 46
Zlata spirala
13 / 46
Zlata spirala
14 / 46
Zlata spirala
15 / 46
Zlata spirala
16 / 46
Zlata spirala
17 / 46
Zlata spirala
18 / 46
Zlata spirala
19 / 46
Zlata spirala
20 / 46
Zlata spirala
21 / 46
Filotaksa
22 / 46
Geometrija
1
2
3
4
5
6
Uporaba programskega orodja Cabri,
Poliedri in kristali,
Nemogoˇci predmeti,
Znamenite toˇcke trikotnika,
Tlakovanja, trikotniki in satovje,
Profil ceste za kvadratna kolesa.
23 / 46
Nemogoˇci predmeti
24 / 46
Tlakovanja
25 / 46
Kvadratna kolesa 1
26 / 46
Kvadratna kolesa 2
27 / 46
Kombinatorika
1
2
3
4
5
6
Pomoˇc pri raˇcunanju na pamet,
ˇ
Stetje
diagonal mnogokotnikov,
Paskalski trikotniki in piramide,
Veˇckotniˇska ˇstevila,
Matematiˇcna indukcija,
Hanojski stolpi,
9
Zveneˇca matematika, matematika v glasbi,
ˇ
Stevilski
sestavi,
ˇ
Sifriranje,
10
Rimske ˇstevke.
7
8
28 / 46
Paskalska piramida
29 / 46
Veˇckotniˇska ˇstevila
30 / 46
Hanojski stolpi
31 / 46
Matematiˇcna indukcija
32 / 46
Kaj je raziskovalna naloga iz matematike?
Vemo, da uˇcenec ne more odkrivati matematike.
1 Naj se seznani z nekim podroˇ
cjem matematike.
2
3
4
5
Se nauˇci uporabljati matematiˇcno orodje
in naj reˇsi kakˇsen problem z uporabo tega orodja.
Ni veliko podroˇcij, kjer bi uˇcenec lahko dodal kaj novega.
Pri pisanju naloge naj se uˇcenec seznani s
terminologijo in se nauˇci nekaj matematiˇcne natanˇcnosti.
33 / 46
Neprimerna navodila
Navodila organizatorjev, da naloga ne sme biti seminarska,
ampak raziskovalna, so vplivala na izbiro tem.
Po teh navodilih naj naloga vsebuje:
1
2
3
4
5
uvod,
hipotezo,
raziskavo (anketa),
(anketa),
potrditev ali zavrnitev hipoteze
hipoteze in
zakljuˇcek.
Ta vzorec ni najbolj primeren za matematiˇcne naloge.
Pri matematiki je to naredilo veˇc ˇskode kot koristi.
Mnogi uˇcenci so zato izbirali naloge s statistiˇcno obdelavo.
34 / 46
Dva nivoja izbire nalog
Problem dveh nivojev, lokalni in drˇzavni nivo.
Premalo je bilo usklajevanja med njima.
Naloge, ki so na lokalnem nivoju bile komisiji spremenljive,
se komisiji na drˇzavnem nivoju niso vedno zdele najprimernejˇse.
To so naloge, ki so vsebovale ankete in njihovo obdelavo
in vsebine bolj psiholoˇske oziroma pedagoˇske narave.
35 / 46
Mentorji
Z vsem spoˇstovanjem do profesorjev, ki so si vzeli ˇcas
za to plemenito delo.
Vendar bi ˇzelel omeniti, kaj bi se dalo izboljˇsati.
1
2
3
4
Premalo pozornosti dokazovanju.
Dokazi, ki to niso, na
na primer raˇcunska preverjanja.
Nenatanˇcno matematiˇcno izraˇzanje.
Neveˇsˇce izraˇzanje v domaˇcem jeziku.
Pa ˇse nekaj, ˇcemur bi jaz
rekel strah pred znanjem, pa ˇce se ˇse tako ˇcudno sliˇsi.
To je: Tega pa v ˇsoli nismo obravnavali.
Pomagati talentiranim prebiti okvir ˇsolskega znanja.
36 / 46
Primera dobro ocenjenih raziskovalnih nalog 2013.
Osnovnoˇsolska rasiskovalna naloga z naslovom
Padec z zemlje.
Osnovna ˇsola Tabor 1 Maribor
Mentorica Polona Doveˇcar
Avtor Vid Vedlin
Maribor februar 2013
Gimnazijska raziskovalna naloga z naslovom
Mnoˇzenje in razstavljanje pitagorejskih trojic.
ˇ
Skofijska
gimnazija Vipava
Mentor mag. Alojz Grahor, prof. mat.
Avtorja Jan Kriˇzaniˇc in Rok Miklavˇciˇc
Vipava april 2013
37 / 46
Naloga Padec iz Zemlje
Naloga je bila izjemno lepo predstavljena.
Razlaga je bila tekoˇca, jasna in odloˇcna.
Predmet naloge so bile optiˇcne prevare.
Na zaˇcetku je bila predstavljena slikovna uganka
Sama Loyda, Get Off The Earth iz leta 1898.
V nadaljevanju se je naloga posvetila optiˇcni prevari
s kvadrati in pravokotniki, ki imajo na prvi pogled enaki ploˇsˇcini,
vendar se razlikujeta za enoto.
Optiˇcna prevara temelji na zvezi med ˇcleni
Fibonaccijevega zaporedja, ki je bilo korektno,
sicer brez dokaza formule, predstavljeno v nalogi.
Veˇc v nadaljevanju.
38 / 46
Padec iz Zemlje
39 / 46
Kvadrat, pravokotnik in Fibobaccijevo zaporedje,
F1 = 1, F2 = 1 in Fn = Fn−1 + Fn−2 , n ∈ N.
Optiˇcna prevara temelji na formuli
n 0 1
Fn−1 Fn
=
, (−1)n = Fn−1 Fn+1 − Fn2 .
1 1
Fn Fn+1
40 / 46
Naloga Mnoˇzenje in razstavljanje pitagorejski trojic
33 22
22
22
Pitagorejske trojice: Npt
pt = {(x, y , z) ∈ N , x + y = z }
Na prvi strani nekaj zgodovine.
Zanimiv podatek, da je na ploˇsˇci Plimpton 322,
ki je stara 3800 let, zapisanih 15 pitagorejskih trojic.
Sledijo izreki o pitagorejskih trojicah, opremljeni z dokazi.
Pitagorejske trojice in pravokotni trikotniki.
Za raˇcunanje s pitagorejskimi trojicami
je bil uporabljen programski jezik Python.
41 / 46
Babilonska tablica Plimpton 322
(Larsa (Tell Senkereh), Irak, ca. 1820–1762 pr. n. ˇs.)
42 / 46
Operacija mnoˇzenja v mnoˇzici pitagorejskih trojic
Za poljubna A = (a11, a22, a33), B = (b11, b22, b33) ∈ Nnp
np
def
obstaja C = A ◦ B def
= (a11b11 − a22b22, a11b22 + a22b11, a33b33) ∈ Nnp
np.
Korektno izpeljan dokaz, da je mnoˇzenje notranja operacija.
Dokazani sta asociativnost in komutativnost mnoˇzenja.
Enota za mnoˇzenje E = (1, 0, 1).
Definicija primitivne pitagorejske trojice.
Razstavljanje na nerazcepne prafaktorje.
Iskanje prafaktorjev s pomoˇcjo programa.
43 / 46
Razcep ni enoliˇcen
Razcep (tudi primitivnih) pitagorejskih trojic ni enoliˇcen.
Primitivna pitagorejska trojica
z veˇc razcepi na prafaktorje je izrojena.
Programsko je bila najdena najmanjˇsa
izrojena pitagorejska trojica
(36, 323, 325) = (3, 4, 5) ◦ (56, 33, 65) = (5, 12, 13) ◦ (24, 7, 25)
V uporabljeni literaturi (Stewart 2010, stran 61),
je bilo zapisano, da je tak razcep enoliˇcen.
44 / 46
Poloˇzaj pitagorejskih trojic (x, y , z) ravnini (x, y )
45 / 46
Vudu
Delitev slike v zlatem rezu
postavi vse kljuˇ
cne
elemente v samostojno lego.
46 / 46