Pogled na raziskovalne naloge iz matematike na sreˇcanjih mladih raziskovalcev v organizaciji ZOTKS Borut Jurˇciˇc Zlobec Ljubljana, Slovenia, 18. oktober 2013 1 / 46 Pregled 1990–2013 Od leta 1990 do danes je komisija pregledala 210 nalog, od tega je bilo 80 gimnazijskih in 130 osnovnoˇsolskih. Teme in kvaliteta sta se iz leta v leto spreminjale. Na zaˇcetku so bile srednjeˇsolske naloge ˇstevilˇcnejˇse in relativno kvalitetnejˇse od osnovnoˇsolskih. Nato se je tehtnica obrnila v prid osnovnoˇsolskim nalogam. Na zaˇcetku so bile naloge zahtevnejˇse in bolj teoretiˇcne. Z vpeljavo raˇcunalnikov v ˇsolah so se pojavljale zanimive naloge z uporabo programja Cabri, Mathematica in Geogebra. Obdobje powerpointa in njegove nekritiˇcne uporabe. Orodje TeX, za pisanje matematike, se je redko uporabljalo. Deleˇz pravih matematiˇcnih nalog je upadal, rastel je deleˇz tako imenovanih anketnih nalog. 2 / 46 Obravnavane teme 1 2 3 4 zgodovinske 5 %, verjetnost 5 %, statistiˇcna obdelava anket 35 %, zlati rez in fraktali 20 %, 6 geometrijske naloge 15 %, kombinatorika 15 %, 7 analiza in topologija 5 %. 5 3 / 46 Zgodovina, verjetnost, analiza in topologija Zanimive zgodovinske naloge: 1 2 Egipˇcanski ulomki, Quipu inkovsko knjigovodstvo. Verjetnost: 1 Primerjava moˇznosti dobitka pri igrah na sreˇco, kot sta loto in ˇsportna portna napoved. napoved. Analiza in topologija 1 Parakompleksna ˇstevila in analiza. x + jy , j 22 = 1 in jj 6= ±1. ±1. 4 / 46 Egipˇcanski ulomki, Horusovo oko 5 / 46 Inkovski quipu 6 / 46 Parakompleksna ˇstevila 7 / 46 Statistika in ankete 1 2 Teˇzavnost in tipi matematiˇcnih nalog, razlike med deklicami in deˇcki, letniki itd., 4 uspeˇsnost reˇsevanja besedilnih nalog, odnos do matematike, 5 uˇcinkovitost uˇcenja matematike itd. 3 8 / 46 Zlati rez, fraktali in filolotaksa 1 2 Merjenje in statistiˇcna obdelava razmerij pri ˇcloveˇskem telesu, v glasbi, poeziji itd. Zlati rez v arhitekturi, 4 Lastnosti Fibonaccijevega zaporedja, Fraktali in fraktalna dimenzija, 5 Filotaksa. 3 9 / 46 Da Vincijev Vitruvianski moˇz 10 / 46 ˇ Cudeˇ zno (Boˇzje) razmerje ϕ √ √ 1+ 55 = 1.61803398874989 ϕ = 1+ 22 π/4 = 0.7853981634 1 √ = 0.7861513778 ϕ Boˇzje razmerje? sin(666◦◦) = cos(6 · 6 · 6◦◦) = − ϕ2ϕ2 11 / 46 Zlata spirala 12 / 46 Zlata spirala 13 / 46 Zlata spirala 14 / 46 Zlata spirala 15 / 46 Zlata spirala 16 / 46 Zlata spirala 17 / 46 Zlata spirala 18 / 46 Zlata spirala 19 / 46 Zlata spirala 20 / 46 Zlata spirala 21 / 46 Filotaksa 22 / 46 Geometrija 1 2 3 4 5 6 Uporaba programskega orodja Cabri, Poliedri in kristali, Nemogoˇci predmeti, Znamenite toˇcke trikotnika, Tlakovanja, trikotniki in satovje, Profil ceste za kvadratna kolesa. 23 / 46 Nemogoˇci predmeti 24 / 46 Tlakovanja 25 / 46 Kvadratna kolesa 1 26 / 46 Kvadratna kolesa 2 27 / 46 Kombinatorika 1 2 3 4 5 6 Pomoˇc pri raˇcunanju na pamet, ˇ Stetje diagonal mnogokotnikov, Paskalski trikotniki in piramide, Veˇckotniˇska ˇstevila, Matematiˇcna indukcija, Hanojski stolpi, 9 Zveneˇca matematika, matematika v glasbi, ˇ Stevilski sestavi, ˇ Sifriranje, 10 Rimske ˇstevke. 7 8 28 / 46 Paskalska piramida 29 / 46 Veˇckotniˇska ˇstevila 30 / 46 Hanojski stolpi 31 / 46 Matematiˇcna indukcija 32 / 46 Kaj je raziskovalna naloga iz matematike? Vemo, da uˇcenec ne more odkrivati matematike. 1 Naj se seznani z nekim podroˇ cjem matematike. 2 3 4 5 Se nauˇci uporabljati matematiˇcno orodje in naj reˇsi kakˇsen problem z uporabo tega orodja. Ni veliko podroˇcij, kjer bi uˇcenec lahko dodal kaj novega. Pri pisanju naloge naj se uˇcenec seznani s terminologijo in se nauˇci nekaj matematiˇcne natanˇcnosti. 33 / 46 Neprimerna navodila Navodila organizatorjev, da naloga ne sme biti seminarska, ampak raziskovalna, so vplivala na izbiro tem. Po teh navodilih naj naloga vsebuje: 1 2 3 4 5 uvod, hipotezo, raziskavo (anketa), (anketa), potrditev ali zavrnitev hipoteze hipoteze in zakljuˇcek. Ta vzorec ni najbolj primeren za matematiˇcne naloge. Pri matematiki je to naredilo veˇc ˇskode kot koristi. Mnogi uˇcenci so zato izbirali naloge s statistiˇcno obdelavo. 34 / 46 Dva nivoja izbire nalog Problem dveh nivojev, lokalni in drˇzavni nivo. Premalo je bilo usklajevanja med njima. Naloge, ki so na lokalnem nivoju bile komisiji spremenljive, se komisiji na drˇzavnem nivoju niso vedno zdele najprimernejˇse. To so naloge, ki so vsebovale ankete in njihovo obdelavo in vsebine bolj psiholoˇske oziroma pedagoˇske narave. 35 / 46 Mentorji Z vsem spoˇstovanjem do profesorjev, ki so si vzeli ˇcas za to plemenito delo. Vendar bi ˇzelel omeniti, kaj bi se dalo izboljˇsati. 1 2 3 4 Premalo pozornosti dokazovanju. Dokazi, ki to niso, na na primer raˇcunska preverjanja. Nenatanˇcno matematiˇcno izraˇzanje. Neveˇsˇce izraˇzanje v domaˇcem jeziku. Pa ˇse nekaj, ˇcemur bi jaz rekel strah pred znanjem, pa ˇce se ˇse tako ˇcudno sliˇsi. To je: Tega pa v ˇsoli nismo obravnavali. Pomagati talentiranim prebiti okvir ˇsolskega znanja. 36 / 46 Primera dobro ocenjenih raziskovalnih nalog 2013. Osnovnoˇsolska rasiskovalna naloga z naslovom Padec z zemlje. Osnovna ˇsola Tabor 1 Maribor Mentorica Polona Doveˇcar Avtor Vid Vedlin Maribor februar 2013 Gimnazijska raziskovalna naloga z naslovom Mnoˇzenje in razstavljanje pitagorejskih trojic. ˇ Skofijska gimnazija Vipava Mentor mag. Alojz Grahor, prof. mat. Avtorja Jan Kriˇzaniˇc in Rok Miklavˇciˇc Vipava april 2013 37 / 46 Naloga Padec iz Zemlje Naloga je bila izjemno lepo predstavljena. Razlaga je bila tekoˇca, jasna in odloˇcna. Predmet naloge so bile optiˇcne prevare. Na zaˇcetku je bila predstavljena slikovna uganka Sama Loyda, Get Off The Earth iz leta 1898. V nadaljevanju se je naloga posvetila optiˇcni prevari s kvadrati in pravokotniki, ki imajo na prvi pogled enaki ploˇsˇcini, vendar se razlikujeta za enoto. Optiˇcna prevara temelji na zvezi med ˇcleni Fibonaccijevega zaporedja, ki je bilo korektno, sicer brez dokaza formule, predstavljeno v nalogi. Veˇc v nadaljevanju. 38 / 46 Padec iz Zemlje 39 / 46 Kvadrat, pravokotnik in Fibobaccijevo zaporedje, F1 = 1, F2 = 1 in Fn = Fn−1 + Fn−2 , n ∈ N. Optiˇcna prevara temelji na formuli n 0 1 Fn−1 Fn = , (−1)n = Fn−1 Fn+1 − Fn2 . 1 1 Fn Fn+1 40 / 46 Naloga Mnoˇzenje in razstavljanje pitagorejski trojic 33 22 22 22 Pitagorejske trojice: Npt pt = {(x, y , z) ∈ N , x + y = z } Na prvi strani nekaj zgodovine. Zanimiv podatek, da je na ploˇsˇci Plimpton 322, ki je stara 3800 let, zapisanih 15 pitagorejskih trojic. Sledijo izreki o pitagorejskih trojicah, opremljeni z dokazi. Pitagorejske trojice in pravokotni trikotniki. Za raˇcunanje s pitagorejskimi trojicami je bil uporabljen programski jezik Python. 41 / 46 Babilonska tablica Plimpton 322 (Larsa (Tell Senkereh), Irak, ca. 1820–1762 pr. n. ˇs.) 42 / 46 Operacija mnoˇzenja v mnoˇzici pitagorejskih trojic Za poljubna A = (a11, a22, a33), B = (b11, b22, b33) ∈ Nnp np def obstaja C = A ◦ B def = (a11b11 − a22b22, a11b22 + a22b11, a33b33) ∈ Nnp np. Korektno izpeljan dokaz, da je mnoˇzenje notranja operacija. Dokazani sta asociativnost in komutativnost mnoˇzenja. Enota za mnoˇzenje E = (1, 0, 1). Definicija primitivne pitagorejske trojice. Razstavljanje na nerazcepne prafaktorje. Iskanje prafaktorjev s pomoˇcjo programa. 43 / 46 Razcep ni enoliˇcen Razcep (tudi primitivnih) pitagorejskih trojic ni enoliˇcen. Primitivna pitagorejska trojica z veˇc razcepi na prafaktorje je izrojena. Programsko je bila najdena najmanjˇsa izrojena pitagorejska trojica (36, 323, 325) = (3, 4, 5) ◦ (56, 33, 65) = (5, 12, 13) ◦ (24, 7, 25) V uporabljeni literaturi (Stewart 2010, stran 61), je bilo zapisano, da je tak razcep enoliˇcen. 44 / 46 Poloˇzaj pitagorejskih trojic (x, y , z) ravnini (x, y ) 45 / 46 Vudu Delitev slike v zlatem rezu postavi vse kljuˇ cne elemente v samostojno lego. 46 / 46
© Copyright 2024