1. No category

ˇ
ˇ
PRASTEVILA
IN SESTAVLJENA STEVILA
Vsa naravna ˇstevila (razen 1) delimo v dve veliki skupini:
(a) Praˇ
stevila so tista naravna ˇstevila, ki so deljiva le sama s seboj in z 1.
(b) Sestavljena ˇ
stevila pa je mogoˇce razstaviti na produkt praˇstevil ali njihovih potenc.
Osnovni izrek aritmetike pravi, da lahko vsako naravno ˇstevilo (razen 1, ki ni niti praˇstevilo niti
sestavljeno ˇstevilo) zapiˇsemo kot produkt praˇstevil. Zato si za zaˇcetek poglejmo, katera ˇstevila sploh
so praˇstevila.
Eratostenovo sito
Postopek ugotavljanja ali je dano ˇstevilo praˇstevilo ali ne, je prvi opisal Eratosten (280−196 pr. Kr.),
v tako imenovanem Eratostenovem situ. Le-ta pravi, da moramo najprej zapisati zaporedje vseh naravnih ˇstevil:
ˇ
Stevilo
1 ni praˇstevilo, zato ga preskoˇcimo in pridemo do ˇstevila 2, ki ga obkroˇzimo in oznaˇcimo za
praˇstevilo. Temu je res tako, saj je deljivo zgolj z 2 in 1. Potem pa so vsa nadaljna ˇstevila, ki bodo
deljiva z 2, sestavljena ˇstevila. Zato lahko vse veˇckratnike ˇstevila 2 v zaporedju preˇcrtamo:
Ugotovimo, da je naslednje nepreˇcrtano ˇstevilo 3, ki ga obkroˇzimo in oznaˇcimo za praˇstevilo. Potem pa so vsa nadaljna ˇstevila, ki so deljiva s 3, sestavljena ˇstevila, zato vse veˇckratnike ˇstevila 3
preˇcrtamo:
1
Ponovimo postopek in opazimo, da je naslednje nepreˇcrtano ˇstevilo 5, ki ga obkroˇzimo in oznaˇcimo
za praˇstevilo ter preˇcrtamo vse njegove veˇckratnike:
S tem postopkom nadaljujemo. Vsa ˇstevila, ki pri tem ostanejo nepreˇcrtana so praˇstevila in vsa
preˇcrtana ˇstevila so sestavljena ˇstevila. Slednja je res moˇc zapisati kot produkt praˇstevil, saj je
4 = 2 · 2 = 22 ,
6 = 2 · 3,
8 = 2 · 2 · 2 = 23 ,
9 = 3 · 3 = 32 ,
10 = 2 · 5,
....
Iz Eratostenovega sita je razvidno dvoje:
(a) Edino sodo praˇstevilo je 2.
(b) V zaporedju praˇstevil najdemo celo vrsto praˇstevil, ki so le predhodno praˇstevilo poveˇcano za
2. Tak par ˇstevil imenujemo praˇ
stevilski dvojˇ
cek. Takˇsni praˇstevilski dvojˇcki so oˇcitno:
(5, 7),
(11, 13),
(17, 19),
(29, 31),
(41, 43),
....
Razstavljanje sestavljenih ˇstevil na praˇstevila (ali prafaktorje) je osnovna operacija pri seˇstevanju ali
odˇstevanju ulomkov. Te smemo seˇstevati ali odˇstevati le, ˇce imajo enak imenovalec.
Razstavljanje sestavljenih ˇ
stevil na praˇ
stevila
Razstavljanje sestavljenega ˇstevila na produkt praˇstevil imenujemo praˇ
stevilski razcep ali prafaktorizacija sestavljenega ˇstevila. Tega moramo zelo dobro obvladati, ˇce ˇzelimo biti uspeˇsni pri
reˇsevanju ulomkov.
Praˇstevilski razcep sestavljenega ˇstevila opravimo tako, da poiˇsˇcemo po vrsti (od najmanjˇsega do
najveˇcjega) vsa praˇstevila, s katerimi je sestavljeno naravno ˇstevilo deljivo. Pri tem moramo poznati
pravila o deljivosti ˇstevil s praˇstevili.
Pravila o deljivosti sestavljenih ˇ
stevil s praˇ
stevili
2
ˇ
(a) Stevilo
je deljivo z 2, ˇce je zadnja ˇstevka deljiva z 2.
ˇ
(b) Stevilo
je deljivo s 3, ˇce je vsota ˇstevk deljiva s 3.
ˇ
(c) Stevilo
je deljivo s 5, ˇce je zadnja ˇstevka 0 ali 5.
(ˇc) Pravilo o deljivosti s 7 je bolj zakomplicirane narave.
ˇ
(d) Stevilo
je deljivo z 11, ˇce je razlika vsote sodih in vsote lihih ˇstevk enaka 0 ali 11.
Na sploˇsno je neko sestavljeno ˇstevilo deljivo z drugim manjˇsim sestavljenim ˇstevilom, ˇce je deljivo z
vsemi praˇstevili vsebovanimi v manjˇsem ˇstevilu, npr. sestavljeno ˇstevilo je deljivo s 15, ˇce je deljivo
tako s 3 kot s 5.
Zgled.: Opraviti ˇzelimo praˇstevilski razcep ˇstevil: 120, 140 in 330.
(Pomagamo si s posebno shemo, kjer navpiˇcna ˇcrta pomeni deljenje, rezultat tega deljenja pa je
zapisan v novi vrstici, levo od ˇcrte. Postopek ponavljamo tako dolgo, dokler na levi strani ˇcrte ne
dobimo ˇstevila 1.)
120 2 karnekaj 140 2 karnekaj 330 2
70 2
165 3
60 2
30 2
35 5
55 5
15 3
7 7
11 11
1
1
5 5
1
Dobimo, da je
120 = 2 · 2 · 2 · 3 · 5 = 23 · 3 · 5,
140 = 2 · 2 · 5 · 7 = 22 · 5 · 7
in
330 = 2 · 3 · 5 · 11.
Najmanjˇ
si skupni veˇ
ckratnik
Najmanjˇsi skupni veˇckratnik dveh ali veˇc naravnih ˇstevil je najmanjˇse naravno ˇstevilo, ki je deljivo
z vsemi danimi ˇstevili. Dobimo ga tako, da zmnoˇzimo vsa praˇstevila (seveda z najveˇcjo potenco), ki
nastopajo v praˇstevilskih razcepih danih ˇstevil. Za zgoraj opravljeni zgled velja, da je
v(120, 140, 330) = 23 · 3 · 5 · 7 · 11 = 9240.
Kolikokrat je neko ˇstevilo vsebovano v najmanjˇsem skupnem veˇckratniku pa dobimo tako, da ga
pomnoˇzimo s praˇstevili, ki so vsebovana v najmanjˇsem skupnem veˇckratniku, vendar niso vsebovana
v razcepu danega ˇstevila.
9240 = 120 · 7 · 11
9240 = 140 · 2 · 3 · 11
9240 = 330 · 2 · 2 · 7.
Najveˇ
cji skupni delitelj
Najveˇcji skupni delitelj dveh ali veˇc naravnih ˇstevil je naravno ˇstevilo, ki deli vsa dana ˇstevila. Dobimo
ga tako, da zmnoˇzimo praˇstevila (z najmanjˇso potenco), ki so vsebovana v vseh praˇstevilskih razcepih
danih ˇstevil. Za zgoraj obravnavani zgled velja, da je
D(120, 140, 330) = 2 · 5 = 10.
Iz obojega je lepo razvidno, kako pomemebno je, da dobro obvladamo praˇstevilski razcep.
3
Uporaba praˇ
stevilskega razcepa v ulomkih
Ulomke lahko seˇstevamo ali odˇstevamo zgolj in samo zgolj, ˇce imajo enake imenovalce. Ker se
bomo v operacijah z ulomki sreˇcevali z razliˇcnimi imenovalci, je najmanjˇsi skupni imenovalec ˇze najmanjˇsi skupni veˇckratnih nastopajoˇcih imenovalcev.
Zgled. Izraˇcunaj
5
6
−
7
12
+ 38 . Najprej opravimo praˇstevilski razcep za vse imenovalce:
6 = 2 · 3,
12 = 22 · 3
in
8 = 23 .
Potem je najmanjˇsi skupni veˇckratnik ˇze najmanjˇsi skupni imenovalec,
v(6, 12, 8) = 23 · 3 = 24.
Vsak ulomek pomnoˇzimo (v ˇstevcu in imenovalcu) s tistimi prafaktorji najmanjˇsega skupnega imenovalca, ki v imenovalcu ulomka manjkajo,
7
3
5 4
7 2 3 3
20 14
9
20 − 14 + 9
15
5
−
+ = · −
· + · =
−
+
=
= .
6 12 8
6 4 12 2 8 3
24 24 24
24
24
ˇ v rezultatu dobimo tako v ˇstevcu kot imenovalcu enak prafaktor, ulomek okrajˇsamo,
Ce
15
3 · 5
5
=
= .
24
2 · 2 · 2 · 3
8
4