1. No category

MANIPULACIJA Z ALGEBRSKIMI IZRAZI
Matematiˇcne izraze poimenujemo glede na ˇstevilo ˇclenov, ki v danem izrazu nastopajo. Posamezne
ˇclene zdruˇzujemo s plusi in minusi. Torej, ˇce v izrazu
(a) nastopa en ˇclen, govorimo o enoˇ
cleniku;
(b) nastopata dva ˇclena, govorimo o dvoˇ
cleniku;
(c) nastopajo trije ˇcleni, govorimo o triˇ
cleniku; itd.
Primeri
(a) enoˇclenikov: x, y, x · y, x2 , . . . ;
(b) dvoˇclenikov: x + y, x + 2, x − y 2 , x2 − y, . . . ;
(c) triˇclenikov: x + y + z, x − y 2 − 3, . . . .
Kvadriranje dvoˇ
clenika
Za zaˇcetek kvadrirajmo dvoˇclenik tako, da pomnoˇzimo vsakega z vsakim”:
”
(a + b)2 = (a + b) · (a + b) = a2 + a · b + b · a + b2 = a2 + 2 · a · b + b2 ,
saj je zaradi komutativnosti naravnih ˇstevil a · b = b · a. Ko enkrat poznamo formulo za vsoto
dvoˇclenika, lahko hitro izpeljemo ˇse formulo za kvadrat razlike dveh ˇclenov:
(a − b)2 = (a + (−b))2 = a2 + 2 · a · (−b) + (−b)2 = a2 − 2 · a · b + b2 .
Zgled. Kvadrirajmo dvoˇclenike
(a) (x + 1)2 = x2 + 2 · x · 1 + 12 = x2 + 2x + 1
(b) (2x − 3)2 = (2x)2 − 2 · 2x · 3 + 32 = 4x2 − 12x + 9
(c) (x3 + 2y)2 = (x3 )2 + 2 · x3 · 2y + (2y)2 = x6 + 4x3 y + 4y 2
Kubiranje dvoˇ
clenika
Veˇckrat pa se sreˇcamo tudi s kubiranjem dvoˇclenika, zato s pomoˇcjo tehnike mnoˇzenja vsakega z
”
vsakim“, izpeljimo formulo za kubiranje vsote dveh ˇclenov:
(a + b)3 =
=
=
=
=
(a + b) · (a + b) · (a + b)
(a2 + 2 · a · b + b2 ) · (a + b)
a2 · a + 2 · a · b · a + b 2 · a + a2 · b + 2 · a · b · b + b 2 · b
a3 + 2 · a2 · b + b2 · a + a2 · b + 2 · a · b2 + b3
a3 + 3 · a2 · b + 3 · a · b 2 + b 3 .
Na analogen naˇcin kot pri kvadriranju, izpeljimo ˇse formulo za kubiranje razlike dveh ˇclenov:
(a − b)3 = (a + (−b))3 = a3 + 3a2 (−b) + 3a(−b)2 + (−b)3 = a3 − 3a2 b + 3ab2 − b3 .
Zgled. Kubiraj dvoˇclenike
1
(a) (1 + x)3 = 13 + 3 · 12 · x + 3 · 1 · x2 + x3 = 1 + 3x + 3x2 + x3 .
(b) (x − 3)3 = x3 − 3 · x2 · 3 + 3 · x · 32 − 33 = x3 − 9x + 27x2 − 27.
Pascalov trikotnik
Francoskemu matematiku B. Pascalu (1623 − 1662) je uspelo na enostaven naˇcin zapisati skico za
razcep (a + b)n , kjer je n poljubno naravno ˇstevilo. Zaradi elegantnosti le-tega, se Pascalov trikotnik
ˇse danes imenuje po njem.
Vidimo, da je vsak koeficient v naslednji vrstici dejansko vsota neposrednih koeficientov nad njim.
Sedaj pa povejmo, kakˇsna je povezava tega trikotnika s koeficienti v razvoju (a + b)n .
1
1
1
1
1
1
2
3
4
5
1
1
3
6
10
4
10
..
.
1
1
5
1
(a + b)0
(a + b)1
(a + b)2
(a + b)3
(a + b)4
(a + b)5
..
.
=1
=a+b
= a2 + 2 · a · b + b 2
= a3 + 3 · a2 · b + 3 · a · b 2 + b 3
= a4 + 4 · a3 · b + 6 · a2 · b 2 + 4 · a · b 3 + b 4
= a5 + 5 · a4 · b + 10 · a3 · b2 + 10 · a2 · b3 + 5 · a · b4 + b5
Zgled.
(a − b)4 = (a + (−b))4 = a4 + 4 · a3 · (−b) + 6 · a2 · (−b)2 + 4 · a · (−b)3 + (−b)4
= a4 − 4 · a3 · b + 6 · a2 · b 2 − 4 · a · b 3 + b 4
Opazimo, da ima pri potenciranju razlike vsak drugi ˇclen negativen predznak.
Izrazi in ulomki
Kadar imamo ulomek z dvoˇclenikom tako v ˇstevcu kot v imenovalcu, s pripadajoˇcim potenˇcnim eksponentom potenciramo tako ˇstevec kot imenovalec.
Zgled.
(2a − b)3
(2a)3 − 3 · (2a)2 · b + 3 · (2a) · b2 − b3
8a3 − 12a2 b + 6ab2 − b3
=
=
.
(x + 2y)2
x2 + 2 · x · 2y + (2y)2
x2 + 4xy + 4y 2
2