1. No category

Tehniˇska matematika 1a
Osnovne matematiˇcne operacije
Avtorji: Gordana Radi´c, Peter Kitak, Tine Zoriˇc
1
Uvod
V letoˇsnjem letu (letu 2014) smo priˇceli z objavo ˇclankov na temo osnovnih zakonitosti v svetu
matematike, fizike in elektrotehnike v reviji, ki jo izdaja Agencija POTI, izobraˇzevalna, svetovalna
in zaloˇzniˇska druˇzba d.o.o. Spletne strani, ki jih pravkar preglejujete, bodo namenjene dopolnitvi
poglavij Tehniˇske matematike v reviji Elektrotehniˇska revija (ER) in bodo oznaˇcene s T M ia, kjer i
opredeljuje nadaljevanje v ER. Torej, vsa tako oznaˇcena gradiva dopolnjujejo vsako nadaljevanje v
reviji z
• izpeljavami zakonitosti, ki v reviji niso izpeljane;
• veˇcjim ˇstevilom praktiˇcnih zgledov;
• zanimivostmi iz matematike in tehnike, ki nudijo praktiˇcne napotke za reˇsevanje.
V prvem nadaljevanju Tehniˇske matematike, ki je v ER izˇsla marca 2014, smo
(i) ponazorili razliko med formulo in enaˇcbo ter med veliˇcino in enoto;
(ii) predstavili temeljne raˇcunske postopke (seˇstevanje in odˇstevanje, mnoˇzenje in deljenje, potenciranje in korenjenje).
Za dopolnitev bomo v nadaljevanju povedali kaj veˇc o naravnih ˇstevilih in pokazali, kako manipuliramo z algebrskimi izrazi.
2
Praˇ
stevila in sestavljena ˇ
stevila
O praˇstevilih in sestavljenih ˇstevilih lahko govorimo na mnoˇzici naravnih ˇstevil, ki jih vsi zelo dobro
poznamo ... ali pa tudi ne. Preizkusite svoje znanje in poskusite razloˇziti, kaj so to naravna ˇstevila.
Podobno vpraˇsanje si je zastavil tudi italijanski matematik Guiseppe Peano (1858–1932), ki je leta
1891 formalno definiral naravna ˇstevila. Danes jih krajˇse oznaˇcimo N, G. Peano pa jih je natanˇcno
opredelil s petimi aksiomi (aksiom je temeljna trditev, ki jo sprejemamo za resniˇcno brez dokazov):
(1) 1 je naravno ˇstevilo.
(2) Vsako naravno ˇstevilo ima naslednika.
(3) Razliˇcni naravni ˇstevili imata razliˇcna naslednika.
(4) 1 ni naslednik nobenega naravnega ˇstevila.
(5) Vsaka mnoˇzica, ki vsebuje ˇstevilo 1 in za poljubno naravno ˇstevilo njegovega naslednika, vsebuje
vsa naravna ˇstevila.
1
Podrobneje poglejmo prve ˇstiri aksiome. Hitro ugotovimo, da le-ti pravijo, da je mnoˇzica naravnih
ˇstevil neskonˇcna mnoˇzica, peti aksiom pa nam omogoˇca vpeljavo operacij seˇstevanja in mnoˇzenja.
ˇ z n∗ oznaˇcimo naslednika naravnega ˇstevila n, potem je operacija seˇstevanja definirana z
Ce
n∗ = n + 1
n + m∗ = (n + m)∗ ,
in
operacija mnoˇzenja pa je dejansko okrajˇsana operacija seˇstevanja in je definirana z
n·1=n
n · m∗ = n · m + n
in
Zgled.
(i) 3 + 5 = 3 + 4∗ = (3 + 4)∗ = 7∗ = 8
(ii) 15 + 8 = 15 + 7∗ = (15 + 7)∗ = 22∗ = 23
(iii) 5 · 2 = 5 · 1∗ = 5 · 1 + 5 = 5 + 5 = 5 + 4∗ = (5 + 4)∗ = 9∗ = 10
(iv) 5 · 3 = 5 · 2∗ = 5 · 2 + 5 = 10 + 5 = 10 + 4∗ = (10 + 4)∗ = 14∗ = 15
Peti aksiom nam sicer pove nekaj veˇc. Imenujemo ga tudi naˇcelo popolne ali matematiˇcne indukcije.
To je sila uporabno orodje, ki preverja, ali neka lastnost velja za prav vsa naravna ˇstevila. Da ne
zaidemo preveˇc z naˇse poti, o tem kdaj drugiˇc.
Vsa naravna ˇstevila (razen 1) delimo v dve veliki skupini:
(a) praˇ
stevila so tista naravna ˇstevila, ki so deljiva le sama s seboj in z 1;
(b) sestavljena ˇ
stevila pa je mogoˇce razstaviti na produkt praˇstevil ali njihovih potenc.
Osnovni izrek aritmetike pravi, da lahko vsako naravno ˇstevilo (razen 1, ki ni niti praˇstevilo niti
sestavljeno ˇstevilo) zapiˇsemo kot produkt praˇstevil. Zato si za zaˇcetek poglejmo, katera ˇstevila sploh
so praˇstevila.
2.1
Eratostenovo sito
Postopek ugotavljanja ali je dano ˇstevilo praˇstevilo ali ne, je prvi opisal Eratosten (280−196 pr. Kr.),
v tako imenovanem Eratostenovem situ. Le-ta pravi, da moramo najprej zapisati zaporedje vseh naravnih ˇstevil:
2
ˇ
Stevilo
1 ni praˇstevilo, zato ga preskoˇcimo in pridemo do ˇstevila 2, ki ga obkroˇzimo in oznaˇcimo za
praˇstevilo. Temu je res tako, saj je deljivo zgolj z 2 in 1. Potem pa so vsa nadaljna ˇstevila, ki bodo
deljiva z 2, sestavljena ˇstevila. Zato lahko vse veˇckratnike ˇstevila 2 v zaporedju preˇcrtamo:
Ugotovimo, da je naslednje nepreˇcrtano ˇstevilo 3, ki ga obkroˇzimo in oznaˇcimo za praˇstevilo. Potem pa so vsa nadaljna ˇstevila, ki so deljiva s 3, sestavljena ˇstevila, zato vse veˇckratnike ˇstevila 3
preˇcrtamo:
Ponovimo postopek in opazimo, da je naslednje nepreˇcrtano ˇstevilo 5, ki ga obkroˇzimo in oznaˇcimo
za praˇstevilo ter preˇcrtamo vse njegove veˇckratnike:
S tem postopkom nadaljujemo. Vsa ˇstevila, ki pri tem ostanejo nepreˇcrtana, so praˇstevila in vsa
preˇcrtana ˇstevila so sestavljena ˇstevila. Slednja je res moˇc zapisati kot produkt praˇstevil, saj je
4 = 2 · 2 = 22 ,
6 = 2 · 3,
8 = 2 · 2 · 2 = 23 ,
3
9 = 3 · 3 = 32 ,
10 = 2 · 5,
...
Iz Eratostenovega sita je razvidno dvoje:
(a) edino sodo praˇstevilo je 2;
(b) v zaporedju praˇstevil najdemo celo vrsto praˇstevil, ki so le predhodno praˇstevilo poveˇcano za
2. Tak par ˇstevil imenujemo praˇ
stevilski dvojˇ
cek . Takˇsni praˇstevilski dvojˇcki so oˇcitno:
(5, 7),
(11, 13),
(17, 19),
(29, 31),
(41, 43),
....
Razstavljanje sestavljenih ˇstevil na praˇstevila (ali prafaktorje) je osnovna operacija pri seˇstevanju ali
odˇstevanju ulomkov. Te smemo seˇstevati ali odˇstevati le, ˇce imajo enak imenovalec.
2.2
Razstavljanje sestavljenih ˇ
stevil na praˇ
stevila
Razstavljanje sestavljenega ˇstevila na produkt praˇstevil imenujemo praˇ
stevilski razcep ali prafaktorizacija sestavljenega ˇstevila. Tega moramo zelo dobro obvladati, ˇce ˇzelimo biti uspeˇsni pri
reˇsevanju ulomkov.
Praˇstevilski razcep sestavljenega ˇstevila opravimo tako, da poiˇsˇcemo po vrsti (od najmanjˇsega do
najveˇcjega) vsa praˇstevila, s katerimi je sestavljeno naravno ˇstevilo deljivo. Pri tem moramo poznati
pravila o deljivosti ˇstevil s praˇstevili.
2.3
Pravila o deljivosti sestavljenih ˇ
stevil s praˇ
stevili
ˇ
(a) Stevilo
je deljivo z 2, ˇce je zadnja ˇstevka deljiva z 2.
ˇ
(b) Stevilo
je deljivo s 3, ˇce je vsota ˇstevk deljiva s 3.
ˇ
(c) Stevilo
je deljivo s 5, ˇce je zadnja ˇstevka 0 ali 5.
(ˇc) Pravilo o deljivosti s 7 je bolj zahtevno.
ˇ
(d) Stevilo
je deljivo z 11, ˇce je razlika vsote sodih in vsote lihih ˇstevk enaka 0 ali 11.
Na sploˇsno je neko sestavljeno ˇstevilo deljivo z drugim manjˇsim sestavljenim ˇstevilom, ˇce je deljivo z
vsemi praˇstevili, vsebovanimi v manjˇsem ˇstevilu, npr. sestavljeno ˇstevilo je deljivo s 15, ˇce je deljivo
tako s 3 kot s 5.
Zgled. Opraviti ˇzelimo praˇstevilski razcep ˇstevil: 120, 140 in 330.
(Pomagamo si s posebno shemo, kjer navpiˇcna ˇcrta pomeni deljenje, rezultat tega deljenja pa je
zapisan v novi vrstici, v levem stolpcu. Postopek ponavljamo tako dolgo, dokler v levem stolpcu ne
dobimo ˇstevila 1.)
4
2.4
Najmanjˇ
si skupni veˇ
ckratnik
Najmanjˇsi skupni veˇckratnik dveh ali veˇc naravnih ˇstevil je najmanjˇse naravno ˇstevilo, ki je deljivo
z vsemi danimi ˇstevili. Dobimo ga tako, da zmnoˇzimo vsa praˇstevila (seveda z najveˇcjo potenco), ki
nastopajo v praˇstevilskih razcepih danih ˇstevil. Za zgoraj opravljeni zgled velja, da je
v(120, 140, 330) = 23 · 3 · 5 · 7 · 11 = 9240.
Kolikokrat je neko ˇstevilo vsebovano v najmanjˇsem skupnem veˇckratniku pa dobimo tako, da ga
pomnoˇzimo s praˇstevili, ki so vsebovani v najmanjˇsem skupnem veˇckratniku, vendar niso vsebovani
v razcepu danega ˇstevila.
9240 = 120 · 7 · 11
9240 = 140 · 2 · 3 · 11
9240 = 330 · 2 · 2 · 7.
Primeri.
(1) Avtobusa na progah 6 in 8 odpeljeta z iste zaˇcetne postaje, prvi vsakih 12 minut in drugi
vsakih 15 minut. Ob 6. uri odpeljeta oba. Kdaj bosta spet hkrati skupaj odpeljala?
Reˇ
sitev: Iˇsˇcemo, kdaj se ponovi njun skupni odhod s postaje, zato nas zanima v(12, 15).
Torej, v(12, 15) = 22 · 3 · 5 = 60. Avtobusa na progah 6 in 8 bosta ponovno hkrati odpeljala s
postaje ˇcez 60 minut oziroma ob 7. uri.
(2) Planet Jupiter obkroˇzi Sonce v 12 letih, planet Saturn pa v 30 letih. Leta 2001 sta bila oba
hkrati na isti strani Sonca in smo ju z Zemlje videli oba skupaj. Katerega leta ju bomo spet
lahko videli oba skupaj?
Reˇ
sitev: Zanima nas, kdaj bomo ponovno z Zemlje obˇcudovali oba planeta hkrati, zato moramo poiskati v(12, 30).
ˇ 60 let oziroma leta 2061 bosta z Zemlje vidna
Vidimo, da je v(12, 30) = 22 · 3 · 5 = 60. Cez
tako planet Jupiter kot planet Saturn.
5
(3) Kolesar in motorist vadita na kroˇzni progi. Prvi prevozi progo v 120 sekundah, drugi v 45
ˇ koliko ˇcasa bosta naslednjiˇc skupaj na startu?
sekundah. S starta odpeljeta skupaj. Cez
Reˇ
sitev: Ponovno nas zanima v(120, 45).
Oˇcitno je v(120, 45) = 23 · 32 · 5 = 360. Kolesar in motorist bosta ponovno skupaj na startu
ˇcez 360 sekund.
(4) Natanko nad severnim polom so trije sateliti; prvi obkroˇzi Zemljo v 90 minutah, drugi v 100
ˇ koliko ˇcasa bodo spet vsi trije hkrati nad severnim polom?
minutah in tretji v 110 minutah. Cez
Reˇ
sitev: Poiskati moramo v(90, 100, 110).
Torej, v(90, 100, 110) = 22 · 32 · 52 · 11 = 9900. Vsi trije sateliti bodo ponovno hkrati nad
severnim polom ˇcez 9900 minut oziroma ˇcez 6 dni in 21 ur.
(5) Trije deˇcki potiskajo avto. Zaˇceli so tako, da so se vsi oprli na levo nogo; prvi deˇcek dela korake
po 75 cm, drugi po 60 cm in tretji po 45 cm. Koliko korakov bo napravil vsak deˇcek, ko bodo
prviˇc spet vsi hkrati oprti na levo nogo?
Reˇ
sitev: Da bo deˇcek ponovno oprt na levo nogo, mora narediti dva koraka; prvi deˇcek bo v
tem ˇcasu opravil 150 cm, drugi 120 cm in tretji 90 cm. Poiskati moramo v(150, 120, 90).
6
Vidimo, da je v(150, 120, 90) = 23 · 32 · 52 = 1800. Vsi hkrati bodo na levo nogo oprti ponovno
ˇcez 1800 cm, kar pomeni, da bo prvi deˇcek naredi 24, drugi 30 in tretji 40 korakov.
2.5
Najveˇ
cji skupni delitelj
Najveˇcji skupni delitelj dveh ali veˇc naravnih ˇstevil je naravno ˇstevilo, ki deli vsa dana ˇstevila. Dobimo
ga tako, da zmnoˇzimo praˇstevila (z najmanjˇso potenco), ki so vsebovana v vseh praˇstevilskih razcepih
danih ˇstevil. Za zgoraj obravnavani zgled velja, da je
D(120, 140, 330) = 2 · 5 = 10.
Sedaj je lepo razvidno, kako pomemebno je, da dobro obvladamo praˇstevilski razcep.
Primeri.
(1) Za praznovanje dobi vsak otrok enako ˇstevilo pomaranˇc in enako ˇstevilo bonbonov. Na mizi je
28 pomaranˇc in 105 bonbonov. Koliko otrok lahko obdarimo z njimi, ˇce razdelimo vse?
Reˇ
sitev: Iˇsˇcemo ˇstevilo, ki deli tako ˇstevilo pomaranˇc kot ˇstevilo bonbonov, zato nas zanima
D(28, 105).
Torej, D(28, 105) = 7. Obdarimo lahko 7 otrok, vsak otrok bo dobil 4 pomaranˇce in 15
bonbonov.
(2) V letoviˇsˇce se pripelje z avtobusom dopoldne 328, popoldne 123 izletnikov. Vsi avtobusi, ki
vozijo tja, so enako veliki in vsi so vedno polni do zadnjega sedeˇza.
(a) Koliko izletnikov se pripelje z vsakim avtobusom?
(b) Koliko avtobusov pripelje v letoviˇsˇce dopoldan in koliko popoldan?
Reˇ
sitev: Zanima nas D(328, 123).
Vidimo, da je D(328, 123) = 41. Z vsakim avtobusom se pripelje 41 izletnikov, kar pomeni, da
dopoldan pride v letoviˇsˇce 8 in popoldan 3 avtobusi.
7
(3) Mitja dobi dve cevi dolˇzine 2,40 m in 1,68 m. Njegova naloga je cevi razˇzagati na enako dolge,
a ˇcim daljˇse kose.
(a) Kako dolge kose naj naˇzaga in koliko kosov bo dobil?
(b) Koliko ˇcasa bo delal, ˇce vsakiˇc preˇzaga cev v 10 minutah?
Reˇ
sitev: Oˇcitno iˇsˇcemo najveˇcji skupni delitelj, ki pa je definiran na naravnih ˇstevilih, zato
moramo dolˇzini cevi zapisati v cm. Tako nas zanima D(240, 168).
Torej, D(240, 168) = 23 · 3 = 24. To pomeni, da mora Mitja cevi razˇzagati na dolˇzino 24 cm.
Pri tem bo iz prve cevi dobil 10 in iz druge cevi 7 kosov. Ker za vsako ˇzaganje potrebuje 10
minut, bo za ˇzaganje cevi potreboval 150 minut, prvo cev bo preˇzagal 9-krat in drugo 6-krat.
(4) Tla v hodniku s ˇsirino 192 cm in dolˇzino 312 cm bomo prekrili s kvadratnimi ploˇsˇcicami iz
plute. Kako dolga je lahko stranica ploˇsˇcic, da jih ne bo treba rezati?
Reˇ
sitev: Da ploˇsˇcic ne bo potrebno rezati, mora njena dolˇzina deliti tako 312 cm kot 192 cm,
zato nas zanima D(192, 312).
Potem pa je D(192, 312) = 23 · 3 = 24, kar pomeni, da ˇce bodo ploˇsˇcice velikosti 24 × 24 cm,
jih ne bo potrebno rezati.
(5) Vsota dveh ˇstevil je 60, njun najveˇcji skupni delitelj pa 12. Kateri ˇstevili sta to?
Reˇ
sitev: Prvo ˇstevilo oznaˇcimo z a in drugo z b. Potem so znani podatki, da je
a + b = 60
in
8
D(a, b) = 12.
Iz drugega podatka je oˇcitno, da 12 deli tako a kot b, zato je a = 12x in b = 12y. Upoˇstevajmo
ˇse prvi podatek, ki pravi, da je
60 = a + b = 12x + 12y
oziroma
x + y = 5.
Ker smo v mnoˇzici naravnih ˇstevil, imamo dve reˇsitvi x1 = 1 in y1 = 4 ali x2 = 2 in y2 = 3. To
pomeni, da govorimo o ˇstevilih 12 in 48 ali o 24 in 36.
3
Matematiˇ
cne operacije z algebrskimi izrazi
Matematiˇcne izraze poimenujemo glede na ˇstevilo ˇclenov, ki v danem izrazu nastopajo. Posamezne
ˇclene zdruˇzujemo s plusi in minusi. Torej, ˇce v izrazu:
(a) nastopa en ˇclen, govorimo o enoˇ
cleniku;
(b) nastopata dva ˇclena, govorimo o dvoˇ
cleniku;
(c) nastopajo trije ˇcleni, govorimo o triˇ
cleniku; itd.
Primeri.
(a) enoˇclenikov: x, y, x · y, x2 , . . . ;
(b) dvoˇclenikov: x + y, x + 2, x − y 2 , x2 − y, . . . ;
(c) triˇclenikov: x + y + z, x − y 2 − 3, . . . .
3.1
Kvadriranje dvoˇ
clenika
Za zaˇcetek kvadrirajmo dvoˇclenik tako, da pomnoˇzimo vsakega z vsakim”:
”
(a + b)2 = (a + b) · (a + b) = a2 + a · b + b · a + b2 = a2 + 2 · a · b + b2 ,
saj je zaradi komutativnosti naravnih ˇstevil a · b = b · a. Ko enkrat poznamo formulo za vsoto
dvoˇclenika, lahko hitro izpeljemo ˇse formulo za kvadrat razlike dveh ˇclenov:
(a − b)2 = (a + (−b))2 = a2 + 2 · a · (−b) + (−b)2 = a2 − 2 · a · b + b2 .
Zgled. Kvadrirajmo dvoˇclenike
(i) (x + 1)2 = x2 + 2 · x · 1 + 12 = x2 + 2x + 1
(ii) (2x − 3)2 = (2x)2 − 2 · 2x · 3 + 32 = 4x2 − 12x + 9
(iii) (x3 + 2y)2 = (x3 )2 + 2 · x3 · 2y + (2y)2 = x6 + 4x3 y + 4y 2
9
3.2
Kubiranje dvoˇ
clenika
Veˇckrat pa se sreˇcamo tudi s kubiranjem dvoˇclenika, zato s pomoˇcjo tehnike mnoˇzenja vsakega z
”
vsakim“, izpeljimo formulo za kubiranje vsote dveh ˇclenov:
(a + b)3 =
=
=
=
=
(a + b)2 · (a + b)
(a2 + 2 · a · b + b2 ) · (a + b)
a2 · a + 2 · a · b · a + b2 · a + a2 · b + 2 · a · b · b + b2 · b
a3 + 2 · a2 · b + b 2 · a + a2 · b + 2 · a · b 2 + b 3
a3 + 3 · a2 · b + 3 · a · b 2 + b 3
Na analogen naˇcin kot pri kvadriranju, izpeljimo ˇse formulo za kubiranje razlike dveh ˇclenov:
(a − b)3 = (a + (−b))3 = a3 + 3 · a2 · (−b) + 3 · a · (−b)2 + (−b)3 = a3 − 3 · a2 · b + 3 · a · b2 − b3 .
Zgled. Kubiraj dvoˇclenike
(i) (1 + x)3 = 13 + 3 · 12 · x + 3 · 1 · x2 + x3 = 1 + 3x + 3x2 + x3 .
(ii) (x − 3)3 = x3 − 3 · x2 · 3 + 3 · x · 32 − 33 = x3 − 9x + 27x2 − 27.
3.3
Pascalov trikotnik
Francoskemu matematiku B. Pascalu (1623–1662) je uspelo zdruˇziti vse razcepe (a + b)n , kjer je n
poljubno naravno ˇstevilo. Zaradi elegantnosti njegove skice, se Pascalov trikotnik ˇse danes imenuje
po njem.
Vidimo, da je vsak koeficient v naslednji vrstici dejansko vsota neposrednih koeficientov nad njim.
In kakˇsno zvezo ima to z (a + b)n ?
1
1
1
1
1
1
2
3
4
5
1
1
3
6
10
10
..
.
1
4
1
5
1
(a + b)0
(a + b)1
(a + b)2
(a + b)3
(a + b)4
(a + b)5
..
.
=1
=a+b
= a2 + 2 · a · b + b 2
= a3 + 3 · a2 · b + 3 · a · b 2 + b 3
= a4 + 4 · a3 · b + 6 · a2 · b 2 + 4 · a · b 3 + b 4
= a5 + 5 · a4 · b + 10 · a3 · b2 + 10 · a2 · b3 + 5 · a · b4 + b5
Zgled.
(a − b)4 = (a + (−b))4 = a4 + 4 · a3 · (−b) + 6 · a2 · (−b)2 + 4 · a · (−b)3 + (−b)4
= a4 − 4 · a3 · b + 6 · a2 · b 2 − 4 · a · b 3 + b 4
10
Opazimo, da se pri potenciranju razlike koeficienti ohranjajo, le vsak drugi ˇclen ima negativen predznak.
Splaˇca pa si zapomniti tudi enakosti za:
(i) razliko kvadratov:
a2 − b2 = (a + b)(a − b)
(ii) razliko kubov:
a3 − b3 = (a − b)(a2 + ab + b2 )
(iii) vsoto kubov:
a3 + b3 = (a + b)(a2 − ab + b2 )
Za tiste, ki bi ˇzeleli izvedeti ˇse kaj veˇc, povejmo, kako razstavimo poljuben dvoˇclenik; pri tem je
nujno, da imata oba ˇclena isto potenco:
(i) razlika sodih potenc“:
”
a2n − b2n = (an + bn )(an − bn )
(ii) razlika lihih potenc“:
”
a2n+1 − b2n+1 = (a − b)
2n
X
!
a2n−i bi
i=0
(iii) vsota lihih potenc“:
”
a2n+1 + b2n+1
2n
X
= (a + b)
(−1)i a2n−i bi
!
i=0
Vsoto sodih potenc“ smo namerno izpustili, saj se nad mnoˇzico realnih ˇstevil ne da razstaviti.
”
Primeri. Izraze skrˇci, rezultate pa razstavi.
(1) (x − 2y)(x + 2y) + (x + y)2 + 3y 2
= x2 − (2y)2 + x2 + 2 · x · y + y 2 + 3y 2
= x2 − 4y 2 + x2 + 2xy + y 2 + 3y 2
= 2x2 + 2xy
= 2x(x + y)
11
(2) (a − 2b)(a + 2b) − (a − b)2 + (a + b)2 + 8b2
= a2 − (2b)2 − (a2 − 2 · a · b + b2 ) + (a2 + 2 · a · b + b2 ) + 8b2
= a2 − 4b2 − a2 + 2ab − b2 + a2 + 2ab + b2 + 8b2
= a2 + 4ab + 4b2
= (a + 2b)2
(3) (2x + 5)(3 − x) + (3x − 4)(3x + 4) − (x − 3)2 − x(x + 2)
= 6x − 2x2 + 15 − 5x + (3x)2 − 42 − (x2 − 2 · x · 3 + 32 ) − (x2 + 2x)
= 6x − 2x2 + 15 − 5x + 9x2 − 16 − x2 + 6x − 9 − x2 − 2x
= 5x2 + 3x − 1
(4) x(x + 3)(x − 3) − (x + 2)3 − (3x − 1)2 + 9
= x(x2 − 32 ) − (x3 + 3 · x2 · 2 + 3 · x · 22 + 23 ) − ((3x)2 − 2 · 3x · 1 + 12 ) + 9
= x3 − 9x − x3 − 6x2 − 12x − 8 − 9x2 + 6x − 1 + 9
= −15x2 − 15x
= −15x(x + 1)
(5) 1 − 4x(x + 3)(2x + 9) + (2x + 5)3
= 1 − 4x(2x2 + 6x + 9x + 27) + (8x3 + 3 · 4x2 · 5 + 3 · 2x · 25 + 125)
= 1 − 8x3 − 24x2 − 36x2 − 108x + 8x3 + 60x2 + 150x + 125
= 42x + 126
= 42(x + 3)
2
2
(6) (x2 − y 2 ) + (x2 + y 2 ) + 4x2 y 2
= (x4 − 2 · x2 · y 2 + y 4 ) + (x4 + 2 · x2 · y 2 + y 4 ) + 4x2 y 2
= x4 − 2x2 y 2 + y 4 + x4 + 2x2 y 2 + y 4 + 4x2 y 2
= 2x4 + 4x2 y 2 + 2y 2
= 2(x4 + 2x2 y 2 + y 2 )
= 2(x2 + y 2 )2
2
(7) (4x2 − y 2 ) − (4x2 − 3y 2 )(4x2 + 3y 2 ) + 2x2 (x2 − 2y 2 )
2
2
= (4x2 ) − 2 · 4x2 · y 2 + (y 2 ) − ((4x2 )2 − (3y 2 )2 ) + 2x4 − 4x2 y 2
= 16x4 − 8x2 y 2 + y 4 − 16x4 + 9y 4 + 2x4 − 4x2 y 2
= 2x4 − 12x2 y 2 + 10y 4
= 2(x4 − 6x2 y 2 + 5y 4 )
= 2(x2 − 5y 2 )(x2 − y 2 )
√
√
= 2(x − 5y)(x + 5y)(x − y)(x + y)
12
3.4
Najmanjˇ
si skupni veˇ
ckratnik in najveˇ
cji skupni delitelj matematiˇ
cnih
izrazov
Izkaˇze se, da definiciji za najmanjˇsi skupni veˇckratnik in najveˇcji skupni delitelj na naravnih ˇstevilih
sovpadata z definicijami za matematiˇcne izraze. To pomeni, da moramo vsak matematiˇcni izraz
razstaviti na produkt primitivnih izrazov(to so takˇsni izrazi, ki jih ni moˇc bolj razstaviti).
Zgled. Naj bosta a2 − b2 in a2 + 2ab + b2 dva matematiˇcna izraza. Da bomo poiskali najveˇcji skupni
veˇckratnik in najmanjˇsi skupni delitelj, moramo izraza razstaviti.
a2 − b 2
= (a − b)(a + b)
a + 2ab + b2 =
(a + b)2
2
Potem pa je
v (a2 − b2 , a2 + 2ab + b2 ) = (a − b)(a + b)2
D (a2 − b2 , a2 + 2ab + b2 ) = a + b
Primeri. Poiˇsˇci najveˇcji skupni delitelj in najmanjˇsi skupni veˇckratnik naslednjih izrazov.
(1) x2 − 5x in x2 + 5x.
Reˇ
sitev: Izraze najprej razstavimo.
x2 − 5x = x(x − 5)
x2 + 5x = x(x + 5)
Potem pa je
v(x2 − 5x, x2 + 5x) = x(x − 5)(x + 5)
D(x2 − 5x, x2 + 5x) = x
(2) x2 − 8x + 15 in x2 − x − 6.
Reˇ
sitev: Izraze najprej razstavimo.
x2 − 8x + 15 = (x − 5)(x − 3)
x2 − x − 6 = (x − 5)(x − 1)
Potem pa je
v(x2 − 8x + 15, x2 − x − 6) = (x − 5)(x − 3)(x − 1)
D(x2 − 8x + 15, x2 − x − 6) = x − 5
(3) 4x2 − 1 in 4x2 − 4x + 1.
Reˇ
sitev: Izraze najprej razstavimo.
4x2 − 1 = (2x − 1)(2x + 1)
4x2 − 4x + 1 = (2x − 1)2
Potem pa je
v(4x2 − 1, 4x2 − 4x + 1) = (2x − 1)2 (2x + 1)
D(4x2 − 1, 4x2 − 4x + 1) = 2x − 1
13
(4) a2 − 9, a2 − 4a − 21 in 2a2 + 6a.
Reˇ
sitev: Izraze najprej razstavimo.
a2 − 9 = (a − 3)(a + 3)
a2 − 4a − 21 = (a − 7)(a + 3)
2a2 + 6a = 2a(a + 3)
Potem pa je
v(a2 − 9, a2 − 4a − 21, 2a2 + 6a) = 2a(a + 3)(a − 3)(a − 7)
D(a2 − 9, a2 − 4a − 21, 2a2 + 6a) = a + 3
(5) a2 + 6a + 9 in a3 + 9a2 + 27a + 27.
Reˇ
sitev: Izraze najprej razstavimo.
a2 + 6a + 9 = (a + 3)2
a3 + 9a2 + 27a + 27 = (a + 3)3
Potem pa je
v(a2 + 6a + 9, a3 + 9a2 + 27a + 27) = (a + 3)3
D(a2 + 6a + 9, a3 + 9a2 + 27a + 27) = (a + 3)2
(6) 18a2 − 6a, 6a4 − 2a3 , 9a3 + 3a2 in 12a4 + 4a3 .
Reˇ
sitev: Izraze najprej razstavimo.
18a2 − 6a = 6a(3a − 1) = 2 · 3a(3a − 1)
6a4 − 2a3 = 2a3 (3a − 1)
9a3 + 3a2 = 3a2 (3a + 1)
12a4 + 4a3 = 4a3 (3a + 1) = 22 a3 (3a + 1)
Potem pa je
v(18a2 − 6a, 6a4 − 2a3 , 9a3 + 3a2 , 12a4 + 4a3 ) = 22 · 3a3 (3a − 1)(3a + 1)
D(18a2 − 6a, 6a4 − 2a3 , 9a3 + 3a2 , 12a4 + 4a3 ) = a
(7) a4 − 18a2 + 81, 4a2 b2 − 24ab2 + 36b2 in a3 b − 27b.
Reˇ
sitev: Izraze najprej razstavimo.
a4 − 18a2 + 81 = (a2 − 9)2 = (a − 3)2 (a + 3)2
4a2 b2 − 24ab2 + 36b2 = 4b2 (a2 − 6a + 9) = 4b2 (a − 3)2
a3 b − 27b = b(a3 − 27) = b(a − 3)(a2 + 6a + 9)
Potem pa je
v(a4 − 18a2 + 81, 4a2 b2 − 24ab2 + 36b2 , a3 b − 27b) = 4b2 (a − 3)2 (a + 3)2 (a2 + 6a + 9)
D(6a4 − 18a2 + 81, 4a2 b2 − 24ab2 + 36b2 , a3 b − 27b) = a − 3
14
(8) x5 − 81x, x5 + 18x3 + 81x in 15x2 − 5x3 .
Reˇ
sitev: Izraze najprej razstavimo.
x5 − 81x = x(x4 − 81) = x(x2 − 9)(x2 + 9) = x(x − 3)(x + 3)(x2 + 9)
x5 + 18x3 + 81x = x(x4 + 18x2 + 81) = x(x2 + 9)2
15x2 − 5x3 = 5x2 (3 − x) = −5x2 (x − 3)
Potem pa je
v(x5 − 81x, x5 + 18x3 + 81x, 15x2 − 5x3 ) = −5x2 (x − 3)(x + 3)(x2 + 9)2
D(x5 − 81x, x5 + 18x3 + 81x, 15x2 − 5x3 ) = x
(9) 3a3 − 12a2 + 12a, a2 x + 4ax + 4x in 3a2 b − 12b.
Reˇ
sitev: Izraze najprej razstavimo.
3a3 − 12a2 + 12a = 3a(a2 − 4a + 4) = 2a(a − 2)2
a2 x + 4ax + 4x = x(a2 + 4a + 4) = x(a + 2)2
3a2 b − 12b = 3b(a2 − 4) = 3b(a − 2)(a + 2)
Potem pa je
v(3a3 − 12a2 + 12a, a2 x + 4ax + 4x, 3a2 b − 12b) = 2 · 3abx(a − 2)2 (a + 2)2
D(3a3 − 12a2 + 12a, a2 x + 4ax + 4x, 3a2 b − 12b) = 1
Literatura
[1] F. Galiˇc, et.al, Matematika za 6. razred osnovne ˇsole, DZS, Ljubljana, 1994.
ˇ
[2] D. Kavka, et. al, LINEA = Crta:
matematika za 1. letnik gimnazij, Modrijan, Ljubljana, 2002.
[3] A. Blaznik, et. al, REALNA ˇstevila; Linearna funkcija, DZS, Ljubljana, 1999.
15