1. No category

Poyntingov vektor
Jan Malec
0.1
March 23, 2013
Poyntingov in ˇ
casovno povpreˇ
ceni poyntingov vektor
Pri elektromagnetnem polju smo izpeljali poyntingov vektor kot
S =E×H
ˇ raˇcunamo z kompelksimi polji, k moˇci prispeva le realni del, torej
Ce
S = Re(E) × Re(H)
Povpreˇcno vrednost koliˇcine S na intervalu [0, t0 ] izraˇcunamo kot
Z
1 t0
S(t)dt
hSi =
t 0
Sedaj v poyntingov vektor ustavim E in H ravnega vala, torej S = Re(E) × Re(H) = 21 (Eejωt + E ∗ e−jωt ) ×
1
jωt + H ∗ e−jωt ) = 1 (E × H ∗ + E ∗ × H + E × He2jωt + E ∗ × H ∗ e−2jωt ) = 1 (E × H ∗ + (E × H ∗ )∗ +
2 (He
4
4
E × He2jωt + (E × He2jωt )∗ ) = 12 Re(E × H ∗ ) + 21 Re(E × He2jωt ). Upoˇstevamo, da je povpreˇcje Re(e2jωt )
Rt
enako 0, ostane nam t10 0 0 12 Re(E × H ∗ )dt = 21 Re(E × H ∗ )
1
hSi = Re(E × H ∗ )
2
.
0.2
Drugi zapis
Iz Maxwellovih enaˇcb za elektromagnetno valovanje brez izvorov ugotovimo, da E, k, in B tvorijo trirob
in velja zveza
1
H=
(n × E)
cµµ0
1
(n × E))∗ ). Z uporabo formule za trojni
To vnesemo v enaˇcbo S = E × H in dobimo S = 12 (E × ( cµµ
0
vektorski produkt se nam to prevede na zvezo
S=
1
1
n(E · E ∗ ) −
E ∗ (E · n)
cµµ0
cµµ0
Zaradi transverzalne geomterije je (E ∗ · n) = 0 in ostane samo drugi ˇclen.
√
εε0
1
S=
EE∗ = √
EE∗
2cµµ0
2 µµ0
Sedaj lahko enak raˇcun naredimo ˇse za ˇcasovno povpreˇceni vektor. Vstavimo H ∗ =
(E × H ∗ ) = E ×
1
∗
cµµ0 (n
× E ∗ ),
1
1
1
(n∗ × E ∗ ) =
n(E · E ∗ ) −
E ∗ (n · E)n
cµµ0
cµµ0
cµµ0
Prvi ˇclen spet odpade, drugi ˇclen je pa oˇcitno realna koliˇcina, zato nam ostane ekvivalenten izraz
√
εε0
1
∗
hSi =
EE = √
EE ∗
2cµµ0
2 µµ0
Do zmede pride, ker so polja v resnici realna, kompleksni zapis nam le olajˇsa raˇcunanje z ˇcasovno
spremenljivimi polji. Zato moramo pri izraˇcunu moˇci, ki je vedno realna koliˇcina, upoˇstevati realne dele
polja.